- Funciones
trigonométricas - Funciones
Hiperbólicas - La
circunferencia - Raíces
irracionales - Aplicaciones de la derivada y
algunos usos en la electrónica
A)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una función
es PERIODICA con período P 0, si su dominio
contiene al número (x + P) siempre que contenga a x y si
además:
f(x + P) = f(x) para todo x
D(f).
El mínimo número positivo P con esta
propiedad se
denomina: periodo primitivo de f. Son ejemplos de funciones
periódicas las funciones
trigonométricas: seno, coseno, secante y cosecante,
tienen periodo P = 2, mientras que las funciones
tangente y cotangente tienen periodo P = .
En efecto,
Si f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2) = Sen (x
+ 2) = Sen x = f(x).
Si g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2) = Cos (x
+ 2) = Cos x = g(x).
Si h(x) = Tan x, entonces, h(x + ) = Tan (x
+ ) = Tan x = h(x).
1. EL SENO Y LA COSECANTE:
a. El Seno
f(x) = y = sen x:
Función seno: función real de variable real
Dominio: Dom(sen(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: sen x = – sen(-x) [función impar]
Periodo:
2mínimo)
b. La cosecante
f(x) = y = cosec x = 1/sen x
Función cosecante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(cosec(x))= R-{x/x = k, k
Z}
Rango: R – <-1, 1>
Paridad: cosec x = -cosec(-x) [función impar]
Período:
2(mínimo)
2. EL COSENO Y LA SECANTE:
a. El coseno
f(x) = y = cos x
Función coseno: función real de variable real
Dominio: Dom(cos(x))=R
Rango: [-1,1]
Paridad: cos x = cos(-x) [función par]
Periodo: 2(mínimo)
b. La secante
f(x)= y = sec x = 1/cos x
Función secante: Función real de variable real:
Dominio: Dom(sec(x))=R-{x/x = (2k+1)/2, k
Z}
Rango: R – <-1, 1>
Paridad: sec x = sec(-x) [función par]
Periodo:
2(mínimo)
3. LA TANGENTE Y LA COTANGENTE
a. Tangente
F(x) = y = tg x:
Función tangente: función real de variable real
Dominio: Dom(tg(x))=R – {x/x = (2k+1)/2, k
Z}
Rango: R
Paridad: tg x = – tg(-x) [función impar]
Periodo:
(mínimo)
b.- La cotangente:
f(x) = y = ctg x = 1/tg x
Función cotangente: Función real de variable
real: 
Dominio: Dom(ctg(x))= R -{x/x = k, k
Z}
Rango: R
Paridad: ctg x = – ctg(-x) [función impar]
Periodo: (mínimo)
1.- Introducción
Al construir una circunferencia trigonométrica
(radio 1), como
en la figura 1, se pueden obtener las funciones circulares,
siendo un caso especial las funciones trigonométricas.
La ecuación de una circunferencia de radio 1 (y centro
en el origen) es x2 + y2 = 1 y la
ecuación de una hipérbola equilátera de
radio 1 (y centro el origen) es x2 – y2 =
1. Como se puede observar, ambas son muy parecidas, por lo que
se definieron las funciones hiperbólicas:
- Seno hiperbólico: Sh(x) =
BC/OA - Coseno hiperbólico: Ch(x) =
OB/OA - Tangente hiperbólica: Th(x) =
BC/OB
De la misma manera que en el caso de las funciones
trigonométricas habituales, el área sombreada de
la hipérbola que se corresponde con un ángulo
2 tomando OA como la unidad,
es . Llamemos x al
área del sector de ángulo 2 (que hemos visto es igual a
).
Entonces el sh =
sh x = BC, ch = ch x = OB,
th = th x = AD
También se puede establecer la noción de
estas funciones hiperbólicas en la gráfica de una
parábola, a partir de las coordenadas que posee,
asignándole a las abscisas el valor del
coseno hiperbólico y a las ordenadas el valor del seno
hiperbólico, lo cual se aprecia a
continuación:
2.- Definición y
gráficas
En ciertas ocasiones las combinaciones de
ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales
ecuaciones,
se acostumbra escribir el modelo
matemático que le corresponde utilizando las funciones
hiperbólicas definidas como sigue:
- Seno hiperbólico (senh)
- Coseno hiperbólico (cosh)
- Tangente hiperbólica (tanh)
- Cotangente hiperbólica (coth)
- Cosecante hiperbólica (csch)
Algunas observaciones de las gráficas:
- senh(x) = 0, si x = 0
- Son funciones impares, [f(-x) = – f(x)] y por tanto
sus gráficas son simétricas respecto al origen,
las funciones: f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x;
f(x) = cosch x - Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus
gráficas son simétricas respecto al eje y, las
funciones:
f(x) = cosh x; f(x) = sech x
3.- Propiedades de las funciones
hiperbólicas:
- cosh²x – senh²x = 1
- sech²x + tgh²x = 1
- cotgh²x – cosch²x = 1
- senh (x ± y) = senh x cosh y ± cosh x
senh y - cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x
senh y - senh (2x) = 2 senh x cosh x
- cosh (2x) = cosh²h + senh²x
- senh a + senh b = 2 senh
- cosh a + cosh b = 2 cosh
- 2senh² = cosh x – 1
- 2cosh² = cosh x + 1
- (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh
(nx) , (Fórmula de Moivre)
4.- Funciones hiperbólicas
inversas:
arcsenh(z) = ln( z + 
(z
2 + 1) )
arccosh(z) = ln( z 
(z 2 – 1) )
arctanh(z) = 1/2 ln( (1+z)/(1-z) )
arccsch(z) = ln( (1+(1+z 2) )/z )
arcsech(z) = ln( (1(1-z 2) )/z )
arccoth(z) = 1/2 ln( (z+1)/(z-1) )
5.- Relaciones con las Funciones
Trigonometricas
senh(z) = -i sen(iz)
csch(z) = i csc(iz)
cosh(z) = cos(iz)
sech(z) = sec(iz)
tanh(z) = -i tan(iz)
coth(z) = i cot(iz)
6.- Derivadas de F,
hiperbólicas
Las fórmulas de derivación para las
funciones hiperbólciicas se deducen fácilmente
aplicando las reglas de derivación de la función
exponencial ex.
Proposición 1: Las funciones
hiperbólicas son derivables en sus correspondientes
dominios y se tiene:
- Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh
x - Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh
x - Si f (x) = tgh x, entonces, f'(x)
sech²x - Si f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = –
cosch²x - Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = – sech x tgh
x - Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = – cosch x cotgh
x
En virtud de esta proposición y de la regla de
la cadena, si u = u(x) es función diferenciable
(respecto a la variable x) se obtiene el siguiente
corolario:
Corolario 1: Si u = u(x) es diferenciable,
entonces:
- Dx (senh u) = cosh u.
Dx(u) - Dx (cosh u) = senh u.
Dx(u) - Dx (tgh u) = sech² u.
Dx(u)
1.- DEFINICIÓN
(Del latín circunferentia) Se llama
circunferencia al lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio
de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de
dicha circunferencia al centro
2.- ECUACIONES DE LA
CIRCUNFERENCIA
2.1 Ecuación ordinaria
Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia, "r" el
radio y C(h, k) el centro. Entonces partiendo de su
definición podemos afirmar que
Ejemplo: Si una circunferencia tiene por centro al
punto C(2,4) y su radio es cinco, entonces su
ecuación ordinaria es: (x – 2)2 + (y –
4)2 = 25.
2.2 Ecuación canónica
Es un caso particular de la ecuación
ordinaria, cuando el centro es el eje coordenado, es decir,
es (0,0):
x2 + y2 =
r2
2.3 Ecuación general
Para hallar la ecuación general, hay que
desarrollar la ecuación ordinaria:
x2-2xh+h2+y2-2yk+k2-r2=0
x2+y2-2xh-2yk+h2+k2-r2=0
Haciendo: -2xh=D; -2yk=E;
h2+k2-r2=F, se obtiene la
ecuación general de la circunferencia:
x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0
; ( D 2 + E 2 – 4 F > 0
)
Centro: 
Radio: 
Ejemplo 1:
Ecuación ordinaria de la circunferencia: (
x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 =
25
Ecuación general de la circunferencia: x
2 + y 2 – 2 x – 4 y
– 20 = 0
Casos particulares
1 ) D 2 + E 2 – 4 F = 0
Þ punto 
2 ) D 2 + E 2 – 4 F < 0
Þ ningún lugar
geométrico
3.- ECUACION DE LA TANGENTE
1 ) Dado el punto de contacto P ( x 0 , y
0 ) :
a ) Dada la ecuación ordinaria de la
circunferencia, la ecuación de la tangente en el punto P
( x 0 , y 0 ) de la circunferencia, es
:
( x 0 – h ) ( x – h ) + ( y
0 – k ) ( y – k ) = r
2
b ) Dada la ecuación general de la
circunferencia, la ecuación general de la tangente en el
punto P ( x 0 , y 0 ) de la
circunferencia, es :
2 ) Dada la pendiente m de la tangente:
a ) Dada la ecuación ordinaria de la
circunferencia, las ecuaciones principales de las tangentes
de pendiente m son:
y = m ( x – h ) + k + r
y = m ( x – h ) + k – r
Ejemplo 2: Del ejemplo 1, ecuación de la
tangente en el punto P ( 5 , – 1 ) : 4 x – 3 y
– 23 = 0
Ejemplo 3: Del ejemplo 1, ecuaciones de las tangentes
de m = 0,75: y = 0,75 x + 7,5; y = 0,75 x – 5
4.- LONGITUD DEL SEGMENTO DETERMINADO POR LA
TANGENTE TRAZADA DESDE UN PUNTO EXTERIOR
a ) Dada la ecuación ordinaria de la
circunferencia, la longitud (d) del segmento que determina la
tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x
1 , y 1 ) exterior a esta, es:
b ) Dada la ecuación general de la
circunferencia la longitud (d) del segmento que determina la
tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x
1 , y 1 ) exterior a esta, es:
5.- EJE RADICAL
El eje radical de dos circunferencias coplanares y no
concéntricas, es el lugar geométrico de todos los
puntos de ese plano, desde los cuales las tangentes a ellas,
determinan segmentos de igual longitud.
Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias no
concéntricas:
x 2 + y 2 + D 1 x + E
1 y + F 1 = 0 ; (D 1 ¹ D 2 Ú E 1 ¹ E 2)
x 2 + y 2 + D 2 x + E
2 y + F 2 = 0
la ecuación general de su eje radical
es:
( D 1 – D
2 ) x + ( E 1 –
E 2 ) y + F 1 –
F 2 = 0
Ejemplo 4:
– Ecuación general de la primera
circunferencia: x 2+y 2 – 2 x- 4
y- 20 = 0
– Ecuación general de la segunda
circunferencia: x 2+y 2- 24 x+2 y+129 = 0
Ecuación del eje radical: 22 x – 6 y
– 149 = 0
Las distancias del punto P
a los puntos de tangencia son
6.- FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias
secantes:
x 2 + y 2 + D 1 x +
E 1 y + F 1 = 0
x 2 + y 2 + D 2 x +
E 2 y + F 2 = 0
La ecuación de la familia
de circunferencias que pasan por los puntos de
intersección de esas dos circunferencias secantes
es:
x 2 + y 2 + D 1 x + E
1 y + F 1 + K( x 2 + y
2 + D 2 x + E 2 y + F
2) = 0 ; (K ¹
– 1)
Si K= – 1, se tiene la ecuación de la
recta que contiene a la cuerda común:
(D 1 – D
2) x + (E 1 –
E 2) y + F 1 –
F 2 = 0
Ejemplo 5:
Sean las ecuaciones de las circunferencias
secantes:
x 2 + y 2 – 6 x –
4 y – 12 = 0; x 2 + y 2 – 4
y – 24 = 0, la ecuación de la familia de
circunferencias que pasan por los puntos de
intersección de las circunferencias anteriormente
citadas:
x 2 + y 2 – 6 x – 4 y
– 12 + K( x 2 + y 2 – 4 y
– 24 ) = 0 ( K ¹ – 1
)
Ecuación de la recta que contiene a la cuerda
común: x = 2
Si una ecuación entera posee raíces
irracionales, éstas pueden determinarse por diversos
métodos.
Dada una ecuación entera con coeficientes racionales,
primeramente aplicaremos el procedimiento
dado para obtener las raíces racionales. Es decir,
separaremos todas las raíces nulas y (o) racionales, y
cualquier raíz irracional existente la obtendremos de la
ecuación reducida. Si la ecuación reducida es
cuadrática las raíces se obtienen fácilmente
por medio de la fórmula correspondiente. Por tanto, en el
siguiente estudio supondremos que el grado de la ecuación
reducida es igualo mayor que 3.
1.- Método de
aproximación.-
En este caso las raíces irracionales
vendrán dadas en forma decimal, y el grado de
precisión depende del número de cifras decimales
obtenidas. Este proceso es,
pues, esencialmente, un método de
aproximación.
El método de aproximación se llama
interpolación lineal. Está fundado en la hipótesis de que un arco pequeño de
una curva continua puede sustituirse por un segmento
rectilíneo sin introducir un error apreciable.
Naturalmente esto es sólo una aproximación, pero
tiene la ventaja de que es posible mejorarla disminuyendo la
longitud del arco considerado.
Para explicar el método de interpolación
lineal vamos a considerar la gráfica de una función
polinomial f (x) con coeficientes reales. Sean a y b dos
números positivos muy próximos y tales que b >
a. Supongamos que f(a) = h > O, para x = a y que f(b) = -k
< O para x = b. Entonces f(x) tiene un cero entre a y b. Esto
se representa gráficamente en la figura, en donde P(a,h) y
Q(b,-k) son dos puntos próximos de la curva. Los puntos A
y B son respectivamente los pies de las perpendiculares bajadas
de P y Q al eje X. Sea R el punto de intersección de la
prolongación de P A con la recta que pasa por Q paralela
al eje X. Supongamos ahora que el arco de la curva de la
gráfica de f(x) que une P y Q se sustituye por una
línea recta, y sea C, entre A y B el punto en que AB corta
al eje X. Entonces la abscisa x1 del punto C es un
valor aproximado del cero de f(x) situado entre a y b. Este valor
de x1 puede calcularse fácilmente. En efecto:
de los triángulos semejantes PAC y
PRQ, obtenemos la relación
y como RQ = AB = b – a, AP =
h, Y RP = h + k, obtenemos
Ya que a, b, h Y k son cantidades
conocidas, AC puede calcularse. Añadiendo este
valor a a, obtenemos el valor buscado de x1 o
sea la primera aproximación de la raíz.
Partiendo de esta primera aproximación, podemos repetir el
proceso para obtener una segunda aproximación más
precisa. El proceso puede repetirse tantas veces como sea
necesario hasta obtener el grado de precisión
deseado.
Ejemplo. Demostrar que la ecuación
f(x) = x8-5×2 + 2x + 6 =
O
tiene una raíz entre 1 y 2, Y calcularla con una
cifra decimal.
SOLUCION. Por división sintética
encontramos f ( 1) = 4 Y f (2) = -2, lo que
comprueba que la ecuación (2) tiene una raíz entre
1 y 2. En seguida trazamos la gráfica correspondiente como
se muestra en la
figura 40(a), en la cual se han utilizado las mismas literales
que en la figura anterior. Entonces, de la primera
relación tenemos
Nuestra primera aproximaci6n es, por tanto,
x1 = 1 + 0.6 = 1.6.
Para asegurar la precisión de la raíz
buscada con una cifra decimal, repetimos el proceso para obtener
una segunda decimal. Así encontramos
f(1.6) = 0.496 Y f(1.7) = -0.137, de modo
que la ecuación tiene una raíz entre 1.6 y 1.7. La
gráfica correspondiente aparece en la figura 4O(b), en la
cual se han utilizado de nuevo las mismas literales. Aquí
RQ = 0.1, AP = 0.496 Y RP = 0.137 + 0.496 =
0.633. Por tanto, por la relación tenemos
Nuestra segunda aproximación es, pues,
x2 = 1.6 + 0.07 = 1.67. Por tanto, la raíz
buscada; correcta con una cifra decimal, es 1.7.
NOTAS.
1. Debe probarse cuidadosamente cada
aproximación para asegurarse de que la raíz cae
entre dos valores
consecutivos. Esto es especialmente importante en la primera
aproximación, ya que allí es donde se considera
el arco de mayor longitud y donde, por tanto, se obtiene menor
precisión. Así, por ejemplo, en un caso
particular, la primera aproximación puede indicar que
hay una raíz entre 1.6 y 1.7, pero la sustitución
directa puede mostrar que la raíz verdadera está
comprendida, por ejemplo, entre 1.2 y 1.3.
2. Aunque el método de interpolación
lineal nos da cada vez más precisión al tomar
aproximaciones sucesivas, es cierto que las operaciones
aritméticas necesarias también aumentan
considerablemente.
Sin embargo, este método tiene la ventaja muy
apreciable de que puede utilizarse también para
aproximar las raíces irracionales de ecuaciones no
algebraicas, es decir, de ecuaciones trascendentes, tales como
las ecuaciones trigonométricas y logarítmicas.
El trabajo
aritmético puede reducirse en cierta medida utilizando
tablas de funciones y máquinas
calculadoras.
2.- METODO DE HORNER.-
Ahora vamos a calcular las raíces irracionales
por medio de un proceso conocido con el nombre de
método de aproximación de Horner. Este
método sólo es aplicable a las ecuaciones
enteras, pero tiene la ventaja de que los cálculos
necesarios son más sencillos que los usados en el
método de la interpolación lineal. La facilidad de
cálculo
es debida a que cada cifra de la raíz se determina
individualmente.
El razonamiento fundamental del método de Horner
es muy sencillo. Supongamos que una ecuación entera dada
f(x) = 0 tiene una raíz irracional que, correcta con 3
cifras decimales, es 2.124. Para determinar esta raíz
primeramente veremos que la ecuación dada tiene una
raíz entera. Después disminuiremos las
raíces de f(x) = 0 en 2 unidades, obteniendo la nueva
ecuación f1(x1)= 0 que tiene la
raíz 0.124. Entonces hacemos ver que
f1{Xl} = 0 tiene una raíz
entre 0.1 y 0.2 y disminuimos sus raíces en 0.1,
obteniendo una nueva ecuación f2(x2)
= 0 que tiene la raíz 0.024. Repitiendo el paso anterior,
mostramos que f2(X2) = O tiene una
raíz entre 0.02 y 0.03 y disminuimos sus raíces en
0.02, obteniendo una nueva ecuación
f3(x3) = O que tiene la raíz 0.004.
Continuando este proceso, es posible obtener la raíz con
el número de cifras decimales correctas que se desee. Los
detalles del método los vamos a explicar en el ejemplo que
sigue.
Ejemplo. Demostrar que la ecuación
(1) f(x) = x3 +
5×2-x-9 = 0
tiene una raíz entre 1 y 2, Y calcularla con 3
cifras decimales por medio del método de
Horner.
SOLUCION: Por división sintética
encontramos f(l) = -4 Y f(2) = 17 lo que significa
que la ecuación (1) tiene una raíz entre 1 y 2.
Ahora disminuimos las raíces de la ecuación (1) en
1.
La ecuación transformada
(2) f(x) = x13 +
8×12 + 12×1 – 4= 0
tiene una raíz entre O y 1 que procederemos a
determinar entre dos décimas sucesivas. Ya que la
raíz de (2) es pequeña, su cubo y cuadrado son
aún más pequeños, por lo que, para una
primera aproximación, podemos despreciar los
términos en X13 y
X12, obteniendo así la
ecuación modificada 12×1- 4 = O que tiene la
solución X1 = 0.3+. Ya que esto es
sólo una aproximación, debemos probarla en la
ecuación (2). Por división sintética
encontramos f1(0.3) = 0.347 Y f1(0.2) = -1.272. Por
tanto, la ecuación (2) tiene una raíz entre 0.2 y
0.3. A continuación disminuimos las raíces de la
ecuación (2) en 0.2. Al efectuar esta operación
conviene dejar espacio suficiente para las decimales necesarias,
como se indica:
La ecuación transformada: (3)
f2(X2) =
X23 +
8.6×22 + 15.32×2 –
1.272 = O, tiene una raíz entre O y 0.1 que procederemos a
localizar entre dos centésimas sucesivas. De los
últimos dos términos de (3), obtenemos la ecua
ción modificada 15.32×2 – 1.272 = 0 que tiene
la solución x2 =0.08+. Por división
sintética encontramos f2(0.08) =
0.009152, f2(0.07) =
-0.157117. Por tanto, la ecuación (3) tiene una
raíz entre 0.07 y 0.08. Ahora disminuimos las
raíces de (3) en 0.07:
La ecuación transformada es
(4) f3(x3) =
x33 +
8.81x32 +
16.5387x3 -0.157117= 0
tiene una raíz entre 0 y 0.01 la cual debemos
localizar entre dos milésimas sucesivas. De los
últimos dos términos de (4), tenemos la
ecuación modificada 16.5387 X3 –
0.157117 = 0, con la, solución X3 =
0.009+. Por división sintética encontramos
f3(0.009) = -10.007554361 y
f3(0.01) = 0.009152. Por tanto, la
ecuación (4) tiene una raíz entre 0.009 y
0.011
Ahora disminuimos las raíces de la
ecuación (4) en 0.009. Se deja como un ejercicio mostrar
que la ecuación transformada es
(5) f4(x4) =
x43 +
8.837x42 +
16.697523x4 – 0.007554361 = 0.
De la ecuación modificada
16.697523x4. – 0.007554361 = O,
obtenemos la solución x4. =
0.0004+. En este punto, ya que la raíz de (5) es muy
pequeña, la solución de la ecuación
modificada es suficientemente precisa. Por: tanto, la raíz
buscada es
x = 1 + 0.2 + 0.07 + 0.009 + 0.0004 =
1.2794
y, con precisión de 3 decimales, es
1.279.
NOTAS.
1. Por motivos de exposición, la resolución del
ejemplo anterior se ha descrito en forma más extensa de
lo necesario. En la práctica se puede hallar la
solución en forma más breve, mostrando solamente
las operaciones de disminución de las raíces y
omitiendo las ecuaciones transformadas de cuyos coeficientes ya
se dispone.
2. Es muy importante probar cada cifra sucesiva de la
raíz buscada para asegurarse de que la raíz de
cada ecuación transformada está entre dos valores
sucesivos.
3. Conforme se avanza en la determinación de
aproximaciones por el método de Horner, las
raíces de las ecuaciones transformadas se hacen
más y más pequeñas por lo que las
ecuaciones modificadas se hacen más y más
precisas y a menudo pueden usarse para obtener cifras decimales
adicionales.
4. Para hallar una raíz negativa de f(x)
= O por el método de Horner, se calcula la raíz
positiva correspondiente de f (-x) = O Y se le cambia el
signo.
E)
APLICACIONES DE LA DERIVADA
1.- Funciones crecientes y
decrecientes
Cuando se tiene la gráfica de una función
continua resulta bastante fácil señalar en
qué intervalo la función es creciente, decreciente
o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en
qué intervalo la función es creciente, decreciente
o constante sin la gráfica de la función. El
uso de la derivada de una función puede ayudar a
determinar si una función es creciente, decreciente o
constante en un intervalo dado.
1.1.Teorema: Sea f una función derivable
en el intervalo (a,b). Luego,
i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo
abierto (a,b), f es creciente en (a,b).
ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo
abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).
iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo
abierto (a,b), f es constante en (a,b).
1.1.Definición: Si un número
c está en el dominio de una función f,
c se conoce como un número crítico (valor
crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no
existe.
Para construir la gráfica de una función
usando la derivada se recomienda: Hallar f’(x) (la
derivada de f), hallar los números críticos,
igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir
también todos los valores
de x donde la derivada no existe (es decir, no está
definida); evaluar cada número crítico c
en la función f para obtener los puntos críticos;
localizar los puntos hallados en el paso anterior en el plano
cartesiano, determinar en qué intervalo la
función es creciente, decreciente o constante, usando el
signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema), dibujar la
gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo
donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo
donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo
donde la derivada es igual a cero.
2.- Valores Extremos (Máximos y
Mínimos Absolutos)
- Valor máximo (o máximo absoluto) de f:
si f es una función continua en el intervalo [a,b],
entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal
que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. Si
f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que
f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto
(c,f(c)) es el punto más alto de la
gráfica. - Valor mínimo o mínimo absoluto de f: si
existe un número c en el intervalo [a,b] tal que
f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c)
es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.
Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se
dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el
punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la
gráfica.
A los valores máximos y mínimos de una
función en un intervalo cerrado se les conoce como valores
extremos o extremos de la función en el
intervalo.
1) Una función puede alcanzar un máximo
y mínimo absoluto más de una vez.
2) Si f es una función constante, entonces f(c)
es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f
alcanza en todo número real c.
2.2. Teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b], f
toma valores máximos y mínimos en [a,b].
Para hallar los valores extremos de una función
continua en el intervalo [a,b] se recomienda: Hallar los
números críticos de f, igualando f’(x) a
cero; evaluar cada c en la función para obtener los puntos
críticos; hallar f(a) y f(b); Determinar los
valores máximos y mínimos de en [a,b] observando
los valores mayores y menores de la función f en los pasos
2 y 3.
3. Criterio de la Primera
Derivada
3.1 Definición: Sea f una función en
c:
i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un
intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o
igual a f(c) para todo x en (a,b).
ii) f(c) es un mínimo relativo de f si existe
un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es
mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).
3.2 Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un
mínimo relativo cuando x = c, entonces:
i) f’(c) = 0, ó
ii) f’(c) no está definida
Esto es, c es un número crítico
(valor crítico) de f.
Notas: 1) El teorema anterior afirma que si una
función f tiene un máximo o mínimo
relativo enx = c, c tiene que ser un número
crítico (valor crítico) de f. 2) Los puntos
críticos son los únicos en los que pueden
aparecer los extremos relativos (máximos y
mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto
crítico va a ser un máximo o mínimo
relativo.
3.3 Criterio de la primera derivada para los extremos
relativos (o extremos locales):
1) Si el signo de la derivada es positivo a la
izquierda del punto crítico y negativo a la derecha,
entonces el punto crítico es un máximo
relativo.
2) Si el signo de la derivada es negativo a la
izquierda del punto crítico y positivo a la derecha,
entonces el punto crítico es un mínimo
relativo.
3) Si el signo de la derivada es el mismo a la
izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto
crítico no es ni máximo ni mínimo
relativo.
4. Criterio de la Segunda
Derivada
4.1.Concavidad
La concavidad de la gráfica de una
función se refiere a dónde se curva la
gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia
abajo.
Definición: Si f es una función
derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la
gráfica de f es:
i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’
es creciente en (a,b)
ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’
es decreciente en (a,b)
Teorema: Si f es una función cuya segunda
derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:
i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b),
la gráfica de f es cóncava hacia arriba en
(a,b).
ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b),
la gráfica de f es cóncava hacia abajo en
(a,b).
Ejemplos:
- Observar que la función f(x) = x2
es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x
es creciente en el intervalo (-5,5). En la Figura 2, tenemos
que para f(x) = x2 la segunda derivada es positiva,
esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es
cóncava hacia arriba
2) Observar que la función f(x) =
-x2 es cóncava hacia abajo y su derivada
f’(x) = -2x es decreciente en el intervalo (-5,5). En la
Figura 3, tenemos que para f(x) = -x2 la segunda
derivada es negativa, esto es, f"(x) = -2. Por tanto, la
gráfica de f es cóncava hacia abajo.
4.2. Punto de inflexión
Definición: El punto de inflexión de una
gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de
hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).
Nota: Como el punto de inflexión se presenta
donde cambia la concavidad de la gráfica, también
es cierto que el signo de la segunda derivada (f") cambia es
estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de
inflexión, calculamos los valores de x para los que
f"(x) = 0 ó para los que f"(x) no existe.
4.3. Mínimos y máximos
relativos
Teorema: Suponga que f" existe en algún
intervalo (a,b) que contiene a c y que f’(c) = 0,
entonces:
i) si f"(c)>0, f(c) es un mínimo
relativo
ii) si f"(c)<0, f(c) es un máximo
relativo
Nota: Si f"(c) = 0, entonces el criterio de la segunda
derivada no aplica y no provee información. De manera que, se usa
entonces el criterio de la primera derivada para determinar los
máximo y mínimos relativos.
Resumen: Para usar el criterio de la segunda
derivada, si f es una función continua en el intervalo (a,
b): primero se hallan los puntos críticos, luego
si:
i) si f"(c)>0 entonces x = c es un mínimo
relativo y la gráfica de f es cóncava hacia
arriba.
ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo
relativo y la gráfica de f es cóncava hacia
abajo.
iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda
derivada no aplica, por tanto, se debe utilizar el criterio de
la primera derivada.
5.- ALGUNOS USOS EN LA
ELECTRÓNICA
5.1.Corriente inducida
Cuando la intensidad de la corriente i cambia
con el tiempo, se
induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que
se opone a los cambios de flujo, es decir de
intensidad.
La fem autoinducida VL siempre
actúa en el sentido que se opone a la variación
de corriente.
5.2 Energía del campo
magnético
Para mantener una corriente en un circuito es
necesario suministrar energía. La energía
suministrada por la batería en la unidad de tiempo es
V0· i. Esta energía se disipa,
en la resistencia por
efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma
de energía magnética. Se tiene:
El término R·i2 es la
energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia.
El primer término V0·i es la
energía suministrada por la batería. El
último término, es la energía por unidad
de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la
autoinducción o su campo
magnético asociado.
Esta es la energía acumulada en forma de campo
magnético, cuando circula por la bobina una corriente de
intensidad i.
5.3.La inducción electromagnética. Ley de
Faraday
La inducción electromagnética fue
descubierta casi simultáneamente y de forma
independiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1830. La
inducción electromagnética es el principio sobre
el que se basa el funcionamiento del
generador eléctrico, el
transformador y muchos otros
dispositivos.
Supongamos que se coloca un conductor eléctrico
en forma de circuito en una región en la que hay un
campo magnético. Si el flujo a través
del circuito varía con el tiempo, se puede observar una
corriente en el circuito (mientras el flujo está
variando). Midiendo la fem inducida se encuentra que depende de
la rapidez de variación del flujo del campo
magnético con el tiempo.
El significado del signo menos, es decir, el sentido
de la corriente inducida (ley de Lenz) se muestra en la figura
mediante una flecha de color azul.
5.3.Campo magnético
El campo magnético cuya dirección es perpendicular al plano de la
espira, varía con el tiempo de la forma
B=B0 sen( t)
El flujo del campo
magnético a través de las N espiras
iguales es, el producto del
flujo a través de una espira por el número
N de espiras
La fem inducida en las espiras
es
5.4.Condensador plano
Fuerza entre las placas de un condensador plano. Se
distinguen dos casos, aunque es claro que la fuerza es la
misma en ambos.
i) Carga constante. La energía se puede
expresar en función de la carga, como
entonces la derivada es fácil de realizar, y
vale
en que hemos supuesto que la carga del condensador
es .
5.5.Carga puntual y plano
conductor
Una carga puntual q, a una distancia h
frente a un plano conductor infinito, a potencial cero (' a
tierra'). El
campo
eléctrico para esta configuración ya ha sido
resuelto po medio del mtodo de las imágenes, ahora queremos calcular la
fuerza que el plano ejerce sobre la carga q. Para
calcular esto podemos proceder de dos maneras.
En primer lugar, usando la idea de dicho
método, la fuerza buscada debe corresponder a la fuerza
entre la carga q y su imágen, que obtendremos a
partir de la energía potencial de las dos cargas,
separadas por la distancia r,
Naturalmente, una vez reconocido el hecho que la
fuerza es aquella entre dos cargas puntuales, el resultado
anterior es evidente.
5.6. Corriente
Eléctrica
Una corriente
electrica es, simplemente, el movimiento
de cargas electricas. Definimos la corriente electrica
I, como la carga eléctrica dQ que pasa a
traves de una sección de área A de
conductor, por unidad de tiempo dt,
La corriente electrica I se mide entonces en
coulomb por segundo (ampere) ( 1 A=
1 Cb/seg). Notemos que, de acuerdo a nuestra
definición, tanto los portadores de carga positiva como
negativa contribuyen a la corriente en el mismo sentido (del
mismo signo).
5.7. Inductancia como elemento de circuito
Conectemos una bobina (solenoide) a una fuente de fem
continua (ver figura):
Toda bobina real posee resistencia (R) e
inductancia propia (L). Es fácil verificar que una
inductancia fisica puede ser representada como la combinacion de
una resistencia y una inductancia, ambas ideales. Si por el
circuito de la figura fluye una corriente I(t),
entonces la fem total es
de donde se tiene la representacion descrita. Notemos
que, si el circuito se encontraba abierto ( I=0 en
t=0), al cerrar el circuito habra un periodo 'transiente'
y, finalmente se llegara a la corriente
La última relacion nos dice que el comportamiento
de la corriente es gobernado por el valor de L, en
particular, si L es muy pequeño, la corriente
demora un tiempo muy breve en pasar de I=0 a su valor
final, el cual es independiente de L.
- Hasser La Salle: Análisis Matemático I y
II - Leithold Louis: Cálculo con geometría analítica
Autor:
Oscar Efraín Ramos Ponce
Alumno de Ingeniería Electrónica
Universidad Católica de Santa María
– Arequipa – Perú