Desde el
Límite
La fuerza de
Lorentz :F=q(E+vxB), introduce la
masa mecánica en el conjunto de las ecuaciones de
Maxwell; en particular introduce la energía
cinética en el teorema de Pointing. Consecuentemente
introduce también el concepto de
corriente
eléctrica como el movimiento de
partículas cargadas. El éxito
conjunto de la mecánica y del electromagnetismo clásico depende de la
posibilidad de reducir los problemas al
comportamiento
de algún tipo de partículas incondicionalmente
estables, es decir, su masa es un parámetro constante. H.A
Lorentz hizo este planteamiento para su teoría
del electrón. Esta condición hace que estas
teorías
sean sistemas
cerrados, circulares, auto-consistentes. Los problemas se enfocan
en relacionar el movimiento de las partículas con fuerzas
y campos y al revés. En la mecánica de Newton sabemos
que si hay una fuerza sobre una partícula esta se acelera
y que si se acelera entonces está sometida a una fuerza.
La fuerza de auto-frenado se puede introducir utilizando esta
lógica
clásica, pero esto conduce a plantear el "subproblema" de
la estructura y
estabilidad interna de las partículas cargadas
[5].
Sin embargo, el
problema de la estabilidad no es totalmente extraño al
electromagnetismo. La ley de Lenz dice
que las corrientes asociadas a fuerzas electromotrices inducidas
en un conductor por alteración del flujo magnético
externo, generan campos magnéticos que, a su vez, tienden
a cancelar las alteraciones del flujo magnético
externo.
Este
comportamiento se puede incluir dentro del principio de Le
Châtelier [6]. Según este principio, si un sistema en
equilibrio
estable es sometido a tensión entonces
reaccionará para compensar esa
tensión.
Por otro lado, la
emisión de radiación
de una partícula real es discontinua en el tiempo. Por
tanto no resulta difícil imaginar una capacidad de
acumular energía interna para la partícula. Esta
capacidad de "entrar en tensión" es la otra cara de la
moneda de la fuerza de auto-frenado. Esta fuerza es necesaria
para compensar tensiones internas en las partículas
relacionadas con la emisión de
radiación.
Si la estabilidad
de algunas partículas, como pueda ser el electrón,
tiene una base electromagnética, entonces solo se necesita
la acción
de este campo; tensión y compensación deben ser
fases de un mismo proceso: la
acción del campo electromagnético sobre la
partícula. Como se vio, según el principio de
relatividad es conveniente que las acciones de
tensión-compensación no sean simultáneas.
Intentemos una explicación que considere estas acciones
como parte de un proceso de tensión-compensación
que afecta a la partícula. El carácter del tiempo asociado a este proceso
puede deducirse de las conclusiones a que hemos llegado. Las
ecuaciones 2.7 son válidas en el límite de altas
velocidades y por tanto los supuestos 1-5 son correctos al menos
en este límite. En particular según el supuesto 4
el proceso de tensión-compensación es
instantáneo, no tiene duración. Por tanto, como
condición cinemática, la duración de dicho
proceso disminuye a medida que la velocidad de
la partícula tiende a la "velocidad" de la luz. Esto indica
que esta duración, aunque está asociada a una
acción local a la partícula, no se transforma como
el tiempo local de 1.3. En cambio es mas
adecuado asociar el proceso con el periodo (1/w) de alguna
onda temporal. Esta posibilidad apunta a la existencia de una
conexión o acoplo entre la onda cuántica y el campo
electromagnético, de modo que hay un flujo de
energía asociado a la radiación (y a la
fluctuación de la masa) entre estos objetos.
Si la onda
cuántica temporal tiene que ver con la radiación
entonces la onda espacial tiene que ver con el efecto acelerativo
de las fuerzas. Esta idea de dualidad subyace a toda la exposición. Si la onda cuántica es
un objeto con entidad física, entonces
debemos aceptar que es algo con capacidad de acción y que
puede absorber o ceder energía. Pero si esta onda se
modifica para absorber o ceder el aumento de energía
interna de la partícula, entonces habríamos
encontrado un foco para modularla, lo cual no es posible por
principio. Para explicar esto acudo a las relaciones de
Heisemberg y considero que existen unos límites
para la modulación
de la onda cuántica acotados una expresión del
tipo ΔE ΔT
≈ h. Esta
expresión define un límite temporal, una
condición de contorno temporal. Si una onda colapsa e
intercambia una energía ΔE, entonces el tiempo de su
modulación ha sido ΔT. De alguna forma llega un
momento en que se borra toda memoria.
Si un observador
quisiera modular la onda cuántica de un electrón,
debería realizar al menos una interacción mínima (fotón)
con la partícula. Pero esto ya supone el colapso de dicha
onda, dado que la energía transferida y el tiempo empleado
son compatibles con las condiciones de contorno de la onda
cuántica. El resultado del colapso es un cambio de la onda
cuántica.
Según la
mecánica
cuántica, sobre este cambio de estado solo es
posible conocer una cierta distribución de probabilidad; lo
cual supone que el observador de dicha onda no puede
identificarla como procedente de un origen o foco
determinado(n-10). De este modo, el observador sigue sin
poder modular
la onda cuántica (aun cuando encuentre un foco), y por
tanto no puede transferir información a velocidad
superlumínica.
Note el lector que
el principio de constancia de la "velocidad" de la luz en el
vacío, tal como se define en el apéndice, implica
la posibilidad de identificar señales
luminosas; de poder decir que la señal luminosa que parte
de su foco en
A(xa,ya,za,ta) es la
misma que ahora llega a
B(xb,yb,zb,tb).
Aunque la velocidad de la luz en el vacío es independiente
del foco que la genera, la luz tiene un origen reconocible.
Identificamos la luz a partir de su procedencia y la consideramos
como símbolo representativo del mismo objeto que la emite.
En nuestra vida diaria siempre suponemos esta asociación,
aunque a veces la asociación esté errada. Esta es
una idea profunda de la que dependen nuestra creencia en un mundo
externo no subjetivo, así como muchas técnicas
científicas: telecomunicaciones ,espectroscopia,
teledetección, radio–astronomía…Sin embargo, a nivel
cuántico por principio no se puede distinguir un
fotón de otro. Esta partícula no tiene la identidad
individual que se ha supuesto para las señales luminosas.
La detección de la señal luminosa supone la
detección de fotones; por tanto debe ser posible asociar
fotones individuales a señales (ondas) luminosas
para que el principio de constancia de la velocidad de la luz
tenga sentido físico. La dualidad dice que fotones y
señales luminosas no son independientes.
El desarrollo del
principio de relatividad y de la dualidad onda-partícula
conduce a un cambio radical de nuestras ideas de Espacio,
Tiempo, Movimiento, Materia y
Vacío. Mientras que las ideas clásicas de
espacio y tiempo subsisten a bajas velocidades, la idea
clásica de partícula cambia radicalmente: la
materia ya no se compone de puntos con masa y carga.
La
representación mas elemental de la materia es una pareja
de ondas, espacial y temporal, con propiedades muy diferentes
pero que permanecen asociadas formando las componentes de
una unidad mas profunda. La onda espacial necesita un espacio
simultáneo pero no tiene limitaciones temporales; lo mas
sencillo es pensar que se trate de las dimensiones de lo que
llamamos partícula; por tanto al hablar de
partícula nos estamos refiriendo solo a una de las
componentes. La onda temporal necesita un tiempo local, una
vibración, pero no tiene limitaciones espaciales. El
comportamiento de la materia en un caso concreto
depende de la existencia o no de receptores u otras causas que
provoquen el colapso de la onda cuántica(n-11).
Esta asociación fundamental de ondas depende de una pieza
clave: la inercia o masa de la partícula. La
radiación está asociada a fluctuaciones de la masa
y a la onda temporal; la modificación de energía
cinética está asociada al valor absoluto
de la masa y a la onda espacial.
En los dos casos
hay un efecto inercial, bien de oposición a la
aceleración (2ª Ley de Newton: toda
aceleración es forzada) o de oposición a la
radiación (fuerza de Abraham-Lorentz). Es debido al
carácter clave de la masa que las ecuaciones 2.0 se pueden
derivar tanto de planteamientos relativos a la onda
cuántica como relativos a la partícula. Note el
lector la ampliación del concepto de inercia que
aquí se presenta.
Por otra parte
aparece un nuevo objeto de estudio en física: el
vacío. Además de sus propiedades
geométricas aparece también con propiedades
ondulatorias referentes a la capacidad intrínseca de
propagar ondas.
La relatividad
especial define una relación intrínseca entre
espacio y tiempo; la relatividad general una relación
intrínseca espacio-tiempo-materia; de lo aquí
expuesto la onda cuántica representa una relación
intrínseca materia-vacío. En la física
clásica espacio, tiempo, materia y vacío son
conceptos independientes e indudables, en el sentido de la
filosofía cartesiana. Estos conceptos solo se relacionan
clásicamente a través del movimiento
inercial de una partícula. La física actual
parece ir profundizando poco a poco esta primera
aproximación clásica sobre la unidad que forman
espacio-tiempo-materia-vacío.(n-12)
5-APENDICE I: Una definición
de tiempo físicamente razonable.
Planteamos la
sincronización asociada a la definición de tiempo
en un sistema de coordenadas inercial como una forma de
transferencia de información: en el origen de coordenadas
(por simplicidad) tenemos un reloj A(0,0,0) en reposo. En
tA se emite una señal de
sincronización esférica desde el origen. Cuando la
señal llega a otro reloj B(x,y,z) en reposo relativo, este
debe marcar el valor tB=
tA+d(x,y,z)/s; donde d(x,y,z) es la
distancia al origen, distancia que es constante para cada reloj
en reposo respecto del reloj A(0,0,0), y s es la velocidad
de propagación de la señal. Suponemos que, una vez
sincronizados, los relojes mantienen su sincronismo al margen de
cualquier condición física.
Esta
definición presenta algunos problemas:
I-Para que
este planteamiento tenga lógica, el valor s debe
ser conocido previamente al menos en un sistema de referencia
privilegiado (éter). Este conocimiento
es una premisa anterior al uso de cualquier sistema de referencia
de espacios y tiempos. No se puede medir s antes de
sincronizar los relojes, ya que el tiempo no estaría
definido localmente en cada punto; pero tampoco se pueden
sincronizar los relojes si no se conoce s. Pero si
el
conocimiento que se requiere procede razonablemente de
algún principio físico, entonces ¿por
qué ha de distinguir a un observador inercial determinado
frente al resto, en contra del principio de
relatividad?.
II-Clásicamente es razonable pensar (y
así se hizo en su momento) que la señal de
sincronización sea la perturbación de algún
medio material. Debemos conocer la velocidad de
propagación de la señal s en el sistema de
referencia inercial asociado a dicho medio. La definición
de tiempo solo es válida para relojes en reposo con dicho
medio, pues solo de esta forma la distancia recorrida por la
señal es la distancia entre los relojes. Cuando los
relojes, en reposo relativo entre si, se muevan respecto del
medio de propagación, la distancia recorrida por la
señal dependerá también del movimiento del
objeto que la emite; pongamos que la dependencia sea:
d(x+vt,y,z). Antes de la sincronización no podemos
evaluar la velocidad relativa v. Dependemos del observador
privilegiado (éter) para que nos informe de
v, pero ¿que pasa si la señal utilizada no
necesita ningún medio de propagación?
(n-13).
Esta
situación indica que nuestra definición de tiempo
no es autosuficiente, sino que debe ser completada de alguna
manera. Einstein identificó la propagación de la
luz en el vacío como la señal de sincronismo mas
sencilla posible postulando que el significado de
la constante que denominamos "velocidad" de la luz en el
vacío no hace referencia a movimiento alguno
relativo a un medio de propagación o a un sistema
de referencia inercial determinado, como pueda ser el foco
emisor de luz. En cambio: para todo sistema de coordenadas
inercial, si una perturbación o señal luminosa en
el vacío tiene su foco en A(xa, ya,
za) y es recibida en B(xb, yb,
zb); entonces el tiempo empleado por la luz es,
por definición, la distancia entre A y B
dividida por la constante que denominamos "velocidad" de la luz
en el vacío: c.
Este es el
principio llamado de constancia de la velocidad de la luz en el
vacío; aunque un nombre mas adecuado es principio de
sincronización de relojes. Este principio establece el
carácter de constante universal de la velocidad de la luz
en el vacío, entendiendo por universal al conjunto de
todos los sistemas de coordenadas inerciales posibles. Esta es la
base que se requiere para solucionar los problemas I y II;
también es la pieza clave entre dos cosas incompatibles
desde la física clásica: las ecuaciones de Maxwell
y en el principio de relatividad. También es la base
cinemática
para la construcción de una nueva
Mecánica[1].
Intuitivamente
cualquier reloj en reposo es equivalente para sincronizar al
resto:
1-Reflexiva : Un reloj A esta sincronizado con sigo
mismo. Evidente ya que d(A,A)=0 y t(A,A)=0.
2-Simétrica: Si B esta sincronizado con A;
entonces A está sincronizado con B. Como d(B,A)=d(A,B) y
c es independiente del sentido,
entoncest(A,B) = t(B,A).
3-Transitiva: Si B esta sincronizado con A y C
está sincronizado con B; entonces C está
sincronizado con A. Si d(B,A) = c·t(B,A) y d(C,B) =
c·t(C,B) de la geometría del triángulo y dado que
c es independiente de la dirección;
entonces obtenemos t(C,A)=d(C,A) /c.
Estas 3
propiedades representan la homogeneidad o isotropía
del tiempo en un sistema de coordenadas inercial y dependen del
supuesto de que dos relojes en reposo sincronizados mantienen su
sincronismo, abstrayendo cualquier otra circunstancia
física.
El principio de
constancia de la "velocidad" de la luz en el vacío, las
propiedades 2-3, la linealidad del espacio y el tiempo y algunos
requisitos de simetría son los ingredientes utilizados por
Einstein[1] para derivar las transformaciones de Lorentz. Por
tanto podemos considerar que estas transformaciones de Lorentz se
basan por completo en la definición de tiempo.
"El tiempo de
un sistema de coordenadas inercial queda definido como el
conjunto de indicaciones de relojes iguales en reposo relativo al
observador y que registran lo mismo
simultáneamente"[2].
¿Existen
formas de sincronización alternativas a la basada en la
luz?. Veamos esta alternativa: Tenemos un reloj patrón y
el resto de relojes se mueven hasta la posición del
patrón, se sincronizan con él y después se
mueven hasta su posición final. Este planteamiento es
incompatible con la definición de tiempo que se ha
propuesto, ya que ésta predice que un reloj en movimiento
atrasa respecto de uno en reposo: la marcha de un reloj depende
del movimiento relativo. Esta consecuencia ha sido comprobada
experimentalmente[5]; vemos que la condición de que los
relojes estén en reposo es básica. Minkowsky da una
explicación profunda de este hecho considerando que la
coordenada tiempo es una 4ª dimensión añadida
al espacio Euclídeo tridimensional
(n-14).
La
definición de tiempo por medio de un pulso de
sincronización representa básicamente un proceso de
transferencia de información (ppio 3.2). La física
clásica cumple con el presente planteamiento sobre el
tiempo con la presunción, físicamente arbitraria,
de que existen señales capaces de transferir
información entre un foco y un receptor a velocidad
infinita (s=∞). Se debate
actualmente las condiciones del experimento de Alain Aspect y
otros relativos a partículas cuánticamente
entrelazadas que hacen pensar en la posibilidad de transferir
información a velocidad superlumínica[8]. El
recurso a la definición que aparece en el principio de
sincronisno de relojes puede parecer una forma de evitar
preguntas embarazosas; casi todos creemos saber mucho sobre el
tiempo[9] y así en muchos libros de
física no se define el concepto. El recurso a la
definición indica que estamos ante un límite
de nuestro conocimiento físico del
tiempo.
La relatividad
clásica define las coordenadas inerciales como tiempo
absoluto y cartesianas no afectadas por ninguna fuerza; como
consecuencia se obtiene que las leyes
mecánicas son invariantes en estas coordenadas. La
ampliación de esta idea que lleva directamente a la
teoría de la relatividad dice que las coordenadas
inerciales se definen por la mayor simetría,
isotropía, invarianza y en general simplicidad en la
descripción de todas las
leyes físicas. La fuerte apuesta está en la palabra
"todas". La integración de las ecuaciones de Maxwell en
esta idea lleva a modificar el significado de la coordenada
tiempo y reformular la mecánica clásica. Se
creía saber todo acerca de las coordenadas inerciales, de
modo que estas forzaban las leyes físicas. En el
planteamiento de Einstein son las leyes físicas las que
obligan a las coordenadas inerciales a comportarse de una forma
determinada según las transformaciones de Lorentz. El
objeto de la teoría especial de la relatividad son las
propiedades y la utilización de los sistemas inerciales de
coordenadas. El principio 2 supone que siempre podemos encontrar
uno de estos sistemas isótropos adecuado a nuestro
problema físico particular. Si la experiencia no
refrendase esto en gran medida, la teoría especial de la
relatividad no tendría la importancia que tiene en
física; pero…(n-15)
6-APENDICE II:
Campo, inercia y condiciones de contorno.
Un campo
matemático es una función de
varias variables:
f(x,y,z,t); sin embargo hay un matiz: (x,y,z,t) no representa un
punto de la mecánica. Ahora x,y,z,t es simplemente un
punto de nuestro sistema de coordenadas asociado a un suceso
físico "f". No consideramos el movimiento de este punto,
sino la propagación de la señal representada por
"f". En el problema clásico de la cuerda tensa, la forma
de la cuerda es una función y=f(x,t). Esto no es un campo
ya que f representa el movimiento de los puntos que forman la
cuerda. Esta ecuación se puede poner como F(x,y,t) = 0; lo
cual da el movimiento de cada punto "x" si suponemos que este
movimiento es unidimensional en "y".
Un campo es una
zona del espacio en la que se manifiesta una determinada propiedad
física: la fuerza eléctrica, la gravedad, etc..con
independencia,
en principio, de si existe un soporte mecánico o material
para ella.
El planteamiento
de las leyes físicas utilizando el concepto de campo
marca un punto
de inflexión muy sutil en la historia de la
física. Inicialmente tenemos la partícula
mecánica, que es útil en base a la identidad que
proporciona a cualquier forma de movimiento. Inicialmente se
piensa que cualquier movimiento de la naturaleza se
basa en el movimiento de las partículas que estructuran la
materia. El campo no proporciona de por si ninguna identidad a
las partículas en que pueda sustentarse la propiedad
física que describe, solamente expresa que en un punto del
espacio y del tiempo ha ocurrido algún suceso medible. En
el caso del campo lo relevante es el movimiento del propio
espacio; es decir, si el espacio que se utiliza es inercial o no
y como afecta esto a las leyes del campo. Esto queda
solucionado automáticamente si se supone que hay un
fundamento mecánico de estas leyes que se expresan por
medio del objeto matemático campo. Eso es lo que hace
Euler con las leyes hidrodinámicas utilizando el campo de
velocidades de un fluido: v=f(x,y,z,t) y las leyes de
Newton para una partícula. Las leyes del campo tratan
de relacionar el comportamiento f(x,y,z,t) con el comportamiento
f (x+dx, y+dy, z+dz, t+dt). De esta forma se introduce la
causalidad: el campo describe una serie de sucesos f(x,y,z,t) que
están relacionados causalmente.
En relatividad el
concepto de campo electromagnético debe considerarse como
fundamental, sin base material. El campo ya no es simplemente una
forma conveniente de plantear las leyes físicas. Hay leyes
que no se pueden plantear sin este concepto, ya que la ausencia
de base material pasa a ser fundamento. De este modo el problema
para el electromagnetismo es el inverso al caso clásico:
¿Qué papel juega la inercia en las leyes del
campo?. En el planteamiento clásico este problema quedaba
saldado directamente por la utilización de las leyes
mecánicas para establecer las leyes (ecuaciones
diferenciales) del campo; en relatividad se opta por
replantear el concepto de coordenadas inerciales.
Pese a que desde
la mecánica y desde el electromagnetismo se llegue al
mismo tipo de ecuación de onda para la propagación
de las acciones físicas hay una diferencia fundamental: la
forma de establecer las condiciones de contorno sobre esta
ecuación. En mecánica se hace referencia a la
posición y velocidad inicial de las partículas.
Para una onda electromagnética esta forma ya no es
posible; pero existen otras formas. Saber electromagnetismo es en
gran parte saber las diferentes condiciones de contorno de las
ondas electromagnéticas. El papel fundamental de las
ecuaciones diferenciales en la física conlleva
también gran importancia para las condiciones de contorno
aplicables a estas ecuaciones. Puede que en muchos casos la
determinación de las condiciones de contorno sea una
cuestión sencilla e intuitiva; en otros casos no lo
será y en general nunca debe subestimarse su importancia
en un problema físico.
7-APENDICE III:
El Universo y
las Leyes físicas.
El primer
postulado de la Relatividad General dice que las leyes
físicas son iguales para cualquier observador,
independientemente de su movimiento.
¿Cómo se obtiene una Ley Física?. Los
pasos a seguir son mas o menos estos[11]:
1-A partir de la observación y experimentación se va
identificando un proceso físico. Se obtiene una
descripción inicial de dicho proceso.
2-Control de
variables: a partir de una experimentación mas depurada, o
de alguna otra forma, se obtienen las variables relevantes en la
descripción del proceso.
3-Modelo
Empírico: Se intenta una primera relación matemática
entre las variables relevantes.
4-En base a los datos anteriores
se crea, como actividad intelectual, un modelo conceptual mas
general y se traduce, si es posible, a un modelo
matemático. En este momento a los datos se les da un
contexto: pasan a tener significado, están ahí por
algo, pasan a ser información. Este es el dominio de la ley
física.
5-Se valida la Ley haciendo
experimentos
guiados por las predicciones del modelo.
La Teoría
de la Relatividad dice algo sobre el proceso de la
elaboración de las leyes físicas: Si las leyes
físicas son las mismas para diferentes observadores,
también la información que pueden obtener estos de
los procesos
físicos debe ser la misma o equivalente. Además
existe un modelo matemático: el espacio-tiempo de
Minkowsky, en el cual la información física
que puede obtener un observador es la misma o es equivalente a la
de cualquier otro observador.
Siguiendo a
Einstein, llamamos Universo al
conjunto de información común a todos los
observadores; y suponemos que esta información se ordena
en Leyes físicas. Pero existe la información y
también existe la incertidumbre. Tomemos la
conocida experiencia de las dos rendijas de difracción:
¿Por que rendija ha pasado el fotón?. Esta
información no esta disponible para el observador[12]. Si
esto es así, si este hecho es real, si es parte de nuestro
Universo, entonces la relatividad debiera asegurar que esta
información no está disponible para ningún
observador inercial. ¿Cómo puede la relatividad
llegar a esta conclusión?. La forma mas lógica es
demostrando que, de lo contrario, habría transporte de
información a velocidad superlumínica. Creo que la
no disponibilidad de esta información está
relacionada con el fenómeno de colapso de la onda
cuántica cuando se utiliza un medidor para saber por que
rendija pasa el fotón. El colapso representa la
incapacidad de modular una
onda
cuántica; lo que conlleva la incapacidad de transmitir
información a velocidad superlumínica.
8-APENDICE IV:
Objetos, Acciones y Gramática.
En el
índice 2 de este trabajo se
presentan las ideas de espacio y tiempo asociadas a acciones
físicas. Este matiz puede parecer innecesario, sin embargo
trataré de hacer ver al lector que esta sutileza
está en la raíz del gran cambio que dio la
física a principios del
siglo XX.
Propongo al lector
la siguiente pregunta: Partiendo de nuestra experiencia
física, ¿Que conocemos realmente, objetos
físicos o acciones físicas?.
En realidad esta
pregunta se realiza continuamente a lo largo de toda la historia
de la física. Pensemos en el caso del
calórico. El calor se
comprendió inicialmente como un objeto físico: el
calórico. Posteriormente la Termodinámica estableció que el
concepto debía considerarse como una forma de
interacción física. Pensemos en los fotones o los
electrones. La polémica todavía sigue viva pero
inicialmente se consideraron objetos. Para la interpretación mas aceptada de la
mecánica cuántica se trata de
fenómenos que no es posible separar del aparato de
medida que se esté utilizando.
Por tanto una
postura razonable es pensar que, en realidad, solamente conocemos
acciones físicas. Estas acciones actúan sobre
nuestros sentidos o sobre nuestros aparatos de medida.
"Materializamos" esta idea al asignar espacio y tiempo solamente
a las acciones, no a los objetos. Esta es la sutileza: La
física clásica concibe el espacio o
extensión como una propiedad de los objetos
físicos; particularmente importante es el caso del
sólido rígido. El objeto físico es una
materialización del objeto mental de la geometría
Euclídea, esto puede considerarse un axioma de la
física clásica. En cambio la relatividad asigna
espacio y tiempo al acto de medir: la acción
espacio-simultánea y la acción tiempo-localizada.
La longitud o volumen de una
regla no es una propiedad exclusiva de la regla; el ritmo de un
reloj no es una propiedad exclusiva del reloj. Esto depende
también del movimiento relativo al observador.
Finalmente
pensemos en la famosa relación
E=mc2. Desde Newton concebimos la masa
como algo propio de los objetos. Representa la materialidad de
los objetos. Por otro lado la Termodinámica nos dice que
la energía es un parámetro característico de
las acciones físicas, no característico de los
objetos físicos. De hecho la elección de un origen
de energías es una decisión arbitraria. Por tanto
la famosa ecuación se puede interpretar diciendo que la
masa es una forma de acción física.
Conclusión:
No existen objetos, solo existen acciones
físicas.
Supongamos que la
conclusión es legítima. En tal caso tenemos un
serio problema…nuestro propio lenguaje
natural. La regla gramatical mas elemental es que una
frase consta de sujeto+acción+objeto. Si eliminamos sujeto
y objeto nuestro lenguaje no serviría para comunicar nada.
Para que el lenguaje
natural sirva a la física debe considerarse que el sujeto
y el objeto son atributos de la acción, algo que da un
contexto a la acción para que nos sea comprensible. Esto
supone entender el concepto de objeto como equivalente a
capacidad de acción. Físicamente un objeto
es un conjunto de comportamientos posibles; de hecho toda
teoría física estipula la existencia de objetos
determinados: desde átomos y ondas hasta sistemas de
coordenadas inerciales y supercuerdas.
Pero la
relación entre acción y objeto puede ser
circunstancial. Nuestra experiencia inmediata nos dice que una
onda es una acción que se propaga sobre un medio material.
Sin embargo la experiencia muestra la
existencia de ondas electromagnéticas sin soporte
material, sustantivo…En este caso (relevante caso) existe
la acción pura por sí misma, sin necesidad de
objeto…pero nuestro instinto gramatical nos dice:
¡el vacío (éter) es un objeto!… un objeto
inmaterial…tenemos que explicar un conjunto de
comportamientos atribuibles al vació…necesitamos
una teoría del vacío…o tal vez…
¡la onda se ha convertido en partícula!, pero sigue
siendo onda para el electromagnetismo… o tal vez el
vacío es dual: onda-partícula… La física
actual tiene difícil reconciliación con el sentido
común. Sin embargo no olvidemos que, incluso
clásicamente, estamos habituado a concebir las ondas como
objetos a los que atribuimos los comportamientos de
reflexión, refracción, interferencia,
difracción y polarización.
n-1:La
propagación de una onda electromagnética en un
medio material está asociada a la polarización de
dicho medio. Esto es así por la naturaleza
eléctrica de la materia. En este caso sí hay unas
fuentes
asociadas a la onda.
n-2:Este
principio es necesario ya que las coordenadas inerciales se
definen a partir de la medida de espacios y tiempos utilizando
reglas y relojes en reposo relativo para el observador
inercial.
Evidentemente la
luz en el vacío es una excepción a este principio y
no puede definirse un sistema de coordenadas inercial asociado a
un rayo de luz.
El análisis de las propiedades
cinemáticas de las ondas implica que es posible el reposo
relativo entre una onda y un sistema de coordenadas inercial.
Este análisis cinemático de las ondas es lo que se
conoce como efecto Doppler.
Un sistema de
referencia ligado a la superficie de la tierra, en
intervalos de tiempo relativamente pequeños (horas), se
puede considerar prácticamente un sistema de coordenadas
inercial.
n-3: Esta
es una primera condición de simetría basada en el
criterio de sencillez. Por otra parte note el lector que el
planteamiento cinemático hecho atiende
rigurosamente a la definición de tiempo que se da
en el apéndice; no se ha utilizado en ningún
momento la composición de velocidades de la
mecánica clásica.
n-4:El
planteamiento supone la existencia de relojes en reposo
sincronizados y espacialmente separados en los lugares donde los
sucesos ocurren.
n-5:Una
carga no interactúa simultáneamente con varios
centros de fuerza distantes(acción a distancia: 3ª
ley de Newton), sino que solo hay una acción local
del campo único (fuerza de Lorentz
:F=q(E+vxB)). Sin embargo la
física cuántica parece prescindir del requisito de
causalidad.
n-5’:Otra forma de
presentar esto es decir que la relación
continente-contenido es relativa: Supongamos un tubo hueco y en
reposo de, digamos, 15 Km. Supongamos una barra de 20 Km. que
puede pasar a lo largo del eje del tubo. Supongamos que la barra
alcaza una velocidad cercana a la de la luz. El observador
solidario al tubo puede encontrar, a altas velocidades relativas
y según la ec. 1.5, que hay un intervalo de tiempo en que
la barra ha estado
totalmente contenida en el tubo. En cambio para el observador
solidario a la barra esta nunca ha estado totalmente contenida en
el tubo.
Por tanto el principio de
relatividad exige que las leyes físicas no dependan de
relaciones del tipo continente-contenido. La idea clásica
de que la extensión es una propiedad de los cuerpos
físicos supone implícitamente que la
relación continente-contenido es una ley
absoluta.
n-6:Nota
sobre la covelocidad: El valor Δr lo relaciono con las
dimensiones de un objeto, el valor Δt lo
relaciono con el desplazamiento relativo en el tiempo de cierta
acción que ocurre dentro de los límites del objeto.
Es el caso de la regla presentado en el punto 2: Espacio y
Tiempo. La covelocidad instantánea se obtiene en el
límite en que el tamaño de la "regla" tiende a
cero. Cuando el objeto se aproxima a un punto, la covelocidad
converge en cierto valor instantáneo no nulo. Una
partícula (un punto físico) tiene velocidad y
covelocidad instantáneas. La hipótesis de una estructura interna de las
partículas es el punto de partida de la teoría de
cuerdas.
Este
artículo plantea un cambio en la idea de movimiento.
Aparecen dos componentes del movimiento: la primera es la
intuitiva que ya conocemos, la segunda es la covelocidad. Aunque
la covelocidad está asociada a la velocidad no es un
concepto intuitivo. Einstein mantuvo explícitamente solo
el primer concepto de movimiento, aunque en realidad
también acepta el otro: el desplazamiento relativo en el
tiempo. El problema clásico de los gemelos aborda esta
propiedad del movimiento relativo. El concepto intuitivo de
movimiento es muy querido para los físicos por razones de
peso:
1- Por nuestra
evolución biológica prestamos mas
atención a los objetos en movimiento que a
los fijos. Nuestra experiencia física es rica en lo
relativo al movimiento, incluyendo predicción o
intuición del movimiento en muchos casos.
2- La 2ª ley
de Newton permite deducir fuerzas a partir de una correcta
utilización de nuestra intuición del movimiento y
al revés.
Es posible
potenciar una capacidad natural del ser humano. Este
debería ser el enfoque educativo para la mecánica
clásica, y pasa por un planteamiento mas intuitivo en la
presentación de la cinemática del sólido
rígido.
n-7:La
física actual asocia una energía al vacío,
cuyos efectos se han comprobado experimentalmente en el efecto
Casimir. Este efecto muestra que el vacío es un sistema
físico que puede intercambiar energía con otros
sistemas físicos. En mi opinión, asociar una
energía al vacío equivale a decir que no se sabe de
que foco proviene.
n-8: Las
expresiones 2.0 introducen la energía y el impulso
mecánico con independencia del concepto de masa. Estas
expresiones presentan cierta asimetría. Se acepta que
existe la combinación de Energía no nula e Impulso
nulo; según la equivalencia masa-energía es lo que
se denomina masa en reposo. Sin embargo la asociación
Impulso no nulo y Energía nula parece no existir. No
existe ningún sistema de referencia inercial en que la
energía de una partícula sea nula.
n-9:Este
caso excluye la radiación de una carga acelerada por la
gravedad.
n-10:
Según Heisemberg la propia observación de la
materia, es decir, la extracción de
información, provoca este colapso. Parece que no hay
forma de asociar la medida de un estado cuántico a una
cadena determinada de sucesos, a la manera clásica. En
física clásica el aparato de medida interviene en
la cadena causal asociada al objeto a medir de una forma
determinada; se sabe como afecta el aparato de medida al objeto
medido y viceversa. Para los objetos que maneja la física
cuántica el papel del aparato de medida es similar a un
juego de
dados: se conocen los resultados posibles y sus probabilidades;
pero no se sabe, en general, cual será el resultado de una
medida (jugada) determinada.
Analogías
con la Termodinámica:
1-La
ecuación 2.2 recuerda el primer principio de la
Termodinámica: parece faltar un término
calorífico que hace de la energía una diferencial
exacta.
2-El colapso
cuántico es una acción básicamente
irreversible: si un electrón libre emite un
fotón, se produce un cambio de estado cuántico
impredecible; si volviese a absorber el "mismo" fotón el
cambio de estado cuántico sería igualmente
impredecible. De forma análoga a la mecánica
estadística, la reversibilidad es una
cuestión probable, no determinista; la diferencia estriba
en que la probabilidad se asocia ahora a entidades elementales,
no a poblaciones de átomos.
n-11: La
consecuencia de este colapso es que, para el observador, la
materia aparece según la imagen de la
física clásica: "Creo que el concepto de
trayectoria clásica puede entenderse de esta forma: La
trayectoria se manifiesta solo cuando está asociada a un
fenómeno de observación." (Heisemberg-1927). Las
ecuaciones 2.1 y 2.2 son las de la mecánica de un punto
material, por tanto toda interacción, tal como se ha
definido, supone el colapso de la onda cuántica. El
término colapso hay que entenderlo como cambio de estado
cuántico. Un estado cuántico puede ser medido
físicamente.
Cuestión:
Si la gravedad se comportase como una interacción
debería provocar también el colapso de la onda
cuántica, lo que introduciría una pérdida
de coherencia en experiencias como la de las dos rendijas.
Parece que esto no ha sido observado. ¿Por
qué?.
Note el lector
que, para la teoría general de la relatividad, la gravedad
no es una interacción, un "intercambio" de acciones; sino
que tiene relación directa con la geometría del
espacio-tiempo.
n-12: La unidad es la
variedad, y la variedad en la unidad es la ley suprema del
universo. (Isaac Newton). La idea de Universo como
unión profunda del todo es de origen religioso.
n-13:Esta es la
situación que resulta del experimento, planteado bajo
ideas clásicas, de Michelson y Morley: Si existe una
velocidad relativa entre la tierra y el
"éter luminífero", entonces resulta imposible
medirla experimentalmente[6].
El punto de vista de Lorentz sobre
este experimento es que el éter existe, pero le atribuye
acciones dinámicas sobre la materia que hace que sea
indetectable: la contracción de reglas y la
dilatación del ritmo de relojes móviles.
Poincaré señaló en una conferencia
(Septiembre 1904) que atribuir estas acciones al éter, de
la forma que lo hace Lorentz, es insostenible.
n-14:El
espacio de Minkowsky es un espacio muy parecido al
Euclídeo pero que consta de relojes puntuales en
vez de puntos; estos relojes puntuales están descritos por
cuatro dimensiones independientes :
x,y,z,t . En principio es posible
definir un sistema ortogonal con estas coordenadas. En una
situación no ortogonal puede ser que el eje de tiempos
tenga proyecciones sobre alguno de los otros ejes. Así se
puede decir, por ejemplo, que la dirección t proyecta sobre la
dirección x de una manera similar al caso
Euclídeo en que las direcciones x,y no sean
perpendiculares. En el espacio de Minkowsky esto significa que
los relojes puntuales que utilizamos como referencia se mueven
sobre la dirección x. La ortogonalidad del sistema
de coordenadas se logra al anular estas proyecciones, es decir,
cuando todos los relojes puntuales que utilizamos como referencia
están en reposo.
De paso, esto
justifica las ecuaciones 1.8: los relojes puntuales del sistema
en movimiento relativo no se mueven sobre las direcciones
y, z, solo sobre la dirección x. De
este modo, el eje t+ proyecta sobre el eje
x– y el eje x+ sobre el
t-; es similar a un giro entre dos sistemas de
ejes ortogonales: (t+, x+) y
(t-, x-).
Conceptualmente,
en el espacio de Minkowski no tienen sentido las ideas de espacio
y tiempo independientemente una de la otra, de la misma forma que
las coordenadas cartesianas no tienen sentido por separado; esto
es precisamente lo que significa el prefijo "co" del
término "co-ordenadas". La existencia de un universo
físico con 3 dimensiones espaciales y 1 temporal supone
que los conceptos fundamentales con sentido físico son los
de espacio simultáneo, tiempo local, y otros
similares que suponen una unión intrínseca
de las ideas habituales de espacio y tiempo. Tal vez sea esta la
lección mas importante de la teoría de la
relatividad: no pensemos ya en términos de espacio
y tiempo, sino en nuevos términos tales como
espacio simultáneo y tiempo local. Solo de
esta forma la relatividad puede ser herramienta para resolver
problemas y paradojas. El tradicional espacio euclídeo
tridimensional debe asociarse al concepto de espacio
simultáneo. Un concepto importante es el elemento de
línea de Minkowsky: 
, magnitud invariante en coordenadas inerciales que
juega un papel similar a la distancia en el espacio
Euclídeo tridimensional.
n-15:Es un
hecho experimental que, de acuerdo con la teoría
general de la relatividad, los relojes en reposo situados a
distinto potencial en un campo gravitatorio pierden su
sincronismo inicial progresivamente (experimento de Pound-Rebka).
La isotropía del tiempo solo es válida en el
límite de campos gravitatorios débiles e intervalos
de tiempo suficientemente cortos. A causa del movimiento relativo
y de la diferencia de potencial de cada satélite respecto
de la superficie terrestre, el sistema G.P.S debe coordinar los
relojes de cada satélite con los relojes de las estaciones
de control en tierra cada cierto tiempo (2 minutos).Esto supone
que los sistemas de coordenadas ligados rígidamente a las
fuentes de un campo gravitatorio "débil" solo pueden ser
aproximadamente inerciales; sin embargo un sistema de coordenadas
en caída
libre en cualquier campo gravitatorio puede
considerarse instantánea y localmente
inercial.
Esta es la
interpretación que introdujo Einstein de la equivalencia
entre masa inercial y masa gravitatoria; una de las bases de la
teoría general de la relatividad.[2] Podemos imaginar, al
menos en el margen de nuestra experiencia, que las líneas
coordenadas cartesianas x,y,z estén hechos de
algún material rígido e indeformable.
¿Qué significa una línea coordenada temporal
rígida?: una línea coordenada temporal
rígida significa que la velocidad de la luz es
independiente del campo gravitatorio; pero esto va en contra del
famoso experimento mental en que Einstein interpreta la
equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria: un rayo
de luz curva su trayectoria en un campo
gravitatorio[2].
n-16: La relatividad
especial no es aplicable a sistemas de coordenadas acelerados;
esto no queiere decir que no se puedan estudir movimientos
acelerados con la relatividad especial. Para un sistema de
coordenadas inercial, el concepto de velocidad instantánea
de una partícula se supone válido y de acuerdo con
la ley de composición de velocidades 1.9.
Problema de la barra y el
tubo.
Supongamos un tubo hueco y en
reposo de tamaño en reposo Lt Supongamos una barra de
tamaño en reposo Lb>Lt que puede pasar a lo largo del
eje del tubo. Supongamos que la barra alcaza una velocidad
cercana a la de la luz. El observador solidario al tubo puede
encontrar, a altas velocidades relativas y según la ec.
1.5, que hay un intervalo de tiempo en que la barra ha estado
totalmente contenida en el tubo. En cambio para el observador
solidario a la barra esta nunca ha estado totalmente contenida en
el tubo.
Imagine ahora tubo está
cerrado por un extremo y por el extremo abierto tiene una
válvula que se pueden abrir y cerrar. Podemos pensar que
el observador solidario al tubo puede manipularla para cerrarla
cuando la barra esté totalmente contenida en el
tubo…¿Cómo ve el proceso el observador
solidario a la barra?
Solución
El suceso origen x=0,t=0 es
común al sistema de la barra y del tubo.
1-Sistema del tubo (barra
móvil)
Suceso Choque: 
Coordenadas extremos
barra
Condición 1: La barra entra
totalmente en el tubo si
> 0
2-Sistema de la barra (tubo
móvil)
Suceso Choque: 
Coordenadas extremos barra
3-Sistema del tubo(barra
móvil)
Suceso Cierre del tubo
simultáneo al choque 
4-Sistema de la barra (tubo
móvil)
Transformada de Lorentz del suceso
anterior 
(Esto es compatible con la
Condición 1 : para el sistema de la barra también
esta entra totalmente en el tubo: 
)
Intervalo de pérdida de
simultaneidad en el sistema de la barra para la acción de
cierre del tubo simultáneo al choque (simultaneidad en el
sistema del tubo)
Para el sistema de la barra(tubo
móvil), no es posible que una señal recorra el
espacio entre el punto de impacto x=0 y el extremo del tubo
x=
en el
intervalo de tiempo anterior :
Esta velocidad supera en
módulo la velocidad de la luz, lo cual no es posible si la
señal del impacto se propaga en un medio material (tubo) y
tiene carácter informativo. En realidad se ha calculado
una velocidad media, pero si la velocidad media excede en modulo
a c entonces (si x(t) es una función continua) es
seguro que
existe al menos un intervalo de tiempo en que el modulo de la
velocidad supera a c (Teorema de Roll del Análisis
Matemático).
Mientras el extremo del tubo no
reciba ningún impulso procedente del choque,
mantendrá su estado de movimiento inercial. Para el
observador solidario a la barra el extremo abierto del tubo acaba
conteniendo a la barra por que el efecto del impacto no es capaz
de llegar a dicho extremo en un tiempo menor que el necesario
para "engullir" a la barra. En cambio para el observador
solidario al tubo el proceso parece mas natural: simplemente la
barra cabe dentro del tubo.
La respuesta a la pregunta
¿La barra acaba siendo absorbida por el tubo? es
afirmativa en los dos casos y la explicación, aunque nos
parece muy diferente un caso de otro, está dentro de los
límites de la relatividad especial. En este ejemplo
resulta clave para reconciliar a los dos observadores la
imposibilidad de transmisión de la señal
informativa del choque a velocidad superlumínica, de
acuerdo con el principio 3.2.
Ejercicio para el lector:
Comprobar que, en el sistema solidario al tubo, si el cierre del
tubo se realiza en el mismo instante en que la barra entra en el
tubo, entonces si el efecto del choque llegase en ese mismo
instante necesitaría una velocidad media de
que en módulo supera la
velocidad de la luz.
Osciladores y
Ondas.
Retomemos el escenario de la
relatividad especial con dos observadores inerciales en
movimiento relativo uniforme. Imaginen que uno de ellos tiene un
oscilador (sobre el eje "y") en reposo (sobre el eje "x") que
emite ondas electromagnéticas a lo largo del eje "x".
Según la mecánica cuántica[14] un oscilador
local tiene unos niveles de energía bien definidos por la
expresión
Por otra parte el periodo del
oscilador se transforma como el de un reloj (ecuación
1.6), y el periodo de la onda así según 1.10. Estas
expresiones son en general diferentes, por lo que la frecuencia
del oscilador y la frecuencia de la onda emitida no coinciden
para un observador en movimiento relativo a dicho
oscilador.
Según la ley de Planck :
E=hν, esto supone que la energía perdida por el
oscilador no es igual a la energía de los fotones
emitidos. ¿Qué pasa con la energía
restante?
Discusión
Primero decir que la discrepancia
entre la frecuencia de un oscilador en movimiento y la frecuencia
de la onda que dicho oscilador emite es un fenómeno
conocido en física clásica como efecto Doppler. El
ejemplo típico es la sirena de la ambulancia que emite
ondas sonoras que varían su frecuencia con el movimiento
relativo al observador.
La ley de niveles de
energía solamente es válida para las
energías permitidas de un oscilador en reposo (oscilador
local). Si el oscilador pierde energía y emite un
fotón, entonces sufrirá también algún
tipo de retroceso, lo cual supone una energía
cinética absorbida por el oscilador.
Para que la ley de Planck sea
aplicable en este caso el oscilador debe emitir energía
sin que su movimiento se vea afectado. Para esto podemos imaginar
el caso en que el observador en reposos ve que el oscilador emite
simultáneamente dos fotones iguales y en sentidos
contrarios. Para el observador en reposo el retroceso sufrido por
el oscilador se compensa y por tanto permanece en
reposo.
¿Cómo ve el proceso
el observador en movimiento relativo?
Si este observador suma la
energía de los dos fotones emitidos en sentidos contrarios
obtiene lo siguiente
Pero esto es lo que se deduce de
las ecuaciones 2.0 aplicadas al oscilador. Es decir, para el
observador en movimiento relativo la energía de los
fotones también es igual a la energía perdida por
el oscilador: por tanto no hay retroceso tampoco para el
observador en movimiento; el oscilador no ve alterado su
movimiento relativo.
Sin embargo resulta inmediato que,
para el observador en movimiento, los impulsos de los fotones
(p=hk) no cancelan.
Este impulso no implica una
modificación del movimiento del oscilador, por tanto es
aplicable 2.2, lo que nos lleva a
Lo que coincide con el calculo
anterior de energías.
Es decir, debemos asociar la
alteración de impulso que percibe el observador en
movimiento relativo al oscilador a una modificación de
masa del oscilador. Así la modificación de masa es
una explicación del caso válida para todos los
observadores inerciales. En el caso general en que no se emitan 2
fotones iguales y en sentidos contrarios la equivalencia masa
energía sigue siendo aplicable y hay que considerar que
una parte de la masa del oscilador se ha perdido en la
emisión de radiación.
Choque elástico de dos
partículas.
Supongamos un choque de dos
partículas de modo que se conserve la energía
(E0 ), el impulso (P0) y la masa en reposo.
Las variables sin primar son anteriores al choque y las primadas
posteriores.
Suponemos que el choque se produce
en un instante. Elegimos como sistema de coordenadas uno en el
que una de las partículas está, antes del choque,
en reposo; P2 = 0; E2= m2
c2 ( basta aplicar las transformaciones de
Energía e Impulso para obtener el caso general).
Multiplicando por c2 y desarrollando..
|
donde los incrementos de
energía e impulso (ΔE, ΔP)son los que se ponen de manifiesto en la
interacciσn: la
energía e impulso que pierde una partícula es la
que gana la otra. La relación anterior se puede
interpretar en el espacio de Minkowsky diciendo que la
interacción (el par ΔE, ΔP) es perpendicular al estado inicial (el par
E0,P0).
Discusión
La expresión anterior es
válida en principio solamente para un intervalo finito de
tiempo, para un antes y un después del choque. Planteemos
sin embargo la tesis
contraria: supongamos que la expresión anterior es
válida de modo continuo, es decir, para diferenciales en
vez de incrementos. Tenemos dos casos:
I-La acción es puramente
acelerativa. Sustituyendo 2.1 tenemos
expresión que es falsa en
nuestro caso. La incompatibilidad se debe a que no es sostenible
en relatividad que dos partículas intercambien
energía y momento de forma instantánea. En
física clásica la incompatibilidad se explica por
no haber considerado la Energía Potencial asociada al
sistema formado por las dos partículas. En un
proceso elemental la energía se redistribuye entre las
partículas, pero también parte va a un
depósito común de energía potencial. De este
modo pensar que la energía que pierde una partícula
la gana la otra no es correcto. Sin embargo en física
clásica se acepta que el impulso mecánico se
intercambie de forma instantánea: esta es la 3ª ley
de Newton; no se considera la existencia de un depósito de
"impulso potencial". La energía potencial no tiene inercia
en física clásica pero en relatividad toda
energía posee inercia. La energía potencial es un
concepto fundamentalmente clásico.
II-La acción supone una
modificación de masa de las partículas. Aplicando
2.2 tenemos
expresión que, de nuevo, es
incorrecta.
Con la expresión (3) y las
aproximaciones adecuadas se puede deducir fácilmente la
ecuación de difusión de la luz por electrones
libres que se da en el efecto Compton. Este es un caso
límite de aplicación ya que una de las
partículas es un fotón, que no tiene masa en
reposo. ¿Existe entonces una energía potencial
entre el fotón y el electrón?. Parece que no existe
tal cosa: un rayo de luz no se curva por efecto de un campo
eléctrico. En cambio tenemos que aceptar la existencia
de una zona espacio-temporal de discontinuidad asociada al
"choque" entre el fotón y el electrón. Esta
discontinuidad esencial de las acciones
físicas limita la aplicación continua de la
ley del choque y está descrita por el principio de
incertidumbre de Heisemberg. La falta de continuidad de las
acciones físicas supone que, a nivel microscópico,
resulta difícil establecer el precedente y el consecuente
de una determinada acción. En cambio,
estadísticamente, las acciones acaban organizándose
en promedio según la física
macroscópica.
Relatividad y sistemas de coordenadas no
inerciales
Paradoja de los
gemelos(P.Langevin)
Dos hermanos gemelos. Uno de ellos
parte de viaje a una velocidad cercana a la de la luz hasta la
estrella alfa-centauro e inmediatamente vuelve a la
tierra.
¿Qué edad tienen los
gemelos cuando vuelven a encontrarse?
Discusión
La palabra paradoja se refiere a
lo poco intuitivo o "de sentido común" de la
solución de este problema de acuerdo a la relatividad. Sin
embargo, dentro de la relatividad, hay una forma no
paradójica y otra "paradójica" de plantear la
solución al problema.
Forma no
paradójica:
Dividimos el viaje en dos tramos:
ida y vuelta. Podemos suponer que cada tramo del viaje se realiza
a velocidad relativa constante y despreciar los inicios y finales
de trayecto, en que aparecen aceleraciones. Veamos si en estas
condiciones llegamos a contradicción.
Pensemos en el reloj de pulsera
del gemelo viajero. Para este reloj los sucesos A="partida de la
tierra", B="llegada a alfa-centauro" y C="retorno a la tierra"
están bien definidos y son sucesos locales, por tanto los
tiempos tBA y tCB son tiempos locales para
el gemelo viajero. Para el gemelo en la tierra estos tiempos se
transforman como la relación de tiempos (1.3). Por tanto
el gemelo en tierra ha envejecido mas en el proceso que el gemelo
viajero.
Desde el punto de vista del gemelo
en tierra, el reloj de pulsera del gemelo viajero es un reloj en
movimiento y por tanto percibe que la marcha de este atrasa
progresivamente respecto de su reloj de pulsera según la
relación de tiempos 1.6’; exactamente lo mismo que
en el caso anterior.
Donde ttierra es el
tiempo medido por un reloj en reposo desde el sistema-base
(gemelo en reposo) y tnave es el tiempo medido por un
reloj en reposo para el gemelo viajero (gemelo no inercial). La
ecuación anterior supone que existe un reloj en
alfa-centauro en reposo respecto de la tierra y sincronizado con
los relojes en tierra. Por tanto el gemelo en tierra ha
envejecido mas en el proceso que el gemelo viajero.
Pensemos ahora en el reloj de
pulsera del gemelo en tierra. Para el gemelo viajero es un reloj
en movimiento y retrasa progresivamente respecto del suyo.
¿Cómo puede ser que el gemelo en tierra envejezca
mas y que el reloj de dicho gemelo parece ir mas lento?.
Detrás de esta pregunta se esconde la idea clásica
del tiempo absoluto. Suponemos que el tiempo de los dos
gemelos es comparable (mas o menos rápido); en el fondo
suponemos que existe un tiempo absoluto de referencia. En
relatividad hay que matizar mas la pregunta y acotar las acciones
en el tiempo y en el espacio. Lo que en realidad puede
determinar el gemelo viajero es lo que marca el reloj del gemelo
en tierra simultáneamente a su llegada (del gemelo
viajero) a alfa-centauro. La pérdida de simultaneidad para
el gemelo en tierra aumenta el tiempo de esta acción en
justo lo necesario:
De forma análoga, en el
tramo de vuelta también juega un papel importante la
simultaneidad en el cálculo de
tCB. La continuidad de la acción física
requiere considerar como referencia para la vuelta un reloj en
alfa-centauro (B) en reposo respecto de la tierra. Este aspecto
de la continuidad aparece de forma natural si se representa este
problema en el espacio de Minkowsky. Finalmente no hay paradoja:
el gemelo en tierra es mas viejo cuando se produce el
reencuentro.
Forma
paradójica:
Si consideramos la acción
AC completa, tenemos que tAC es un tiempo local para
los dos gemelos: Si los dos gemelos, un instante antes de
re-encontrarse, transforman este intervalo según
1.6’ llegarán a contradicción: Para los dos
gemelos el reloj del otro ha atrasado respecto del
propio.
Evidentemente esto es
físicamente inconsistente; el estado de
los relojes está perfectamente definido en la llegada. En
el caso no paradójico hemos descompuesto el problema en
dos partes, en cada una de las cuales se puede aproximar el
movimiento del gemelo viajero utilizando una velocidad relativa
uniforme; y por tanto es legítimo aplicar las
transformaciones de Lorentz a cada una de estas partes. En el
caso paradójico hemos aplicado las transformaciones de
Lorentz a al movimiento completo, pero para ser coherentes con
las transformaciones de Lorentz tendríamos que haber
definido al menos una velocidad promedio uniforme del movimiento
completo, la cual sería evidentemente nula ya que el punto
inicial y final coinciden. Hay en este planteamiento una mala
comprensión de las transformaciones de Lorentz, las cuales
no se pueden aplicar en general a sistemas de coordenadas que
estén o hayan sido sometidos a aceleración. Se
verá mas adelante un ejemplo de esto relacionado con el
campo gravitatorio.
Problema de los cohetes
espaciales: (J. Bell)
Tenemos dos cohetes iguales en
reposo separados cierta distancia y unidos por un débil
filamento recto. El filamento es tal que puede romperse si se
alarga o acorta demasiado. En el sistema inercial base, en el
instante t=0, arrancan los dos cohetes simultáneamente y
siguen una trayectoria recta en la misma dirección del
filamento, dirección que podemos considerar eje x.
¿Se rompe el filamento?
Discusión
Si las dos naves funcionan
exactamente igual (son replicas gemelas), la velocidad v(t)
medida por el observador del sistema inercial base es la misma
para las dos. Esto implica que la distancia entre las dos naves
se mantiene constante durante todo el proceso.
Para aplicar la relatividad
especial a este sistema acelerado pensemos en que la
aceleración se imparte alternado fases de impulso
acelerativo con fases inerciales. Las fases de impulso
acelerativo duran hasta que el efecto de la aceleración se
ha propagado a todos los puntos del sistema de coordenadas. Al
final de dicha fase podemos utilizar la relatividad especial, es
decir, los sistemas de coordenadas inerciales. Podemos aceptar
que los periodos no inerciales duren un tiempo superior al de
funcionamiento del motor de la nave,
tal que sea suficiente para que los dos cohetes y el filamento
vean eliminados los efectos propagación de impulso
mecánico asociados a la aceleración.
Si las dos naves tienen el mismo
programa de
funcionamiento de los motores los
impulsos siempre van a ser simultáneos para el observador
de la base.
Durante el periodo inercial para
los observadores en el cohete no existe movimiento relativo entre
ellos. En efecto, la aplicación de la composición
de velocidades para sistemas inerciales da
donde "v" es la velocidad
común de las naves desde el sistema base
y δ es la velocidad de una nave
respecto de la otra. Esta relaciσn solo tiene sentido si
δ=0. En cambio para el observador base no existe el efecto
de la contracciσn de Lorentz del filamento. La distancia
entre naves es constante en cualquier fase inercial para dicho
observador base. Este observador puede pensar que, durante las
fases no inerciales, se ha modificado el espacio entre las naves
para un observador solidario al sistema de las naves.
Ademαs este efecto se anula
en las fases inerciales. Sin embargo la condiciσn de la
velocidad relativa nula indica que el aumento de distancia no se
debe a un movimiento relativo, sino a una modificaciσn del
espacio simultαneo. Esto se interpreta como una
modificaciσn en la mιtrica en el sistema de
coordenadas acelerado. Esta modificaciσn es tal que la
contracciσn de Lorentz resulta cancelada para el observador
base inercial. Por tanto el espacio simultαneo entre naves
se transforma segϊn la relaciσn
Donde L0 es la
distancia inicial entre naves, es decir, la distancia que para el
observador base existe entre las naves en todo momento y
L’0 es la distancia entre naves para el
observador situado en el sistema no inercial de las
naves.
En este ejemplo vemos que el
espacio es "flexible", "compresible" y "expansible". Según
J. Bell el filamento acaba rompiéndose.
La barra y la
esfera
Se trata de una ampliación
del problema de la barra y el tubo. Tenemos una superficie
esférica hueca con una abertura de entrada. La longitud de
la barra en reposo puede ser mucho mayor que el diámetro
de la esfera. Desde el sistema de la esfera, si la velocidad
relativa de la barra es suficientemente alta esta puede entrar y
moverse (si posee la propulsión adecuada) dentro en
una trayectoria circular centrada en el centro de la esfera.
¿Cómo ve el proceso el observador de la
barra?
Discusión
En el planteamiento se presume que
un segmento rígido sometido a aceleración
también se ve afectado por la contracción de
Lorentz[2].
Si esto es así, entonces
para el observador de la esfera el movimiento de la barra
será como muestra la imagen correspondiente.
Si la barra está sometida a
aceleración el observador de la barra va a ser no
inercial. Para percibir el punto de vista de este observador
recurrimos a un sistema de coordenadas inercial
instantáneamente en reposo respecto del observador en la
barra. Para dicho observador la barra estará sometida a
una flexión. Si la barra no es lo bastante flexible se
romperá.
Transformaciones de coordenadas
y campo gravitatorio.
Las transformaciones de
coordenadas mas generales x –
(x+,t+); t-
(x+,t+) se plantean en forma diferencial y
tienen matemáticamente esta forma
Tomando como base la
transformación de Lorentz los coeficientes diferenciales
tienen la siguiente interpretación
física
La restricción de la
derivada parcial es t+ constante, lo cual significa
que dx+ es un espacio simultáneo. El
coeficiente es una relación entre espacios
simultáneos. Partimos un segmento en reposo
"dx-" Para "+" este segmento está en
movimiento. Este coeficiente representa la contracción de
Lorentz.
La restricción de la
derivada parcial es x+ constante, lo cual significa
que dt+ es un tiempo local. Partimos de un reloj (
t- ) en reposo. Para "+" este reloj está en
movimiento. El coeficiente corresponde con la dilatación
temporal.
Podemos identificar el resto de
los coeficientes así
Estos son los coeficientes de
transformación entre sistemas de coordenadas inerciales y
vemos que se calculan a partir de medidas con reglas
rígidas y relojes locales en distintos sistemas de
coordenadas.
Para el caso de sistemas de
coordenadas no inerciales la cosa cambia profundamente.
Recordemos que el inicio de la relatividad se basa en una
redefinición de la coordenada tiempo para los sistemas de
coordenadas inerciales. Resulta un esfuerzo inútil hacer
tal cosa para los sistemas de coordenadas no inerciales ya que
para estos sistemas la velocidad de la luz no es constante. No
tenemos una definición sencilla de tiempo para cualquier
sistema de coordenadas. Esta situación sería
desmoralizante a no ser que creamos firmemente en este principio
general de relatividad:
INDEPENDIENTEMENTE DEL SISTEMA DE COORDENDAS QUE
UTILICEMOS LAS LEYES FISICAS MANTIENEN LA MISMA FORMA MATEMATICA.
LAS FORMA MATEMATICA DE LAS LEYES FISICAS NO TIENEN DEPENDENCIA
CON NINGÚN SISTEMA DE COORDENADAS CONCRETO.
Cualquier transformación de
coordenadas sobre una ley física mantiene su forma
matemática. Einstein consiguió determinar estas
leyes para el campo gravitatorio, y pudo determinar que en un
campo gravitatorio estacionario la relación entre el
tiempo local de un reloj en caída libre y un reloj en
reposo en el campo es
netamente diferente del
coeficiente correspondiente de las transformaciones de Lorentz.
El desarrollo del principio general de relatividad requiere,
desde cero, del uso de matemáticas
superiores.
El impulso gravitacional sobre
vehículos espaciales.
Este tema no está
relacionado directamente, aunque si tiene que ver con el
movimiento relativo.
Algunas naves espaciales, como el
famoso Voyager, aprovechan para su viaje el llamado impulso
gravitacional a su paso cerca de planetas o
lunas del sistema solar.
¿Cómo se produce este impulso?.
Discusión
Las trayectorias clásicas
de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio central son
elipses, parábolas e hipérbolas. Estas trayectorias
están asociadas al sistema de referencia solidario con la
masa central. Una forma de conseguir una masa central
inmóvil es que dicho cuerpo central sea muy masivo de modo
que no se mueva apreciablemente por efecto del campo.
La trayectoria hiperbólica
tiene una recta asíntota de acercamiento y una recta
asíntota de alejamiento a la masa central. Además
la energía cinética se conserva en las
asíntotas: la energía cinética con que el
cuerpo se acerca desde una asíntota (a gran distancia de
la masa central) es igual que la energía cinética
con la que después se aleja en la otra asíntota.
Por tanto también son iguales los módulos de
velocidad correspondientes.
Vamos a llevar este comportamiento
al siguiente ejemplo.
Tenemos una carretera, un
camión moviéndose en un carril y alguien con una
bicicleta moviéndose en el carril contrario. Supongamos
que el camión se mueve a 100 Km/h y la bicicleta a 10 Km/h
respecto de la carretera. Para el camión la velocidad
relativa del ciclista será 110 Km/h.
Ahora vamos ha hacer la siguiente
analogía: El camión es el planeta Júpiter y
el ciclista es la nave Voyager. Desde Júpiter vemos que la
nave Voyager sigue una trayectoria hiperbólica cuyo foco
es el propio Júpiter. Si pasamos ahora a nuestra imagen el
caso es similar a este: visto desde el camión, el ciclista
pasa por detrás y sale aproximadamente en la misma
dirección que lleva el camión a una velocidad
de…110 Km/h alejándose del camión. Visto
desde la carretera resulta que la velocidad del ciclista es 210
Km/h.: el satélite ha recibido un impulso o arrastre por
parte del planeta.
La imagen no es del todo realista
ya que se ha supuesto un comportamiento unidimensional, pero es
una buena aproximación para darse cuenta de lo que pasa.
El impulso gravitacional supone una cesión de
energía entre cuerpos muy masivos (planetas,
lunas…) y cuerpos relativamente mucho menores.
En la física actual
aparecen de forma patente las relaciones dialécticas
materia-vacío e información-incertidumbre.
Según Hegel la
superación de estas dicotomías requiere un nuevo
proceso de Síntesis;
es decir, nosotros somos también parte del
problema.
"El conocimiento actual, mas
que consistir en un camino hacia la verdad, se ha convertido en
un acceso costoso a lo desconocido." (Fernando
Colina)
[1]J.Stachel:
Einstein 1905 un año milagroso. Ed. Drakontos
Clásico.
Capitulo 3:
Sobre la electrodinámica de los cuerpos en
movimiento.
[2]A.Einstein: El
Significado de la Relatividad. Ed Planeta-Agostini.
[3]Landau-Lifshitz:Teoría Clásica de Campos.
Ed. Reverté 2ª edición.
[4]Bredov-Rumiantsev-Toptiguin:Electrodinámica
Clásica. Ed. MIR.
[5]Feynman-
Leighton-Sands:Lecciones de Física de Feynman. Vol 2. Ed.
McGraw-Hill En especial el capítulo sobre la masa
electromagnética.
[6]R.K.Wangsness:
Campos Electromagnéticos. Ed. Limusa.
[7]P.Kittl:
Deducción Elemental de la Estructura Fina
del Espectro del Hidrógeno. Ciencia
Abierta Vol 18:
[8]R.Penrose: La
Nueva Mente del Emperador. Ed. Mondadori. Capítulos 5 y
6.
Entangled
particles experiments: http://www.e-quantic.com/ga_exp.html
[9]Igor Saavedra : El tiempo en la
física: http://www.uchile.cl/publicaciones/anales/9/doc2.html
Xabier Zubiri
sobre el tiempo:
http://www.zubiri.org/works/spanishworks/Conceptodescrip.htm
[10] M. Arndt y A. Zeilinger:
Probing the limits of the quantum world.
Revista Physics World: Mayo 2005:
http://physicsweb.org/articles/world/18/3/5/1
[11]Sixto Ríos:
Modelización. Alianza Editorial-1995.
[12]Gilles Cohen-Tannoudji. Michel
Spiro: La materia-espacio-tiempo. Espasa Universidad
1988.
[13] P.Kittl , G.Díaz.
Teoría Elemental de la Gravitación y de los
Agujeros Negros.
Ciencia Abierta Vol. 27 http://cabierta.uchile.cl/revista/27/articulos/pdf/edu3.pdf
[14]Dicke-Wittke: Introducción a la mecánica
cuántica. Edit Librería General.1960.
Autor:
ENRIQUE CANTERA DEL
RÍO
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