Productos notables

Enviado por amor01_5

Definición
Ejercicios para la
clase
Laboratorio N°
01
División
algebraica
Estudio de cada uno de los
métodos
Laboratorio N°
02
Problemas
resueltos
Tareas

Definición

Son aquellos productos que
se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por
simple inspección. Su denominados también
"Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo
desarrollo es
clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las
más importantes son :

( a + b )2 = a2 + 2ab +
b2
Binomio de Suma al Cuadrado
( a – b )2 = a2 – 2ab +
b2
Binomio Diferencia al
Cuadrado
( a + b ) ( a – b ) = a2 –
b2
Diferencia de Cuadrados
( a + b )3 = a3 + 3
a2b + 3 ab2 +
b3
= a3 + b3 + 3 ab (a +
b)
Binomio Suma al Cubo
( a – b )3 = a3 – 3
a2b + 3 ab2 –
b3
Binomio Diferencia al Cubo
a3 + b3 = ( a + b ) (
a2 – ab + b2)
Suma de dos Cubos

Diferencia de Cubos

a3 – b3 = ( a – b ) (
a2 + ab + b2)

Trinomio Suma al Cuadrado ó
Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 +
b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 +
2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 +
b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

Identidades de
Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2
= 2 a2 2b2 = 2(a2 +
b2)

( a + b)2 + ( a – b)2
= 4 ab

Producto de dos binomios que tienen un
término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x +
ab

Ejemplos :

Solución :
Aplicando producto
notable en "a" que es una suma de binomios
x2 – 2x + 1 = ( x –
1)2
Luego : ( x – 1)2 (x2 +
x + 1)2 + (x3 +
1)2
Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos
:
(x3 – 1)2 +
(x2 + 1)2
(x3)2 – 2×3 (1) + 1
+ (x3)2 + 2×3 (1) +
1
(x3)2 +
(x3)2 + 2 = 2
(x3)2 + 2
= 2×6 + 2 = 2 (x6 +
1)
Efectuar : ( x2 – 2x + 1) (
x2 + x + 1)2 + ( x3 +
1)2
M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) (
a3 – b3 ) (a2 –
ab + b2) (a4 – a2
b2 + b4) + b12
Solución
Ordenando los productos notables tenemos
:
( a + b ) ( a2 + b2 )
( a3 – b3 ) (a2
– ab + b2) (a4 –
a2 b2 + b4) +
b12
* **
Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ",
tenemos :
( a + b ) (a2 – ab + b2)
= a3 + b3
Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *",
tenemos :
( a2 + b2 ) (a4
– a2 b2 + b4) =
a6 + b6
Remplazando en la expresión inicial tenemos
:
( a3 + b3 ) ( a6 +
b6 ) ( a3 – b3 ) +
b12
Ordenando los factores tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6
+ b6 ) ( a3 – b3 )
+ b12
¨
aplicando productos notables en "¨ " :
( a6 + b6 ) ( a6 +
b6 ) = a12 – b12 +
b12 = a 12 Rpta.
Simplificar :
Solución
Desarrollando las potencias mediante productos
notables tenemos :
Simplificando y reduciendo términos
semejantes tenemos :
K = a2 –
b2 Rpta.
Simplificar :
Hallar el valor de P
:

Solución
:

à P = à à P = 91/2
à

P = 3 Rpta.

Hallar el valor de E :

Solución
:

EJERCICIOS PARA LA CLASE

R = (a + b + c) (a + b – c) + (a + b – c) (a
– b + c) + ( a – b + c) (b + c – a)
+
( b – c + a) (b – c – a) –
4ab
Efectuar :
Reducir :
Calcular el valor de :
Simplificar :

N = (x-2) ( x + 3) (x – 4)(x+1) – x2
(x – 1)2 + 14x (x-1) – 24

5. Si:

Hallar el valor de K :

K = x(x + 1) ( x + 2) (x + 3)

LABORATORIO N° 01

1. (ax + 1)2 (ax
  – 1)2 (a2x +
  1)2
2. (a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a
  + 4) (a2 + 2 a + 4)
3. (x2 – x + 1) (x2 + x
  + 1) ( x4 – x2 + 1)
  (x4 – 1)
Reducir :
A = ( x + 2)2 (x – 1)2
(x + 1)2 (x + 1)2 (x –
2)2
Hallar el valor de A :
Si : x + x-1 = 3 Hallar : E =
x6 + x-6
a) ( x + 1/x)2 ; b) ( x4
– x + 3)2 ; c) (x4 – 9)
(x4 – 7)
b) (x4 + 3)2 (x4
– 3)2 ; e) (x + y + 3) (x + y –
3); f) (x5 + 1) (x10 –
x5 + 1)
g) ; h) ; i) (x – 2) (x-4) (x-9)
Efectuar :
La suma de dos números es 5 y su producto 5.
¿cuál es la suma de sus cubos?
La suma de dos números es 5 y la suma de sus
cubos es 95. Hallar la suma de los cuadrados.
Simplificar :
Si : ( a + 1)2 = (+2) a calcular :
B = ( a + b + c)2 + (a + b –
c)2 + (b + c – a)2 + ( c + a
– b)2
Calcular :
Si : a + b + c = 2

a2 + b2 + c2 =
6

a3 + b3 + c3 =
17 Hallar : a . b . c

Si : A = ( x + 8) (x + 9) – (x + 7) ( x +
10)

B = ( x – 5) ( x – 4) – (x – 6 )
(x – 3) Hallar A . B

11. Simplificar :

12. Calcular :

W = a5 + b5

Si : a + b = 4

a . b = 2

Respuestas :

1) a) a4x; b) a6 –
64; c) x12 – 1; 2) A =
x8 – 10 x6 + 33 x4 –
40×2 + 16; 3) E = 322

4) 50; 5) 21; 6) x + y; 7) 5 =
3; 9) 1; 10) 4; 11) x +a; 12)
464

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Definición :

División algebraica es la operación que
consiste en obtener una expresión llamada cociente y
otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo
y divisor.

Así tenemos :	D	d	Donde :
	r	q	D : dividendo
			d : divisor
			q : cociente
			r : residuo

Nota Importante: En toda
división la nomenclatura de
grados es :

D° = grado de dividendo
d° = grado de divisor
q° = grado de cociente
r° = grado de residuo o resto

Propiedades fundamentales

D = dq ó
r = 0
Si la división es exacta, se obtiene un
cociente exacto y el residuo de la división es un
polinomio idénticamente nulo.
Si la división es inexacta se obtiene un
cociente completo y el residuo de la división no es un
polinomio idénticamente nulo.

D = d . q + r ó D = q + r/d

r ≠ 0

Propiedades de la
división

q° = D° – d°
En toda división el grado del cociente es igual
al grado del dividendo menos el grado del divisor.
D° ≥ d°
En toda división, el grado del dividendo es
mayor o igual que el grado del divisor :
d° > r°
En toda división el grado del divisor es mayor
que el grado del resto.
r maximo = d° – 1
En toda división el grado máximo del
resto es igual al grado del divisor menos 1
En el caso de polinomios homogéneos el grado
del resto es mayor que el grado del divisor : r° >
d°
En el caso de polinomios homogéneos no se
cumple la propiedad
4

Casos de la División

División de los
monomios

Se aplica la regla de los signos en
la división de signos.
Se dividen los coeficientes
Se dividen las letras aplicando teoría de exponentes.

Ejemplo :

Dividir : efectuando tenemos : S = -8×3
y2 z2

Se divide cada uno de los términos del
polinomio por el monomio, separando los coeficientes
parciales en sus propios signos.
Ejemplo :
Dividir :
Solución :
Dividiendo cada término del dividendo entre
el divisor, tenemos :
Efectuando tenemos :
K = 9 x2 y2 –
5×4 y4 z2 +
11×10 y7 z4
División de un Polinomio por un
Monomio
En este caso se pueden usar cualquiera de los
siguientes métodos :
1. Método clásico o
  normal
2. Método de coeficientes
  separados
3. Método de Horner
4. Método de Ruffini
ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES
METODOS
División de los Polinomios
Para dividir mediante este método se debe seguir los siguientes
pasos :
Método Clásico o
Normal
Se ordena los polinomios, generalmente en forma
decreciente.
Se escribe en línea horizontal uno a
continuación de otro utilizando el signo de
división aritmética.
Se divide el primer término del dividendo,
entre el primer termino del divisor, obteniéndose el
primer término del cociente.
Este término se multiplica por cada uno de
los términos del divisor y se pasan a restar con los
correspondientes términos del dividendo.

Se divide el primer término del resto obtenido
entre el primer término del divisor y se obtienen el
segundo término del cociente.

Ejemplo : Hallar el cociente en la
siguiente división :

Solución : Ordenamos ambos polinomios en
forma decreciente, la operación se dispone en la
forma siguiente :

6×5 – 21×4 – 13×3 + 25×2 – 12x + 7		3×4 + 0x3 + 0x2 – 2x + 1
– 6×5 – 0x4 – 0x3 + 4×2 – 2x		2x – 7
	-21×4 – 13×3 + 29×2 – 14x + 7
	21×4 + 0x3 + 0x2 – 14x + 7
	-13×3 + 29×2 – 28x + 14

Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

Residuo ( r ) = -13×3 +
29×2 – 28x + 14

Se procede como en el pasa 4 y así
sucesivamente hasta terminar la división.
En este caso, además de los consideraciones
anteriores se debe tener en cuenta :
Método de Coeficientes
Separados
Se trabajan solamente con los coeficientes y sus
correspondientes signos del dividendo y divisor.
En el caso de faltar un término con una
potencia
de la variable se coloca en su lugar cero, en el
divisor.

De esta manera se obtiene los coeficientes con sus
signos del polinomio cociente.

q° = D° – d

r° = d – 1

Este método es recomendable para
polinomios de una sola variable.

Ejemplo : Efectuar la siguiente
división :

Solución : Observamos que el polinomio
dividendo y divisor están ordenados.

Luego :

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7				3 – 1 + 1
– 6 + 2 – 2				2 – 6 – 7 + 8
	– 18 – 15 + 25
	18 – 6 + 6
		-21 + 31 – 12
		+21 – 7 + 7
			24 – 5 + 7
			-24 + 8 – 8
			+ 3 – 1

El cociente ( q ) es de grado : q° = D° –
d° = 5 – 2 = 3

El cociente
es q = 2×3 – 6×2 – 7x +
8

el de grado : r° = d° – 1 = 2 – 1 =
1

El resto ( r ) es de grado r = 3x –
1

Para determinar el grado del cociente y resto se
aplican las propiedades :
Método de Horner

Este método es un caso particular del
método de coefientes separados y se emplea para la
división de dos polinomios de cualquier
grado.

Procedimiento :

Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila
con su propio signo
Se escribe los coeficientes del divisor en una
columna a la izquierda del primer término del dividendo;
el primero de ellos con su propio signo y los restantes con
signo cambiado.
El primer término del dividendo se divide
entre el primer término del divisor, obteniéndose
el primer término del cienote.
Se multiplica este término del cociente
solamente por los términos del divisor a los cuales se
cambio de
signo, colocándose los resultados a partir de la segunda
fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
Se reduce la siguiente columna y se coloca el
resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer
coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del
cociente.
Se multiplica este cociente por los términos
del divisor a los cuales se cambió de signo,
colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo
un lugar hacia la derecha.
Se continuaría este procedimiento
hasta obtener el término debajo del último
termino del dividendo, separando inmediatamente los
términos del cociente y resto.
Para obtener los coeficientes del residuo se reducen
directamente cada una de las columnas que
pertenecen.

Ejemplo Efectuar la división
polinómica expresada por :

Solución :

Los grados del cociente y residuo serán
:

q° = D° – d° = S – 2 = 3

r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1

Procedimiento :

	Columna	Cocientes del dividendo

			12	– 4	+ 8
Fila	4	8	+ 14	+ 5	+16	+ 3	+ 2
Coeficiente que si se les cambia de signo	-1		-2	– 6
	-3			– 3	– 9
					+ 1	+ 3
						– 2	– 6
		2	3	– 1	2	4	– 4

		Coeficiente del cociente				Coeficiente del resto

Explicación

Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el
primer coeficiente del cociente

2 se multiplica por los términos del divisor, a
los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como
resultado : -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar
hacia la derecha.

Se suma a la segunda columna ( correspondiente al
dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor
es el segundo coeficiente del cociente.

3, se multiplica por ( -1; – 3) y da la tercera fila :
-3 ; – 9, corriendo un lugar hacia la derecha.

Se suma la tercera columna, da – 4, se divide
entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente
del cociente.

-1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila : +1; +3,
corriendo un lugar a la derecha.

Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da
2, este resultado es el cuarto coeficiente del
cociente.

2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila : -2 y
-6

como el último término de este producto
queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se
separa con una línea los términos obtenidos los
cuales pertenecen al cociente.

Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja
directamente, y se bajan directamente y vienen a ser los
coeficientes del resto.

Entonces : Q(x) = 2×3 + 3×2
– x + 2 ( cociente obtenido)

R(x) = 4x – 4 ( residuo
obtenido)

2. Dividir :

Solución : q° = D° – d°

q° = 5 – 2 = 3

r° = d – 1 = 2 – 1 = 1

Solución :

		– 18	– 21	24
3	6	– 20	– 13	+ 25	– 12	+ 7
1		2	– 2
-1			– 6	+ 6
				– 7	+ 7
					+ 8	– 8
	2	– 6	– 7	+ 8	+ 3	– 1

Q (x) = 2×3 – 6×2 – 7x
+ 8

( cociente obtenido )

R (x ) = 3x – 1

( residuo obtenido)

Regla de RUFFINI

Esta regla, es un caso particular del método de
Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un
divisor que tenga o adopte las siguientes formas :

x ± b ; ax ± b y axn
± b

Se estudian 3 casos :

Cuando el coeficiente del primer término
del divisor es diferente de cero.

su forma general : x ± b . se opera así
:

Se escriben los coeficientes del dividendo en
línea horizontal;
Se escribe el término independiente del
divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo
del coeficiente del primer término del
dividendo;
Se divide como en el caso de Horner, teniendo
presente que el primer coeficiente del cociente es igual al
primer coeficiente del dividendo.
Ejemplo :
1. Solución :
  Escribimos los coeficientes en el respectivo
  cuadro ( completando con ceros los términos que
  faltan):
  q° = D° – d° = 5 – 1 =
  4
  r° = d° – 1 = 1 – 1 =
  0
  
  Cocientes del
  dividendo
  
  2
  0
  1
  0
  3
  2
  – 1
  
  – 2
  2
  – 3
  3
  – 6
  
  2
  – 2
  3
  – 3
  6
  – 4
  
  Resto
  
  Coeficiente del
  cociente
  
  Termino Independiente del divisor con signo
  cambiado
  Entonces : Q(x) = 2×4 –
  2×3 + 3×2 – 3x + 6 (
  cociente obtenido)
  R(x) = 4 ( residuo obtenido)
2. Obtener el cociente y el resto en la
  división :
3. Efectuar :
Para obtener el cociente, se separa la
última columna que viene a ser el resto.

Solución : ordenando y completando el polinomio
dividiendo tenemos :

Operando tenemos :

q° = D° – d° = 6 – 1 = 5

r° = d – 1 = 1 – 1 = 0

Cocientes del dividendo

	3	0	2	– 3	0	0	5
2		6	12	28	50	100	200
	3	6	14	25	50	100	205
							Resto
	Coeficiente del cociente

Donde :

Cociente obtenido : 3

Residuo obtenido :

Cuando el coeficiente del primer término
del divisor es diferente de cero.

Su forma general es : ax ± b

Se transforma el divisor, extrayendo factor
común, el primer término del divisor, es decir
:
( ax ± b) = a ( a ± b/a )
Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer
caso.
Los coeficientes del cociente obtenido se dividen
entre el primer coeficiente del divisor.
El resto obtenido no sufre
alteración

Ejemplo : Hallar cociente y resto en
:

Solución :

a) Se factoriza 3 así :

b) Dividiendo entre x + 2/3

c) Previamente se completa el dividendo con
cero

Operamos así :

Ordenando y completando los coeficientes de el
polinomio, tenemos :

18	0	– 29	– 5	– 12	– 16
	– 12	8	14	– 6	12
18	– 12	– 21	9	– 18	– 4

Donde :

Cociente obtenido : 18×4 –
12×3 – 21×2 + 9x –
18

Residuo obtenido : – 4

En este caso para que la división se pueda
efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben
ser múltiplos del exponente de la variable del
divisor.
Ejemplo Hallar el cociente y el
resto en :
Solución :
Observamos que los exponentes de la variable del
dividendo son múltiplos del exponente del divisor
(9), por lo tanto, se puede aplicar el
método.
Haciendo : x9 = y, la división
es :
3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

6
+ 17
– 16
+ 17
+ 12
-1/3

– 2
– 5
7
– 8

6
+ 15
– 21
+ 24
4

Cociente primario : 6y3 +
15y2 – 21y + 24
Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3)
: 2y3 + 5y2 – 7y + 8
Reemplazando : y = x9 , el cociente
será : 2×27 + 5×18 –
7×9 + 8
Y de residuo o resto, tenemos : R = 4
LABORATORIO N° 02
Cuando el divisor es de la forma : axn
+ b
Calcular el cociente y el resto de la
división
Calcular A + B; si la división en exacta
:
El resto obtenido es un Polinomio
idénticamente nulo.
Calcular : "m" y "n" si la división :
Dividir por el método de Horner :
Banco A : ( x5 – 5×2 +
2) soles
Banco B : ( 6×3 + 7×6
– 6) soles
Banco C : (2×4 – 2×2 +
x ) soles
Banco D : ( – 2×4 –
6×3 + 5) soles
Si quisiera repartir entre (x2 + x + 1)
personas entre partes iguales. ¿cuánto le
tocará a cada uno?
Mi capital
esta en las siguientes bancos
:
a)
b)
c)
d)
PROBLEMAS RESUELTOS
Dividir :
Solución :
7
28
2
-7
22
-16
3

12
– 20

6
– 10

– 9
15
-5

4
2
– 3
3
– 1
Q(x) : 4 x2 + 2 x – 3
R(x) : 3 x – 1
Efectuar por el método de Horner
Solución
: Haciendo : 4x + 3 = 0
4 x = -3
x = – 3/4
20
-13
-13
14
-3/4

-15
21
– 6

20
– 28
8
8
Q(x) = 5×2 – 7 x + 2
R(x) = 8
Hallar Cociente y Resto por Ruffini
es exacta
Por método de Horner
2
6
0
– 13
a
– b
4

12
– 15

24
– 30

– 8
10
– 5

3
6
– 2
(a – 38) . (-b +
10)
Si es exacta R = 0
a – 38 = 0
a = 38 – b + 10 = 0
b = 10 a + b = 48
rpta.
Hallar ( a + b ) si la división
+ 1
1
a + 1
a + b
b + 1
a
b
– a

– a
– b

– a
– b

– b

0
0

– a
– b

1
1
0
1
0
0
Resto = 0

Hallar el resto por método de Horner

deja 4 de resto

21×4 – 41×3 – 23×2 + mx – 16				3 x – 5
-21×2 + 35×3				7×3 – 2×2 11x + 4
	-6 x3 – 23×2 + mx – 16
	+6×3 – 10×2
– 33×2 + mx – 16
		+ 33×2 – 55 x
(m – 55)x – 16
			– 12 x + 20
(m – 67) x + 4

m – 67 = 0

m = 67

TAREA

1. Resolver por el método de
Horner

Q(X) = 4×2 + 7 x + 2

R(X) = 10 x + 1

Calcular "m" si la división
a) b)
Q(X) = 4×2 + 13 x + 33 Q(X) =
5×2 + 7x + 4
R = 67 R = 12
Resolver por el método de Ruffini
es 5
por el método de ruffini. R : a =
19
Hallar "a" si el resto de la división :
Q(X) = 4 x2 – 2x + 3
R(X) = 3×2 + 6 x – ( a +
9)
Hallar el resto y cociente por le método de
Horner
1. 4×4 + 2×3 –
  12×2 + 35x – 25 : 2×2 + 4x
  – 5
2. x6 + x5 y –
  7×4 y2 + 12×3
  y3 – 13×2 y4+7x
  y5 – y6 : x2
  – 2 x y + y2
3. xm+2 – 5xm
  – 3xm+1 + 20xm-1 +
  25xm-3 : xm –
  3xm-1 + 5xm-3
4. x2n – 4x2n-2 +
  5x2n-3 + 2x2n – 4 –
  2x2n-4 : xn –
  xn-1 + xn-2
Dividir por el método clásico :
Teorema del Resto
Es el método por el cual se obtienen el
residuo de una división algebraica sin efectuar
división.
1° El divisor se iguala a cero
2° Conseguiremos el resto Remplazando el
valor anterior en el dividendo D
Ejemplos
Calcular el resto de las divisiones :
1) 2n4 – 5n3 +
7n2 – 9n + 3 ÷ ( n – 1
)
Solución
1° n – 1 = 0
2° n = 1 se reemplaza en el dividendo
:
n = 1R = 2n4 –
5n3 + 7n2 – 9n + 3
R = 2( 1)4 – 5(1)3 +
7(1)2 – 9(1) + 3
R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3
R = – 2 Residuo
Dividir entre monomios y polinomio entre
monomio
2×4 –
4×2 + 3x + 6 ÷ 3 + 2
Solución
3x + 2 = 0
3x = – 2
x = -2/3
se reemplaza en :
2×4 – 4×2 + 3x +
6
Hallar el residuo de los siguientes
derivados