Pi: Límite de las constantes de semiproporcionalidad en los Polígonos Regulares
El número pi ha ocupado la atención de innumerables matemáticos
a través en todos los tiempos. Históricamente, el
número pi se presenta junto con la deducción de la fórmula para
calcular la longitud de la circunferencia, para lo que
sólo se contaba con el radio (o el
diámetro) y una interrelación, entre los elementos
anteriores, que era evidente al trazar circunferencias con cuerda
o compás.
Desde que fue introducido en el cálculo
geométrico, pi ha recibido diversos tratamientos para
obtener su valor con una
aproximación más refinada y con mayor cantidad de
cifras decimales. Así tenemos que en diferentes
épocas y regiones geográficas se han utilizado
diversos valores para
pi que van desde el entero 3 (citado en la Biblia) y 3,125 en
Babilonia; 3,10, o 3,14, o 3,1447 o 3,14159 en China; 3,16 en
Egipto; 3,09
en India; hasta
los valores
conocidos hoy, cuyos decimales se cuentan por millones. Las
enormes cantidades de cifras decimales se consiguen mediante el
uso de software
basado en algoritmos
diseñados, mucho antes de existir la
computadora, por eminentes matemáticos como
Viéte, Wallis, Newton,
Leibnitz,
Euler, Ramanujan y otros.
No obstante que el número pi haya sido estudiado
durante tanto tiempo (y
todavía se estudie), se le ha tratado como número
aislado dentro del universo
matemático. Los antiguos procedimientos
geométricos han sido suplantados por aritméticos y
analíticos que lo aíslan más; hasta existen
procedimientos probabilísticos para determinar su valor
aproximado como el de los alfileres propuesto por Leclerc o el de
los dardos, conocido como Método de
Montecarlo. En este artículo veremos que pi no está
solo: sino que está acompañado de una serie de
valores que solamente se han tomado como aproximaciones del valor
buscado, sin caer en cuenta que forman parte de una familia de
infinitas constantes análogas apretujadas en un
pequeño intervalo real.
Utilizaremos la definición usual de pi
"razón entre la longitud de la circunferencia y su
diámetro".
Si
L es la longitud de una circunferencia cualquiera y
d su correspondiente diámetro
tendremos:
Y como d=2r, siendo r el radio, tenemos que se puede
expresar:
La última expresión nos conduce a otra de
las definiciones conocidas del número pi: "la razón
entre la longitud de la semicircunferencia y el
radio".
Igual que en la circunferencia, en cualquier
polígono regular se evidencia una interrelación
entre la apotema y el perímetro ya que al variar
cualquiera de los dos elementos también variará el
otro en el mismo sentido que el primero. Estas variaciones
también se experimentan con otros elementos del
polígono regular como el radio y los
diagonales.
Haremos una partición del conjunto de los
polígonos regulares en conjuntos que
llamaremos Clases, y que notaremos con Cn donde n es
el número de lados. Como en cada clase de
polígono regular: apotemas diferentes originan
polígonos diferentes (aunque semejantes), resulta obvio
que a cada apotema le corresponde un único polígono
regular dentro de una clase dada. La unicidad del polígono
nos lleva también a la unicidad del radio, del
perímetro, del lado y del área. Entonces, como
sucede con el círculo, cualquier polígono regular
está bien determinado si se da su clase y cualquiera de
los elementos mencionados. Luego podemos referirnos sin
equivocación, por ejemplo, al hexágono regular de 2
m de apotema; o al decágono regular de 3 m de lado, o de
100 m2 de área, o de 1 Km. de perímetro,
etc.
Lo anterior nos permite establecer diversas razones
entre elementos del polígono regular; de las que: por
analogía con el círculo, por su sencillez y porque
muchos de sus valores son conocidos, trataremos sólo la
interrelación perímetro-apotema.
Sea cualquier polígono regular de la clase
Cn y sea p el correspondiente
perímetro y a su apotema. Denotaremos la
razón entre el semiperímetro y la apotema con
Kan y demostraremos que tal razón es
única para cada clase; por lo que puede nombrársele
apropiadamente como: Constante de Semiproporcionalidad en los
Polígonos Regulares. Es decir:
Expresando el perímetro en función
del lado l y aplicando propiedades de la
multiplicación:
Observemos, ahora, a que corresponde en el
polígono regular.
Tomaremos uno de los triángulos isósceles con
vértice al centro del polígono que definen dos
radios consecutivos y el lado entre éstos.
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
En la ilustracion
de la izquierda se representa uno de esos triángulos. El
ángulo en la parte superior (ángulo central) al ser
bisecado determina dos triángulos rectángulos con
catetos l/2 y a e
hipotenusa igual al radio, siendo l/2 el
cateto opuesto al semiángulo central.
Es evidente que es la tangente del semiángulo
central del polígono regular.
Como la medida del ángulo central es 360°/n,
la del semiángulo central es:
360°/2n = 180°/n, por lo que
Y la constante de semiproporcionalidad se puede
escribir:
Es decir: el valor de kn es n veces la
tangente del semiángulo central del polígono
regular de n lados.
Como se ha visto, la constante de semiproporcionalidad
depende sólo del número de lados y, en
consecuencia, todos los polígonos regulares de una misma
clase poseen la misma constante (1). Ahora pasaremos a demostrar
que las constantes son únicas para cada clase:
Sean las clases Cn y Cm y sus
constantes de semiproporcionalidad kn y km,
respectivamente, tales que n y m son números
naturales mayores que 2 y n ≠ m. Se trata de demostrar que
kn ≠ km.
Por Reducción al Absurdo:
Sean m y n números naturales tales que n >
m≥3,
Supongamos cierto que kn = km.
Luego
Tomemos un polígono regular de la clase
Cn y otro de la clase Cm con la misma
apotema a y sean ln y
lm las longitudes de los lados
respectivos.
En el polígono de la clase Cn
tenemos:
En el polígono de la clase Cm
tenemos:
Luego:
Es decir: los perímetros de ambos
polígonos son iguales. Lo que es un absurdo ya que, por
construcción, se ha demostrado que los
perímetros de los polígonos regulares con igual
apotema tienden a la longitud de la circunferencia inscrita,
disminuyendo en la medida que se incrementa el número de
lados. Como el absurdo provino de suponer la igualdad de
las constantes de semiproporcionalidad en clases diferentes,
queda demostrado que tales constantes en clases diferentes,
también son diferentes (2).
De (1) y (2) se concluye en que cada clase de
polígono regular posee una constante de
semiproporcionalidad propia que se denota con kn,
donde n indica el número de lados que identifica la clase
y su valor se calcula mediante la fórmula:
A manera de ejemplo citaremos algunas de estas
constantes con aproximaciones de diez y doce cifras
decimales:
Como se mencionó antes, algunos de estos
valores fueron conocidos durante la búsqueda del valor de
pi por el procedimiento de
aproximacines sucesivas de polígonos regulares inscritos y
circunscritos a un círculo dado. ¿ Esas constantes
tienen alguna aplicación útil?. Claro que si: de
entrada cumplen, en cada clase de polígono regular,
funciones
análogas a las de pi en las fórmulas del
círculo. Esto ha la deducción y diseño
de fórmulas con idéntica estructura
para los polígonos regulares y el círculo. Entre
estas, por ejemplo, tenemos
An=kna2 para el cálculo
de áreas. Acerca de las fórmulas mencionadas puede
consultar en la red la monografía del mismo autor: Area de los
Polígonos-enfoque para el cálculo.
Hemos visto que el número pi no está solo;
sino que forma parte de una familia de infinitas constantes,
relativamente pequeñas en el conjunto de los
números reales, ubicadas en un intervalo apenas mayor a
dos (2) unidades de longitud. Al observar los valores de las
constantes de semiproporcionalidad en los polígonos
regulares podemos decir que:
Para finalizar diré que el utilísimo
y asombroso número pi me causa ahora más asombro;
dado que: siendo el más viejo conocido de la
familia……, resultó ser el menor de todos los
hermanitos.
Atentamente,
Gustavo Yanes Yanes
República Bolivariana de Venezuela.
NOTA: Para la redacción de este artículo se ha
consultado la bibliografía señalada en la monografía
recomendada arriba y los siguientes artículos en la
red:
Historietas de Pi by Ramón
Llorens Moreno
CALCULO DEL # PI Por: Fernando Valdés
Macías