El Sistema de Referencia Geológico: El Geoide Magmatico y su aplicación el Geoide Fosa (página 2)

 2.11.5 El primer método
geométrico.

Las mediciones sobre la superficie de la tierra para
determinar el radio de la
tierra desde
hace mucho tiempo se
llaman mediciones de grados. Este nombre surge de aquella
época en que se consideraba la tierra se consideraba como
un globo y la determinación de sus medidas
consistía en la selección
de un pedazo del área del circulo mayor del globo que
correspondía a un grado.

Figura Numero 25 método
geométrico del arco para determinar el radio de la
Tierra

Supongamos que a partir de mediciones directas sobre la
superficie terrestre ha sido obtenida la longitud de un arco
cualquiera del meridiano AB igual a S (figura n) sea que ha sido
determinado a partir de mediciones astronómicas las
latitudes j
1 y j
2 de dos puntos extremos de dicho arco,
además de j
2 ≥ j 1 y considerando que la Tierra es
un globo obtenemos:

donde S1 es la longitud para de la ultima expresión obtenemos el
radio de la tierra R con :

Como R = S1*K obtenemos :

Además del esquema expuesto anteriormente para la
deducción del radio de la tierra se
utilizaban otros caminos para la resolución del problema ,
también en consideraciones puramente geométricas,
como por ejemplo "en base a la medición del ángulo de
declinación del horizonte" de la medición de
distancias cenitales en los extremos de de un arco de longitud
conocida con ayuda de las mediciones de los excesos
esféricos de figuras cerradas sobre la superficie de la
tierra. Sin embargo estos métodos no
tenían aplicación y no pueden tener
aplicación puesto que eran menos exactos que los expuestos
al principio del parágrafo.

Señalemos solamente que la historia de las mediciones
de grados es una parte importante de la historia de la geodesia
como una rama de estudio de las ciencias
naturales. Es importante señalar que el planteo y la
realización de las mediciones de grados hasta el siglo
XVII partían de la premisa que la tierra era un globo y
por tanto el problema consistía en la determinación
del radio del globo terráqueo. Este periodo del estudio de
la forma de la tierra se caracterizo por la utilización de
de un camino puramente geométrico en la resolución
del problema. O sea en relaciones matemáticas sencillas entre el radio de la
tierra y los arcos medidos sobre la superficie
terrestre.

El siglo XVIII se caracterizo porque en la base de las
investigaciones científicas se fundaron dos
métodos para el estudio de la forma de la tierra : el
geométrico y el físico.

En principio el método geométrico se
mantuvo igual que antes solamente se incluyeron los dos
parámetros básicos para determinar un elipsoide a y
f, por lo tanto la cantidad mínima de ecuaciones
paso a ser igual a dos.

 Figura Numero 26 metodo de arcos

Considerando

j i =
latitud de un punto sobre un mismo meridiano. j 1,
j
1’,j 2 y j 2’

D j i = diferencia de latitud
entre los puntos. D
j 1y
D j 2

Si = distancia entre los diferentes puntos
sobre el meridiano. S1 y S2

Sea y
reduciendo esto
en radianes; obtenemos:

y

Como y
Obtenemos:

Despejando en las dos ecuaciones e igualando obtenemos:

Despejando estas ecuaciones y reemplazando W1 y W2
obtenemos:

Despejando obtenemos el valor de
e2

Para determinar el semieje mayor a
consideremos:

y
despejando a obtenemos:

La medida D
j debe convertirse a
radianes por eso:

En el siglo XIX el método geométrico para
determinar la forma de la tierra en forma preliminar deja de
utilizarse y se utilizan cada vez mas medidas de tipo
físico para la realización de las tareas geodesicas
debido a dos factores:

– Desarrollo de
toda la fundamentacion físico-matemática
de la geodesia fisica ,geofisica y calculo
diferencial e integral.

– Desarrollo de aparatos de medición mas
sofisticados y de mayor precisión para la toma de medidas
de aceleración.

En resumen esto es el metodo geometrico tradicional para
determinar un elipsoide.

Eso hasta este trabajo…….

Un modelo en
sentido genérico es una representación
simplificada de la realidad en la que aparecen algunas de sus
propiedades. Es decir, la versión de la realidad que
se realiza a través de un modelo pretende reproducir
solamente algunas propiedades del objeto o sistema original
que queda representado por otro objeto o sistema de menor
complejidad. Los modelos se
construyen para conocer o predecir propiedades del objeto
real. Según otros autores: un modelo es un objeto,
concepto o
conjunto de relaciones que se utiliza para representar y
estudiar de forma simple y comprensible una porción
de la realidad empírica.

Elaboracion automatica del modelo digital de
terreno

Un modelo digital de terreno es una descripcion
matematica de la superficie del terreno, elaborada mediante la
interpolacion de elevaciones de un grupo de
puntos topograficos seleccionados previamente. En los procedimientos
semiautomaticos de elaboracion de modelos digitales del terreno
que es utilizado actualmente en los sistemas
analiticos el operrario localiza entre 2000 y 10000 puntos de
coordenadas (x,y,z) por diversos metodos (modelo estereoscopico,
geoestadistica,entre otros) Estos puntos pueden ser
densidificados de 2 a 3 veces dependiendo del algoritmo de
interpolacion utilizado.La filosofia
implicita de este sistemaq quizas por razones economicas,
consiste en medir la menor cantidad de puntos que permitan una
fiel representacion del terreno y cumplan con las precisiones
requeridas. La adquisicion de pocos puntos hace necesario el uso
de las lineas de quiebre o lineas de forma del terreno para
garantizar una eficiente representacion matematica de la
superficie.

 2.11.6 Método geométrico de
Camacho para determinar una superficie.

Sea la ecuación canónica de las
superficies de segundo orden para el geoide

Ax2 + By2 +
Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J =
0

Para determinar esta ecuación se deben determinar
previamente :

1. La grafica de una ecuación en 3 variables (x,
y, z) en un sistema de coordenadas rectangulares. La grafica de
una ecuación es una superficie que puede ser de cualquier
tipo dependiendo de la forma del geoide. Para escoger la
superficie mas adecuada para realizar los cálculos se debe
tener en cuenta además de la forma de la superficie el
tipo de geoformas mas predominante en la superficie. En algunas
ocasiones puede resultar mas cómodo tomar un paraboloide
de revolución que un cono, pero el criterio
para elegir la superficie depende exclusivamente del
geodesta.

En este trabajo se escogió el elipsoide de
revolución achatado por ser la figura mundialmente
conocida para el trabajo.
Esta superficie tiene la siguiente ecuación :

Ax2 + By2 +
Cz2 + J = 0

((X² + Y²)/ a²) + (Z²
/ b²) = 1

Para esta situación se define que el centro del
elipsoide coincide con el centro de masa de la Tierra (geocentro)
y el eje Z coincide con el eje de revolución del
elipsoide.

Para determinar los parámetros del elipsoide se
debe determinar el semieje mayor a y el aplanamiento por
métodos geodésicos (método de arcos). Una
vez obtenidos calcular el valor del semieje menor b se realiza
por medio de la formula b = a(1 – f ).

2. La ecuación de un plano por medio de herramientas
de álgebra
lineal:

Toda ecuación lineal con respecto a las
coordenadas, determina un plano y viceversa, la ecuación
de cualquier plano es de primer grado. La ecuación general
del plano es G xi + H yi + I zi
+ d = 0. Si d = 0 el plano pasa por el origen de
coordenadas.

Para determinar un plano existen varios métodos
:

a. Ecuación del plano que pasa por 3 puntos dados
P1 (x1 , y1 , z1),
P2 (x2 , y2 , z2),
P3 (x3 , y3 , z3), se
emplea la formula:

=
o

Resolviendo el determinante se obtiene un
plano.

b. Ecuación del plano que pasa por 2 puntos dados
P1 (x1 , y1 , z1),
P2 (x2 , y2 , z2),
siendo paralelo a la recta con vector director R1 (l ,
m , n), se emplea la formula:

=
o

Resolviendo el determinante se obtiene un
plano.

c. Ecuación del plano que pasa por 1 punto dado
P1 (x1 , y1 , z1),y
paralelo a 2 rectas con vectores
directores R1 (l1 , m1 ,
n1), y R2 (l2 , m2 ,
n2), se emplea la formula:

=
o

Resolviendo el determinante se obtiene un
plano.

d. Ecuación de un plano que pasa por un punto
dado P1 (x1 , y1 ,
z1) siendo perpendicular a la recta con vector
director N1 (A , B , C)

A(x – x1) + B (y – y1) + C
(z – z1) = 0

Al multiplicar se obtiene un plano con vector director
(A , B , C) e interseccion con los ejes de coordenadas (A
x1 , B y1 , C z1)

e. Por la línea de intersección de dos
planos A x1 + B y1 + C z1 +D = 0
y A x2 + B y2 + C z2 +
D1 se resuelve un sistema de ecuaciones
lineales:

A x1 + B y1 + C z1 +D
+ l (A
x2 + B y2 + C z2 +
D1) = 0

Para encontrar el valor de las incógnitas
l que satisfacen el
sistema.

Escoger el método para determinar el plano
depende del tipo de datos a los que
se tenga acceso; la única diferencia entre un
método y otro es la cantidad y el tipo de datos medidos
sobre la superficie; pero no existe un método que
desacredite a otro; todos son igualmente validos.

Para este trabajo se tienen las coordenadas de 3 puntos
determinados sobre la superficie; se escoge la opción a
para determinar los parámetros del plano.

3. La ecuación de un paralelepípedo con
centro en el origen resolviendo un sistema homogéneo con 3
puntos.

D xi yi + E
xi zi + F yiz i =
0

Determinacion del geoide

a). Tomando las coordenadas rectangulares del
elipsoide:

X = (N + h) cos (Φg) cos
(l )

Y = (N + h) cos (Φg) sen
(l )

Z = ((1- e2) N +
h)*sen (Φg)

Se determina la ecuación del plano G
xi + H yi + I zi + d = 0 y el
paralelepípedo D xi yi + E
xi zi + F yiz i = 0;
una vez determinadas estas ecuaciones se suma la ecuación
del elipsoide de revolucion se obtiene la ecuación final
del elipsoide.

Al sumar todas estas ecuaciones obtenemos un geoide
desde el punto de vista geométrico. (Objetivo
fundamental).

2.11.7 Método de calculo
procedimiento

Método de determinación:

Paso 1: Elegir cual es la superficie
interna o externa de referencia mas adecuada para al datum que se
requiera representar.(véase el apartado 3.2.1 los nuevos
estudios de la litosfera y anteriores).

Paso 2: Definir el grado de complejidad
geométrica de la superficie a representar.

El grado de complejidad geométrica se define como
el conjunto de diferencias de elevaciones entre los diferentes
puntos del geoide; a mayor cantidad de diferencias de
elevación mayor será el grado de complejidad. A
mayor cantidad de geoformas mayor complejidad.

Desde el punto de vista geográfico existen varios
tipos de geoformas:

– Como Geoformas continentales se destacan :

a). Cordilleras, montañas, serranías,
cerros o colinas , mesetas, llanuras, valles, volcanes,
escarpes, bahías, golfos, lagunas, depresiones o simas,
nevados, dunas, islas, istmos, penínsulas, cimas, costas,
desiertos y cataratas.

EL RELIEVE
CONTINENTAL

En la superficie de los continentes se observan una
diversidad de formas de relieve. Entre los relieve de segundo
orden mencionaremos: montañas, mesetas y
llanuras.

a.) Montañas: geográficamente son
prominencias de la superficie del terreno que se elevan a
considerable altura sobre el terreno circundante y que presentan
cimas o cúspides agudas o redondeadas, según sean
jóvenes o antiguas, y laderas muy empinadas.
Geológicamente se caracterizan por presentar rocas
intensamente deformadas (plegadas) y fracturadas (falladas y
diaclasadas) intruidas por grandes cuerpos ígneos, que
originan metamorfismo en las rocas adyacentes. Son originadas por
movimientos orogénicos (formadores de montañas)
cuyas fuerzas compresivas actúan en sentido horizontal,
paralelas a la superficie terrestre.

b.) Mesetas: geográficamente son zonas
elevadas de cimas relativamente planas (carácter que las distinguen de las
montañas) que se encuentran a más de 300 m sobre el
nivel del mar, pudiendo alcanzar hasta 4.000 m de altura media.
Geológicamente son zonas que presentan rocas suavemente
deformadas y con una leve inclinación. Son originadas por
movimientos epirogénicos cuyas fuerzas actúan en
sentido vertical, paralelas al radio de la Tierra.

c.)Llanuras: geográficamente son
superficies relativamente horizontales, con poco desnivel, que se
encuentran entre los 0 y 300 m de altura. Geológicamente
se forman por destrucción del relieve elevado
preexistente, debido a la acción
erosiva de los agentes dinámicos externos (ríos,
glaciares, vientos, etc.).

– Como Geoformas marinas se destacan :

b). Cordilleras, montañas, llanuras, colinas ,
valles, escarpes, depresiones o simas, mesetas, volcanes,
islas.

EL RELIEVE SUBMARINO

El relieve del fondo de los océanos presenta
irregularidades mucho menores que los continentes, debido a que
sólo actúa la acción del agua del
océano. Por otra parte, la enorme masa de sedimento
transportada de los continentes por los ríos, glaciares y
viento, es depositada en el fondo de los océanos,
contribuyendo a su nivelado. Las principales formas de segundo
orden del relieve submarino son:

a) La plataforma continental: es la
continuación de la llanura continental debajo del nivel
del mar, y se extiende hasta los 180 y 200 m de profundidad. La
forma y extensión de la plataforma continental guarda
estrecha relación con el relieve del margen continental
vecino; si el margen continental termina en una llanura, la
plataforma continental es amplia, y si es montañosa, es
estrecha o está ausente. El ancho medio de la plataforma
es de unos 60 km, y su pendiente media es menor de 0,25º. Su
límite externo viene marcado por un incremento
rápido de la pendiente.

b.) El talud continental: Está situado
inmediatamente a continuación de la ruptura de la
plataforma continental y marca el
verdadero límite del continente. Se extiende desde los 200
m hasta los 1.800 a 2.000 m de profundidad. La pendiente normal
oscila entre 2º y 5º, aunque en ciertas localidades
supera los 25º.

c.) La llanura abisal: es una superficie
relativamente plana, cuya pendiente varía entre
0,001º a 0,0001º. Se extiende aproximadamente desde los
2.000 m hasta los 4.000 m de profundidad.

d.) Las fosas oceánicas: son depresiones
alargadas cuyo ancho varía entre 40 km a 120 km y su
longitud entre 500 km y 4.500 km. Se extiende desde los 4.000 m
hasta los 11.500 m de profundidad. Generalmente se encuentra
ubicada frente a relieves montañosos continentales, tal es
el caso de la fosa de Atacama (Perú – Chile),
próxima a la cordillera de los Andes; la fosa de las
Marianas, frente a las Filipinas, donde se ha detectado la mayor
profundidad (11.500 m); ambas situadas en el océano
Pacífico.

Las dorsales oceánicas: son
montañas submarinas que se elevan desde el fondo del
océano, sin emerger sobre el nivel del mar, y que se
ubican en el eje de los océanos o próximas a
él. Se extienden continuamente a lo largo de 60.000
km.

Una vez determinada la cantidad de geoformas
(oceánicas o continentales) existentes en una region se
determina el grado de complejidad geométrica.

Existen 3 tipos de complejidad:

1. Complejidad geométrica Alta: En la
superficie geométrica a determinar existen gran cantidad
de geoformas reconocibles. (Montañas, valles,
etc.).

– Desde el punto de vista geográfico una
superficie altamente compleja seria Colombia y en
especial la Región Andina en toda su
extensión.

– Desde el punto de vista matemático un asteroide
o una guanábana seria una superficie geométrica
altamente compleja.

Para esta superficie se requieren las coordenadas (X, Y,
Z) de 9 puntos representativos en uno o mas elipsoides
respectivos (oceánico, magmático o
fosa).

2. Con las coordenadas (X, Y, Z) de 3 puntos se
   determina el elipsoide por el método de
   arcos.
3. Con las coordenadas (X, Y, Z) de 3 puntos diferentes
   se determina el plano principal por el método de
   álgebra lineal.
4. Con las ultimas coordenadas (X, Y, Z) de tres puntos
   se determina el paralelepípedo con herramientas de
   álgebra lineal.

2. Complejidad geométrica Regular: En la
superficie geométrica a determinar existe una menor
cantidad de geoformas reconocibles. (Montañas, valles,
etc.).

– Desde el punto de vista geográfico una
superficie regularmente compleja seria La Costa Atlántica
Colombiana en toda su extensión.

– Desde el punto de vista matemático una pera o
un plátano seria una superficie geométrica
regularmente compleja.

Para esta superficie se requieren las coordenadas (X, Y,
Z) de 4 a 9 puntos representativos en uno o mas elipsoides
respectivos (oceánico, magmático o fosa)
dependiendo del tipo de irregularidades en la forma de la
superficie se escoge que combinación de puntos es la mas
adecuada para realizar los cálculos.

2. Con las coordenadas (X, Y, Z) de 3 puntos se
   determina el elipsoide por el método de
   arcos.
3. Con las coordenadas (X, Y, Z) de 3 puntos diferentes
   se determina el plano principal por el método de
   álgebra lineal.
4. Con las ultimas coordenadas (X, Y, Z) de tres puntos
   se determina el paralelepípedo con herramientas de
   álgebra lineal.

3. Complejidad geométrica Baja: En la
superficie geométrica a determinar existen pocas geoformas
reconocibles.

– Desde el punto de vista geográfico una
superficie con poca complejidad serian los Llanos Orientales
Colombianos en toda su extensión.

– Desde el punto de vista matemático una naranja
o una papaya seria una superficie geométrica regularmente
compleja.

Para esta superficie se requieren únicamente las
coordenadas (X, Y, Z) de 3 puntos representativos en uno o mas
elipsoides respectivos (oceánico, magmático o
fosa).

2. Para determinar con las coordenadas (X, Y, Z) de 3
   puntos se determina el elipsoide plano principal y el
   paralelepípedo con herramientas de álgebra
   lineal.

Para este trabajo por comodidad y falta de datos
se escogieron solamente 3 puntos para el calculo del geoide; no
existe ninguna otra razón para utilizar el método
con complejidad geométrica baja.

Paso 3: Escoger los puntos mas
representativos de para realizar los cálculos.

Para determinar un elipsoide de referencia
magmático debemos tener en cuenta los elipsoides
previamente determinados para el cálculo de
los parámetros geométricos de dicho
elipsoide.

Tabla numero 2 Elipsoides
determinados

Para ver la tabla
seleccionar "Bajar trabajo" del menú superior

Fuente: Torge, W. Geodesia.
México:
Editorial Diana, 1983

Zakatov, P. S. Curso de geodesia
superior. Moscú: Mir, 1981.

Para este trabajo busque el elipsoide mas adecuado para
la fecha de 1984, además decidí apropiarlo para los
cálculos porque las mediciones realizadas para determinar
los vértices se remontan a esa época.

El elipsoide en cuestión es:

Tabla numero 3 Elipsoide
escogido

Para ver la tabla
seleccionar "Bajar trabajo" del menú superior

Fuente: Torge, W. Geodesia.
México: Editorial Diana, 1983

Zakatov, P. S. Curso de geodesia
superior. Moscú: Mir, 1981.

Paso 4: Determinar uno o mas elipsoides
necesarios dependiendo del grado de complejidad.

Figura Numero 26 Determinación
de parametros de un elipsoide respecto a otro determinado
previamente

Determinación del elipsoide magmático a
partir del elipsoide oceánico a partir de la siguiente
formula:

Sea :

D a =
variación del semieje mayor.

H = raíz o espesor por la hipótesis de Airy.

hi = altura geológica de
nivelación en el respectivo elipsoide.

h
i = ondulación geoidal
en el respectivo elipsoide.

e2 = excentricidad del elipsoide
magmático.

ai = semieje mayor del elipsoide
respectivo.

Ni = normal en el elipsoide
respectivo.

F g = latitud
geológica.

F = latitud
normal

l = longitud
geológica.

Considerando las coordenadas cartesianas del Figura
Numero 26 con el supuesto de F g = F tenemos:

X1= (N1+
h1+ h
1)*cos(F g)*cos(l )

Ecuación * en el elipsoide
oceánico

X2=(N2+
h2+ h
1)*cos(F g)*cos(l )

Ecuación / en el elipsoide
magmático

Dividiendo estas dos ecuaciones (X1 /
X2) y simplificando obtenemos:

(N1+ h1+
h 1)
= (N2+ h2+ h 2)

Como h2 = h1 + E + H obtenemos
:

(N1+ h1+
h 1)
=(N2 + h1 + E + H + h 2)

Al simplificar obtenemos:

D
N =(N1 – N2) =( E +
H + h
2– h 1) como h 2–
h 1 =
0

Entonces

D N
=(N1 – N2) =( E + H )

a1

Como N1 =

(1-e2sen2F
g)1/2

a2

N2 =

(1-e2sen2F
g)1/2

Reemplazando y despejando obtenemos:

Con esta ecuación obtenemos :

Tabla numero 4 Determinación de
los Nuevos semiejes.

Paso 5: Determinación de
la ecuación del elipsoide base para el
geoide.

Ax2 + By2 +
Cz2 + J = 0

((X² + Y²)/ (a)²) +
(Z² / b²) = 1

Tomando el elipsoide magmático macarena 1 se
determina:

((X² + Y²) /
(6336113,7675)²) + (Z² / (6314869,977687270)² =
1

Al reemplazar y despejar obtenemos la ecuación
del elipsoide:

0,993305620 (X² + Y²) + 1,006739497 Z² –
1600938906148710000000000000 = 0

Paso 6 : Calculo de la coordenadas
respectivas de cada vértice utilizando los
parámetros de cada elipsoide.

Debido a que cada punto se encuentra sobre elipsoides
con diferentes parámetros (formula) y al desconocer una
ecuación matemática que relacione diferentes
elipsoides para determinar un geoide se debe realizar el calculo
de cada punto por separado se debe tener en cuenta diferentes
elipsoides.

Tabla numero 5 Determinación de
las coordenadas de los vértices del
elipsoide.

Para ver la tabla
seleccionar "Bajar trabajo" del menú superior

Estos puntos se obtuvieron a partir de mediciones
astrónomo geodésicas realizadas en los dos
vértices Macarena 1 y Macarena 2 en el año 1985 y
calculadas para el geoide IUGG8O y luego convertidas para el
elipsoide internacional.

Paso 7: Determinar el plano principal
utilizando herramientas de álgebra lineal.

a. El plano principal Gx + Hy + Iz + d = 0

1. Para resolver el problema del plano principal,
   simplemente se utilizan herramientas de álgebra lineal
   para determinar un plano a partir de tres puntos; estos puntos
   son:

Tabla numero 6 Coordenadas de 3 puntos
del plano principal.

Aplicando la formula = 0

Calculando este determinante con los valores de
la tabla anterior se obtiene la ecuación del plano Gx + Hy
+ Iz + d = 0 o en forma matricial Q x = D

Se obtienen los parámetros:

Q =

X = d = [
-134 ]

Al multiplicar estas dos matrices se
obtiene:

518911387,197035 X1 + 93836346,096950
Y1 – 650937215,702486 Z1 – 134 =
0

Paso 8: Determinar el
paralelepípedo utilizando herramientas de álgebra
lineal.

Resolver un sistema homogéneo de tres variables
para esto se tiene:

Dx1z1 +
Ey1z1 + F x1y1 =
0

Dx2z2 +
Ey2z2 + Fx2y2 =
0

Dx3z3 +
Ey3z3 + Fx3y3 =
0

Con las coordenadas de los tres puntos calculados en los
diferentes elipsoides magmáticos.

Los sistemas homogéneos surgen de varias maneras;
para el sistema general homogéneo la situación es
mas simple; como X1= X2=…=
Xn = 0 siempre es una solución (LLAMADA
SOLUCION TRIVIAL O SOLUCION CERO) solamente hay dos
posibilidades; la solución cero es la única
solución o hay un numero infinito de soluciones
diferentes a la solución cero.

El sistema se resuelve a partir de la ecuación AX
= 0

A = X =

Reemplazando los valores
respectivos de las coordenadas en la tabla de la pagina 32 y
multiplicando cada vbalor se obtiene la matriz
A:

A =

Al resolverlo obtenemos:

Tomando la solución inicial en F para
xy

a = 6336113,7675

Determinamos los parámetros :

D = -240840195,0277

E = 47074091,356687900

F = 6336113,7675

Obtenemos la ecuación del
paralelepípedo:

-240840195,0277 x1z1 +
47074091,3566879 y1z1 + 6336113,7675
x1y1 = 0

Paso 9: Realizar la sumatoria de
parámetros de las superficies.

En este paso se suman los parámetros del
elipsoide base; del plano principal y el paralelepípedo
para obtener la figura de un geoide geométricamente; su
ecuación es:

0,993305620 (X² + Y²) + 1,006739497 Z² –
1600938906148710000000000000 – 240840195,0277 xz +
47074091,3566879 yz + 6336113,7675 xy + 518911387,197035
X1 + 93836346,096950 Y1 – 650937215,702486
Z1 – 134 = 0

Ver anexo 2

Después de determinar el sistema de referencia
geológico obtenemos:

Es un Sistema de referencia Terrestre laplaciano
definido como sigue:

Origen: Centro de masas de la Tierra.

Eje Z: Dirección del CIO

Eje X: Sobre el plano del Ecuador en la
dirección de la intersección del meridiano de
Greenwich.

Eje Y: Sobre el Ecuador formando triedro
directo.

Plano fundamental: Ecuador

Tiene asociado un elipsoide de referencia cuyos ejes y
origen coinciden con los del sistema.

Los parámetros del geoide son:

Un elipsoide de referencia Macarena 1

Semieje menor a para el punto magmático Macarena
1= 6336113.768

Aplanamiento f = 1/298.257223563

Tabla numero 7 Punto
fundamental

Para ver la tabla
seleccionar "Bajar trabajo" del menú superior

-Origen de latitudes y longitudes

F g =
0 ° l = 0 ° mismo origen del sistema
convencional.

Paso 10: Graficar la ecuación; esto
sirve para verificar si lo que hacemos esta acorde con la
realidad.

Paso 11: Comparar los gráficos con otros métodos
geodésicos y geofísicos para ver si se ajustan a la
realidad, aplicando el método de mínimos
cuadrados.

Tomando un elipsoide de referencia, el geoide queda
determinado cuando se conocen tres puntos en la superficie del
elipsoide de referencia la altura del geoide o la superficie
equipotencial del campo de la gravedad coincidente con la
discontinuidad de Mohorovicic en reposo.

LA REGRESIÓN SIMPLE

El análisis de regresión
simple trabaja con una sola variable independiente para
explicar un valor y resulta útil, entre otros aspectos,
por su relativa facilidad de manejo.

En estos casos se suele relacionar la superficie
(entendida como variable dependiente o explicativa) con el valor
de los puntos (x.y.z) entendido como variables independientes), y
resulta relativamente sencilla su representación
gráfica mediante ejes cartesianos en los que se reflejen
ambas variables a partir de las cuales es posible deducir, por el
procedimiento
matemático de los mínimos cuadrados, la
ecuación de la línea o la superficie que mejor se
ajusta a los puntos expresados o que mejor refleja la tendencia
de los mismos.

Los modelos matemáticos más habituales de
regresión simple utilizados en geodesia son:

– Lineal que presenta una recta cuya
ecuación es: en donde y seria la variable dependiente (el
valor de mercado) y
x la variable independiente (la
superfície).

-Logarítmico con la siguiente
expresión: .

Los valores "m", "b", "a", así como el
coeficiente de correlación lineal "R", que nos indica el
grado de ajuste del modelo a partir de las varianzas, se obtienen
fácilmente mediante aplicaciones informáticas
estándar muy conocidas, como de la hoja de calculo
"Excel", donde
también es muy fácil obtener la desviación
típica de los valores unitarios así como el
intervalo de confianza estadística cuyos valores nos darán
idea de la calidad del
universo
muestral propuesto, así como de la bondad del resultado
final obtenido.

Modelo con una variable independiente y dos
parametros: y = b0 + b1 .
x

Para cada geoide :

yi = b0 + bi .
xi (i = 1,2,3…..9)

Para el conjunto de n geoides :

ŷ = a
+ b .
Xi + e
i (Ecuacion de regresion)

El termino añadido es el de "error", que describe
la sumatoria de las distancias de la recta de ajuste a cada
punto

e = (yi –
ŷi ) (i =1 hasta n)

Por el momento no es posible comparar con otros metodos
del geoide; dejo este metodo para que alguien lo utilize en el
futuro.

Justificación del método
geométrico.

Los dos pilares de las matemáticas de la
antigüedad fueron la aritmética (ciencia de los
números) y la geometría (ciencia de las formas y las
relaciones espaciales).

La aritmética fue ampliada por el álgebra,
la cual suministro una notación abreviada para resolver
los problemas en
el supuesto de que hubiese cantidades desconocidas.

En el siglo xvii, la aritmética y el
álgebra se unificaron con la geometría
en la geometría
analítica, la cual suministro una técnica para
representar los números como puntos en un diagrama,
para convertir las ecuaciones en formas geométricas y
para convertir las formas geométricas en
ecuaciones.

La aproximación analítica de esta nueva
geometría abrió el camino a matemáticas
superiores resumidas en la palabra <<análisis
>>. el primer descendiente el análisis fue el
calculo, un sistema para analizar el cambio y el
movimiento en
función
de puntos o números unidos en sucesión
continua.

Cuando en 1975 Benoit Maldenbrot presentó su
primer ensayo sobre
los objetos fractales, pocos preveían la influencia que
esta nueva concepción de la geometría iba a tener
sobre las ciencias de la
tierra. Sin embargo, los primeros ejemplos de figuras fractales
fueron tomados de las formas topográficas, en particular
las líneas de costa ("Cuánto mide la costa de
Bretaña?") y las montañas. Maldenbrot asegura
que en que la naturaleza no
se presentan líneas ni superficies que puedan ser
definidas por la geometría euclidiana clásica: "Las
montañas no son cónicas, las costas no son
circulares, el rayo no es rectilíneo".

Los geodestas podrían agregar: los planetas no
son esferas ni elipsoides. La "forma geométrica" de la
tierra lo es sólo en la concepción euclidiana
clásica.

Las formas física (geoide) y
topográfica deberían poder ser
estudiadas bajo la nueva y eficaz óptica
de la geometría fractal, que aún teniendo
sólo un cuarto de siglo de vida, está dando
valiosos frutos en los campos geo – topo –
cartográficos.

En 1986 el eminente geodesta austríaco Helmuth
Moritz, sorprendió a la comunidad
geodésica con un artículo que forma parte del
simposio
QuoVadimusi, advirtiendo sobre la posibilidad de estudiar las
infinitamente irregulares formas de las costas, lagos,
cúmulos de nieve, etc. con la ayuda de la entonces
recién aparecida teoría
fractal.

Las tres formas de la tierra

Tradicionalmente la geodesia divide el estudio de la
forma de la tierra en tres partes: la forma topográfica,
la forma física y la forma geométrica.

La forma geométrica es adoptada con el objeto de
referir las mediciones geodésicas a una superficie de
definición matemática sencilla. Más de un
siglo de estudios, mediciones y aproximaciones teóricas
dieron por resultado la elección del elipsoide de
revolución como figura más plausible, y sus
parámetros fueron sucesivamente ajustados hasta la
situación actual, en la que se ha llegado
prácticamente a un conocimiento
de los mismos que satisface todas las necesidades
prácticas.

El geoide es por su parte la figura elegida como forma
física de la tierra y se define como una de las infinitas
superficies equipotenciales del campo de gravedad terrestre,
aquella que coincide sensiblemente con el nivel de equilibrio de
los mares. Esta superficie es irregular, por cuanto el geoide se
"ondula" por muchas razones, principalmente por efecto de las
irregularidades de la composición física de la
tierra y particularmente de su corteza. Una primera
aproximación a esas ondulaciones ofrece un aspecto suave y
continuo, pero no bien se agranda la escala del
trabajo, aparecen sucesivamente nuevas ondulaciones e
irregularidades. La geofísica hace un estudio "regional" y
"local" del geoide y de los demás atributos del campo de
gravedad. Las características apuntadas permiten anticipar
que el geoide puede considerarse un fractal, ya que:

2. Presenta irregularidades en cualquier
   escala
3. Las irregularidades tienen relación con la
   escala, lo que permite avizorar la posibilidad de asignarle al
   geoide una dimensión fractal
4. Las circunstancias anteriores inhiben la posibilidad
   de trazar tangentes sobre su superficie, que no dependan de la
   escala de observación..

2.12 Justificacion para su
utilización

El creciente interés
por la naturaleza en nuestro país ha significado un
notable interés cultural, que enrique ce la sociedad y
revierte un mayor cuidado del territorio.

Acompañan a este proceso un
aumento de vocaciones por el estudio del medio físico y un
desarrollo general de la atención hacia los temas científicos
que permiten conocer los roquedos, bosques, ríos,
litorales que constituyen los paisajes que vivimos o los espacios
libres que queremos recorrer.

Las formas elementales de esos paisajes y las formas mas
básicas de las geoformas dinámicas aparecen el
relieve que articula, soporta y se integra en complejas
interrelaciones en el resto de la naturaleza y los hechos
añadidos por los hombres.

Así el interés de la geomorfología
se va extendiendo en razón de su eficacia
explicativa: esta ciencia encuentra una de sus mejores
posibilidades de interpretación en los elementos
significativos del paisaje, de su configuración y sus
interdependencias..

Los análisis morfológicos de estos
espacios pueden ser útiles para diversos lectores:
especialistas en unos u otros campos de la naturaleza,
geógrafos,
paisajistas, analistas del territorio o par quien busque
satisfacer una necesidad cultural en la geomorfología,
incluso mediante el
conocimiento local de los. De los modelos aquí
expresados.

Debido a la inmensa cantidad de teorías
de formación de la corteza; la determinación del
Geoide magmática seria una forma de probar alguna de las
teorías formuladas (ver cuadro Numero 1) su veracidad o
utilidad para
la explicación de los siguientes
fenómenos:

1. La tectónica de placas:

Existen varias teorías orogénicas, todas
ellas englobables en verticalistas y horizontalistas, las cuales
intentan explicar la orogénesis mediante la acción
de fuerzas verticales y horizontales respectivamente.

Las deformaciones en la astenósfera producen
distorsiones en la litósfera suprayacente creando el
geoide. Se debe profundizar en el estudio de mareas a nivel de la
astenósfera, pues en este camino existe la posibilidad de
encontrar el mecanismo del movimiento de placas
litosféricas.

En la litósfera, el geoide favorece zonas de
tensión y de compresión que originan diferentes
placas que se mueven hacia el oeste con velocidades diferentes.
Las diferencias en velocidad
producen movimientos aparentes hacia el este en algunas placas.
Se debe profundizar en el estudio de mareas a nivel de la
astenósfera, pues en este camino existe la posibilidad de
encontrar el mecanismo del movimiento de placas
litosféricas. Por eso el geoide magmático se
plantea para encontrar este mecanismo.

No se tiene aún una respuesta satisfactoria sobre
el origen del movimiento de placas litosféricas. La
inclinación de Wegener (1929) al pensar en las fuerzas
productoras de marea para el desplazamiento de continentes,
podría dar origen a una profundización exhaustiva
en este tema, lo cual no se pretende aquí, sino mencionar
algunos puntos que despierten interés por el
análisis de la posible acción de las mareas en la
tectónica de placas.

Cuando dos placas colisionan y cada una esta compuesta
por corteza continental, se forman montañas
altísimas. Al igual que dos automóviles que
chocaran de frente, los bordes de la placa se estrellan se
comprimen y se doblan hacia arriba. Debido a que
las montañas tienen su origen a partir de la
discontinuidad de Mohorovicic, por lo tanto cualquier altura
interna o externa debe medirse a partir de dicha
discontinuidad.

2. El sistema dinámico tectónico
esta ligado estrechamente a la estructura
interna de la tierra y a las características
físicas del planeta.

Este sistema es responsable de los rasgos mayores de
la superficie terrestre, como son los continentes y las cuencas
oceánicas. A su vez, en los continentes los rasgos
estructurales mayores de son los escudos, las plataformas y las
montañas o cordilleras plegadas, y en los fondos
oceánicos son las dorsales oceánicas, las planicies
abisales, los montes submarinos, las fosas y los márgenes
continentales.

El sistema tectónico es el sistema
dinámico que controla los desplazamientos horizontales de
la corteza (deriva continental y expansión de los fondos
oceánicos) y los ciclos de vida de los océanos (su
"nacimiento", evolución y "muerte")

El sistema dinámico tectónico
está asociado directamente con la teoría de placas
tectónicas

3. La gravedad juega un rol fundamental en la
dinámica de la tierra. En el sistema
hidrológico, el flujo o desplazamiento del hielo
(glaciares), el agua
corriente superficial (ríos) y la subterránea
(napas y nivel freático), está regulado por la
fuerza
gravitatoria. En el sistema tectónico, los alzamientos y
hundimientos de la corteza (movimientos verticales de ascensos y
descensos de la superficie terrestre), que se combinan con los
movimientos horizontales de las placas, son muchas veces
controlados por la gravedad.

4. La teoría de la Isostasia sostiene que los
alzamientos y hundimientos continuos que afectan a corteza como
respuesta a la fuerza de la gravedad, tienden a mantener un
balance o equilibrio gravitacional en todo el sistema.

Todo ajuste isostático, esto es la tendencia al
punto de
equilibrio gravitacional entre corteza y manto, hace que la
primera desplace el manto de acuerdo con su volumen y
densidad, y la
fuerza que controla estos ajustes es la gravedad.

Cualquier cambio en la superficie terrestre, por
adición o remoción de material, causa un ajuste
isostático (los relieves montañosos altos tiene
raíces profundas en el manto.)

La isostasia está ligada a todos los procesos que
modifican la distribución de los materiales
sobre la superficie terrestre, ya que todo tipo de carga o
descarga en superficie produce movimientos verticales de la
litósfera.

El concepto de isostasia es fundamental para estudiar
los rasgos mayores de la corteza, como son los continentes, las
cuencas oceánicas y las cadenas de montañas…. y,
por consiguiente, para comprender la respuesta de la corteza a la
erosión, sedimentación y
glaciación.

Esto significa que el ajuste isostático
está envuelto en casi todos los procesos
exógenos.

Es indudable que la fuente del movimiento de las
placas
tectónicas habrá de ser el foco de estudios y
debates científicos durante muchos años por venir y
que aunque nos queda mucho por aprender sobre la superficie
cambiante de la tierra, su estructura interna y la fuente del
movimiento de las placas tectonicas.

5. Puntos calientes:

Al igual que una banda transportadora, las placas
tectonicas se mueven por la superficie de la Tierra. En
algún momento de su historia, una placa puede pasar por
encima de una columna térmica o un punto caliente
estacionario. Por alguna razón existen puntos fijos en el
interior de la tierra que son anormalmente calientes. En ellos el
calor que sale
y el magma que brota generan una serie de características
volcánicas que marcan el movimiento de la placa sobre el
punto caliente.

Figura Numero 27 Isostasia
Teoría de Airy

Tomado de La superficie de la Tierra I Un vistazo a un
mundo cambiante, Jose Lugo Hubp Colección La Ciencia
para Todos. Fondo de Cultura
Economica , México D.F 2002.

Se piensa que los puntos calientes se originan en
desfogues termales profundos del manto, por debajo de la
astenosfera y quizás incluso entre el núcleo y el
manto. Hasta ahora no se ha podido determinar un
patrón incontestable en la distribución de los
puntos calientes actualmente activos. El
geoide magmático puede utilizarse para determinar
geométricamente su aparición o su
existencia.

Los científicos investigan activamente la fuente
del calor y del magma de los puntos calientes, las causas del
cambio en la actividad de los puntos calientes, los controles
sobre su distribución espacial, y su vinculo con el
cambio del clima.

6. El origen de estos fenómenos, a determinadas
profundidades corticales sugiere procesos dinámicos
internos que serian muy fáciles de estudiar y comprender
si tuvieran un sistema de referencia propio para su estudio y
aprobación.

7. En Geología y
Oceanografía es necesario definir otras superficies
matemáticas de referencia para calcular altura (en este
caso profundidad), posición (latitud y longitud respecto a
un eje de meridianos y paralelos) en relación con esas
superficies internas.

8. Shaw sugiere que la disipación de la
energía de marea en la tierra sólida puede ser un
factor importante en la generación de magma suponiendo que
las mareas magmáticas sean mecanismos disparadores de
circulación convectiva (Wy1lie, 1971).

9. La sísmica de refracción muestra que el
Moho asciende progresivamente desde el continente emergido, con
una corteza potente, hasta las cuencas con corteza
oceánica delgada que bordean las márgenes estables.
El hundimiento del zócalo de estas márgenes puede
ser interpretado como una consecuencia isostática del
adelgazamiento cortical, por lo que una de las principales causas
de la subsidencia es la formación de una "Corteza
Intermedia" en la zona de transición continente
océano.

10. El campo de gravedad de la Tierra, desde hace
más de 38 años, se da mediante los Modelos
Geopotenciales (MG); a partir de cuyos coeficientes
armónicos es posible calcular, entre otras
características, las ondulaciones / anomalías del
geoide. La mayoría de los MG desarrollados hasta la
actualidad: Gruber T. et al (1995), Nerem R.S. et al (1995),
Milbert D. (1995), Rapp R. H. (1996) y Lemoine F. G et al(1997)
aseguran precisiones relativas de 1 cm en 200 Km. y espaciales de
18-24 cm., para el geoide global. El geoide magmático
estudia desde el punto de vista geométrico el campo de
gravedad.

11. Por el Principio de superposición de los
estratos (Stenon 1669). Los estratos se depositan inicialmente
horizontales, situándose los más antiguos debajo.
Aunque, existen numerosas excepciones. Permite establecer el
orden de sucesión de los estratos en una zona determinada,
es decir, determinar la antigüedad relativa de cada uno de
ellos. El geoide magmático determinaría otra forma
de estudiar este principio.

12. El estudio de la geología aborda muchas
cuestiones fascinantes y prácticas sobre nuestro entorno.
La espectacular erupción de un volcán, el terror
causado por un terremoto, el espléndido escenario de un
valle de montaña y la destrucción causada por una
avalancha, todos son temas de estudio para el geólogo.
Preguntas como: ¿ que fuerzas producen las montañas
?, ¿ habrá pronto otro gran terremoto en Chile ?,
¿ cómo fue el período glacial?, ¿
habrá otro ?, ¿ deberíamos buscar agua
aquí o allá ?, ¿ se encontrará
petróleo si se perfora un pozo en este
lugar ?, ¿ que sucederá si colocamos el vertedero
en una vieja cantera ? ¿Cuál es la altura real de
una montaña terrestre o submarina desde el punto de vista
Geológico?, ¿Será que son 2600 metros?,
¿En que punto se originan las montañas?,¿En
que punto se originan los terremotos?,
¿Que forma tiene la tierra en el área cercana a
esos puntos?,¿A que profundidad se originan las chimeneas
volcánicas?,¿Cómo saber en el tiempo si una
cadena montañosa, un escudo o una montaña se hunde
o se eleva en el manto ?,¿Qué dirección
toman las corrientes de movimiento del magma en la teoría
de placas tectónicas?. ¿Qué provoca los
cambios de movimiento o la deriva inicial?, ¿Qué
controla el índice de expansión del suelo marino?,
¿Puedo medir este índice de otra forma?,
¿Cómo puedo medir estos movimientos?

El geoide magmático daría respuesta a
estas preguntas y las justificaría o
rechazaría.

13. Además el elipsoide magmático se puede
utilizar para el cálculo de distancias, triangulaciones y
trilateraciones sobre dicha discontinuidad de una manera un poco
mas fácil.

Para lograrlo, es conveniente reducir los ángulos
medidos, las bases y las grandes distancias al elipsoide
magmático de las obtenidas en el elipsoide oceánico
tradicional de la misma manera que se convierten coordenadas de
un sistema a otro.

La existencia de un sistema de referencia único
para la Geología (y su aplicación a la
oceanografía) que defina la posición de ocurrencia
de esos fenómenos bajo la superficie terrestre; confirma
el origen que siempre ocurre sobre superficies internas de la
Tierra en medios con
diferente densidad .

cortical, espesor y siempre a una determinada
profundidad respecto al Geoide oceánico
conocido.

Por eso he decidido determinar el geoide
magmático para corroborar estas teorías o formular
otras que modifiquen el conocimiento de dicha discontinuidad; por
eso trato de realizar este nuevo sistema de
referencia.

14. Predicción sísmica

La predicción es un asunto difícil. No
obstante , algunos estudios exitosos en esta materia se han
logrado en china y en los
estados
unidos.

En china, se ha informado de 15 aciertos en total (no
obstante esta información, en occidente se duda de que
ésta sea cierta, como también hay dudas de la
efectividad de los métodos empleados). Las predicciones en
china han estado basadas
fundamentalmente en observaciones del comportamiento
de animales y en
cambios producidos en los niveles freáticos. (se le presta
mucha atención al período de baja, cuando el tiempo
de recurrencia ha sido largo. La población completa está organizada
en torno al proceso
de la predicción).

En estados unidos , los estudios se han basado en la
teoría de la dilatación o deformación previa
a que es sometida la roca. La roca se hincha antes de romperse, y
numerosas microfracturas comienzan a producirse en medio del
"stress" de
fractura, generándose diferencias en algunas de las
propiedades de las rocas, como ser en la resistencia
eléctrica, la velocidad de las ondas
sísmicas, el gas radón,
y otros.

Predecir un sismo involucra 3 parámetros
bién condicionados: (1) indicar el lugar donde
ocurrirá el próximo sismo, (2) el momento en que
ocurrira (fecha y hora), y (3) , estimar la magnitud que
tendrá.

En general, la localización y el momento en que
ocurrirá un sismo, no pueden ser predecidos con exactitud;
tampoco su magnitud.

Por eso el geoide magmatico puede ser una herramienta
para comenzar predecir su ocurrencia con un grado de
exactitud.

Sin embargo, el riesgo
sísmico puede ser avaluado, a partir de datos
históricos y mediciones instrumentales, y establecer zonas
sísmicas de alto riesgo, preparándolas para
enfrentar futuros terremotos, y minimizar así los
eventuales efectos (destrozos) en las construcciones y la
población.

Tabla numero 8 Teorías sobre la
formación de la corteza. Tomado de Geología
estructural, Lu. Siterr, Traducción por Vicente Pastor Gómez
y Agustín Navarro Alvar Gonzáles Ediciones Omega
S.A. Barcelona 1976 Universidad
Nacional de Colombia

Capitulo 3 El Geoide
Fosa

Para ver la tabla
seleccionar "Bajar trabajo" del menú superior

Cajones

Si el texto se
encuentra a la luz del
día, exhala el olor hostil del marque se extiende por las
profundidades de los muebles. El contenido y la idea se han
disuelto en la respiración submarina, en la música de las algas.
Una curiosa belleza está presente en ella pero para
acercarnos sería necesario aceptar la existencia del mundo
del cual nada queremos saber a pesar de que colinda con el
nuestro, las bahías de sus mares han penetrado los roperos
y escritorios.

Traducción de Mariana
Housková

3.1 Conceptos básicos del nuevo sistema de
referencia oceanográfico.

Una aplicación especial del sistema de referencia
geológico es el geoide fosa: veamos algunas
generalidades:

"el fondo de los mares ha representado un problema
insoluble para el hombre ;
hasta épocas muy recientes. Con anterioridad al año
1920 toda investigación submarina se realizaba
mediante sondeos mecánicos cuerdas y alambres
métodos que únicamente daban la profundidad ,
métodos geodésicos que resultaban sobre manera
erróneos y laboriosos. La aplicación de ondas
ultrasonoras para el sondeo acústico significo un paso
decisivo para el conocimiento del relieve submarino. Mediante su
aplicación hemos tenido la sorpresa de hallar un relieve
submarino mucho mas accidentado que el terrestre y la de
comprobar que los centros de los océanos no son las
cubetas de sedimentación que se habían supuesto
sino que el eje de los actuales geosinclinales están
situados en la cercanía de las masas
continentales.".

El fondo del mar (El océano) aparece constituido
por cuatro regiones claramente diferenciadas:

a. Plataforma continental zona que bordea los
continentes con profundidades que llegan hasta los 180 metros y
representa el 9% del fondo. Constituye el umbral de los
continentes y al compás de las mareas y los ascensos y
descensos del nivel del mar acaecidos a través de los
diferentes periodos

geológicos presentan alternativamente zonas
emergidas y sumergidas. Sobre ella se depositan los sedimentos
neríticos, constituidos por arcilla, lodo, arena y materia
orgánica de procedencia terrestre en su
mayoría.

Imagen numero 3 plataforma
continental.

Tomado de
Buscador de imágenes:
Fondo marino

Encontrado en Plataforma tomado de

http://ww2.cascoantiguo.com/runtime/mostrarpagina.asp?idcon=2159

En la superficie de la corteza, la capa sedimentaria
forma en general una película, tanto sobre los continentes
como en los océanos. Por el contrario, se espesa
considerablemente, hasta alcanzar localmente una potencia que
sobrepasa los 10 Km., sobre las márgenes continentales
actuales o fósiles.

(cadena plegada). Más de la mitad de los
sedimentos de las márgenes de tipo
"Atlántico".

1. Talud Continental: plano inclinado que se hunde
   rápidamente hasta los 2000 metros y ocupa alrededor del
   7% del fondo oceánico. Ofrece los mayores desniveles
   continuos que se conocen en la Tierra, poco sinuoso en su
   conjunto presenta profundos cortes los cañones
   submarinos.

Figura Numero 28 plataforma
continental.

Tomado de www.google.com.co
Buscador de imágenes: Fondo marino

c. Fondo oceánico: profundidades
oceánicas entre los 2000 y 6000 metros que ocupan el 83%
de esa superficie. Contienen los accidentes
submarinos mas sorprendentes: Las Dorsales una especie de
cadenas oceánicas sumergidas que dividen el fondo
oceánico en grandes cuencas; Los Pitones de aguda cima
constituidas por volcanes submarinos que no han logrado emerger
y los extraordinarios Guyots elevaciones de cima plana que
tienen profundidades medias de 1000 metros.

Las cuencas sedimentarias asociadas, pueden alcanzar de
1 a 6 km de espesor y en algunos casos más.

Ej.: Margen atlántico del continente
sudamericano. Las cuencas sedimentarias más potentes se
ubican en la desembocadura de los grandes sistemas progradantes
como el del Río de la Plata.

d. Dorsal Oceánica

Margen divergente entre placas oceánicas que
genera una cordillera o dorsal submarina, de 5 a 7 km de altitud,
cuya ubicación coincide con la zona de mayor
extensión y atenuamiento cortical donde el manto
astenosférico se halla a solo 6 – 7 km de profundidad. En
este sector, a través de fisuras laterales, centrales y
estructuras de
horst – grabens, se produce la efusión de material desde
la astenósfera con expansión del fondo
oceánico.

Ej .: Dorsal centro-oceánica
atlántica.

Imagen numero 4 Fondo
oceánico.

Imagen de fondo oceánico Tomado
de www.google.com.co
Buscador de imágenes: Fondo marino

Fondo marino2 tomado de
http://www.ua.es/centros/ciencias/cienciasdelmar/ccmm2.htm

Fondo marino 1 tomado de http://chamaesp.tripod.com.ar/bryce5e.htm

d. FOSAS OCEANICAS: Las fosas oceánicas o
submarinas son grandes abismos o depresiones de los fondos
marinos (los superiores a los 6.000 metros de profundidad). Son
físicamente estrechos y largos, ubicados en los bordes
continentales y próximos a los archipiélagos. Las
fosas oceánicas suponen menos del 2% de las profundidades
oceánicas, pero son fisiográficamente muy notables,
y al contrario de lo que cabría esperar se encuentran
paradójicamente cerca de los continentes. La mayor parte
de ellas se localizan en el borde occidental del océano
Pacífico, pero también en el Índico y el
Atlántico Norte.

La fosa más profunda, con unos 11.000 metros
aproximadamente, y por tanto el punto más profundo de la
Tierra, es la fosa Challenger, también llamada de las
Marianas, por encontrarse en las proximidades de esas islas. Le
siguen las de Tonga, con unos 10.800 metros; y Filipinas y
Kuriles, con unos 10.500 metros; todas ellas situadas en el
Pacífico. Por su parte, las fosas más largas son
las de Perú-Chile, con unos 5.900 Km. de largo; Java, con unos
4.500 Km.; y Aleutianas, con unos 3.700 Km.

Imagen numero 5 Fosas y fondo
oceánico.

Tomado de www.google.com.co
Buscador de imágenes: Fondo marino

Imagen de
www.geologia.ucr.ac.cr

Las fosas oceánicas, al igual que las dorsales
oceánicas, tienen especial interés para comprender
como funciona la tectónica de placas. Mientras que unas se
asocian con una plataforma continental, otras lo son con un arco
de islas. Las dorsales se forman cuando se separan dos placas
litosféricas, mientras que las fosas surgen cuando dos
placas colisionan y se produce la subducción, es decir,
una de las placas se introduce por debajo de la otra que cabalga.
Si una placa oceánica colisiona con otra placa
continental, la oceánica se subduce por debajo de la
continental por efecto de la mayor densidad de aquélla,
formándose una fosa en el mar y una cadena de
montañas volcánicas en tierra.

Tabla numero 9 Profundidades
Máximas en las Fosas Marinas.

Una curva hipsométrica revela la escasez de
montañas superiores a los 600 metros o de partes del fondo
oceánico con una profundidad superior a 600
metros.

Estas altitudes y profundidades extremas constituyen
menos del 1% de la superficie terrestre.

Figura Numero 29 Perfil general del
océano

3.2 Los nuevos estudios del fondo
oceánico.

Para el estudio de la forma y dimensiones de las cuencas
oceánicas se obtienen en la superficie objeto de estudio
puntos geológicos por medio de herramientas
oceanográficas; de cuya posición se deduce la forma
de la litosfera oceánica presente en todo el Globo. Para
situar estos puntos es preciso referirlos a una superficie que
puede ser real o arbitraria.

Para determinar un sistema de referencia para esta
superficie que se encuentra por debajo del nivel se debe tener en
cuenta:

2. el punto mas profundo (que se encuentra mas abajo) de
   esa superficie que tenga la misma densidad
   superficial.
3. Los puntos de la Tierra que mantengan un nivel
   relativamente constante respecto a variaciones
   periódicas del nivel medio del mar.
4. Un punto de fácil determinación por
   otras ramas de la ciencia (Oceanografía
   geológica, Geodesia, Sísmica y
   Gravimetría)

Teniendo en cuenta lo anterior decidí tomar las
fosas oceánicas como profundidad máxima de
referencia porque:

1. Los sedimentos oceánicos se depositan a un
   ritmo muy lento del orden de 0.4 a 1.3 CMS al
   año.
2. Las Fosas oceánicas son los puntos
   oceánicos más profundos del globo
   terrestre.

Debido a la existencia de varias fosas marinas decidir
cual de ellas sirve como base para determinar una superficie de
referencia es complejo; debido a que no existe otro punto mas
profundo en el suelo oceánico diferente a la fosa de las
marianas para el cálculo de las alturas submarinas se
escoge esta fosa para el calculo de los parámetros del
geoide.

3.3 La Fosa de las marianas

La fosa de las Marianas, también llamada fosa
Challenger en honor al HMS Challenger II que realizó los
sondajes en 1948. Se sitúa en el Pacífico
occidental, y se extiende en forma de arco junto a la dorsal de
las Marianas a lo largo de unos 2.550 Km., con una anchura
aproximada de 70 Km. Su profundidad es de unos 11.034 metros,
sondada a unos 338 Km. al Suroeste de la isla de Guam, en el
extremo Sur occidental.

Figura Numero 30 Fosa de Las
Marianas

Tomado de http://www.iespana.es/natureduca/index_ini.htm

La fosa Challenger se encuentra ubicada entre los 10 y
16° de latitud geológica Norte y los 140 y 144° de
longitud este

3.4. El geoide fosa

Al determinar correctamente el punto mas bajo de la
superficie terrestre, ahora definamos al Geoide Fosa:

Geoide Fosa: Es una superficie de nivel
que coincide con la profundidad máxima del océano
idealmente extendida bajo la topografía submarina hasta las masas
continentales; sirve como nivel de referencia o nivel 0 el Geoide
fosa para medir la altura normal geológica de distintos
puntos en la superficie oceanográfica interna
terrestre.

3.5. El Elipsoide Fosa

El elipsoide fosa es una superficie de revolución
achatada que sirve como modelo matemático para la
representación de una superficie interna de la Tierra
denotada como el fondo oceánico; es utilizada para
realizar cálculos y estudios sobre esa superficie situada
lo más cerca posible al geoide fosa.

Tenemos aquí que diferenciar al elipsoide del
geoide, éste geoide es la representación de la fosa
oceánica Challenger totalmente extendida bajo la corteza
terrestre hasta las masas continentales,

3.6 Alturas Submarinas

Dentro de este sistema de referencia se obtienen dos
tipos de alturas:

Altura ortometrica submarina: es la distancia en
magnitud que separa ese punto de la superficie de origen (geoide
fosa) medida sobre la vertical física que pasa por dicho
punto en un medio con densidad aproximadamente igual a 1 gramo /
cm3.

Altura submarina: Las alturas normales
están calculadas a partir de alturas dinámicas
compensadas. Poseen las mismas ventajas que las alturas
ortométricas, pero además hacen intervenir los
valores de "g" medidos y no los teóricos determinados en
medios con densidad aproximadamente igual a 1 gramo /
cm3.

En este sistema se pueden calcular estas alturas porque
se pueden medir la aceleración de la fuerza de
Gravedad.

Figura Numero 31 alturas
submarinas

Origen de coordenadas: para este sistema el
origen debería ser una de las fosas oceánicas ya
estudiadas por ser los puntos oceánicos de mayor
profundidad en el globo terrestre. Y decidí tomar el punto
correspondiente a la fosa de las marianas con:

3.7 Latitud geológica y longitud
geológica.

Por ser el mismo sistema de referencia geológico
las consideraciones geométricas son las mismas para estos
dos geoides. (Releer páginas 20 a 27).

3.8 POSICIONAMIENTO
EN EL NUEVO SISTEMA DE REFERENCIA
OCEANOGRÁFICO.

Debido a que los puntos que se toman en base al sistema
de referencia geológico se este sistema debe incluirse la
densidad s del
punto que desea determinarse así:

Posición de cualquier punto bajo la superficie
oceánica =

F( F
g, l ,
h, a g,
Cq, s ,
s 1,
T)

Donde:

F g = latitud
geológica.

l = longitud
geológica.

h = altura geológica o profundidad el
punto.

a g = Azimut
geológico del punto.

Cq = Composición química en el punto
de observación.

s = densidad de la
capa donde se ubica el punto.

s 1 = densidad del
agua en el punto observado.

T = tiempo de origen del proceso o edad
cronológica del punto.

Para la justificación de este sistema
léase el apartado 3.3.6 Posicionamiento en el sistema de
referencia geologico pagina 31.

Finalmente, el Datum oceanográfico esta compuesto
por:

1) un elipsoide: ( EL ELIPSOIDE FOSA O EL ELIPSOIDE
OCEANO FIGURA NUMERO 26)

2) por un punto llamado "Fundamental" en el que el
elipsoide y el fondo oceánico son tangentes. De este punto
se han de especificar longitud, latitud y el acimut de una
dirección desde él establecida que sirva para el
origen de latitudes y longitudes.

Para este caso el punto fundamental es la fosa
Challenger 1.

3.9 Medidas geodesicas sobre el elipsoide
fosa.

– Las medidas geodésicas (ángulos,
distancias) se tratan de forma análoga al elipsoide
oceánico.

– La altitud H se obtiene por un sondador de eco en un
buque al servicio
oceanográfico.

3.10. Determinación del geoide
fosa.

Para este elipsoide la superficie de referencia es la
fosa de las marianas; y su grado de complejidad geométrica
es bajo; debido a las razones expuestas en los pasos 1 al 4 en la
determinación del geoide magmático; este
método de determinación es mas resumido que el
método utilizado en el geoide fosa; pero sigue su misma
esencia (Ver el anexo 1).

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO (Ver el
anexo 1)

1. Determinar cual es el elipsoide y los datos de los
vértices mas adecuados para la realización de los
cálculos.

Tabla numero 10 Elipsoide escogido
para los calculos.

Fuente: Torge, W. Geodesia.
México: Editorial Diana, 1983

Zakatov, P. S. Curso de geodesia
superior. Moscú: Mir, 1981. Vease pagina 35 de este
trabajo.

2. Determinación del elipsoide fosa a partir del
elipsoide oceánico a partir de la siguiente
formula:

Sea:

D a =
variación del semieje mayor.

Pt = Profundidad total

P = Profundidad del punto

Hs = altura geológica o submarina de
nivelación en el respectivo elipsoide.

h
i = ondulación geoidal
en el respectivo elipsoide.

e2 = excentricidad del elipsoide
magmático.

ai = semieje mayor del elipsoide
respectivo.

Ni = normal en el elipsoide
respectivo.

F g = latitud
geológica.

F = latitud
normal

l = longitud
geológica.

Considerando las coordenadas cartesianas de la figura
numero 32 con el supuesto de F g = F tenemos:

X1= (N1 – P
+ h
1)*cos(F g)*cos(l )

Ecuación * en el elipsoide
oceánico

X2=(N2 + Hs
+ h
1 )*cos(F g)*cos(l )

Ecuación en el elipsoide
fosa

Dividiendo estas dos ecuaciones (X1 /
X2) y simplificando obtenemos:

( N1 – P + h 1 ) =(
N2 + Hs + h
1)

Figura Numero 32 cálculos de
los parámetros del elipsoide.

Como Hs = Pt – P obtenemos :

(N1 – P + h 1) = (
N2 + Pt – P + h 1)

Al simplificar obtenemos:

D
N = N1 – N2 =
Pt

entonces

D
N = (N1 – N2) = ( E
+ H )

a1

como N1 =

(1-e2sen2F
g)1/2

a2

N2 =

(1-e2sen2F
g)1/2

Reemplazando y despejando obtenemos:

Nota: esta ecuación solo funciona si ambos
elipsoides tienen la misma excentricidad si esto no es así
la ecuación cambia radicalmente.(ver anexo 2)

Con esta ecuación obtenemos :

Tabla numero 11 Determinación
de los semiejes de los elipsoides fosa.

Nota: los valores de la fosa Challenger difieren en
estos tres puntos; porque los métodos de obtención
de la profundidad de la fosa y el año de
determinación de la misma difieren; por lo tanto formulo
el siguiente supuesto "el valor de la profundidad corresponde a
puntos diferentes"; por eso tomo los valores diferentes como
puntos para el calculo de este trabajo.

3. Determinación de las coordenadas cartesianas
en el nuevo elipsoide Fosa.

Debido a que cada punto se encuentra sobre elipsoides
con diferentes parámetros (formula) y al desconocer una
ecuación matemática que relacione diferentes
elipsoides se debe realizar el calculo de cada punto por separado
para diferentes elipsoides.

Tabla numero 12 Determinación
de las coordenadas de los vértices en los elipsoides
fosa.

4. Determinación de la ecuación del
elipsoide principal.

Ax2 + By2 +
Cz2 + J = 0

((X² + Y²)/ (a)²) +
(Z² / b²) = 1

Tomando el elipsoide Fosa Challenger 1 se
determina:

((X² + Y²) /
(6367104.42336)²) + (Z² / (6345756,7277458)² =
1

Al reemplazar y despejar obtenemos la ecuación
del elipsoide:

0,993305620 (X² + Y²) + 1,006739497 Z² –
1632490951823390000000000000 = 0

5. Determinación del plano principal y el
paralelepípedo principal.

Después de obtener la coordenadas (X, Y ,Z) se
debe determinar:

a. El plano principal Gx + Hy + Iz + d = 0

Para resolver el problema del plano principal,
simplemente se utilizan herramientas de álgebra lineal
para determinar un plano a partir de tres puntos; estos puntos
son:

Tabla numero 13 Coordenadas
cartesianas de los puntos generadores del plano principal para el
elipsoide fosa.

Aplicando las formulas de álgebra
lineal:

= 0

Resolviendo este determinante a partir de los valores de
las coordenadas de los puntos X0, X1 y
X2 se obtiene la ecuación del plano Gx + Hy +
Iz + D = 0 o en forma matricial Qx = D

Se obtienen los parámetros:

Q =

X = D =
[1856]

Al multiplicar se obtiene:

82797929446,9117 X1 + 1401724651,09685
Y1 + 324591737574,624 Z1 –
1856= 0

b. Resolver un sistema homogéneo de tres
variables para esto se tiene:

Gx1z1 +
Hy1z1 + I x1y1 =
0

Gx2z2 +
Hy2z2 + I x2y2 =
0

Gx3z3 +
Hy3z3 + I x3y3 =
0

Con las coordenadas de los tres puntos calculados en los
diferentes elipsoides fosa. Figura Numero 32.

Los sistemas homogéneos surgen de varias maneras;
para el sistema general homogéneo la situación es
mas simple; como X1=X2=…=Xn = 0 siempre es una
solución (LLAMADA SOLUCION TRIVIAL O SOLUCION CERO)
solamente hay dos posibilidades; la solución cero es la
única solución o hay un numero infinito de
soluciones diferentes a la solución cero.

El sistema se resuelve a partir de la ecuación
AX=0

CON:

A = X =

Reemplazando los valores de las coordenadas de los
puntos X1, X2, X3 calculados
para los diferentes elipsoides y multiplicando se
obtiene:

A =

Al resolverlo obtenemos:

Tomando la solución inicial en F para
xy

a = 6.367.104,42336

Y resolviendo el sistema homogeneo determinamos los
parámetros :

D =199582349,4

E = 35189578,11

F = 6367104,42336

Obtenemos la ecuación del
paralelepípedo:

199582349,4x1z1 +
35189578,11y1z1 +
6367104,42336x1y1 = 0

5. Realizar la sumatoria de parámetros de las
superficies.

En este paso se suman los parámetros del
elipsoide base; del plano principal y el paralelepípedo
para obtener la figura de un geoide geométricamente; su
ecuación es:

0,993305620 (X² + Y²) + 1,006739497 Z² –
1632490951823390000000000000

+ 199582349,4x1z1 +
35189578,11y1z1+
6367104,42336x1y1 +

82797929446,9117 X1 + 1401724651,09685
Y1 + 324591737574,624 Z1 –
1856

Ver anexo 2

Con las coordenadas de los tres puntos Challenger
calculados en los diferentes elipsoides oceanográficos. Se
resuelve de la misma manera que en el geoide magmático.
Releer páginas 32 a 45 (ver anexo 2).

Después de determinar el sistema de referencia
oceanográfico obtenemos:

1. Este sistema es un Sistema de referencia Terrestre
laplaciano definido como sigue:

Origen: Centro de masas de la Tierra.

Eje Z: Dirección del CIO.

Eje X: Sobre el plano del Ecuador en la dirección
de la intersección del meridiano de Greenwich.

Eje Y: Sobre el Ecuador formando triedro
directo.

Plano fundamental: Ecuador

Tiene asociado un elipsoide de referencia cuyos ejes y
origen coinciden con los del sistema.

Los parámetros del geoide son:

Un elipsoide de referencia Challenger 1

Semieje menor a para el punto Fosa Challenger 1=
6367104.42336

Aplanamiento f = 1/298.257223563

Punto fundamental.

Tabla numero 14 Parámetros del
Elipsoide principal y punto fundamental de origen.

-Origen de latitudes y longitudes

F g =
0 ° l = 0 ° mismo origen del sistema
convencional.

3.11. Justificación del geoide
fosa.

1. Las fosas oceánicas, al igual que las dorsales
oceánicas, tienen especial interés para comprender
como funciona la tectónica de placas. Mientras que unas se
asocian con una plataforma continental, otras lo son con un arco
de islas.

2. Descubrimos también que la profundidad media
del océano es de 3730 metros y la altitud media de la
Tierra es de 850 metros. El nivel medio de la corteza bajo el
nivel del mar es de 2430 metros. Dicho en otros términos
si nivelamos los continentes y llevamos los restos a las cuencas
oceánicas, La tierra quedaría cubierta por una
cubierta d agua de 2430 metros de espesor. Por eso es
básico determinar otra forma de estudio geométrico
para dichas superficies.

3. En una dorsal media oceánica el magma sube la
superficie y brota a través del lecho marino para crear
nueva corteza oceánica. La separación de las placas
en una dorsal media oceánica y la creación de nueva
corteza oceánica se llama expansión del suelo
marino. Por esta razón se debe determinar otro
método diferente a los existentes para el estudio
geométrico para dichas superficies.

4. La expansión del suelo marino ocurre en forma
intermitente y siguiendo índices variables. Por eso el
geoide fosa seria una herramienta básica para calcular
estos índices.

5. Para el estudio de las colisiones entre dos placas
oceánicas:

En la fosa de las marianas en el borde oriental de las
islas de las Filipinas en el océano Pacifico chocan dos
placas de la corteza oceánica, la placa del Pacifico y la
placa de las Filipinas. Cuando convergen dos placas
oceánicas las placa mas vieja y pesada se hunde por debajo
de la mas joven y menos densa.

6. Además el elipsoide fosa se puede utilizar
para el cálculo de distancias, triangulaciones y
trilateraciones sobre el lecho marino de una manera un poco mas
fácil.

Para lograrlo, es conveniente reducir los ángulos
medidos, las bases y las grandes distancias al elipsoide
magmático de las obtenidas en el elipsoide oceánico
tradicional de la misma manera que se convierten coordenadas de
un sistema a otro.

4. Conclusiones y
recomendaciones.

1. De acuerdo con lo expuesto anteriormente, se
recomienda que la definición del Sistema de Referencia
Geológico para la Tierra se fundamente en cinco pilares
básicos:

a. Los nueve parámetros del geoide:

El semieje mayor a, el aplanamiento f, los 3
parámetros del plano principal y los parámetros del
paralelepípedo principal.

Los diferentes elipsoides solo se diferencian unos de
otros por sus parámetros, entre los que se
encuentran:

• el semieje mayor y semieje menor del elipsoide. (a y
  b)

Estos parámetros son suficientes para definir un
marco de referencia geológico local o laplaciano. No
obstante, al ser esencialmente geométricos, éstas
deben ser complementadas con un conjunto de alturas de tipo
físico que permitan satisfacer las necesidades
prácticas de los usuarios comunes.

La superficie de referencia debe definirse de acuerdo
con el tipo de alturas seleccionado.

b. Los diferentes tipos de alturas para cada geoide(
léase alturas geológicas y alturas
submarinas)

c. La composición química del punto de
observación que se quiera determinar.

d. La densidad del punto de observación y de la
capa superpuesta al punto de observación.

e. La orientación, Rumbo o Azimut
geológico.

A partir de estos parámetros se pueden determinar
la posición geológica del punto.

2. El sistema de referencia geológico aun no
tiene un marco de referencia; Un Marco de Referencia es la
materialización de un sistema de Referencia, constituido
por un conjunto de coordenadas de objetos celestes, para los
sistemas celestes y coordenadas y velocidades de estaciones
repartidas por toda la Tierra para los terrestres; esa labor le
corresponde a los nuevos geodestas del futuro.

Todos sabemos que la tierra no es esférica ni
elipsoidal. Pero, no solo eso, ni siquiera es un cuerpo regular
conocido achatado en los polos. Esta irregularidad hace que cada
país, región o territorio, escoja el modelo de
cuerpo geométrico (representación determinable
matemáticamente o físicamente) que mas se ajuste a
la forma de la tierra en su territorio.

3. Se puede deducir la ecuación matemática
que representa un geoide a partir de la determinación de
un mínimo de 3 puntos localizados en una sola línea
(sea esta un meridiano, paralelo, azimut o rumbo) y un
máximo de 9 que es la cantidad de parámetros
necesarios para determinar una figura; tomando un origen o centro
de masas para distintos tipos de superficie formas y
volúmenes.

4. Anteriormente se consideraba la dificultad de
determinar el geoide geométricamente; después de
realizar este trabajo se ha llegado a la conclusión que
determinarlo puede ser fácil; la determinación de
las coordenadas ( x , y ,z) a partir del geoide es lo realmente
difícil.(Ver anexo 5)

5. Determinar esta ecuación
geométricamente es muy fácil, puede realizarse en
cualquier hoja de
cálculo con un grado de ajuste muy grande debido a
que:

• Es fácil de programar.
• Con tres puntos conocidos en los dos sistemas es
  posible determinar los parámetros.
• El modelo es bastante adecuado para conjuntos de
  puntos como los descritos.

6. El método geométrico utilizado e este
trabajo puede aplicarse para determinar diferentes tipos de
superficies cónicas como paraboloides, hiperboloides,
mantos, conos cilindros, formas comunes en los cuerpos
celestes.

7. Esta metodología tiene un
inconveniente:

Al usar diferentes combinaciones para determinar un
geoide especifico (oceánico, magmático o fosa) se
generan diferentes modelos matemáticos por el calculo de
los parámetros que lo conforman; generando diversas formas
para dicha superficie; que difieren entre si; solo por el valor
de los parámetros que lo conforman; por eso deben
escogerse la mejor combinación de puntos posible para
determinar el mejor modelo de ajuste. Dichos puntos no deben ser
combinaciones lineales de puntos sobre dicha superficie; porque
simplemente el método no funcionaria.

Otro inconveniente que presenta es que puede no ser muy
buena para puntos fuera de la región utilizados para
definir los parámetros porque puede ser inútil para
otros sistemas de referencia locales.

8. El geoide magmático o geológico puede
ser una herramienta básica para el estudio de las
superficies internas de la tierra, además de una
herramienta para el mejoramiento de la geodesia. El conocimiento
del Geoide será una herramienta muy poderosa en la
Geodesia del futuro. Distintas ramas de las Ciencias de la
Tierra, en particular de la Geofísica, podrán
utilizar los resultados de esta actividad y aplicarlos a estudios
específicos (prospección, geodinámica,
geotectónica, etc). La Geodesia se está focalizando
en los últimos años hacia tres temas muy vinculados
entre sí: GPS, Geoide y
Geodinámica. De allí la importancia de los modelos
matemáticos y físicos geoidales regionales,
realizados con métodos y cálculos que destacan
problemáticas particulares de cada región
(características topográficas, comportamientos de
la corteza, etc.).

9. La determinación del campo de gravedad de la
Tierra constituye uno de los objetivos
fundamentales de la Geodesia, cuyo conocimiento es muy importante
para resolver variados problemas relacionados con: la
calibración de sistemas inerciales de navegación,
el cálculo de las ondulaciones / anomalías del
Geoide o de las desviaciones de la línea vertical, el
estudio de fenómenos geofísicos y otras
aplicaciones; que exigen cada vez mayores exactitudes.

El campo de gravedad de la Tierra, desde hace más
de 38 años, se da mediante los Modelos Geopotenciales
(MG); a partir de cuyos coeficientes armónicos es posible
calcular, entre otras características, las ondulaciones /
anomalías del geoide. La mayoría de los MG
desarrollados hasta la actualidad: Gruber T. et al (1995), Nerem
R.S. et al (1995), Milbert D. (1995), Rapp R. H. (1996) y Lemoine
F. G et al(1997) aseguran precisiones relativas de 1 cm en 200 Km
y espaciales de 18-24 cm, para el geoide global.

10. Tradicionalmente, existen los métodos
gravimétricos y los métodos astrónomo
geodésicos. Existe actualmente una tercera vía de
determinación del geoide basada en observaciones a
satélites. El método
geométrico desarrollado en este trabajo es una nueva
herramienta para la geodesia superior, que puede replantear los
métodos existentes para determinar el geoide;
además este trabajo cuestiona el uso del geoide
oceánico para el cálculo de alturas.

11. El método geométrico aquí
desarrollado puede aplicarse a todo tipo de superficies que
incluyan ecuaciones cuadráticas o de segundo orden
presentes en el universo
conocido

12. Las medidas geodésicas (ángulos,
distancias) se tratan de forma análoga al elipsoide
oceánico. El principio de triangulación es bien
conocido: las distancias se obtienen indirectamente midiendo los
ángulos de una red apropiada de
triángulos; sólo una base es
necesaria para proporcionar la escala de la red. La triangulación
fue indispensable en los primeros tiempos, porque los
ángulos pueden medirse mucho más fácilmente
que las grandes distancias en las superficies internas de la
tierra. No obstante, hoy día las grandes distancias pueden
medirse de forma tan fácil como los ángulos
utilizando instrumentos electrónicos, de modo que la
triangulación, usando medidas angulares, es a menudo
sustituida o suplementada por la trilateración que usa
medidas de distancias.

La altitud H se obtiene por nivelación
geométrica indirecta (ver anexo 5) combinada con medidas
de la gravedad, mientras que F y D se determinan por medidas
astronómicas. .

13. No obstante las alturas elipsoidales son suficientes
para definir un marco geométrico de referencia vertical
preciso. Pero, al ser esencialmente geométricas,
éstas deben ser complementadas con un conjunto de alturas
de tipo físico que permitan satisfacer las necesidades
prácticas de los usuarios comunes.

14. El geomorfólogo, a menudo tiene la necesidad
de explicar los fenómenos del pasado, del presente y del
futuro, para lo cual el entendimiento de su naturaleza y de su
peligrosidad es un requisito indispensable. Sin embargo, la
explicación y la predicción son bastante
difíciles, debido a la complejidad de los sistemas
geomorfológicos y a los numerosos problemas relacionados
con la sensibilidad, la singularidad, la convergencia y la
divergencia de estos sistemas. La mejor manera de entender los
cambios contemporáneos y de predecir los cambios futuros,
es el monitoreo de los procesos y de las formas de
relieve, durante períodos de tiempo suficientes para
obtener tendencias significativas.

15. La revisión de las principales amenazas de
tipo geomorfológico permite concluir que, tanto los
fenómenos erosivos como los acumulativos pueden generar
riesgos y
desastres. Se intentó mostrar que es posible clasificar
dichos agentes perturbadores de acuerdo a su magnitud,
frecuencia, duración, área afectada, velocidad
inicial, distribución espacial y período de
retorno. Generalmente, se asocian con condiciones de alta
frecuencia/baja magnitud, tienen una amplia distribución
espacial, corresponden a situaciones de largo plazo y se
movilizan con baja velocidad inicial. Estas
características son importantes cuando se quiere hacer una
evaluación de los riesgos, porque es
posible incorporarlas a un catálogo de procesos, con tipos
bien definidos y fácilmente identificables en el terreno.
La particularidad más interesante de los riesgos
geomorfológicos es que son mejor predecibles y más
manejables que otros, como los terremotos, las erupciones o los
huracanes.

La prevención de los desastres es un problema no
solo técnico, sino también social y
económico, que rebasa las fronteras de una sola disciplina.
Como servidor de la
sociedad, el geomorfólogo debe trabajar en conjunto dentro
de un enfoque interdisciplinario, con los científicos y
técnicos de todas las áreas, tanto naturales como
sociales, para encontrar la manera de reducir las consecuencias
desastrosas de las calamidades naturales.

5. Anexos

Los anexos de esta
monografía se encuentran en la
versión completa, seleccionar "Bajar trabajo" del
menú superior

6 Glosario

 El
glosario de esta
monografía se encuentra en la
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menú superior

7. Bibliografía

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VOLUMEN I Editorial Mc. Graw Hill, México, 1999 RONALD E.
LARSON ROBERT P. HOSTETLER The Pennsylvania State University
BRUCE H. EDWARDS University of Florida.

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DALE VARBERG Hamline University.

EL CÁLCULO Editorial Oxford University Press,
México, 1998 LOUIS LEITHOLD Pepperdine
University.

Articulo Utilización de la geometría
fractal en diversos aspectos vinculados con la geodesia y
ciencias afines. Autor: Dr. Ing. Ezequiel Pallejá
Instituto de Geodesia Universidad de Buenos Aires –
Escuela Superior
Técnica – Universidad de Morón UNIVERSIDAD DE
BUENOS AIRES FACULTAD DE INGENIERÍA del documento
CONTRIBUCIONES A LA GEODESIA APLICADA Publicación del
Instituto de Geodesia de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos
Aires DIRECTORDr. Ing. EZEQUIEL PALLEJÁ num. 2003.1 Marzo
de 2003 Buenos Aires.

Tomado de Compendio de Trabajos de
investigación. CNDG – Biblioteca
Instituto Geofísico del Perú. V. 4 (2003) p.
53-64 ESTIMACIÓN DEL ESPESOR DE LA CORTEZA CONTINENTAL
EN CENTRO Y SUR DE PERÚ APARTIR DE FASES PmP MARÍA
ODELINDA MANRIQUE RIVERA Escuela Profesional de
Ingeniería Geofísica Universidad Nacional de
San
Agustín de Arequipa
Prácticas dirigidas por: Dr. Hernando Tavera
Centro Nacional de Datos Geofísicos –
Sismología

Tomado del documento que es el calculo,Autora gabriela
padilla En este documento el texto en cuestion es tomado del
capitulo realizado por varios autores; y lo encuentra en
www.google.com
criterio de búsqueda calculo diferencial +historia
el documento original es un documento de Microsoft
word.

Trabajo realizado Por correo electronico
cpatillo[arroba]saa.puc.cl Director, Centro de Percepción
Remota
Pontificia Universidad
Católica de Chile http://www.puc.cl/
Tomado de
http://www.geoinformacion.com/ediciones/1998/septiembre/proyeccion_p.html

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Blitzkow, D. y Freiras, S Unidad de Geofísica del IGAC.
Universidad del valle. Para acceder este documento se debe buscar
en www.azimuth.univalle.edu.co/svr.doc.

LAS CIENCIAS DE LA MEDIDA DE LA TIERRA. MÉTODOS
DE DETERMINACIÓN DEL GEOIDE. – GEODESIA ESPACIAL.
RECIENTES ACTIVIDADES GEODÉSICAS. Noviembre de 2002
Realizado Por: Sagrario López Amador Ingeniera en Geodesia
y Cartografía.

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estudiantes; Versión Española de Inés
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Trabajo presentado en parte en el III Congreso
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Universidad del Valle, Facultad de ingeniería,
Departamento de Mecánica de sólidos, Geología
Física para Topógrafos, Jorge cubillos Zarate
Geólogo, Cali Febrero de 1989, Tercera edición
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Fundamentos de geología, Reed Wicander y James
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Traducción Enrique Palos, Buenos Aires
Argentina.

Geología Física Básica,
Robinsón Edwin Simona, Editorial Limusa, Editorial Limusa,
Mexico 1990.

documento Geomod_III.doc Autor: Ricardo Omarini
encontrado en www.google.com
con el criterio de búsqueda capas de la tierra
Filetype: doc

Geomod_V.doc Autor Ricardo Omarini de la universidad de
Salta, Facultad de Ciencias Naturales, Carrera de
geología, se encuentra en www.google.com
con el criterio de búsqueda geologia

Informe numero 1 Instituto de investigaciones
geoelectricas de México,gerencia de
geotermia Autor Vag encontrado en www.google.com
con el criterio de búsqueda capas de la tierra
Filetype: doc

Principios de Fotogrametria Digital,Elaboracion de un
modelo digital de elevacion: Autor Ing MSc Pedro Buitrago Aguilar
Fotogrametria Digital, Universidad francisco Jose de Caldas
1998.

Atlas de geomorfologia Alianza editorial,madrid 1986
Autores: Eduardo Martinez pison, Julio muñoz, Concepcion
Sanz, Blanca tello, Teresa bulon, Juan Antonio Gonzales,
Francisco Alonso, Pedro Nicolas, Carlos Puch, Javier Arenillas,
Javier Diez.

GEOMORFOLOGÍA AL CONOCIMIENTO Y A LA
PREVENCIÓN DE LOS DESASTRES
NATURALES. Daniel Geissert Instituto de Ecología A. C., Apdo
Postal 63, 91000 Xalapa, Ver.

Direcciones de Internet utilizadas en este
trabajo.

La utilización de los MDT en los estudios del
medio físico Angel Manuel Felicísimo
http://www.etsimo.uniovi.es/~feli/
Abril de 1999

http://euclides.uniandes.edu.co/~vectorial/Superfi.doc

http://www.micromegas.com.mx/apuntes/documents/geo1-2/geo07.doc

http://www.ugr.es/~geopeta/q5.htm

http://www.edulat.com/diversificado/ciencia_tierra/temas_consulta/1_3.htm

http://www.irabia.org/web/ciencias/estrutur.htm

http://tlacaelel.igeofcu.unam.mx/~GeoD/estudiantes/frnando/tareas.html

rosique[arroba]servidor.unam.mx

http://www5.ulpgc.es/servidores/astrogeo/temageo1.pdf.

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utilice el siguiente url:
http://www.google.com/search?q=cache:epqmKFrFRzIJ:www5.ulpgc.es/servidores/astrogeo/temageo1.pdf+Geodesia+%22geoide%22+-programas&hl=es&lr=lang_es&ie=UTF-8

http://www.fcagr.unr.edu.ar/catedras/mdt/GTS/Zonaedu/GPS3

Breve Historia de la Geología Torra, Roberto ,
Centro de Geociencias Aplicadas. Av. Las Heras 727 (3500)
Resistencia – Chaco – Argentina Tel./Fax: +54 (03722)
449845 E-mail:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/casado/Tema2-2001.html

Las imágenes fueron tomadas del buscador de
imágenes de Google

http://www.google.com.co
en las siguientes direcciones:

http://www.educnet.education.fr/obter/aplipped/ocan/theme/ocean41.html

http://bgi.cnes.fr8110/tutorial/t2/tutorial2.html

http://www.osgeo.unimo./…/tesis.gps_cap1.Html

http://www.hidraulica.dic.udec.cl/asignaturas/material/lca/materia/cao2/1%20sistema%20terrestre.doc

Para acceder a ellas simplemente se debe dar como
opción de búsqueda los temas:

1. geoide

2. corteza terrestre

3. alturas

4. elipsoides

El glosario fue basado en los glosarios tomados
de:

http://georio.webcindario.com/modules.php?name=glosario
Glosario de georio.

Glosario de Términos Cartográficos.
de http://www.gva.es/icv/GLOSARIO.HTM
de GeoConceptos Uruguay,

Glosario de Términos comunes en sismología
Observatorio Vulcanológico y Sismológico de
Costa
Rica.Aplicación en Red para Casos de Emergencia A R C
E. Por Luis Armando Vargas Morera. Alumno del Colegio de
Palmares.

Glosario de Gps LOS SISTEMAS DE COORDENADAS Y EL
GPS EN LA
AGRIMENSURA, Susana Ferrario de Urriza Bahía Blanca, 1 de octubre de 1999, Tomado
de http://www.
/INFO TEC/GLOSARIOGPS.HTM

Geografia Para todos Terremotos y volcanes, Fiona Watt,
Viamonte; Buenos Aires Argentina.

Diccionario Enciclopédico Larousse, Editorial
Planeta Internacional, Barcelona Volumen I al VIII,
1992.

Glosario Tomado de Geología Básica Edwin
Simona Robinsón, versión española de Maria
Cristina Suárez y Osvaldo Silva Luna, Noriega
Editores.

http://www.micromegas.com.mx/apuntes/documents/geo1-2/geo07.doc

http://www.ugr.es/~geopeta/q5.htm

http://mapserver.inegi.gob.mx/geografia/espanol/normatividad/infgeodesia/geoide.cfm
si no lo encuentra busque en www.google.com/search/
el tema gauss+historia del geoide.

http://www.iespana.es/natureduca/ant_indice.htm ANTÁRTIDA – CIENCIAS – GEOLOGÍA: Un
poco de historia de la geología -Antártica
CIENCIAS

http://www.unne.edu.ar/cyt/humanidades/h-037.pdf
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utilice el siguiente url:

http://www.google.com/search?q=cache:t1jxpKyrNE0J:www.unne.edu.ar/cyt/humanidades/h-7.pdf+%22historia+de+la+Geologia%22&hl=es&lr=lang_es&ie=UTF-8

Documento Breve Historia de la Geología Torra,
Roberto Centro de Geociencias Aplicadas. Av.

Las Heras 727 (3500) Resistencia – Chaco –
Argentina TEL./ Fax: +54 (03722) 449845

E-mail: roberto_torra[arroba]arnet.com.ar

http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/101/htm/sec_3.htm 

http://tlacaelel.igeofcu.unam.mx/~GeoD/estudiantes/frnando/tareas.html

rosique[arroba]servidor.unam.mx

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/casado/Tema2-2001.html

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http://usuarios.lycos.es/ecoweb/geol_geodinint_tectonica1.htm

http://tlacaelel.igeofcu.unam.mx/~GeoD/estudiantes/frnando/tareas.html

rosique[arroba]servidor.unam.mx

http://www5.ulpgc.es/servidores/astrogeo/temageo3.pdf.

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siguiente url:
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http://webs.demasiado.com/geoconceptos/glosario.html

http://mapserver.inegi.gob.mx/geografia/espanol/normatividad/infgeodesia/elipsoide.cfm

http://200.27.126.219/cct2002_1/Congreso/Tecnologia/Paper/PedroGarafulic.PDF.
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http://www.google.com/search:glosariodegeofisica

http://www5.ulpgc.es/servidores/astrogeo/temageo1.pdf.

http://200.27.126.219/cct2002_1/Congreso/Tecnologia/Paper/PedroGarafulic.PDF.
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siguiente url:
http://www.google.com/search?q=cache:xYHXjGBssAsJ:200.27.126.219/cct2002_1/Congreso/Tecnologia/Paper/PedroGarafulic.PDF+%22determinacion+del+elipsoide%22&hl=es&ie=UTF-8

http://www.iespana.es/natureduca/index_ini.htm

http://www.iespana.es/natureduca/geog_fisica_hidrograf2.htm

http://www.google.com/search:glosariodegeofisica

Las imágenes fueron tomadas de WWW.GOOGLE.COM/
BUSCADOR DE IMAGENES:SUPERFICIES CONICAS+PARABOLOIDE
ETC.

Elipsoide en cubo Tomado de www.unex.es/sric/archivos/
febrero03/nu030203.html

Paraboloide tomado de
http://www.lifl.fr/GRAPHIX/travaux-achev/quadriques/welcome.html

Manto tomado de
http://www.lifl.fr/GRAPHIX/travaux-achev/quadriques/welcome.html

Paraboloide hiperbolico tomado de
http://www.math.unipd.it/~zanella/libro_geometria/esempio.html

Hiperboloide de dosa hojas tomado de
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/Basicas/Contenidos/Cuadricas/cuadricas.html

Hiperboloide de dos hojas en un cubo tomado de

http://www.ma.usb.ve/~vsirvent/mat6-sd03/superficies.html

Cono en un cubo tomado de
http://www.ma.usb.ve/~vsirvent/mat6-sd03/superficies.html

Hiperboloide3 Tomado de http://www.mat.ufpb.br/_hiper1f.htm

Elipse en un cubo tomado de http://www.unex.es/sric/archivos/
febrero03/nu030203.html

Elipsoide azul tomado de
http://nti.educa.rcanaria.es/matematicas/descartes/descartes3/Descartes3/Doc/Figura
Numero s_3D.html

Manto blanco con lineas tomado de
http://www.lifl.fr/GRAPHIX/travaux-achev/quadriques/welcome.html

Cañones submarinos tomado de www.unicit.unam.mx/~rmolina/
Diplomado/oceanos.htm

Fondo marino2 tomado de
http://www.ua.es/centros/ciencias/cienciasdelmar/ccmm2.htm

Fondo marino 1 tomado de http://chamaesp.tripod.com.ar/bryce5e.htm

Gologia.ucr tomado de www.geologia.ucr.ac.cr/ paganini/bat-color.jpg
plataforma 2 tomado de www.mundofree.com/zco/ ecobiologia.html

Plataforma tomado de
http://ww2.cascoantiguo.com/runtime/mostrarpagina.asp?idcon=2159

Fosas tomado de
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/leticia/80123/lecciones/cap4/leccion9.htm

Dedicado a mi padres Salvador Camacho, y
Aurora Quintero , mis hermanos

Joan Manuel Camacho Y Cesar camacho y toda
mi familia

por toda su ayuda y apoyo a lo largo de
toda mi vida.

A mi primo Jasón que me presto el
computador
para realizar este trabajo.

A todos mis amigos y amigas de la
universidad:

Luisa Urueña, Yudy Ortega, Fernanda
Molano, Dennys Calderón, Yeimi Rojas Yanneth Torres,
Sandra Díaz, Katlina Guarín, Diana Cubillos, Diana
Cujaban, Marcela Aroca, Yolima Poveda, Daissy Espitia ,Pilar
Camacho, Jimmy Velasco ,Felipe Ibáñez , Jhon Monroy
Iván Díaz Jhon Jairo Sanabria, Milton Bernal,
Javier Hincapié, Aldo Coy, Jhon Freddy Sanabria, Daniel
Cely., Hempler Barragán, Julián
Rodríguez.

A los profesores que me
ayudaron

todos estos años con su ejemplo y
cátedra:

Virginia Vallejo, Luis
Gómez,

German Cifuentes, Alciguel Ruiz, Rodrigo
Castellanos,

Álvaro Sanabria, Carlos Melo, Yenny
Espinosa, Miguel Ávila

A todos los monitores de
las salas de cómputo

que me dejaron realizar este trabajo en la
universidad.

Daniel Iván Camacho Quintero

daniel_ivan_camacho[arroba]hotmail.com

Santa Fé de Bogota – 30 de julio del
2004