Estadística I. Cuadernillo de apoyo (página 3)

Contrastes para la
varianza

Consideremos que el
carácter que estudiamos sobre la población sea una
v.a. normal cuya media y varianza son desconocidas. Vamos a
contrastar la hipótesis:

Frente a otras
hipótesis alternativas que podrán dar lugar a
contrastes bilaterales o unilaterales. La técnica consiste
en utilizar el teorema de Cochran, para observar que el siguiente
estadístico experimental que utiliza el estimador
insesgado de la varianza, posee una distribución
x2, con n-1 grados de libertad:

Entonces construimos las regiones
críticas que correspondan a las hipótesis
alternativas que se formulen en cada caso atendiendo a la
ley de
distribución x2.

Contraste
bilateral

Cuando el contraste a realizar
es

Definimos

Y el criterio que
suministra el contraste es el expresado en la figura
9.9:

Contrastes
unilaterales

Para un contraste
de significación al nivel del
tipo

Se tiene que el
resultado del mismo es el que refleja la figura 9.10:

Para el contraste
contrario tenemos la formulación análoga (cf.
figura 9.11):

Calculamos el
extremo inferior de la región crítica en una tabla
de la distribución x2n-1

Contrastes sobre la diferencia
de proporciones

Supongamos que tenemos dos
muestras independientes tomadas sobre dos poblaciones, en la que
estudiamos una variable de tipo dicotómico
(Bernoulli):

Si X1 y
X2 contabilizan en cada caso el número de
éxitos en cada muestra se tiene
que cada una de ellas se distribuye como una variable aleatoria
binomial:

De modo que los
estimadores de las proporciones en cada población tienen
distribuciones que de un modo aproximado son normales (cuando
n1 y n2 son bastante grandes)

El contraste que
nos interesa realizar es el de si la diferencia entre las
proporciones en cada población es una cantidad conocida

Si H0
fuese cierta se tendría que

Desafortunadamente
ni p1 ni p2 son conocidos de antemano y
utilizamos sus estimadores, lo que da lugar a un error que es
pequeño cuando los tamaños muestrales son
importantes:

Contraste
bilateral

El contraste bilateral sobre la
diferencia de proporciones es

Entonces se
define

Y se rechaza la
hipótesis nula si o si

Contrastes
unilaterales

En el contraste

Se
rechazará H0 si . Para el
test
contrario

Se rechaza
H0 si .

Problemas

En todos los problemas que
siguen a continuación, se supone que las muestras han sido
elegidas de modo independiente, y que las cantidades
cuantitativas que se miden, se distribuyen de modo gaussiano. En
temas posteriores se verá cómo contrastar si estas
premisas pueden ser aceptadas o no al examinar las
muestras.

Ejercicio 1. El calcio se
presenta normalmente en la sangre de los
mamíferos en concentraciones de alrededor de 6 mg por cada
100 ml del total de sangre. La
desviación típica normal de ésta variable es
1 mg de calcio por cada 100 ml del volumen total de
sangre. Una variabilidad mayor a ésta puede ocasionar
graves trastornos en la coagulación de la sangre. Una
serie de nueve pruebas sobre
un paciente revelaron una media muestral de 6,2 mg de calcio por
100 ml del volumen total de
sangre, y una desviación típica muestral de 2 mg de
calcio por cada 100 ml de sangre. ¿Hay alguna evidencia,
para un nivel α=0.05, de que el nivel medio de calcio para
este paciente sea más alto del normal?

Ejercicio 2. El
número de accidentes
mortales en una ciudad es, en promedio, de 12 mensuales. Tras una
campaña de señalización y adecentamiento de
las vías urbanas se contabilizaron en 6 meses sucesivos 8,
11, 9, 7, 10 , 9 accidentes
mortales. ¿Fue efectiva la campaña?

Ejercicio 3. El promedio de
las puntuaciones de un número elevado de alumnos de
Bioestadística es de 6,50. Un determinado año se
examinaron 50 alumnos con resultados promedio de 7,25 y
desviación típica de 1. ¿Variaron las
calificaciones?

Ejercicio 4. El peso medio
de mujeres de 30 a 40 años es de 53 kg. Un estudio
realizado en 16 mujeres de tales edades que siguen una dieta
vegetariana da y
. ¿Modifica la dieta el peso medio?

Ejercicio 5. Una
población infantil se dice que es susceptible de recibir
una campaña de educación e higiene si su
porcentaje de niños con dientes cariados es superior al
15%. Una población con 12.637 niños, ¿debe
hacerse la campaña si de 387 de ellos 70 tenían
algún diente cariado?

Ejercicio 6. Un 8% de los
individuos que acuden a un servicio
sanitario son hiperutilizadores del mismo (más de 11
visitas al año) y, de entre ellos, un 70% son mujeres. De
entre los no hiperutilizadores, son mujeres el 51%. ¿Puede
afirmarse que han variado los hábitos de éstas si,
tras una campaña de información y control de
visitas, de 90 mujeres elegidas al azar 6 resultaron
hiperutilizadoras?

Ejercicio 7. Se conoce que
un 20% de los individuos tratados
crónicamente con digoxina sufren una reacción
adversa por causa de ella. A 10 pacientes se les
administró durante largo tiempo digoxina
más otros medicamentos, y de ellos 5 desarrollaron la
reacción adversa. ¿Puede afirmarse que la
asociación entre la digoxina y los otros medicamentos hace
variar el número de reacciones adversas?

Ejercicio 8. Para comprobar
si un tratamiento con ácidos grasos es eficaz en pacientes
con eczema atípico, se tomaron 10 pacientes con eczema de
más de 9 meses y se les sometió durante 3 semanas a
un tratamiento ficticio (placebo) y durante las tres siguientes a
un tratamiento con ácidos grasos. Tras cada periodo, un
médico ajeno al proyecto
evaluó la importancia del eczema en una escala de 0 (no
eczema) a 10 (tamaño máximo de eczema).

Los datos fueron los
siguientes:

¿Es eficaz el
tratamiento?

Ejercicio 9. En un programa de
Control de
Enfermedades
Crónicas, la hipertensión está incluida como
la primera patología a controlar. 15 pacientes hipertensos
son sometidos al programa y
controlados en su tensión asistólica antes y
después de 6 meses de tratamiento. Los datos son los
siguientes:

¿Es efectivo el
tratamiento?

Ejercicio 10. Muchos
autores afirman que los pacientes con depresión tienen una
función cortical por debajo de lo normal debido a un riego
sanguíneo cerebral por debajo de lo normal. A dos muestras
de individuos, unos con depresión y otros normales, se les
midió un índice que indica el flujo
sanguíneo en la materia gris
(dado en mg/(100g/min))obteniéndose:

¿Hay evidencia
significativa a favor de la afirmación de los
autores?

Ejercicio 11. Por
fistulización se obtuvo el pH de 6
muestras de bilis hepática con los siguientes
resultados:

7,83; 8,52; 7,32; 7,79; 7,57;
6,58

Se desea saber al nivel de
significación del 0,05 si la bilis hepática puede
considerarse neutra. Si se conociera σ=0.5, Ώqué decisión tomaríamos?

Ejercicio 12. La prueba de
la d-xilosa permite la diferenciación entre una
esteatorrea originada por una mala absorción intestinal y
la debida a una insuficiencia pancreática, de modo que
cifras inferiores a 4 grs. de d-xilosa, indican una mala
absorción intestinal. Se realiza dicha prueba a 10
individuos, obteniéndose una media de 3,5 grs. y una
desviación típica de 0'5 grs. ¿Se puede
decir que esos pacientes padecen una mala absorción
intestinal?

Ejercicio 13. La
eliminación por orina de aldosterona está valorada
en individuos normales en 12 mgs/24 h. por término medio.
En 50 individuos con insuficiencia cardíaca se
observó una eliminación media de aldosterona de 13
mgs/24 h., con una desviación típica de 2,5 mgs/24
h.

1. ¿Son compatibles estos
resultados con los de los individuos normales?

2. ¿La insuficiencia
cardiaca aumenta la eliminación por orina de
aldosterona?

Ejercicio 14. La tabla
siguiente muestra los efectos de un placebo y de la
hidroclorotiacida sobre la presión sanguínea
sistólica de 11 pacientes.

Según estos datos
experimentales, ¿podemos afirmar que existe diferencia en
la presión sistólica media durante la
utilización de estos dos fármacos?

Ejercicio 15. Se sabe que
el 70% de los pacientes internados en un hospital
traumatológico requieren algún tipo de
intervención quirúrgica. Para determinar si un
nuevo método de fisioterapia reduce el porcentaje de
intervenciones, se aplica éste a 30 pacientes de los
cuales 17 requieren alguna intervención quirúrgica.
Comprobar que no hay razones suficientes para afirmar la eficacia del
método con un nivel de confianza del 95%.

Ejercicio 16. De un estudio
sobre la incidencia de la hipertensión en la provincia de
Málaga, se sabe que en la zona rural el porcentaje de
hipertensos es del 27,7%. Tras una encuesta a 400
personas de una zona urbana, se obtuvo un 24% de
hipertensos.

1. ¿Se puede decir que el
porcentaje de hipertensos en la zona urbana es distinto que en la
zona rural?

2. ¿Es menor el porcentaje
de hipertensos en la zona urbana que en la zona rural?

Ejercicio 17. Con cierto
método de enseñanza para niños subnormales
se obtiene una desviación típica de 8, en las
puntuaciones de los tests finales. Se pone a prueba un nuevo
método y se ensaya en 51 niños. Las calificaciones
obtenidas en los tests finales dan una desviación
típica de 10. ¿Puede asegurarse que el nuevo
método produce distinta variación en las
puntuaciones?

Ejercicio 18. Se desea
comparar la actividad motora espontánea de un grupo de 25
ratas control y otro de 36 ratas desnutridas. Se midió el
número de veces que pasaban delante de una célula
fotoeléctrica durante 24 horas. Los datos obtenidos fueron
los siguientes:

¿Se observan diferencias
significativas entre el grupo control
y el grupo desnutrido?

Ejercicio 19. Se pretende
comprobar la hipótesis expuesta en algunos trabajos de
investigación acerca de que la presencia del
antígeno AG-4 está relacionada con un desenlace Con
éste fin, se hizo una revisión sobre las historias
clínicas de 21 mujeres muertas por carcinoma de cuello
uterino, observando que 6 de ellas presentaban el citado
antígeno. Por otro lado y con fines de comparación
se tomó otra muestra de 42 personas, con edades similares
a las del grupo anterior y que reaccionaron bien al tratamiento
del carcinoma de cuello uterino, en 28 de las cuales se
observó la presencia del citado antígeno.
¿Está relacionada la presencia del antígeno
con una efectividad del tratamiento?

Ejercicio 20. Se quiso
probar si la cirrosis de hígado hacia variar el
índice de actividad de la colinesterasa en suero. Se
eligieron dos muestras aleatorias e independientes de individuos.
Los resultados fueron:

La cirrosis de hígado,
¿hace variar el índice de la colinesterasa en
suero?

Ejercicio 21. Un
investigador ha realizado el siguiente experimento: Tomó
una primera muestra de 25 pacientes que padecían cierto
síntoma y otra segunda muestra de 30 pacientes con el
mismo síntoma. A los de la primera muestra les
aplicó un tratamiento específico y a los de la
segunda les dio un placebo.

Anotó el tiempo en horas
en que cada uno dijo que el síntoma había
desaparecido y obtuvo los siguientes resultados:

¿Puede concluir el
investigador que el tratamiento es realmente efectivo?

Ejercicio 22. Para
comprobar si la tolerancia a la
glucosa en sujetos sanos tiende a decrecer con la edad se
realizó un test oral de
glucosa a dos muestras de pacientes sanos, unos jóvenes y
otros adultos. El test consistió en medir el nivel de
glucosa en sangre en el momento de la ingestión (nivel
basal) de 100 grs. de glucosa y a los 60 minutos de la toma. Los
resultados fueron los siguientes:

Jóvenes:

Adultos:

1. ¿Se detecta una
variación significativa del nivel de glucosa en sangre en
cada grupo?

2. ¿Es mayor la
concentración de glucosa en sangre a los 60 minutos, en
adultos que en jóvenes?

3. El contenido basal de glucosa
en sangre, ¿es menor en jóvenes que en
adultos?

4. ¿Se detecta a los 60
minutos una variación del nivel de glucosa en sangre
diferente de los adultos, en los jóvenes?

UNIDAD: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

Pruebas de tablas de
contingencias

En muchas
ocasiones, los n elementos de una muestra de población
pueden clasificarse de acuerdo con dos criterios diferentes. Por
ello interesa conocer si los dos métodos de
clasificación son estadísticamente independientes;
por ejemplo, podemos considerar la población de ingenieros
graduado y tal vez deseemos determinar si el salario inicial
es independiente de las disciplinas académicas.

Supóngase
que el primer método de clasificación tiene r
niveles y que el segundo método de clasificación
tiene c niveles. Sea oij la frecuencia observada para
el nivel i del primer método de clasificación y el
nivel j del segundo método de clasificación. Los
datos aparecerían, en general, como en la tabla. Una tabla
de tales características se llama comúnmente tabla
de contingencia r X c.

Estamos
interesados en probar la hipótesis de que los
métodos de clasificación de renglón y de
columna son independientes. Si rechazamos esta hipótesis,
concluimos que hay cierta interacción entre los dos
criterios de clasificación. Los procedimientos de
prueba exactos son difíciles de obtener, pero una
estadística de prueba aproximada es valida para n grande.
Supóngase las oij como variables
aleatorias multinomiales y pij como la probabilidad de
que un elemento elegido al azar cae en la celda ijesima, dado que
las dos clasificaciones son independientes. Entonces pij =
uivj , donde ui es la probabilidad de
que un elemento elegido al azar caiga en el renglón de
clase i y vj es la probabilidad de que un elemento
seleccionado en forma aleatoria caiga en la columna de clase j.
Luego, suponiendo independencia,
los estimadores de máxima probabilidad de ui y
vj son:

ûi =
Oij

ûj =
Oij

Una tabla de contingencia r X
c

Columnas

En consecuencia,
el número esperado de cada celda es

Eij =
nûivj = Oij
Oij

Entonces, para n
grande, la estadística

2

X20 = –
X2 (r – 1) (c – 1)

Aproximadamente, y
rechazaríamos la hipótesis de independencia
si

X20 >
X2a, (r – 1) (c –
1).

Prueba de bondad de ajuste de
ji-cuadrada

El procedimiento de
prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la
variable aleatoria X, cuya función de densidad de
probabilidad se desconoce. Estas n observaciones se arreglan en
un histograma de frecuencias, teniendo k intervalos de clase. Sea
01 la frecuencia observada en el intervalo de la clase
iesimo. De la distribución de probabilidad
hipotética, calculamos la frecuencia esperada en el
intervalo de clase iesimo, denotada E1. La
estadística de prueba es:

X20
=

Puede demostrar
que X²0 sigue aproximadamente la
distribución ji cuadrada con k-p-1 grados de libertad,
donde p representa el numero de parámetros de la
distribución hipotética estimada por el medio de
estadística de muestra. Esta aproximación se mejora
cuando n aumenta. Rechazaríamos la hipótesis de que
X se ajusta ala distribución hipotética si
X²0>X²α k-p-1

Un punto que debe
advertirse en la aplicación de este procedimiento de
prueba se refiere ala magnitud de las frecuencias esperadas. Si
estas frecuencias esperadas son demasiado pequeñas,
entonces X²0 no reflejan la desviación de
las observaciones respecto alas esperadas, si no solo las mas
pequeñas de las frecuencias esperadas. No hay un acuerdo
general en relación con el valor
mínimo de las frecuencias esperadas, aunque los valores de
3,4 y 5 se utilizan ampliamente como mínimos. Si la
frecuencia esperada es demasiado pequeña, puede combinarse
con la frecuencia esperada en un intervalo de clase adyacente.
Las frecuencias observadas correspondientes se combinaran
también en ese caso, y k se reducirá en 1. No se
requiere que los intervalos de clase sean de igual
ancho.

Ejemplo

Una
distribución completamente especificada Un
científico de computadoras
ha desarrollado un algoritmo para
generar enteros pseudoaleatorios sobre el intervalo 0-9. Codifica
el algoritmo y
genera 1000 dígitos pseudoaleatorios. Los datos se
muestran en la tabla 11-3. ¿Existe evidencia de que el
generador de números aleatorios esta trabajando
correctamente?

Si esta trabajando
de manera correcta, entonces los valores 0-9
deben seguir la distribución uniforme discreta, la cual
implica que cada uno de los enteros debe ocurrir exactamente 100
veces. Esto es, las frecuencias esperadas E =100 para
I=0,1,….,9 Puesto que estas frecuencias estimadas pueden
estimarse sin que sea necesario estimular ningún
parámetro a partir de los datos de muestra, la prueba
resultante de bondad de ajuste de la ji cuadrada tendrá
k-p-1=10-0-1=9 grados de libertad.

Total

0 1 2 3 4 5 6 7 8
9 n

_______________________________________________________________

Frecuencia

Observada O 94 93
112 101 104 95 100 99 108 94 1000

Frecuencias

Esperada E 100 100
100 100 100 100 100 100 100 100 1000

_______________________________________________________________

El valor esperado
de la estadística de prueba es

2 2 2
2

X20 = =

Puesto que X
=16.92 no somos capaces de rechazar la hipótesis de que
los datos proviene de una distribución uniforme discreta.
En consecuencia, el generador de números aleatorios parece
estar trabajando en forma satisfactoria.

1. Test de
   Kolmogorov-Smirnov

   Para la
   aplicación del test señalado, es necesario
   determinar la Frecuencia observada acumulada. Para la
   frecuencia observada en el caso especial de Gumbel, se
   ordena la información de menor a mayor y se
   aplica:

   

   Donde:

   Fn (x):
   frecuencia observada acumulada.

   n: N°
   total de orden

   N: N°
   total de datos.

   En el caso
   de la frecuencia teórica acumulada, ésta se
   determina a través de la función de
   Gumbel.

   

   Una vez
   determinadas ambas frecuencias, se obtiene el supremo de
   las diferencias entre ambas, en la i-ésima
   posición de orden, que se denomina D.

   

   Luego,
   asumiendo un valor de significancia, se recurre a la tabla
   de valores
   críticos de D en la prueba de bondad de ajuste de
   Kolmogorov-Smirnov, y considerando el tamaño de la
   muestra, se establece lo siguiente:

   Si D < D
   tabla, se acepta que (el ajuste es adecuado, con el nivel
   de confiabilidad asumido.

2. Problemas

Ejercicio
1. Ante la sospecha de que el hábito de fumar de una
embarazada puede influir en el peso de su hijo al nacer, se
tomaron dos muestras, una de fumadoras y otra de no fumadoras, y
se clasificó a sus hijos en tres categorías en
función de su peso en relación con los percentiles
ρ10 y
ρ90
de la población. El resultado
se expresa en la tabla siguiente:

¿Hay una
evidencia significativa a favor de la sospecha a la vista de los
resultados de la muestra?

Ejercicio
2. Varios libros de
Medicina Interna
recomiendan al médico la palpación de la arteria
radial con el fin de evaluar el estado de
la pared arterial. Se tomaron 215 pacientes y se les
clasificó según la palpabilidad de dicha arteria
(grados 0, 1 y 2 para no palpable, palpable y muy palpable o
dura, respectivamente) y según una puntuación de 0
a 4 en orden creciente de degeneración arterial (evaluada
tras la muerte del
paciente y su análisis anatomo-patológico). Los
datos son los de la tabla siguiente:

¿Existe
relación entre el grado de palpabilidad y el
análisis anatomopatológico?

Ejercicio
3. Se realizó una encuesta a
2979 andaluces para evaluar su opinión acerca de la
atención recibida en los Ambulatorios de la Seguridad
Social, clasificándolos también en
relación a sus estudios. Analizar los datos de la
siguiente tabla:

Ejercicio
4. Con el fin de conocer
si un cierto tipo de bacterias se
distribuyen al azar en un determinado cultivo o si, por el
contrario, lo hacen con algún tipo de preferencia (el
centro, los extremos, etc…), se divide un cultivo en 576
áreas iguales y se cuenta el número de bacterias en
cada área.

Los resultados son
los siguientes:

¿Obedecen
los datos a una distribución de Poisson?

Ejercicio
5. La siguiente tabla recoge la distribución de los
triglicéridos en suero, expresados en mg/dl en 90
niños de 6 años:

Contrastar la
hipótesis de que el nivel de triglicéridos en
niños de 6 años sigue una distribución
Normal.

Ejercicio
6. La distribución en Andalucía del grupo
sanguíneo es de un 35%, 10%, 6% y un 49% para los grupos A, B, AB y
O respectivamente. En Málaga, se realizó el estudio
en una muestra de 200 individuos obteniéndose una
distribución del 50%, 30%, 18%, y 10% para los grupos A, B AB y
O respectivamente.
Se desea saber si la distribución del grupo
sanguíneo en dicha provincia es igual que en
Andalucía.

Ejercicio
7. En un estudio diseñado para determinar la
aceptación por una parte de los pacientes de un nuevo
analgésico, 100 médicos seleccionaron cada uno de
ellos una muestra de 25 pacientes para participar en el
estudio.

Cada paciente
después de haber tomado el nuevo analgésico durante
un periodo de tiempo determinado, fue interrogado para saber si
prefería éste o el que había tomado
anteriormente con regularidad, obteniendo los siguientes
resultados:

Queremos saber si
estos datos se ajustan a una distribución
binomial.

Ejercicio
8. Disponemos de una muestra de 250 mujeres mayores de 18
años, cuyos pesos son los presentados en la tabla adjunta,
y queremos saber si los datos de esta muestra provienen de una
distribución Normal.

Ejercicio
9. Deseamos conocer, si
las distribuciones atendiendo al grupo sanguíneo, en tres
muestras referidas atendiendo al tipo de tensión arterial,
se distribuyen de igual manera. Para lo cual, se reunió
una muestra de 1500 sujetos a los que se les determinó su
grupo sanguíneo y se les tomó la tensión
arterial, clasificándose ésta en baja, normal, y
alta.

Obteniéndose los siguientes resultados:

Ejercicio
10. La recuperación
producida por dos tratamientos distintos A y B se clasifican en
tres categorías: muy buena, buena y mala. Se administra el
tratamiento "A" a 30 pacientes y B a otros 30: De las 22
recuperaciones muy buenas, 10 corresponden al tratamiento A; de
las 24 recuperaciones buenas, 14 corresponden al tratamiento A y
de los 14 que tienen una mala recuperación corresponden al
tratamiento A. ¿Son igualmente efectivos ambos
tratamientos para la recuperación de los
pacientes?

TABLAS

BIBLIOGRAFÍA

• MC. ALLISTER. Elementos de
  Estadística en la economía y los negocios.
  Primera Edición.Ecasa. México D.F. 1987

• KENNETH D. HPKINS, B.R. HPKINS,
  GENE V GLASS. Estadística Básica para las
  Ciencias
  Sociales y del Comportamiento.Tercera Edición. Ed.
  Prentice Hall. México D.F. 1997

• P. ARMITAGE, G. BERRY,
  Estadística para la Investigación
  Biomédica. Doyma, Barcelona,
  1992.

• MARTÍN ANDRÉS, J.D.
  LUNA DEL CASTILLO, Bioestadística para las Ciencias
  de la salud. Norma, México D.F. 1994

• R.D. REMINGTON, M.A. SCHORK,
  Estadística Biométrica y Sanitaria.
  Prentice Hall International, México D.F., 1979.

• STEEL, TORRIE,
  Bioestadística (Principios y
  Procedimientos). Mac Graw-Hill,
  México D.F., 1985.

• M. TSOKOS, Estadística
  para Psicología y Ciencias
  de la Salud. Interamericana Mac Graw-Hill, México
  D.F., 1989.

• S.L. WEINBERG, K.P. GOLDBERG,
  Estadística Básica para las Ciencias Sociales.
  Nueva Editorial Interamericana, Mexico, 1982.

BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA Y COMPLEMENTARIA

2. Probabilidad y
   Estadística para Ingeniería y
   Administración.HINES, WILLIAM, W. Y DOUGLAS C.
   MONTGOMERY.ED. CECSA 1986

3. Estadística para
   Ingenieros.BOWKER ALBERT H. Y LIBERMAN GERALD J. ED.
   Prentice Hall Hispanoamericana 1981

4. Mathematical Statistics.FREUND
   JHON E. Ed. Prentice Hall 2da. ed. 1971

5. Probability and Statistics for
   EngineersWALPOLE, RONALD E. Y RAYMOND H. MYERS.ED. 2nd. ed.
   1978 Capítulo 5

6. Estadística
   Matemática ERWING KREYSZIG.ED. Limusa

7. Estadística para
   Administración.WILLIAM J. STEVENSON

8. WALPOLE. Probabilidad y
   Estadísitica para Ingenieros.Sexta Edición.
   Prentice Hall.

Autores

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Lucero Daniela Hernández
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