George Boole (1815-1864) (página 2)

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Tablas de sumar Hexadecimales

Tabla del 0	Tabla del 1	Tabla del 2	Tabla del 3	Tabla del 4	Tabla del 5	Tabla del 6	Tabla del 7
0 + 0 = 0	0 + 1 = 1	0 + 2 = 2	0 + 3 = 3	0 + 4 = 4	0 + 5 = 5	0 + 6 = 6	0 + 7 = 7
1 + 0 = 1	1 + 1 = 2	1 + 2 = 3	1 + 3 = 4	1 + 4 = 5	1 + 5 = 6	1 + 6 = 7	1 + 7 = 8
2 + 0 = 2	2 + 1 = 3	2 + 2 = 4	2 + 3 = 5	2 + 4 = 6	2 + 5 = 7	2 + 6 = 8	2 + 7 = 9
3 + 0 = 3	3 + 1 = 4	3 + 2 = 5	3 + 3 = 6	3 + 4 = 7	3 + 5 = 8	3 + 6 = 9	3 + 7 = A
4 + 0 = 4	4 + 1 = 5	4 + 2 = 6	4 + 3 = 7	4 + 4 = 8	4 + 5 = 9	4 + 6 = A	4 + 7 = B
5 + 0 = 5	5 + 1 = 6	5 + 2 = 7	5 + 3 = 8	5 + 4 = 9	5 + 5 = A	5 + 6 = B	5 + 7 = C
6 + 0 = 6	6 + 1 = 7	6 + 2 = 8	6 + 3 = 9	6 + 4 = A	6 + 5 = B	6 + 6 = C	6 + 7 = D
7 + 0 = 7	7 + 1 = 8	7 + 2 = 9	7 + 3 = A	7 + 4 = B	7 + 5 = C	7 + 6 = D	7 + 7 = E
8 + 0 = 8	8 + 1 = 9	8 + 2 = A	8 + 3 = B	8 + 4 = C	8 + 5 = D	8 + 6 = E	8 + 7 = F
9 + 0 = 9	9 + 1 = A	9 + 2 = B	9 + 3 = C	9 + 4 = D	9 + 5 = E	9 + 6 = F	9 + 7 = 10
A + 0 = A	A + 1 = B	A + 2 = C	A + 3 = D	A + 4 = E	A + 5 = F	A + 6 = 10	A + 7 = 11
B + 0 = B	B + 1 = C	B + 2 = D	B + 3 = E	B + 4 = F	B + 5 = 10	B + 6 = 11	B + 7 = 12
C + 0 = C	C + 1 = D	C + 2 = E	C + 3 = F	C + 4 = 10	C + 5 = 11	C + 6 = 12	C + 7 = 13
D + 0 = D	D + 1 = E	D + 2 = F	D + 3 = 10	D + 4 = 11	D + 5 = 12	D + 6 = 13	D + 7 = 14
E + 0 = E	E + 1 = F	E + 2 = 10	E + 3 = 11	E + 4 = 12	E + 5 = 13	E + 6 = 14	E + 7 = 15
F + 0 = F	F + 1 = 10	F + 2 = 11	F + 3 = 12	F + 4 = 13	F + 5 = 14	F + 6 = 15	F + 7 = 16

Tabla del 8	Tabla del 9	Tabla de A	Tabla de B	Tabla de C	Tabla de D	Tabla de E	Tabla de F
0 + 8 = 8	0 + 9 = 9	0 + A = A	0 + B = B	0 + C = C	0 + D = D	0 + E = E	0 + F = F
1 + 8 =	1 + 9 = A	1 + A = B	1 + B = C	1 + C = D	1 + D = E	1 + E = F	1 + F = 10
2 + 8 =	2 + 9 = B	2 + A = C	2 + B = D	2 + C = E	2 + D = F	2 + E = 10	2 + F = 11
3 + 8 =	3 + 9 = C	3 + A = D	3 + B = E	3 + C = F	3 + D = 10	3 + E = 11	3 + F = 12
4 + 8 =	4 + 9 = D	4 + A = E	4 + B = F	4 + C = 10	4 + D = 11	4 + E = 12	4 + F = 13
5 + 8 =	5 + 9 = E	5 + A = F	5 + B = 10	5 + C = 11	5 + D = 12	5 + E = 13	5 + F = 14
6 + 8 =	6 + 9 = F	6 + A = 10	6 + B = 11	6 + C = 12	6 + D = 13	6 + E = 14	6 + F = 15
7 + 8 =	7 + 9 = 10	7 + A = 11	7 + B = 12	7 + C = 13	7 + D = 14	7 + E = 15	7 + F = 16
8 + 8 =	8 + 9 = 11	8 + A = 12	8 + B = 13	8 + C = 14	8 + D = 15	8 + E = 16	8 + F = 17
9 + 8 =	9 + 9 = 12	9 + A = 13	9 + B = 14	9 + C = 15	9 + D = 16	9 + E = 17	9 + F = 18
A + 8 =	A + 9 = 13	A + A = 14	A + B = 15	A + C = 16	A + D = 17	A + E = 18	A + F = 19
B + 8 =	B + 9 = 14	B + A = 15	B + B = 16	B + C = 17	B + D = 18	B + E = 19	B + F = 1A
C + 8 =	C + 9 = 15	C + A = 16	C + B = 17	C + C = 18	C + D = 19	C + E = 1A	C + F = 1B
D + 8 =	D + 9 = 16	D + A = 17	D + B = 18	D + C = 19	D + D = 1A	D + E = 1B	D + F = 1C
E + 8 =	E + 9 = 17	E + A = 18	E + B = 19	E + C = 1A	E + D = 1B	E + E = 1C	E + F = 1D
F + 8 =	F + 9 = 18	F + A = 19	F + B = 1A	F + C = 1B	F + D = 1C	F + E = 1D	F + F = 1E

Verificación

12432 5 992 10

+34223
5 +2438 10

102210
5 3430
10

Sumar los números 12432 5 y 34223
5
Tablas de Multiplicar en el
Sistema de
Base 4
Tabla del 0
Tabla del 1
Tabla del 2
Tabla del 3
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
0 x 2 = 0
0 x 3 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
1 x 2 = 2
1 x 3 = 1
2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 10
2 x 3 = 12
3 x 0 = 0
3 x 1 = 3
3 x 2 = 12
3 x 3 = 21
Tablas de Multiplicar en el Sistema
Binario
Tabla del 0
Tabla del 1
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
Realizar las tablas de multiplicación
correspondientes al sistema base 4
y sistema
binario.
Resuelva los siguientes productos
binarios.

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Resuelva los siguientes cocientes binarios hasta
dos posiciones binarias.

111001
1001
1010
110.01
1100
11
111001 / 1001
111.001 / 10.01

111001	10010
10101	11.001
11001
111

Resuelva las siguientes sumas
binarias.

11011 + 1010
110.1101 + 1011.011

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Dados los siguientes números binarios
signados en una computadora
que representa los negativos en complemento a dos, indicar a
que numero decimal corresponden.

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Indicar cual es el mayor numero entero positivo y
cual es el menor entero negativo ( rango de
representación) que se puede almacenar en un byte ,
destinando el primer bit a la izquierda como bit de signo y
almacenando los negativos en :

Signo y modulo.
Signo y complemento a la base menos uno.
Signo y complemento a la base.

Nota: escribir los números binarios y los
equivalentes en decimal correspondientes

Para 1 byte

	Signo y Modulo		Signo y complemento a la base menos uno		Signo y complemento a la base
	Binario	Decimal	Binario	Decimal	Binario	Decimal
Mayor Entero Positivo	01111111	+ 127	01111111	+ 127	01111111	+ 127
Menor Entero Negativo	11111111	– 127	10000001	– 128	10000000	– 127

	Signo y Modulo
	Binario	Decimal
Mayor Entero Positivo	01111111111111111111111111111111	+ 2147483647
Menor Entero Negativo	11111111111111111111111111111111	– 2147483647

	Signo y complemento a la base menos uno
	Binario	Decimal
Mayor Entero Positivo	01111111111111111111111111111111	+ 2147483647
Menor Entero Negativo	10000000000000000000000000000001	– 2147483648

	Signo y complemento a la base
	Binario	Decimal
Mayor Entero Positivo	01111111111111111111111111111111	+ 2147483647
Menor Entero Negativo	10000000000000000000000000000000	– 2147483647

Ídem anterior pero para números que se
pueden almacenar en 4 bytes.
expresión para los Enteros Positivos
(2n-1-1) = cantidad de positivos.
expresión para los Enteros Negativos
-(2n-1-1) = cantidad de negativos.
Deducir una expresión general que permita
obtener el máximo y el mínimo entero ( para
numero de n bits) que se puede representar en cada uno de los
métodos
de representación interna de enteros
Indicar que numero decimal representan los
siguientes números binarios:

11010010
101

si el sistema trabaja con 8 bits y los
números negativos se almacenan como :

signo y modulo.
Signo y complemento a la base menos
uno.
Signo y complemento a la base.

Nota : Los números deben completarse con ceros
a la izquierda para llegar a la cantidad de bits del formato, a
menos que se indique lo contrario.

	Signo y	Signo y	Signo y
	Modulo	Complemento a	Complemento a
		la base menos uno	la base
a -11010010	-82	-45	-46
b -00000101	5	5	5

Considerar los números de 8 bits a
= 01000001 y b = 10000100.
Realizar A + B en binario.

Demostrar la validez de la operación
convirtiendo operandos y resultados en decimal suponiendo que se
trata de:

números sin signo
números con signo y almacenando los
negativos en cada una de las formas de representación
de enteros.

Sin Signo ( Binario Puro)				Signo y complemento a la base
	01000001	Xxxxxxxxxxxx	65		01000001	xxxxxxxxxxxx	65
	+ 10000100		+ 132		+ 10000100		+(-124)
	11000101		197		11000101		– 59
Resultado Correcto				Resultado Correcto

Signo y Módulo				Signo y complemento a la base -1
	01000001	Xxxxxxxxxxxx	65		01000001	xxxxxxxxxxxx	65
	+ 10000100		+ (-4)		+ 10000100		+(-123)
	11000101		– 69		11000101		– 58
Resultado Incorrecto				Resultado Correcto

Efectuar las siguientes operaciones,
para el caso de un sistema que trabaja con 8 bits, el MSB
como signo y que almacena los negativos en complemento a la
base:
32 – 63
Nota: En todos los casos, convertir resultados en
decimal y extraer conclusiones.
a- (32 –
63)
b- (-68 –
71)
32
xxxxxxxxxxxx
00100000
– 68
xxxxxxxxxxxx
10111100
– 63
+ 11000001
– 71
+ 10111001
-31
11100001
– 139
101110101
OVERFLOW
-68 –71
a- (32 –
63)
b- (-68 –
71)
32
xxxxxxxxxxxx
00100000
– 68

10111011
– 63
+ 11000000
– 71
+ 10111000
-31
11100000
– 139
101110011
OVERFLOW
Ídem anterior, si se almacenan los
negativos en : signo y complemento a la base menos
uno
N° Decimal
Forma
exponencial
Mantisa
Exponente
Normalizada
444.4
0.4444 x
103
0.4444
3
-0.0005
-0.5 x
10-3
-0.5
-3
-88.88
-0.8888 x
102
-0.8888
2
N° Decimal
Forma
exponencial
Mantisa
Exponente
Normalizada
1100.1
0.11001 x
24
0.11001
4
0.001010
0.101 x 2
-2
0.101
-2
-101
-0.101 x
23
-0.101
3
-0.0110011
-0.110011 x
21
-0.110011
1

Complete las siguientes tablas

N° Decimal	Signo	Caracteristica	Mantisa
N° Decimal	1 bit	7 bits	24 bits
a) -327.8146	1	1001001	1010 0011 1110 1000 0100 0100
b) 0.0001234	0	0110100	1000 0001 0110 0100 1110 1111
c) -0.0001234	1	0110100	1000 0001 0110 0100 1110 1111

Escriba los siguientes números con formato
de punto flotante.
a – 58.88
b – (-14.44)
N° Decimal
Signo
Caracteristica
Mantisa
1 bit
8 bits
23 bits
a) 58,88
0
1000101
1110 1011 1000 0101 0001 1110
b) -14,44
1
1000011
0001 0100 0111 1010 1110 0010
Suponiendo una computadora que utiliza 4 bytes para
almacenamiento de números con parte
fraccionaria y utiliza al bit alto del byte como bit de
signo, los 8 bits qu e le siguen como campo de exponente
que se representa con exceso a 2 elevado a la N-1, y los 23
restantes como mantisa que se representa en complemento a
dos , codifique:
N° Decimal
Signo
Caracteristica
Mantisa
1 bit
7 bits
24 bits
a) 58,88
0
1000110
1110 1011 1000 0101 0001 1110
b) -14,44
1
1000100
1110 0111 0000 1010 0011 1101
Represente los números a y b del ejercicio
anterior en notación exponencial de punto flotante
normalizado, simple precisión, con coma a la
izquierda del bit más significativo, siete bits para
el exponente en exceso 64.
N° Decimal
Signo
Caracteristica
Mantisa
1 bit
7 bits
24 bits
a) 58,88
0
1000101
1110 1011 1000 0101 0001 1110
b) -14,44
1
1000011
1110 0111 0000 1010 0011 1101
Represente los números a y b del
ejercicio anterior en notación exponencial de punto
flotante normalizado, simple precisión, con coma a la
derecha del bit mas significativo, siete bits para el
exponente en exceso 64.
Obtener el rango aproximado de valores
reales representados en punto flotante para la norma IEEE
simple precisión.
N° Decimal
Signo
Caracteristica
Mantisa
1 bit
8 bits
23 bits
2149,35
0
1001011
1000 0110 0101 0101 1001 1001
Representar el siguiente numero decimal en la
norma IEEE simple precisión:
2149.35
1001 1111 1001 0001 1010 0101 0000 0000
Indicar que numero decimal representa el siguiente
numero binario, si se trata de un dato en punto flotante
norma IEEE.
(-.13567 x 10 +3) + (+.67430 x 10
–1)
(-.13567 x 10 +3) + (+.67430 x 10
–1) = (-.13567 x 10 +3) +
(+.000067430 x 103 )
=(+.13573743+3)
Mostrar cómo se suman los dos
números de punto flotante que siguen para obtener un
resultado normalizado:
(0.7564 x 1012) x (-0.1529 x 10
–6)
(0.7564 x 1012) x (-0.1529 x 10
–6) = (-0,11565356 x 10
6)

Realizar la multiplicación de los
siguientes números en punto flotante y obtener un
resultado normalizado.

a- 5671 , b- 0007

	a -5671	b -0007
Binario Puro	1011000100111	111
BCD 8421	0101 0110 0111 0001	0000 0000 0000 0111
BCD X-3	1000 1001 1010 0100	0011 0011 0011 1010
Aiken	1011 1100 1101 0001	0000 0000 0000 1101
BCD 5421	0101 0110 0111 0001	0000 0000 0000 0111

Representar los siguientes números
decimales en BINARIO PURO, BCD 8421, BCD Exceso 3, Aiken y
BCD 5421.
01110100 10010010
si el codigo
utilizado es :
BCD 8421 Aiken. BCD Exceso
3. Justificar.
a – 0111 0100
b – 1001 0010
BCD 8421
74
92
Aiken
0111 No pertenece a
Aiken
1001 No pertenece a
Aiken
BCD X-3
41
0010 No pertenece a BCD
X-3
Indicar que numero decimal representan las
siguientes palabras código:
Progresivo
1111
0
1110
1
1100
2
1000
3
0000
4
0001
5
0011
6
0111
7
0110
8
0100
9
Progresivo
Cerrado
1110
0
1111
1
1101
2
1100
3
1000
4
1001
5
1011
6
1010
7
0010
8
0011
9
Generar un código progresivo y uno
progresivo cerrado que represente a los
dígitos decimales, del 0 al 9.
6
4
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
2
0
0
1
1
3
0
1
0
0
4
0
1
0
1
5
0
1
1
0
6
0
1
1
1
7
1
0
1
0
8
1
0
1
1
9
Es un código ponderado de distancia
1.
Codificar los dígitos decimales en un
código ponderado cuyos pesos 6421. Cuando exista
más de una combinación posible elegir aquella
que tenga el bit de mayor orden cero. Analizar sus características.
5 2 2 1 y 8 4 (-2) (-1) para los dígitos
decimales del 1 al 9 hallar el complemento a 1 de dichos
códigos. Hallar el complemento a la base menos uno
de los dígitos decimales. ¿ Cual es la
característica que se observa?
Generar otro código
autocomplementado.
5211
84(-2)(-1)
4221
0
0000
0000
0000
1
0001
0111
0001
2
0011
0110
0010
3
0110
0101
0011
4
0111
0100
1000
5
1000
1011
0111
6
1001
1010
1100
7
1100
1001
1101
8
1110
1000
1110
9
1111
1111
1111
Se puede apreciar que el complemento a 1 en los
códigos autocomplementados se corresponde con
complemento a la base –1 del digito decimal que
representa. Por ejemplo en 5211 el numero 4 se representa
0111 y su complemento a 1 es 1000 que se corresponde al
numero 5 que es el complemento a la base –1 en
decimal. O sea que para hallar el complemento a la base
–1 en decimal con los códigos
autocomplementados solo debemos invertir 0x1 y 1×0
.
Analizar el concepto de
código autocomplementado. Escribir los
códigos cuyos pesos son:
a – 731 + 431
b – 1162 + 895
a-
731
0111
0011
0001
431
+
0100
0011
0001
1162
0001
1011
0110
0010
+ 1010
0001
0001
0110
0010
b-
1
1
1162
0001
0001
0110
0010
895
+
1000
1001
0101
2057
0010
1010
1111
0111
1010
+ 1010
0010
0000
0101
0111
Efectuar las sumas, codificando previamente los
números en BCD 8421
1
1
596
1000
1100
1001
+ 742
+
1010
0111
0101
1338
10011
10011
1110
– 0011
+ 0011
– 0011

0010
10110
0110
1011
Realizar las sumas del los
números 596 y 742
expresando los operandos en exceso 3.
a – 0111 0011 0000 1001 b – 0101 1000
0010
a -0111 0011 0000 1001
7 3 0 9
b – 0101 1000 0010
5 8 2
Decodifique cada número expresado en el
código BCD ponderado 8421
Decodifique el numero expresado en el
código BCD XS-3.
3 0 8 4
0100 0011 1011 0111

0100 1100 0010 1010
4 9 2 7
Nota: Si el numero toma entre dos codificaciones
posibles a la que posee el BSM en 0 este numero no existe
en 5421.
Decodifique el número expresado en el
código BCD ponderado 5421
Al ser BCD XS-3 autocomplementado nos permite
hallar el complemento de un numero, tomando el numero en
XS-3 e invirtiendo la posiciones binarias 0 por 1 y 1 por
0. Entonces para :
2185 à 0101 0100 1011 1000
7814 à 1010 1011 0100
0111
Dado que el código XS-3 (código
autocomplementado) para 2185 es 0101 0100 1011 1000,
encuentre el código XS-3 para 7814 (7814 es el
complemento a 9 de 2185).
Convierta los
valores siguientes de la representación en XS-8 a
su forma decimal equivalente.
1110 à
6
0111 à No existe en XS-8
1. No es posible ya que la variedad de
  representaciones es 2n-1 y para los BCD es
  de 23=16. Si eliminamos a 8 posibles
  combinaciones solo podemos representar otros 8
  combinaciones por lo que dos símbolos del
  sistema decimal quedarían fuera en este caso el
  8 y el 9.
2. ¿Es posible representar el valor
  9 en notación en XS-8? Recordar que para N bits el
  exceso viene dado por 2n-1.
3. Generar un código de distancia 2,
  tomando como base el código BCD 8421 y agregando
  un bit de paridad.
Bit
Paridad
8421
0
0000
0
1
0001
1
1
0010
2
0
0011
3
1
0100
4
0
0101
5
0
0110
6
1
0111
7
1
1000
8
0
1001
9
Sistemas de
Numeración –
Códigos ( SEGUNDA PARTE )
1001 à 1
a)el número decimal 7820 a octal, binario,
Hex, BCD Nat y a su equivalente en base 5.
b)el binario 0,01001111 a decimal.
c) a decimales y hexadecimal el número
octal 1024,75.
d)a octal y binario los números Hex.: 3AE y
7F,CB.
a) 7820 8 4 7820 (10) = 17214
(8)
Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
pesos
7820 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
7820(10) =
1111010001100(2)
7820 16 C 7820(10) =
1E8C(16)
488 16 8
30 16 E
1
7820(10) = 0111 1000
0010 0000 en BCD Natural
7820 5 0 7820(10) =
222240(5)
1564 5 4
312 5 2
62 5 2
12 5 2
2
b) 0,01001111(2) =
0*20+0*2-1+1*2-2+0*2-3+0*2-4+1*2-5+1*2-6+1*2-7+1*2-8
= 0,25 + 0,03125 + 0,015625 + 0,0078125 +
0,00390625
= 0,30859375(10)
c) 1024,75(8) =
1*83+0*82+2*81+4*80+7*8-1+5*8-2
= 512 + 16 + 4 + 0,875 + 0,078125
= 532,953125(10)
532 16 4
33 16 1 532(10) =
214(16)
2
0,953125(10) ± 0,000001 =
1
106
106 £ base exp
106 £ 16 5
0,953125 x 16 = 15,25
0,25 x 16 = 4
0 x 16 = 0 0,953125(10) =
F4000(16)
0 x 16 = 0
0 x 16 = 0
1024,75(8) =
214,F4000(16)
Convertir :
3AE(16) =
1110101110(2)
1 6 5 6
7F,CB(16) = 0111 1 111 , 110 0 10 11
7F,CB(16) = 177,626(8)
7F,CB(16) =
1111111,11001011(2)
1 7 7 , 6 2 6
2) Dados los símbolos "3" y "9" decir
cuanto vale si se leen dichos símbolos en Hex, en
decimal y en octal.
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seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
3) Sean los símbolos 1011 , leer dicha
información en binario , en octal y
en base 5, diciendo en cada caso cual es el equivalente
decimal.
1011 se lee 1011(2) = 8 + 2
+1 = 11(10)
se lee 1011(8)
= 1 x 80 + 1 x 81 + 0 x 82
+ 1 x 83 = 1 + 8 + 512 =
521(10)
se lee 1011(5)
= 1 x 50 + 1 x 51 + 0 x 52
+ 1 x 53 = 1 + 5 + 125 =
131(10)
4) Dado un número del tipo 10(X)
[uno cero en base x] indicar que número es en base
10.
10(X) = 1*x1 +
0*x0 = 1*x1(10) =
x(10)
5) Convertir el número 1100 1000 0011
perteneciente al código BCD EXC 3 a: BCD Natural,
BCD Aiken, Decimal, Binario Natural y
Hexadecimal.
BCD EXC 3 Decimal BCD Natural BCD Aiken Binario
Nat Hexadecimal
1100 1000 0011 950 1001 0101 0000 1111 1011 0000
001110110110 3B6
6) Convertir de Gray a Binario el número
1011101001
1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 Gray
Å
1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 Binario
7) Convertir de Binario a Gray el número
1100101110
1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 Binario
Å
1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 Gray
8) Realizar un código pesado y
autocomplementario con pesos 4311
4 3 1 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 1 0 0
4 1 0 0 0
5 0 1 1 1
6 1 0 1 1
7 1 1 0 0
8 1 1 1 0
9 1 1 1 1
10) Dado el siguiente código especificar
sus características
Dec DCBA
1. 0 0 0 0
3. 0 1 0 0
4. 1 1 0 0
5. 1 1 0 1 CONTINUO, CICLICO, NO
  PESADO,
6. 1 1 1 1 NO AUTOCOMPLEMENTADO
7. 1 1 1 0
8. 0 1 1 0
9. 0 0 1 0
10. 0 0 1 1
  11) Transformar el código BCD Aiken en
  un código de distancia mínima
  2
  BCD Aiken
  Dec 2 4 2 1 Pp
11. 0 0 0 1
12. 0 0 0 0 0
13. 0 0 0 1 1
14. 0 0 1 0 1
15. 0 0 1 1 0
16. 0 1 0 0 1
17. 1 0 1 1 1
18. 1 1 0 0 0
19. 1 1 0 1 1
20. 1 1 1 0 1
21. 1 1 1 1 0
12) Como se representa +12 y –12 en una
computadora de 5 bits en los convenios SyM, Ca2, Ca1 y
Binario Desplazado
SyM Ca2 Ca1 Binario Desplazado
+12 01100 01100 01100 11100
–12 11100 10100 10011 00100
13) En los convenios ya mencionados, a que
número representan los códigos: 00001101 y
10001110
SyM Ca2 Ca1 Binario Desplazado
00001101 +13 +13 +13 – 115
10001110 –14 –114 –113
+14
Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
01110011 –115(10) 10001110 Ca1
01110001 113
10001110
– 10000000
00001110 + 14(10)
14) Efectuar las siguientes operaciones
aritméticas:
3AE(16) = 001 1 10 10 1110
3AE(16) = 1656(8)
24 00011000
+ 17 + 00010001
41 00101001 41 : resultado
válido
_ 49 _000110001
36 000100100
13 000001101 13 : resultado
válido
_36 -1000100100
49 000110001
111110011 hubo barrow resultado
inválido
-24
+ -17
-41 – 24<-17 se produce barrow
b) Números en Ca2 y el mínimo
módulo posible
24 0011000 +(27-1-1) = +63
+ 17 + 0010001
41 0101001 41 : resultado válido
Módulo 27 = 128
_ 49 _0110001 0110001
36 0100100 Ca2 1011100
13 1 0001101
+13 : resultado válido Módulo
27 = 128
Carry se ignora
_ 36 _ 0100100 0100100 Módulo 27
= 128
49 0110001 Ca2 1001111
Ca2
— 13 1110011 0001101
( — ) 13 : resultado válido
-24 0011000 1101000 Módulo 27 =
128
+ -17 0010001 Ca2 + 1101111
Ca2
-41 1 1010111 0101001
( — ) 41 : resultado válido
Carry se ignora
15) A partir de un código BCD Aiken obtener
un código para transmisión con Dmín:
3
BCD Aiken
2 4 2 1
Dec I1 I2 I3
I4 P1 P2
P3
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 a) bits de información = 4 bits de paridad =
3
0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 b) I1 I2
I3 I4 C)
0 1 0 0 1 0 1 X X X P1 P1 =
I1 Å I2 Å
I4
1 0 1 1 0 1 0 X X X P2 PP P2
= I1 Å I3
Å
I4
1 1 0 0 0 1 1 X X X P3 P3 =
I2 Å I3 Å
I4
1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
Módulo 256 y
números sin signo
Se recibe la siguiente
información :
1101100
1100001
0011100
Si el código transmitido es BCD Aiken con
Dmín:3 utilizando Hamming con paridad par y la
siguiente vinculación :
D C B A
X – X X P3
– X X X P2
X X X – P1
Indicar en cada caso si la información
recibida es la correcta o en su defecto en que lugar se
encuentra el error. (La información llega de la
siguiente forma: D C B A P1 P2 P3 )
a)
D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B)
Å P1 = 1
error en P1
1 1 0 1 1 0 0 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 0
S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 0
b)
D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B)
Å P1 =
0
1 1 0 0 0 0 1 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 1 error en P2
S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 0
c)
D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B)
Å P1 =
0
0 0 1 1 1 0 0 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 0 transmisión
corecta
S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 0
d)
D C B A P1 P2 P3 S1 = (D Å C Å B)
Å P1 =
0
1 1 0 0 0 1 0 S2 = (C Å B Å A) Å P2 = 0
S3 = (D Å B Å A) Å P3 = 1 error en P3
17) Escribir los siguientes números
decimales expresados en formato ANSI/IEEE :
1100010
754
0,037
a)
754(10)
1011110010(2) +
5 1,011110010 5
2+9 Ü
en BD EXCESO 127
01111111
+9 + 1001
10001000
0 10001000 01111001000000000000000
SIGNO EXPONENTE MANTISA
b)
0,037(10) =
0,00001,001011110001101010 . . .
(2)
5 posiciones
0,037 x 2 = 0,074
0,074 x 2 = 0,148
0,148 x 2 = 0,296 0,037(10) + 1,
00101111000110101001111 5
2-5 Ü
en BD EXCESO 127
0,296 x 2 = 0,592
<>
0,592 x 2 = 1,184
0,184 x 2 = 0,368 _ 127 01111111
368 x 2 = 0,736 5 – 101
0,736 x 2 = 1,472 01111010
0,472 x 2 = 0,944
0,944 x 2 = 1,888 0 01111010
00101111000110101001111
0,888 x 2 = 1,776 SIGNO EXPONENTE
MANTISA
0,776 x 2 = 1,552
0,552 x 2 = 1,104
0,104 x 2 = 0,208
0,208 x 2 = 0,416 0,496 x 2 = 0,992
0,416 x 2 = 0,832 0,992 x 2 = 1,984
0,832 x 2 = 1,664 0,984 x 2 = 1,968
0,664 x 2 = 1,328 0,968 x 2 = 1,936
0,328 x 2 = 0,656 0,936 x 2 = 1,872
0,656 x 2 = 1,312
0,312 x 2 = 0,624
0,624 x 2 = 1,248
0,248 x 2 = 0,496
c)
0(10) 0 00000000
00000000000000000000000
SIGNO EXPONENTE MANTISA
18) Dar el decimal de los siguientes
números expresados en formato ANSI/IEEE:
0 (cero)
SIGNO EXPONENTE MANTISA
Exponente:
00011111
1. N = 31 – 127 = -96
  Mantisa: + 1, 01010000000000000000000
  5 2-96
  0,0 . . . . . . 01,0101(2) = (
  1 5 2-96 + 1
  5 2-98 + 1
  5 2-100 )
  10
  posiciones
  b) 0 01000000
  11000000000000000000000
  SIGNO EXPONENTE MANTISA
  Exponente:
  01000000
2. 127 ± N =31
  N = 64 – 127 = -63
  Mantisa: + 1, 11000000000000000000000
  5 2-63
  0,0. . . . . . 1,11(2) = ( 1
  5 2-63 + 1
  5 2-64 + 1
  5 2-65)
  10
3. 127 ± N = 64
4. posiciones
c) 1 11111111 00000000000000000000000
SIGNO EXPONENTE MANTISA
Este número es –
infinito
d) 0 00000000
01000000000000000000000
SIGNO EXPONENTE MANTISA
Este es un número no normalizado
0,01(2) = 1 5
2-2(10) 5
2-126(10)
20) En una transmisión puede haber hasta 4
bits de eror. Se pide hallar la distancia mínima de
código necesaria para:
1 00011111
01010000000000000000000
detectar todos los bits en
error
corregir todos los bits en
error
corregir los errores de hasta 1 bit y solo
detectar los restantes
corregir los errores de hasta 2 bits y
solo detectar los restantes
Dmín = d + 1 = 4 + 1 =
5
Dmín = 2∙c + 1 = 2∙4 +
1 = 9
Dmín = 2∙c + d + 1 =
2∙1 + 3 + 1 = 6
Dmín = 2∙c + d + 1 =
2∙2 + 2 + 1 = 7
a) Obtener un código de distancia
mínima 4 a partir de un código Hamming de
distancia mínima 3, usando el código BCD Exc
3.
a) I1 I2 I3 I
4 P1 P2 P3
P4
0 0 1 1 1 0 0 1 I1 I2
I3 I4
0 1 0 0 1 0 1 1 X X X P1
0 1 0 1 0 1 0 1 X X X P2
0 1 1 0 1 1 0 0 X X X P3
0 1 1 1 0 0 1 0 X X X P4
1 0 0 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 P1 =
I1 Å I2 Å
I4
1 0 1 0 1 0 1 0 P2 =
I1 Å I3 Å
I4
1 0 1 1 0 1 0 0 P3 =
I2 Å I3 Å
I4
1 1 0 0 0 1 1 0 P4 =
I1 Å I2 Å
I3
b) S1 = P1
Å
( I1 Å I2
Å
I4 )
S2 = P2
Å
( I1 Å I3
Å
I4 )
S3 = P3 Å (
I2 Å I3 Å I4
)
S4 = P4 Å (
I1 Å I2 Å I3
)
Se recibe S1 = P1
Å
( I1 Å I2
Å
I4 ) = 0
I1 I2 I3 I
4 P1 P2 P3
P4 S2 = P2
Å
( I1 Å I3
Å
I4 ) = 1 error en P2
1 0 1 1 0 0 0 0 S3 =
P3 Å ( I2 Å I3
Å
I4 ) = 0
S4 = P4 Å (
I1 Å I2 Å I3 ) =
0
I1 I2 I3 I
4 P1 P2 P3
P4 S1 = P1
Å
( I1 Å I2
Å
I4 ) = 1
1 1 1 1 0 0 0 0 S2 =
P2 Å ( I1
Å
I3 Å I4 ) = 1 error en 2
bits
S3 = P3 Å (
I2 Å I3 Å I4 ) =
1
S4 = P4 Å (
I1 Å I2 Å I3 ) =
1
ÁLGEBRA DE BOOLE
George Boole
(1815-1864)
Nacido el 2 de Noviembre de 1815 en Lincoln,
Lincolnshire (Inglaterra), primero concurrió a una
escuela
en Lincoln, luego a un colegio comercial. Sus primeras
instrucciones en matemática, sin embargo fueron de su
padre quién le dio también a George la
afición para la construcción de instrumentos
ópticos. El interés de George se volvió a
los idiomas y recibió instrucción en
Latín de una librería local. A la edad de 12
años había llegado a ser tan hábil en
Latín que provocaba controversia. Él tradujo
del latín una Oda del poeta Horacio de lo cual su
padre estaba tan orgulloso que tenía su
publicación. No obstante el talento era tal que un
maestro de escuela
local cuestionaba que nadie con 12 años
podría haber escrito con tanta profundidad.
Boole no estudió para un grado académico,
pero a la edad de 16 años fue un profesor auxiliar
de colegio. Mantuvo su interés en idiomas e intentó
ingresar a la Iglesia.
Desde 1835, sin embargo, pareció haber cambiado de
idea ya que abrió su propio colegio y empezó
a estudiar matemáticas por si mismo.
Tardó en darse cuenta que había perdido casi
cinco años tratando de aprender las materias en vez
de tener un profesor experto. En ese periodo Boole
estudió los trabajos de Laplace y Lagrange, tomando
apuntes, los cuales llegaron a ser más tarde las
bases para sus primeros papeles matemáticos.
Comenzó a estudiar álgebra y Aplicación de
métodos algebraicos para la
solución de ecuaciones diferenciales fue publicada
por Boole en el Transaction of the Royal Society y
por este trabajo recibió la medalla de la Real
Sociedad.
Su trabajo matemático fue el comienzo que le trajo
fama
Boole fue nominado para una cátedra de
matemáticas en el Queens College, en
1849, donde enseñó por el resto de su vida,
ganándose una reputación como un prominente y
dedicado profesor.
En el 1854 publicó Las leyes
del pensamiento sobre las cuales son basadas las
teorías matemáticas de
Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la
lógica en una nueva dirección reduciéndola a una
álgebra simple, incorporando
lógica en las matemáticas. Agudizó la
analogía entre los símbolos algebraicos y
aquellos que representan formas lógicas. Su
álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre
solamente a los
valores binarios 1 y 0 y a tres operadores: AND (y), OR
(o) y NOT (no). Comenzaba el álgebra de la
lógica llamada Algebra Booleana la cual ahora
encuentra aplicación en la construcción de computadores,
circuitos
eléctricos, etc.
Boole también trabajó en ecuaciones
diferenciales, el influyente Tratado en Ecuaciones Diferenciales
apareció en 1859, el cálculo de las diferencias finitas,
Tratado sobre el Cálculo de las Diferencias
Finitas (1860), y métodos generales en probabilidad. Publicó alrededor de 50
escritos y fue uno de los primeros en investigar las
propiedades básicas de los números, tales
como la propiedad distributiva.
Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido
como el genio en su trabajo recibió grandes honores
de las universidades de Dublin y Oxford y fue elegido
miembro académico de la Real Sociedad
(1857). Sin embargo, su carrera que comenzó un tanto
tarde terminó infortunadamente temprano cuando
murió a la edad de 49 años, el 8 de Diciembre
de 1864 en Ballintemple, County Cork (Irlanda). Las
circunstancias son descritas por Macfarlane de la siguiente
forma:
"Un día en el 1864 camino desde su casa al colegio,
una distancia de dos millas, con una lluvia torrencial y
luego dio una conferencia
con la ropa empapada. El resultado fue un resfrío
febril el cuál pronto dañó sus
pulmones y terminó su carrera….."
Lo que a Macfarlane le faltó decir es que la esposa
de Boole (Mary nieta de Sir George Everest, de quién
después fue nombrada la montaña) creía
que el remedio podría ser la causa. Ella puso a
Boole en cama y arrojó cubos de agua
sobre la cama, ya que su enfermedad había sido
causada por mojarse.
El
trabajo de Boole llegó a ser un paso fundamental
en la revolución de los computadores,
cuando en 1938, demostró como las
operaciones booleanas elementales, se podían
representar mediante circuitos conmutadores eléctricos, y
como la combinación de estos podía
representar operaciones aritméticas y lógicas
complejas. Shannon
demostró asímismo que el álgebra
de Boole se podía utilizar para simplificar circuitos commutadores.
ÁLGEBRA DE
BOOLE
INTRODUCCIÓN
¿QUÉ ES EL ÁLGEBRA DE
BOOLE?
Como hemos visto anteriormente a mediados del
siglo XIX, George Boole (1815-1864), en
sus libros:
"The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An
Investigation of te Laws of Thought" (1854),
desarrolló la idea de que las proposiciones
lógicas podian ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las
proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados
de la lógica clásica) son aquellas que
únicamente pueden tomar valores
Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas
posibles sean Sí/No. Según Boole, estas
proposiciones pueden ser representadas mediante
símbolos y la teoría que permite trabajar con estos
símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la
Lógica Simbólica desarrollada por él.
Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones
lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por
ello, al conjunto de reglas de la Lógica
Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE
BOOLE.
A mediados del siglo XX el ágebra Booleana
resultó de una gran importancia práctica,
importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros
dias, en el manejo de información digital (por eso
hablamos de Lógica Digital).
Gracias a ella, Shannon (1930) pudo
formular su teoría de la
codificación y John Von
Neumann pudo enunciar el modelo
de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde
la primera generación.
Todas las variables y
constantes del Álgebra booleana,
admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y
salidas: Sí/No,
0/1 o Verdadero/Falso.
Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser
representados por números binarios de un
dígito (bits), por lo cual el
Álgebra booleana se puede entender cómo el
Álgebra del Sistema
Binario. Al igual que en álgebra tradicional,
tambien se trabaja con letras del alfabeto para denominar
variables y formar ecuaciones para obtener
el resultado de ciertas operaciones mediante una
ecuación o expresión
booleana. Evidentemente los resultados de las
correspondientes operaciones tambien serán
binarios.
Todas las operaciones
(representadas por símbolos determinados) pueden ser
materializadas mediante elementos físicos de
diferentes tipos (mecánicos, eléctricos,
neumáticos o electrónicos) que admiten
entradas binarias o lógicas y que
devuelven una respuesta (salida) tambien binaria o
lógica. Ejemplos de dichos estados son:
Abierto/Cerrado (interruptor),
Encendida/Apagada (bombilla),
Cargado/Descargado (condensador) ,
Nivel Lógico 0/Nivel lógico
1 (salida lógica de un circuito
semiconductor), etcétera.
Los dispositivos con los cuales se implementan las
funciones
lógicas son llamados puertas (o
compuertas) y, habitualmente, son dispositivos
electrónicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros
que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten
el diseño, y la ulterior
implementación, de los circuitos de cualquier
ordenador moderno, así como de muchos de los
elementos físicos que permiten la existencia de las
telecomunicaciones modernas, el control
de máquinas, etcétera. De hecho,
pensando en los ordenadores como una jerarquía de
niveles, la base o nivel inferior sería ocupada por
la lógica digital (en el nivel más alto del
ordenador encontrariamos los actuales lenguajes de
programación de alto nivel).
En esta unidad se representan las puertas
lógicas elementales, algunas puertas complejas y
algunos ejemplos de circuitos digitales simples, así
como algunas cuestiones de notación. Por otra parte
se plantean actividades de trabajo, muchas de las cuales
implican una respuesta escrita en vuestro cuaderno de
trabajo. El deseo del autor es que os resulte sencillo y
ameno adentraros en el mundo de la lógica digital y
despertaros la curiosidad, tanto por ella, como por la
matemática que subyace en
ella.
DEFINICIÓN
Un álgebra de Boole es un conjunto en el
que:
Mediante dos ejemplos justificar
la capacidad simultánea de detectar errores de 2 bits
y corregir errores de 1 bit.
Se han definido dos funciones
binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos
aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que
representaremos por xy) y una función monaria (de un solo
parámetro) que representaremos por
x'.
Se han definido dos elementos (que designaremos por 0
y 1)
1. Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
2. Conmutativa respecto a la segunda
  función: xy = yx
3. Asociativa respecto a la primera
  función: (x + y) + z = x + (y +z)
4. Asociativa respecto a la segunda
  función: (xy)z = x(yz)
5. Distributiva respecto a la primera
  función: (x +y)z = xz + yz
6. Distributiva respecto a la segunda
  función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
7. Identidad respecto a la primera función:
  x + 0 = x
8. Identidad respecto a la segunda función:
  x1 = x
9. Complemento respecto a la primera
  función: x + x' = 1
10. Complemento respecto a la segunda
  función: xx' = 0
Propiedades del álgebra de
Boole
Tiene las siguientes propiedades:
Idempotente respecto a la
primera función: x + x = x
Idempotente respecto a la segunda
función: xx = x
Maximalidad del 1: x + 1 =
1
Minimalidad del 0: x0 =
0
Involución: x'' =
x
Inmersión respecto a la
primera función: x + (xy) = x
Inmersión respecto a la
segunda función: x(x + y) = x
Ley de Morgan respecto a la primera
función: (x + y)' = x'y'
Ley de Morgan respecto a la segunda
función: (xy)' = x' + y'

* Ley de De Morgan
generalizada

El complemento de una función se obtiene
complementando todas las variables que intervienen en ella e
intercambiando las operaciones adición y producto. Esto
puede expresarse simbólicamente de la forma:

<> [ f( A, B, C, … , +, · ) ]
' = f( A', B', C', … , ·, + )

Teorema de la descomposición de
funciones

Toda función puede descomponerse, con respecto a
cualquiera de las variables de las que depende, según la
siguiente relación:

<> f( A, B, C, … ) = A · f(
1, B, C, … ) + A' · f( 0, B, C, … )

siendo f(1, B, C, …) la función resultante de
sustituir, en la función original, todas las A por 1, y
las A' por 0. El segundo término, f(0,B,C,…) es la
función resultante de sustituir las A por 0 y las A' por
1.

Función booleana

Una función booleana es una
aplicación de A x A x A x ….A en
A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene
estructura de
álgebra de Boole.

Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo
quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no.
Representemos el voto de cada uno por xi. La
función devolverá sí (1) cuando el numero de
votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá
0.

Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la
función booleana devolverá 0.

Producto mínimo (es el número posible de
casos) es un producto en el
que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El número posible de casos es
2n.

Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras
A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:

Votos				Resultado
A	B	C	D	Resultado
1	1	1	1	1
1	1	1	0	1
1	1	0	1	1
1	1	0	0	0
1	0	1	1	1
1	0	1	0	0
1	0	0	1	0
1	0	0	0	0
0	1	1	1	1
0	1	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	0	0	0
0	0	1	1	0
0	0	1	0	0
0	0	0	1	0
0	0	0	0	0

Las funciones booleanas se pueden
representar como la suma de productos
mínimos (minterms) iguales a 1.

En nuestro ejemplo la función booleana
será:

f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + A'BCD

MAPA DE
KARNAUG

Simplificación de funciones con mapas de
Karnaugh

Obtener la función de un Mapa de Karnaugh es el
procedimiento
inverso a la de la realización del mapa. Un termino de la
función coloca uno o mas "unos" en el mapa de
Karnaugh.
Tomar esos unos, agrupándolos de la forma adecuada, nos
permite obtener los términos de la
función

Utilizaremos los Mapas de Karnaugh
para obtener una función mínima de dos niveles Suma
de Productos.

Una expresión de dos niveles sdp se
considerará la expresión mínima
si:

1. No existe otra expresión equivalente que
incluya menos productos.
2. No hay otra expresión equivalente que conste con el
mismo numero de productos, pero con un menor numero de
literales.

Observe que hablamos de UNA expresión
mínima y lo LA expresión mínima. Esto porque
pueden existir varias expresiones distintas, pero equivalentes,
que satisfagan esta definición y tengan el mismo numero de
productos y literales.

La minimización de funciones sobre el mapa de
Karnaugh se aprovecha del hecho de que las casillas del mapa
están arregladas de tal forma que entre una casilla
y otra, en forma horizontal o vertical existe ADYACENCIA LOGICA.
Esto quiere decir que entre una casilla y otra solo cambia una
variable.
Definimos los mintérminos adyacentes desde el punto de
vista lógico como dos mintérminos que difieren solo
en una variable. Agrupando casillas adyacentes obtenemos
términos productos que eliminan las variables que se
complementan, resultando esto en una versión simplificada
de la expresión.

El procedimiento es
el de agrupar "unos" adyacentes en el mapa; cada grupo
corresponderá a un termino producto, y la expresión
final dará un OR (suma) de todos los términos
producto. Se busca obtener el menor numero de términos
productos posible, lo que implica que cada termino producto debe
contener el mayor numero de mintérminos
posibles.

Antes de comenzar formalmente con la discusión
sobre minimización veamos por un momento el
siguiente mapa de Karnaugh, resultado de la
función:

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Como podemos notar, la función está
expresada en forma canónica, por lo que cada
mintérmino "colocará" un 1 en su casilla
correspondiente como se muestra en el
mapa de Karnaugh correspondiente.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Supongamos por un momento que agrupemos los "unos" del
mapa de Karnaugh como se muestra en la
figura.
Según esto tenemos cuatro términos que
son:

termino I	A				(agrupa 8 unos y es de 1 variable)

termino II	B	C			(agrupa 4 unos y es de 2 variables)
	_		_
termino III	A	C	D		(agrupa 2 unos y es de 3 variables)
	_	_	_	_
termino IV	A	B	C	D	(agrupa 1 uno y es de 4 variables)

Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

Puede verse que a medida que agrupamos mayor cantidad de
"unos", el termino tiene menos literales. El agrupamiento se hace
con una cantidad de "unos" que son potencias de 2. Así
agrupamos 2 mintérminos, 4 mintérminos y 8
mintérminos. Cada vez que aumentamos, el termino va
eliminando una variable. En una función de 4 variables, un
termino que tenga un solo "uno" tendrá las cuatro
variables. De hecho es un termino canónico. Al agrupar dos
mintérminos eliminaremos una variable y el termino
quedará de tres variables. Si agrupamos cuatro "unos"
eliminaremos dos variable quedando un termino de dos variables y
finalmente si agrupamos ocho "unos" se eliminaran tres variable
para quedar un termino de una variable.
Todo esto se debe a la adyacencia entre casillas y cada vez que
agrupamos, se eliminan las variables que se
complementan.

En el ejemplo anterior la función obtenida
es:

Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior

Pero, ¿será esta la función
mínima?

Si vemos la figura a la derecha, la forma de
agrupar nos da como resultado:

Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior

Es importante que al "tomar" un uno, se agrupe con todos
los unos adyacentes, aunque estos uno sean parte de otros
grupos.
Fíjese que el mintérmino 13 (11002) es
común a los tres términos.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Para simplificar funciones utilizando mapas de Karnaugh
hay que tener en cuenta que:

Cada casilla (mintérmino) en un mapa de
Karnaugh de n variable tiene n casillas adyacentes
lógicamente, de modo que cada par de casillas defiere en
una variable
Al combinar las casillas en un mapa de Karnaugh,
agruparemos un número de mintérminos que sea
potencia de
dos. Así agrupar dos casillas eliminamos una variable,
al agrupar cuatro casillas eliminamos dos variables, y
así sucesivamente. En general, al agrupar 2n
casillas eliminamos n variables.
Debemos agrupar tantas casillas como sea posible;
cuanto mayor sea el grupo, el
termino producto resultante tendrá menos literales. Es
importante incluir todos los "unos" adyacentes a un
mintérmino que sea igual a uno.
Para que hayan menos términos en la
función simplificada, debemos formar el menor numero de
grupos posibles
que cubran todas las casillas(mintérminos) que sean
iguales a uno. Un "uno" puede ser utilizado por varios
grupos, no importa si los grupos se solapan. Lo importante es
que si un grupo está incluido completamente en otro
grupo, o sus "unos" están cubiertos por otros grupos, no
hace falta incluirlo como termino.

Terminología para la simplificación:
Implicante, Implicante Primo, Implicante Primo
Esencial.

A continuación definiremos algunos
términos comúnmente utilizados en los procesos de
simplificación de funciones lógicas.

Implicante:<>
Conjunto de unos en un mapa de Karnaugh que representa un
termino producto de variables. Se denomina implicante porque
cuando este termino toma el valor 1,
implica que también la función toma el
valor 1. Un mintérmino solo es un implicante.

Implicante Primo:<>
Implicante que no está incluido completamente dentro
de otro implicante. No puede combinarse con otro implicante para
eliminar un literal.

Implicante Primo Esencial:
Implicante primo
que contiene uno o mas mintérminos que no están
incluidos en cualquier otro implicante primo

En el siguiente mapa de Karnaugh:

Los términos I II y III son implicantes
primos

El termino IV no es implicante primo

Los términos I y III son implicantes primos
esenciales

El termino II no es un implicante primo
esenciales

La función se obtiene con los términos I y
III

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Algoritmo de minimización mediante mapas de
Karnaugh

1. Identificar los implicantes primos. Para esto se
busca obtener los grupos con mayor cantidad de unos adyacentes.
Los grupos deben contener un numero de unos que son potencias de
2.

2.Identificar todos los implicantes primos
esenciales

3.La expresión mínima se obtiene
seleccionando todos los implicantes primos esenciales y el menor
numero de implicantes primos para cubrir los mintérminos
no incluidos en los implicantes primos esenciales.

Ejemplo: Simplificar la función:

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

En los mapas siguientes se muestra el proceso de
simplificación utilizando el algoritmo.

Implicantes primos

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Implicantes primos esenciales

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

F(A,B,C,D)

Para practicar puede bajar esta programa
freeware muy intuitivo y fácil de usar. Llenas la
tabla de verdad y a medida que vas colocando los unos, se va
llenando el mapa de Karnaugh y se van agrupando los
términos. También se pueden marcar los unos
directamente en el mapa de Karnaugh. No se requiere
instalación. Ocupa 283 Kb. Haz click en el icono para
bajarlo.

Los ejemplos anteriores se realizaron con funciones de 4
variables. Para mapas de Karnaugh de 5 y 6 variables el
procedimiento es esencialmente el mismo solo hay que recordar que
un mintermino es adyacente a otro mintermino que ocupe la misma
posición en forma horizontal o vertical en los cuadrados a
los lados del mapa.

Minimización en mapas de Karnaugh de 5
variables

Simplificar la función = m(0,2,8,11,15,18,20,21,27,28,29,31)

Se coloca un 1 en los minterminos

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Minimización en mapas de Karnaugh de 6
variables

Obtenga una función mínima para el
siguiente mapa de Karnaugh

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Otro forma mas practica de colocar los elementos en la
tabla es la siguiente:

Para una sola variable:

Para dos variables:

Para tres variables:

Para cuatro variables:

Para cinco variables:

Autor:

ING JORGE MOSCOSO SANCHEZ

Partes: 1, 2

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a- (32 – 63)				b- (-68 – 71)
	32	xxxxxxxxxxxx	00100000		– 68	xxxxxxxxxxxx	10111100
	– 63		+ 11000001		– 71		+ 10111001
	-31		11100001		– 139		101110101
				OVERFLOW

a- (32 – 63)				b- (-68 – 71)
	32	xxxxxxxxxxxx	00100000		– 68	10111011
	– 63		+ 11000000		– 71	+ 10111000
	-31		11100000		– 139	101110011
				OVERFLOW

N° Decimal	Forma exponencial	Mantisa	Exponente
N° Decimal	Normalizada	Mantisa	Exponente
444.4	0.4444 x 103	0.4444	3
-0.0005	-0.5 x 10-3	-0.5	-3
-88.88	-0.8888 x 102	-0.8888	2

N° Decimal	Forma exponencial	Mantisa	Exponente
N° Decimal	Normalizada	Mantisa	Exponente
1100.1	0.11001 x 24	0.11001	4
0.001010	0.101 x 2 -2	0.101	-2
-101	-0.101 x 23	-0.101	3
-0.0110011	-0.110011 x 21	-0.110011	1