Las ecuaciones de Maxwell

Indice
1.
Introducción.
2. Ecuaciones De
Maxwell
3. Los potenciales
retardados

1. Introducción.

Las ecuaciones de
Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el
magnetismo son
dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico, el
electromagnetismo. El fenómeno era similar
a la gravitación, cuyas leyes fueron
descubiertas por Newton;
así como un cuerpo masivo produce una fuerza
gravitacional sobre otro, un cuerpo eléctricamente cargado
y en movimiento
produce una fuerza
electromagnética sobre otro cuerpo cargado. La diferencia
más importante es que la magnitud y la dirección de la fuerza
electromagnética dependen de la carga del cuerpo que lo
produce y también de su velocidad; por
esta razón, la teoría
del electromagnetismo es más complicada que la
teoría
newtoniana de la gravitación, y las ecuaciones de Maxwell
son más complejas que la fórmula de Newton para la
fuerza gravitacional. Un aspecto común entre la
gravitación y el electromagnetismo es la existencia de una
aparente acción a distancia entre los cuerpos,
acción que tanto disgustaba a Newton. Maxwell no
resolvió ese problema, pero inventó un concepto que
desde entonces se ha utilizado constantemente en la física: el campo
electromagnético. Según esta interpretación,
en todo punto del espacio alrededor de una carga existe una
fuerza electromagnética, cuya intensidad y dirección están definidas por medio
de unas fórmulas matemáticas. En realidad, más que un
concepto, el
campo es una definición que da cierta consistencia a la
idea de que una carga eléctrica actúa sobre otra
lejana, sin tener que recurrir a una acción a distancia.
Sólo en el siglo XX se pudo encontrar cierta base física a este
concepto, pero en tiempos de Maxwell el campo
electromagnético era una noción matemática
sumamente útil, descrita por ecuaciones, pero cuya
realidad física trascendía toda
interpretación teórica. El primer éxito,
y el más notable, de la teoría de Maxwell fue la
elucidación de la naturaleza de la
luz. Maxwell
demostró, a partir de sus ecuaciones matemáticas, que la luz es una onda
electromagnética que consiste en oscilaciones del campo
electromagnético. Así quedaba establecida,
más allá de cualquier duda, la naturaleza
ondulatoria de la luz, tal como lo pensaba Huygens y en contra de
la opinión de Newton.

2. Ecuaciones De
Maxwell

Introducción al curso.
Este curso inicia con el estudio de las ecuaciones de Maxwell,
tiene un requisito: FM-320 (Electromagnetismo), en el cual se
estudiaron las relaciones electrostáticas, con la ley experimental
de Coulomb y se introdujo el estudio de los campos
magnéticos estáticos producidos por el movimiento de
cargas. Se estudió la distribución de cargas estacionarias y el
movimiento uniforme de cargas (velocidad
constante) . También se estudió la
relación entre campos eléctricos y
magnéticos provocada por el movimiento relativo de cargas.
Y que un campo
eléctrico estable que actúa sobre un conductor,
forza en éste una corriente estable, la cual provoca a su
vez un campo
magnético estático.

En este curso vamos a considerar un caso más
general para los campos, es decir , consideraremos los campos que
resultan del movimiento de cargas, el cual puede variar con el
tiempo
.

Esto conduce a la propagación de la
energía en la forma de ondas
electromagnéticas.

Las ecuaciones de Maxwell en su forma general
son:

<>

Donde:
E = Intensidad de campo
eléctrico V/m
 E = Flujo Eléctrico Coulombs
D = Densidad de flujo
eléctrico C/
H = Intensidad de campo
magnético A/m
B = Densidad de flujo
magnético Wb/ o T
 m = Flujo Magnético Wb
J = Densidad de corriente A/

= Densidad del volumen de carga
C/

Todas las variables son
vectores
dependientes de x,y,z,t, es decir V(x,y,z,t).
La compilación de las ecuaciones y su consolidación
como conjunto, más el desarrollo del
concepto de densidad de desplazamiento de corriente, se debe a
James Clerk Maxwell, un físico y matemático
escocés del siglo XIX.
A pesar de que él no descubrió estas ecuaciones, el
conjunto de ellas lleva su nombre porque fué él
quien compiló los resultados obtenidos por Ampere,
Faraday, Gauss, Coulomb y otros, e hizo importantes adiciones a
la ley de Ampere (el concepto de desplazamiento de
corriente).
En este capítulo vamos a estudiar cada una de estas
ecuaciones por separado.

Ley de Faraday
Sabemos que una corriente estable produce un campo
magnético,en 1831 Michael Faraday demostró que un
campo magnético variante en el tiempo puede
producir una corriente
eléctrica. Quizás es más exacto decir
que lo que Faraday descubrió fue que cuando se altera el
flujo magnético que pasa por un circuito cerrado,entonces
se induce un voltaje o fuerza electromotriz (fem), la cual
podría producir una corriente en este circuito.

Figura. 2.1aFigura. 2.1b

Figura 2.1.
La ley de Faraday se puede escribir de la siguiente
manera:

<> V ó (2.1)

Donde es el flujo magnético que pasa a
través de cualquier superficie S limitada por el circuito
(ruta cerrada c). El flujo que produce la corriente resultante (o
inducida) se opone a los cambios en el flujo original. La
última oración es un enunciado de la Ley de Lenz y
es la que da el signo menos a la ecuación de la
fem.

La fuerza electromotriz es un voltaje debido a alguna
forma de energía distinta a la energía
eléctrica y se define como:

(2.2)

Si el flujo se puede encontrar integrando la componente
normal de la densidad de flujo, sobre la superficie que nos
interesa, entonces:

(2.3)

Combinando estas tres ecuaciones (2.1, 2.2 y 2.3)
obtenemos:

(2.4)

El teorema de Stokes nos dice que :

<> Donde S es una
superficie abierta limitada por el contorno c.

Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la
ecuación (2.4) obtenemos

(2.5)

Donde s1 y s2 son cualquier superficie abierta limitada
por la ruta cerrada de la ecuación 2.2 Nótese que
s1 y s2 no son necesariamente la misma superficie, pero sus
límites
sí.

Si la ruta cerrada es fija o estacionaria, entonces s1 y
s2 no son dependientes del tiempo. Si así ocurre, entonces
podemos derivar a B dentro de la integral, parcialmente en el
tiempo ().Entonces:

(2.6)

La ecuación anterior es válida sin
importar S1, ni S2, ni sus respectivos límites;por lo tanto, si S1 y S2 son
idénticos, entonces la igualdad de la
ecuación (2.6) se cumple sólo si los integrandos
son iguales. Por lo tanto:

(2.7)

Y se deduce que E es no conservativo (). Esta es la forma diferencial de una de
las ecuaciones de Maxwell, la forma integral se obtiene de la
ecuación 2.4. con la S fija (). Entonces:

(2.8)

Las ecuaciones de Maxwell (ley de Faraday) para el caso
electrostático ( / t=0). Se obtienen
inmediatamente:

(2.9)

(2.10)

Ejemplo 2-1 Un lazo circular de 10 cm de radio se localiza
en el espacio libre junto a un conductor que lleva una corriente
senoidal de 0. 5 A a 1 Khz . Calcule el voltaje inducido en un
pequeño espacio del lazo si el conductor está a una
distancia de 15 cm del centro del lazo.

Solución:

Para efectos de simplificación colocamos el
círculo (lazo) junto con los ejes coordenados y el
conductor exactamente sobre el eje Y.

El voltaje es igual a la fem y la fem se calcula a
través de fem = –, y para calcular  m
requerimos B, ya que  m se calcula por
:

 m =  s 
B. ds ,

si B =  oI.,

donde r es la distancia que hay de la fuente de B ( el
2r conductor ) hasta su área de influencia
(círculo ), r coincide con el eje X, no tiene que ver con
el radio del
círculo.

La ecuación del círculo es ( x – 0.15 )
2 + ( y – 0.1) 2 = r 2 luego
( y – 0.1) 2 = r 2 – ( x – 0.15 )
2
y – 0.1 = [ r 2 – ( x – 0.15 )
2 ] 1 / 2
y = 0.1 + [ r 2 – (
x – 0.15 ) 2 ] 1 / 2 , donde r = 0.1 m
así
0. 25 0.1 + [ r 2 – ( x – 0.15 )
2 ] 1 / 2

m =    oI dydx
0.05 0 2 r
0.25 0.1 + [ r2 – ( x – 0.15 )
2 ] 1 / 2

m =   oI y dx
0.05 2 r 0
0.
25
 m =  oI {  [ 0.1
+ [ 0.1 2 – ( x – 0.15 ) 2 ] 1 /
2 ] dx }
2 0.05 x x

0.25 0.25 1 / 2
=  oI { 
0.1 dx +  [ ( 0.1 )2 – ( x – 0.15
)2 ] dx }
2 0.05 x 0. 5 x2
x2
0. 25 0. 25 1/2
=  oI {
0.1 ( ln x )  +  [ ( 0.01 ) – ( x – 0.15
)2 ] dx }
2 0.05 0.05 x2
x2
 m =  o I
( 0.1609 + 0.1199 ) =  oI ( 0.2806 ) = (
4 10- 7 ) ( 0.5 sen  t ) ( 0.2806)
2 2 2
 m = 0.2808 x 10- 7 sen  t
después
fem = – d m = – ( 2 ) ( 5 x
103 ) ( 0.2808 x 10- 7 ) cos  t =
9. 048 x 10- 4 cos  t
dt
donde el valor
máximo es : fem max = 9. 048 x 10- 4
= 0. 9048 mV.

Leyes de Gauss
La ley de Gauss establece que "el flujo eléctrico que pasa
a través de cualquier superficie cerrada es igual a la
carga toral que está dentro de la superficie".
La importancia de la contribución de Gauss no radica en
establecer la ley, sino en darle una expresión matemática.
Si imaginamos una distribución de carga, mostrada como una
nube de cargas puntuales, en la fig. 2.3, rodeada por una
superficie cerrada de cualquier forma. La superficie cerrada
podría ser la superficie de algún material real,
pero más generalmente podría ser cualquier
superficie cerrada que deseemos visualizar. Si la carga total es
Q, entonces pasarán Q Coulombs de flujo eléctrico
por el interior de la superficie. En cada punto de la superficie
el vector de densidad de flujo eléctrico D tendrá
un valor Ds,
donde el subíndice s nos recuerda que D debe evaluarse en
la superficie, y Ds en general va a variar en magnitud y
dirección de un punto a otro de la superficie.
Ahora vamos a considerar un elemento incremental s de la
superficie, el cual es tan pequeño que puede considerarse
una porción plana de la superficie, la completa descripción de s requiere no
sólo su magnitud, sino también su dirección,
es decir, su orientación en el espacio .
En otras palabras s es una cantidad vectorial. La
única dirección que se le puede asociar a s
es la dirección de la normal al plano que es tangente a la
superficie en el punto en cuestión. Existen dos normales
que podrían asociarse a s, se selecciona la que
"salga" de la superficie cerrada.

Fig.2.3

Consideremos un elemento  s en cualquier punto P
y sea  el ángulo que forman Ds con s ,
como se muestra en la
figura 2.3. Entonces, el flujo que pasa a través de
s es el producto de la
componente normal de Ds y de s,
 = flujo a través de  s = (Ds,
normal)( s) = DsCos s
Si aplicamos la definición de producto punto:
A.B|A||B|Cos AB. Entonces  =
Ds.s.
El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada
se obtiene sumando todas las contribuciones diferenciales de
flujo que pasan a través de s

La integral resultante es una integral de superficie
cerrada y puesto que ds siempre involucra las diferenciales de
dos coordenadas (dxdy ó  d d
ó ), entonces la integral es una doble
integral, se utiliza una S abajo del signo de la integral para
indicar que es una integral de superficie. Una última
convención es poner un pequeño círculo en el
signo de la integral para indicar que la integral se va a hacer
sobre una superficie cerrada. Entonces la formulación
matemática de la ley de Gauss es:

<> (la carga contenida)
(2.11)

Ahora, la carga contenida podrían ser varias
cargas puntuales:

O una carga lineal (que tiende de n a
infinito).

O una carga de superficie

O una carga de volumen

La última forma es la más usada y debemos
estar de acuerdo en que es una generalización de las tres
anteriores. La ley de Gauss se puede escribir como:

(2.12)

Una expresión matemática que simplemente
quiere decir que el flujo eléctrico total que puede pasar
a través de cualquier superficie cerrada es igual a la
carga contenida por esa superficie. Esta es la primer ley de
Gauss y la tercer ecuación de Maxwell.

Hemos obtenido la tercera ecuación de Maxwell en
su forma integral, para su forma en producto punto aplicamos el
teorema de la Divergencia a la parte izquierda de
2.12:

El teorema de la divergencia nos dice que , donde V es el volumen contenido
o limitado por la superficie S.

Substituyendo en 2.12 (2.13).

Como los volúmenes en 2.13 son los mismos,
entonces la igualdad se
cumple sólo si los integrandos son iguales, así
tenemos la forma puntual de la tercer ecuación de
Maxwell:

(2.14)

Para demostrar la segunda ecuación de Gauss
definimos el vector de densidad de flujo magnético B como
.

Donde B se mide en Weber/ o en el SIU en Teslas (T), también
se puede utilizar el Gauss (G) donde 1 Wb/= 10E3 G. Y , la permeabilidad en el espacio libre,
es: =4 xH/m y H es equivalente a A/m y 
Weber =
H.A.

es la inductancia por unidad de
longitud de una línea de transmisión inmersa en el
medio al cual representa .

Haciendo una analogía entre B y D podemos definir
a  como el flujo magnético que pasa por una
superficie S y de (1.11) tenemos:

<> (Wb)(2.15)

En (2.11) el flujo eléctrico  es igual a
Q la carga encerrada por S

La carga Q es la fuente de las líneas de flujo
eléctrico y estas líneas empiezan en cargas
positivas y terminan en cargas negativas.

Para las líneas de flujo magnético no se
ha descubierto una fuente análoga a Q. Puesto que
. , el campo B es de la misma forma. Las
lineas de flujo magnético son cerradas y no terminan en
una "carga magnética ". Por esta razon la ley de Gauss
para el campo magnético es:

(2.16)

Como en (2.12), aplicamos a 2.16 el teorema de la
divergencia y obtenemos la forma puntual de la segunda ley de
Gauss.

 .B = 0(2.17)

No hemos probado (2.16) ni (2.17), pero hemos sugerido
su validez. Y hay que hacer notar que la densidad de flujo
magnético B es solenoidal ya que no tiene
fuente.

Las siguientes relaciones son importantes:
D =  E (2.18)
B =  H (2.19)
J =  E (2.20) de conducción.
J = (2.21) de convección.

Ejemplo 2.2. Sea D = ( 8x + 4x 3
)ax – 2y ay + 2z az C/m2 .
Utilize la ley de Gauss para calcular la carga encerrada en la
región cúbica: – a  xyz 
a.

Solución:
Para x = a
a a
Q1=  (8a + 4a3
)ax. axdydz
– a – a
a a a a
Q1= (8a +
4a3) y dz =  (8a + 4a3 )2a
dz = (8a + 4a3 )2a z = 4a2 (8a +
4a3 ) = 32a3 + 16a5

– a – a – a – a
Para x = -a
– a a
Q2=  – (( – 8a – 4a3
)ax.axdzdy
a – a
a a -a -a
Q2= (8a +
4a3)z dy =  -(8a+4a3)2a dy
= -(8a+4a3)2a y = – (8a + 4a3) (2a) (- 2a) =
32a3 + 16a5
a – a a a

Para y = a
– a a – a a – a
Q3=   ( -2a ay . aydzdx =
 -2a z dx = -2a (2a) dx = -4a(2) x =
8a3
a -a a – a a
Para y = – a
a a a a
Q4=  – (
+2a)ay.-ay dxdz = -2a x dz = –
4a2 z = – 8a3
– a -a -a -a
Para z = a
-a a -a a a
Q5=  2a az
.az dxdy =  2a x dy = – 4a2
y = 8a3
a -a a a -a
Para z = -a
– a a -a a – a
Q6=  -2a
az . -az dydx =  2a y dx =
4a2 x = – 8a3
a -a a -a a

La carga total encerrada va a ser la suma de la carga de
cada cara, CT=Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6.
Por lo tanto la carga total encerrada en la región pedida
es CT = 2 ( 32a3 + 16a5 ) =
64a3 + 32a5 C.

Ley de Ampere y Corriente de Dezplazamiento.
La ley de Ampere (o quizás sea más correcto decir
la ley circuital de Ampere) simplemente establece que la integral
de línea de H alrededor de cualquier ruta cerrada (o la
circulación de H) es igual a la corriente encerrada por
esa ruta. La ruta es completamente arbitraria. La
dirección de la corriente se encuentra aplicando la regla
de la mano derecha, la ley en su expresión
matemática es:

<> (2.21)

Esta expresión se puede derivar directamente de
la ley de Biot-Savart, es una demostración larga y
tediosa, vamos a aceptar (2.21) como definición para
obtener la segunda ecuación de Maxwell en su forma
puntual.

Si aplicamos el teorema de Stokes a (2.21) [ superficie abierta S, rodeada por el
contorno C.]

<> (2.22)

Donde S1 es cualquiera de las posibles superficies
abiertas definidas por la ruta de integración C, usada para la integral de
línea. Si substituimos el lado derecho de (2.21) en el
lado izquierdo de (2.22) obtenemos :

<> (2.23)

Puesto que la ley de Ampere establece que S1 y S2 son
arbitrarias, podemos entonces hacerlas idénticas, pero
aún arbitrarias.

En este caso tenemos:

(2.24)

Si S es arbitraria, los límites de integración pueden ser idénticos y
en este caso la igualdad se cumple sólo si los integrandos
son iguales.

<> (2.25)

La cual es un caso particular de la segunda
ecuación de Maxwell. Si aplicamos el divergente a
(2.25):

<> (2.26)

es cero ya que el divergente del rotacional de cualquier
vector es cero.La ecuación (2.25) no es correcta para el
caso general, pero de la conservación de la carga para el
caso variante en el tiempo tenemos que:

<> (2.27)

Por lo tanto para que (2.26) cumpla con el caso general
hay que agregarle:

<> (2.28)

De la tercera ecuación de Maxwell tenemos que :
, entonces.

<> (2.29)

Si D y sus derivadas
espaciales y la del tiempo son continuas entonces:

<> (2.30)

Substituyendo (2.30) en (2.29) y reordenando
tenemos:

<> (2.31)

la cual es la segunda ecuación de Maxwell en su
forma puntual.

El término agregado,, fué la principal
contribución de Maxwell y debido a esta
contribución se asocia su nombre con el conjunto de
ecuaciones. Este término es obviamente una densidad de
corriente () , y así lo nombró Maxwell
Densidad de Corriente de Desplazamiento (derivada en el tiempo de
la densidad de flujo eléctrico).

En la mayoría de las aplicaciones de baja
frecuencia, la corriente de desplazamiento es despreciada. Esta
es una razón porque su presencia no fue fácil de
verificar o detectar, hata que hubieron fuentes de
alta frecuencia.

Para obtener la forma integral de la 2a ecuación
de Maxwell, hay que integrar ambos lados de (2.30) sobre una
superfiicie abierta fija, haciendo esto tenemos:

<> (2.32 a)

Si aplicamos el teorema de Stokes al lado izquierdo de
(2.32) y (2.20) a su lado derecho tenemos.

<> (2.32 b)

La cual es la forma integral de (2.31), la segunda
ecuación de Maxwell

Ejemplo 2.3 Un dieléctrico con pérdidas
tiene  = 4 10- 7 H/m ,  = (
10- 8 / 36 ) F/m y  = 2 x 10-
8 S/m . Si se tiene un campo eléctrico E = 200 sen
 t az V/m en el dieléctrico.
a) ¿ A qué frecuencia tendrán iguales
magnitudes la corriente de conducción y la corriente de
desplazamiento ?.
b) A esta frecuencia calcule la corriente de desplazamiento
instantánea.

Solución:
Ejemplo 1.4. Encuentre la amplitud de la densidad de corriente de
desplazamiento en :
a) El aire cercano a
una antena de automovil , donde la intensidad de una señal
de FM es E = 80 cos ( 6. 277 x 108 t – 2.
092y ) az V/m;
b) Dentro de un conductor metálico donde f = 1Khz,
 = 5 x 107 S / m ,  r = 1 y
la corriente de conducción es J = 107 sen (
6283t – 444z ) ax A / m2
c) Un capacitor de placas paralelas tiene como dieléctrico
el aire, sus
placas miden 10 cm2 las cuales están separadas
por una distancia de 2 mm. Si el capacitor se conecta a una
fuente senoidal de voltaje de 50 V ( 1 Mhz ), calculae la
magnitud de la corriente de desplazamiento.

Campos de tipo Senoidal y fasores.
El mayor énfasis en nuestro estudio de las ecuaciones de
Maxwell para campos variantes en el tiempo se hará con el
comportamiento
senoidal de la campos vectoriales. Para este caso, los campos se
van a escribir en la forma de fasores, lo cual va a
simplificarnos considerablemente los detalles
matemáticos.
Para ilustrar este importante concepto, vamos a escribir el
vector intensidad de campo eléctrico de la siguiente
manera:

<> (2.33)

Supongamos que cada uno de estos componentes tiene una
variación senoidal en el tiempo (la cual vamos a suponer
arbitrariamente que es cosenoidal) de la forma :

<> (2.34a)

<> (2.34b)

<> (2.34c)

Donde las magnitudes y los ángulos de fase de los componentes son independientes del
tiempo t, pero podrían depender de las coordenadas
espaciales, por ejemplo,Cada una de estas formas enel tiempo las
vamos a escribir en forma fasorial, pro ejemplo, la forma
fasorial de es:

<> (2.35)

Y de manera similar se hace para los fasores: Las ecuaciones en el dominio del
tiempo se pueden obtener a partir de los fasores al multiplicar
por y tomando la parte real del
resultado:

<> (2.36)

En donde se aplicó la identidad de
Euler

<> y

Y Re(.) es la parte real de la cantidad compleja. El
campo vectorial completo se puede escribir de igual manera
como:

<> (2.37)

Con este resultado podemos definir la forma fasorial del
campo vectorial como:

<> (2.38)

Y (2.37) se puede escribir como:

<> (2.39)

Para resolver los problemas
involucrados con la variación senoidal de los campos
vectoriales, reemplazamos los campos vectoriales por sus formas
fasoriales multiplicadas por .

<> (2.40a)

<> (2.40b)

<> (2.40c)

<> 2.40d)

Nótese que la derivada con respecto al tiempo, de
las formas (2.40) es equivalente a multiplicarlas por j ;
es decir:

<> (2.41)

Esta importante propiedad
permite una gran simplificación en la solución de
estos problemas. Si
sustituimos (2.40) y (2.41) en las ecuaciones de Maxwell y
cancelando , término común a ambos
lados de las ecuaciones, obtenemos:

<>

El producto de cada fasor de campo vectorial y se puede ver como compuesto de dos partes.
Por ejemplo, la componente x de se puede escribir como:

<> (2.43)

Donde Im(.) denota la parte imaginaria de la cantidad
compleja. De esta manera, es la suma de dos
términos:

<> (2.44)

Puesto que cada una de las ecuaciones de Maxwell es
lineal, cada ecuación en (2.42), al multiplicarse por
, se puede factorizar como la suma de dos
ecuaciones:

una para las partes Re(.) y otra para las partes jIm(.).
Así, resolvemos para (2.42) y utilizamos la porción
deseada de la solución. Por lo tanto, resolviendo (2.42)
para las cantidades fasoriales complejas obtenemos las formas en el dominio del
tiempo de las soluciones,
simplemente multiplicando cada fasor por y tomando la parte real del
resultado.

Si el medio es lineal, homogéneo e
isotrópico (lo cual supondremos de aquí en
adelante), (2.42) se vuelve:

<>

Aquí la permitividad, permeabilidad y
conductividad pueden ser funciones de la
frecuencia [(f), (f), (f)], como ocurre
para los medios
materiales.
Se va a utilizar ( ) para designar no sólo las
cantidades fasoriales complejas, sino también otras
cantidades que sean complejas.

Ecuaciones de Maxwell en Forma Integral
La forma integral de las ecuaciones de Maxwell permiten reconocer
generalmente, las leyes
experimentales de las cuales fueron obtenidas mediante un
proceso de
generalización. Los experimentos
deben tratar con cantidades físicas macroscópicas y
sus resultados tienen que ser expresados en términos de
relaciones integrales.
Una ecuación diferencial siempre representa una
teoría. Se recopilarán ahora las formas integrales de
las ecuaciones de Maxwell obtenidas en la sección
anterior. Integrando una formula sobre una superficie y aplicando
el teorema de Stokes, se obtiene la ley de Faraday,

E . dL = -[(s)(B/t).(dS)]

y si se aplica el mismo proceso a la
otra formula se produce la ley circuital de
Ampére,

H . dL = 1 +[(s)(B/t).(dS)]

Las leyes de Gauss para los campos magnéticos y
eléctricos se obtienen integrando las formulas sobre un
volumen y utilizando del teorema de la divergencia:

D . dS = vol Pvdv

sB . dS = 0

Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar
las condiciones en la frontera de B, D, H y E las cuales son
necesarias para evaluar las constantes obtenidas al resolver las
ecuaciones de Maxwell en forma de ecuaciones
diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no
cambian en general la forma que tienen para campos
estáticos o estables y se pueden utilizar los mismos
métodos
para obtenerlas. Entre cualquier par de medios
físicos (donde K debe ser cero sobre la sobre la
superficie), la formula permite relacionar las componentes
tangenciales del campo E,
Et1 = Et2
y
Ht1 = Ht2
Las integrales de superficie producen las condiciones de frontera
sobre las componentes normales,
DN1 – DN2 = PS
y
BN1 – BN2

3. Los potenciales
retardados

Los potenciales variantes con el tiempo, llamados
generalmente potenciales retardados por razones que se
explicarán en breve, tienen su mayor aplicación en
problemas de radiación
en los que la distribución de la fuente se conoce
aproximadamente. Debe recordarse que el potencial
eléctrico escalar y puede expresarse en términos de
una distribución de carga estática,
V = (vol)(Pvdv) /(4¶R) (estático)
y el potencial magnético vectorial pude encontrarse de una
distribución de corriente que sea constante en el
tiempo,
A = (vol) (µJdv)/(4¶R) (cd)
Las ecuaciones
diferenciales satisfechas por V,
V² V = – pv/£ (estático)
y A,
V²A = – µJ (cd)
Ecuaciones de Maxwell en Forma Punto
Se han obtenido dos de las ecuaciones de Maxwell para campos
variantes con el tiempo,

y

Las dos ecuaciones restantes permanecen sin cambio con
respecto a la forma que tienen cuando no existe dependencia
temporal:
La ecuación anterior
esencialmente establece que la densidad de carga es una fuente (o
sumidero) de las lineas de flujo eléctrico. Observe que no
se puede seguir diciendo que todo flujo eléctrico comienza
y termina en una carga porque la parte importante de la ley de
Faraday muestra que E, y
también D, pueden tener circulación si está
presente un campo magnético variable. Por ello las lineas
de flujo eléctrico pueden formar trayectorias cerradas.
Sin embargo, sigue siendo cierto que cada coulomb de carga debe
tener un coulomb de flujo eléctrico saliendo de él.
Con la última ecuación se reconoce el hecho de que
se desconoce la existencia de "cargas magnéticas" o polos.
El flujo magnético siempre se encuentra en circuitos
cerrados y nunca diverge de una fuente puntual. Estas cuatro
ecuaciones son la base de toda la teoría
electromagnética. Son ecuaciones diferenciales parciales
que relacionan el campo eléctrico y el magnético, y
con sus fuentes,
cargas y densidades de corriente. Las ecuaciones auxiliares que
relacionan D y E

B con H

que define la densidad de corriente de
conducción,

y que define la densidad de corriente de
convección en términos de la densidad de carga
volumétrica pv,

Autor:

José Juan Jiménez Alejandro