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Elementos de geoestadística (página 2)




Enviado por cuador



Partes: 1, 2

  1. Todo lo expresado hasta aquí tiene un
    único objetivo,
    conocer la información disponible para realizar
    estimaciones (Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977;
    Armstrong y Carignan, 1997), es decir, estimar valores
    desconocidos a partir, no sólo de los conocidos, sino
    también de su estructura
    de continuidad espacial. A diferencia de otra gran variedad
    de métodos de interpolación que no
    utilizan estas características y que se emplean
    actualmente con diferentes fines. Sin pretender hacer una
    comparación profunda de las características y
    ventajas de éstos métodos, veamos algunos
    ejemplos.

    1. Este método consiste en ajustar un plano
      que pase por las tres muestras más cercanas y
      adyacentes a la localización que se desea
      estimar.

      La ecuación del plano es:

      Z = a x + b y + c

      Cada muestra tiene coordenadas (x, y) y z
      representa el valor
      muestreado.

      Con el objetivo de obtener la ecuación
      del plano que pase por las tres muestras se construye el
      siguiente sistema de ecuaciones lineales:

      a x1 + b
      y1 + c = z1

      a x2 + b
      y2 + c = z2

      a x3 + b
      y3 + c = z3

      y así obtenemos los coeficientes a, b y
      c, entonces el valor de z en cualquier
      localización dentro del triángulo
      correspondiente se puede obtener sustituyendo sus
      coordenadas en la ecuación de Z.

    2. Triangulación

      Este método se basa en una
      combinación lineal dada por: Z*(x)
      = å
      l i
      Z(xi)

      En la que l i son los pesos
      proporcionales al inverso de la distancia euclidiana
      entre las localizaciones muestreadas y la que se desea
      estimar, éstos pesos son calculados
      por:

      l
      i = (1/doi)/
      å
      1/doj

      donde: doi es la distancia entre la
      localización a estimar y la localización de
      la muestra i.

      Generalizando obtenemos:

      Z*(x) = [å i+1,n
      1/doi Z(xi)] / å
      i=1,n1/doj

      Se pueden obtener distintos estimadores si
      escribimos la ecuación anterior como:

      Z*(x) = [å i=1,n
      (1/doi)w Z(xi)] / å
      i=1,n(1/doj)w

      Note que si w = 1 se obtiene la ecuación
      anterior.

      Estas dos técnicas de estimación
      utilizan directamente los
      valores muestreados en el proceso de estimación y refieren
      pesos de acuerdo a las distancias entre los datos,
      sin tener en cuenta la continuidad espacial de la
      información disponible. Veamos ahora el
      krigeaje, interpolador de la
      geoestadística, que sí utiliza los
      resultados que discutidos del análisis estructural.

      Inicialmente, Matheron denominó a esta
      técnica Krigeage (en francés) que en
      ingles se convierte en Kriging y en español se escribe Krigeaje.
      Este término que tiene su origen en el apellido de
      D.G. Krige, reconociendo de esta forma su aporte. El
      krigeaje es una técnica de estimación que
      proporciona el mejor estimador lineal imparcial (BLUE, en
      ingles, Best Linear Unbiased Estimator), (Schaug et
      al.,1993; Christensen et al.,1993; Abasov et al., 1990),
      y que además proporciona una error de
      estimación conocido como varianza de
      krigeaje
      que depende del modelo
      de variograma obtenido y de las localizaciones de los
      datos originales (Armstrong y Carignan, 1997; Journel y
      Huijbregts, 1978; David, 1977; Abasov et al., 1990). Esto
      brinda la posibilidad de hacer análisis sobre la
      calidad de las estimaciones (Weerts y
      Bierkens, 1993; Haas, 1992).

    3. Inverso de la distancia

      Como resultado de los trabajos de
      búsqueda y exploración de yacimientos
      minerales, se obtiene información
      del análisis químico de los testigos de
      perforación y/o rocas
      de afloramiento. Cualquiera sea la forma en que se
      organice esta información, debe ser regularizada,
      de modo que se obtengan los valores de la
      característica estudiada (contenido mineral en el
      caso minero), acompañadas de las coordenadas de
      las localizaciones correspondientes.

      En términos mineros, el problema de
      krigeaje consiste en encontrar la mejor estimación
      lineal posible del contenido mineral de un panel,
      teniendo en cuenta la información disponible,
      mediciones que han sido obtenidas tanto en el interior
      como externamente al panel que se desea estimar. El
      krigeaje consiste en efectuar una ponderación, es
      decir, atribuir un peso a cada valor observado, los pesos
      son calculados de manera que minimice la varianza de
      estimación resultante, teniendo en cuenta las
      características geométricas del problema
      (Matheron, 1970). Al minimizar la varianza de
      estimación se garantiza el uso óptimo de la
      información disponible (Zhang, 1996).

      1. Se dispone de los valores muestreados Z(xi),
        i=1,…,n, y deseamos estimar un valor de la
        característica observada en el panel Z(v) por
        una combinación lineal de Z(xi).

        Z*(v) = å l i Z(xi)

        donde Z*(v) es el valor estimado y
        l i son los
        peso de krigeaje, de modo que los l i sean obtenidos de
        tal forma que proporcione un estimador: insesgado
        E[Z*(v) – Z(v)] = 0 y de varianza mínima
        Var[Z*(v) – Z(v)]

        La geoestadística exige como primera
        etapa y fundamental el
        conocimiento del comportamiento estructural de la
        información, es decir, se debe contar
        además, con el modelo de semivariograma
        teórico que refleje fielmente las
        características de variabilidad y
        correlación espacial de la información
        disponible, discutido anteriormente. En el caso
        minero, particularmente, por la forma en que se
        presenta la información, de estar condicionada
        en una dirección por diversos
        parámetros (Rivoirard y Guiblin, 1997), se
        debe obtener modelos de variogramas verticales y
        horizontales, el primero, que caracteriza la
        correlación espacial en esta dirección,
        es decir a través de los estratos, y el
        segundo en los estratos, obteniéndose un
        modelo conjunto para la estimación de bloques
        (Pan y Arik, 1993; Armstrong y Carignan, 1997). Los
        bloques a estimar son definidos con dimensiones
        convenientes a la unidad de selección minera, teniendo en
        cuenta el espaciamiento entre muestras y el alcance
        estructural, es decir, la distancia hasta la cual las
        muestras se encuentran correlacionadas espacialmente.
        Las ecuaciones del krigeaje se obtienen entonces de
        acuerdo las hipótesis de la
        geoestadística que deben ser asumidas y
        verificadas como ya se indicó.

        Teniendo en cuenta las hipótesis de la geoestadística se
        pueden obtener las ecuaciones del krigeaje para los
        siguientes casos: función aleatoria estacionaria
        de esperanza nula o conocida, método conocido
        como Krigeaje Simple, para una función
        aleatoria estacionaria de esperanza desconocida, y
        una función aleatoria intrínseca,
        método conocido para los dos últimos
        casos como Krigeaje Ordinario.

        A continuación se presenta el sistema
        krigeaje para estos casos:

        1. Estimador: Z*(v) = å l i Z(xi) +
          m(1- å l i).

          Sistema: å l i C(xi, xj) = C(xj, v) j =
          1,…,n

          Varianza de krigeaje: s 2 =
          C(v,v) – å l i C(xi, v)

        2. Krigeaje
          Simple
        3. Krigeaje
          Ordinario
      2. Ecuaciones del
        krigeaje

      En términos de la
      covarianza

      Estimador: Z*(v) = å l i Z(xi)

      Sistema: å l
      i C(xi, xj) – m = C(xj, v) i,j =
      1,…,n

      å
      l i =
      1

      Varianza de krigeaje: s 2 = C(v,v)
      – å
      l i C(xi, v)
      + m

      En términos del
      semivariograma

      Estimador: Z*(v) = å l i Z(xi)

      Sistema: å l
      i g
      (xi, xj) + m = g (xj, v) j = 1,…,n

      å
      l i =
      1

      Varianza de krigeaje: s 2 =
      å l i (xi, v) –
      g (v,v)
      + m

      En todos los casos el sistema puede ser escrito
      matricialmente de la forma: K l = C

      Al sistema krigeaje es necesario hacer algunas
      observaciones según Journel y Huijbregts
      (1978):

      1.- El sistema krigeaje tiene solución
      única si y solo sí la matriz
      de K es definida estrictamente positiva, es
      decir:

      å
      i=1,nå j=1,n
      l
      il j C(xi,
      xj) ³ 0

      o en términos de variograma:

      – å
      i=1,nå j=1,n
      l
      il j g (xi,
      xj) ³ 0

      y no existen datos con las mismas
      coordenadas.

      2.- El krigeaje, el cual es un estimador
      imparcial, es también un interpolador exacto, es
      decir, para iguales soportes de observación va (a =1,…,n) y de
      estimación V, Los valores real Za y estimado Z* son
      iguales, además de que la varianza de
      krigeaje s
      2k es cero.

      3.- Las expresiones del sistema krigeaje y de la
      varianza de krigeaje son completamente generales, es
      decir, son aplicables cualquiera sean los soportes de
      observación y estimación y el modelo
      estructural empleado.

      4.- El sistema krigeaje y la varianza de
      krigeaje dependen sólo: del modelo estructural
      C(h) o g
      (h) obtenido y de la geometría del soporte de
      observación. Esta característica da la
      posibilidad de que la varianza de krigeaje sea usada
      cuidadosa y convenientemente para el estudio de redes y
      la clasificación de recursos.

      En el proceso de krigeaje, la matriz que se
      obtiene tiene dimensiones de hasta (N+1) x (N+1), cuando
      existen muchos datos en el área de influencia
      definido por los alcances esta matriz es grande, lo que
      implica tiempo
      para la solución del sistema, sin embargo (Myers,
      1991c), excepto para las localizaciones vecinas de la
      localización a estimar, los pesos son ceros o
      próximos a cero, conocido como el efecto
      pantalla
      del krigeaje. En la práctica, se
      establece una vecindad de búsqueda para evitar
      el
      trabajo con grandes sistemas, el cual es recomendado en la
      totalidad de la literatura básica de
      geoestadística. Todos los sistemas que implementan
      la estimación por krigeaje, permiten la
      definición de una vecindad de búsqueda, la
      cual debe ser obtenida con reducciones proporcionales en
      cada unos de los alcances, o la estimación por
      cuadrantes u octantes, limitando el número de
      muestras a usar en el proceso de krigeaje. De modo que
      los pesos asignados a las muestras más lejanas a
      la localización a estimar y dentro de la vecindad
      de búsqueda no sean negativos, nulos o
      próximos a cero. En ocasiones por esta
      razón se realizan compensaciones por el sistema de
      krigeaje que pueden arrojar pesos negativos y por
      consiguiente valores negativos en la
      estimación.

    4. Planteamiento del problema del
      krigeaje
    5. El caso no estacionario, Krigeaje
      Universal (KU)

    Uno de los problemas
    encontrados al modelar semivariogramas según Krajewski
    y Gibbs (1993) y ASCE Task (1990) es la existencia de
    tendencia en los datos, es decir, que los valores medidos
    aumentan o diminuyen en alguna dirección en el
    área de estudio. Este es el caso de un fenómeno
    no estacionario, lo que hace imposible la aplicación
    del krigeaje presentado hasta aquí. Con el objetivo de
    solucionar este problema Matheron propuso dos aproximaciones,
    primero el Krigeaje Universal (KU) (Matheron, 1970), que
    consiste en extraer de la variable original Z(x) la parte no
    estacionaria por medio de una componente
    determinística m(x) que representa la deriva, hasta
    encontrar la parte estacionaria del fenómeno,
    obteniéndose un componente estocástico R(x)
    relacionados por la siguiente expresión:

    Z(x) = m(x) + R(x).

    Para el componente determinístico se sugiere
    utilizar una función polinomial de las coordenadas
    para modelar la tendencia, es decir:

    donde al son coeficientes y fl
    es la función que describe la tendencia. Así
    pueden obtenerse derivas simples, lineales,
    cuadráticas, etc., (Jones y Vecchia, 1993;
    Maisonneuve, 1998). Para una deriva simple el KU se reduce al
    Krigeaje Ordinario (Christensen, 1993; Renard,
    1998).

    Obteniéndose finalmente el sistema Krigeaje
    Universal.

    Con varianza de estimación.

    Una variante de krigeaje que tiene en cuenta esta
    situación, fue desarrollada por Goldberger, A, S. en
    1962 y descrita por Matheron en 1969, para tratamiento de
    datos débilmente estacionarios y con tendencia. La
    aplicación de KU puede resultar difícil por la
    indeterminación de la tendencia y del semivariograma
    (Carr, 1990; Armstrong y Carignan, 1997; Renard,
    1998).

    Una aproximación más general es el
    estudio del modelo de Funciones Aleatorias
    Intrínsecas de orden K
    , la cual consiste en
    construir incrementos de orden creciente hasta alcanzar un
    orden K para el cual dichos incrementos son estacionarios
    (Christensen, 1990).

  2. Estimación

    Los conceptos presentados hasta aquí,
    extendidos a más de una variable, se denominan
    Geoestadística Multivariada (Wackernagel, 1995). Es
    posible encontrar casos de variables
    de interés que están
    insuficientemente muestreadas, pero que se conoce su
    correlación con otras variables en la zona de
    interés. Utilizando esta correlación es posible
    estimar una variable de interés a partir de la
    información de la propia variable además de las
    correlacionadas con ellas (Journel y Huijbregts, 1978; David,
    1977; Myers, 1991a; Wackernagel, 1995; Myers, 1991d; ASCE
    Task, 1990; Christakos y Bogaert, 1996; Almeida y Jounel,
    1994; Carr y Mao, 1993). Esto es, el Co-Krigeaje, una
    extensión o generalización del krigeaje cuando
    más de una de las variables disponibles guardan
    relación entre sí. En este caso, se requiere
    conocimiento no sólo del modelo de
    semivariograma de cada una de las variables, sino
    además, del semivariograma cruzado entre las variables
    (Zhang et al.,1992; Myers, 1991a; D'Agostino y Zelenka, 1992;
    Pawlowsky et al.,1994; Myers, 1992; ASCE Task, 1990; Myers,
    1991a; Carr y Myers, 1990; Wackernagel, 1994). Existen
    variantes de Co-Krigeaje más generales para la
    integración de datos (Almeida y Jounel,
    1994)

    En este proceso, se pueden distinguir las siguientes
    situaciones (Wackernagel, 1995 y 1998):

    Isotopía: Se produce cuando todas las
    variables poseen valores medidos en todas las localizaciones.
    En este caso no es de interés aplicar el procedimiento
    multivariado, porque el Co-Krigeaje en este caso puede
    resultar equivalente al krigeaje, se dice variables
    autokrigeables.

    Heterotopía total: Cuando las
    variables poseen valores medidos en localizaciones
    diferentes. En este caso no es de interés tampoco
    aplicar procedimiento multivariado, además, de que no
    es posible obtener el semivariograma cruzado
    experimental.

    Heterotopía parcial: Esta
    situación se produce cuando algunas (la mayor parte)
    de las localizaciones muestreadas poseen valores medidos de
    todas las variables, un caso importante es cuando las
    muestras de la variable de interés están
    incluidas como un subconjunto de las demás variables.
    En este caso pueden ser calculados los semivariogramas
    cruzados y resulta ventajoso utilizar el procedimiento
    Co-Krigeaje.

    1. El semivariograma cruzado se obtiene por la
      ecuación:

      donde ZA y ZB son
      variables correlacionadas, ZA la variable de
      interés y ZB la variable auxiliar o
      secundaria.

      Los criterios para el cálculo del semivariograma cruzado
      son análogos al caso univariado, mientras el
      semivariograma directo toma sólo valores
      positivos, el cruzado puede tomar valores negativos, lo
      que indica correlación inversa entre las
      variables. Un aspecto importante en el modelado de los
      semivariogramas cruzados es que deben satisfacer la
      desigualdad de Cauchy – Schwarz (Wackernagel,
      1995):

      Una forma de modelar los semivariogramas
      cruzados consiste en ajustar independientemente los
      semivariogramas de las variables ZA,
      ZB y el de la suma ZA +
      ZB, los cuales están relacionados por
      la siguiente expresión.

      En Issaks y Srivastava (1989) se presentan
      elementos para el cálculo y ajuste de los
      semivariogramas en el caso multivariado, además
      del Modelo Lineal de Corregionalización como
      procedimiento para modelar semivariogramas directos y
      cruzados.

    2. Semivariogramas
      cruzados

      El sistema Co-Krigeaje Simple se presenta a
      continuación.

      La varianza es:

      El sistema Co-Krigeaje Ordinario es:

       Para ver el
      gráfico seleccione la opción "Descargar"
      del menú superior

      donde:

      y la varianza es:

    3. Co-Krigeaje.

      Este procedimiento es un simple y eficiente
      algoritmo para incorporar una segunda
      variable Y(x) en la estimación de una primaria
      Z(x) (Deutsch y Journel, 1998). Consiste en una
      extensión del Krigeaje con Modelo de Tendencia o
      Krigeaje Universal que integra condiciones de
      universalidad suplementarias relativas a una o varias
      variables externas Yi(x) i = 1, …, N medidas de forma
      exhaustiva en todo el dominio donde se desea estimar la variable
      de interés (Wackernagel, 1993). Si la variable
      Y(x) que llamaremos secundaria tiene un comportamiento
      lineal con la variable de interés Z(x) que
      llamaremos primaria, es decir, si se cumple la
      relación: u otra relación polinomial con sentido
      físico, es posible incorporar ésta en el
      sistema de krigeaje, integrado dos fuentes de
      información con diferente grado de
      conocimiento. Obteniéndose el siguiente
      sistema:

      =

      o en notación matricial

      El estimador es:

      y la varianza de estimación:

      donde: T como superíndice denota matriz
      transpuesta,

      : covarianza de la variable primaria entre las
      localizaciones i y j.

    4. Krigeaje con Deriva
      Externa
    5. Co-Krigeaje con Variable
      Colocalizada (Collocated CoKriging)

    Otro modelo que incorpora una o varias variable
    externa para al estimación de una primaria consiste en
    una forma reducida de sistema de Co-Krigeaje (Deutsch y
    Journel, 1998), que incluye a la variable de interés y
    la variable secundaria conocida en todo el dominio donde
    será estimada la variable primaria.

    El sistema de Collocated Cokriging es

    =

    o en notación matricial:

    El estimador es:

    la varianza de estimación es:

    Donde:

    es
    el valor colocado de la variable secundaria en la
    localización a estimar .

    (i =
    1,…,N): pesos asignados a los datos experimentales de la
    variable primaria.

    :
    peso asignado a la variable secundaria.

    :
    esperanza matemática de la variable
    secundaria.

    :
    esperanza matemática de la variable
    primaria.

    :
    covarianza de la variable secundaria entre las localizaciones
    i y j.

    :
    covarianza cruzada entre la variable primaria y secundaria en
    las localizaciones iyj.

    y lo
    mismo para la variable primaria.

    y
    :
    multiplicadores de Lagrange.

    Los valores pueden aproximarse por la expresión
    = B , donde:

    B = , ,
    son las
    varianzas de las variables Z y Y, es el coeficiente de
    correlación entre las variables Z y Y.

  3. Geoestadística
    Multivariada

    En ocasiones nos encontramos situaciones con
    características que las técnicas lineales no
    permiten modelar, datos con alta asimetría por
    ejemplo. En estos casos se pueden realizar
    transformación a los datos, y obtener configuraciones
    de estos que si pueden ser explicados por el krigeaje, para
    lo que se han adoptado variantes como el Krigeaje Lognormal,
    Krigeaje de Indicadores, El Krigeaje Disyuntivo (Carr y
    Mao, 1993), El Krigeaje de Probabilidades (Carr, 1994; Carr y
    Mao, 1993), etc. La idea de estos procedimientos es realizar transformaciones en
    los datos originales hasta encontrar homogeneidad en la
    información, utilizar la técnica Krigeaje
    descritas hasta aquí y posteriormente realizar la
    transformación inversa. Un estudio más
    detallado en este sentido puede ser encontrado en Chica
    (1987), Deutsch y Journel (1998), Rivoirard (1991), entre
    otros.

  4. Geoestadística no
    Lineal

    La estimación en Geoestadística por el
    Krigeaje, como todo proceso de interpolación, ofrece
    una imagen suave
    o lisa de la realidad, existiendo aplicaciones en la que
    interesa algo más que simplemente obtener valores
    aproximados a una realidad desconocida, es decir,
    resultaría útil una representación que
    pueda sustituir la realidad. Con tal intención se
    propone, la Simulación Geoestadística, a
    través de la cual se obtienen realizaciones con igual
    comportamiento espacial que la información observada
    en las localizaciones muestreadas. La cual puede ser
    útil para obtener una representación de una de
    las posibles realizaciones de la realidad de un yacimiento
    (Lantuéjoul, 1998; Rivoirard, 1998). Esto da la
    posibilidad de sustituir un yacimiento real por uno simulado
    y realizar estudio de simulación de
    explotación, estudio de redes, etc, Un estudio
    más detallado puede ser encontrado en Lantuejoul
    (1995), Deutsch y Journel (1998), Cuador et al. (2000),
    Cuador y Quintero (2001), entre otros.

  5. La Simulación
    Geoestadística
  6. Conclusiones

Hasta aquí hemos expuesto los elementos
fundamentales de la geoestadística, ciencia
aplicada que surge como solución a problemas concretos en
la estimación de reservas minerales y que toma auge en
otros campos de las Ciencias de
la Tierra. Es
importante destacar que la estimación a través del
krigeaje, se hace buscando y utilizando las
características de continuidad espacial del
fenómeno estudiado, características que constituyen
la contribución fundamental de la geoestadística a
través de las diferentes variantes de interpolación
que propone. Además de las referencias
bibliográficas utilizadas, quedarían por citar las
magnificas contribuciones de otros autores.

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Dr. C. José Quintín CUADOR
GIL

Departamento de Informática

Universidad de Pinar del Río

Cuba

Partes: 1, 2
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