Apunte para entender bastante la teoría de la relatividad especial y algo la general (página 2)
7. Algunos conceptos para entrar en la Teoría
general de la Relatividad
a) El concepto de
Espacio-tiempo de
Feynman
La teoría de la relatividad muestra que la
relación de posiciones y tiempos medidas en dos sistemas de
coordenadas no son lo que hubiéramos esperado sobre la
base de nuestra intuición. Por el contrario estas siguen
las relaciones dictadas por las transformaciones de Lorentz. Para
realizar una analogía con mediciones en dos sistemas de
coordenadas y su significado, consideremos las transformaciones
que tienen lugar cuando a un sistema se lo
rota un cierto ángulo q respecto al centro del sistema. Así las
ecuaciones que
relacionan las posiciones entre ambos sistemas, el original y el
rotado son:
X’= x cosq
+ y senq
Y’= y cosq
– x senq
Z’=z
Siendo los valores
primos las coordenadas en el sistema rotado y los valores no
primos las coordenadas en el sistema original. Los valores primos
pueden considerarse como un mix ponderado de los valores no
primos, siendo los factores de ponderación que ponderan a
los valores no primos, función
del ángulo de rotación del sistema.
Veamos ahora una analogía
físico-geométrica. Cuando miramos a un objeto,
existen dos dimensiones del mismo, el ancho y la profundidad. La
realidad es que el ancho puede pasara a ser profundidad y
viceversa, dependiendo de cómo nos ubiquemos respecto al
objeto. Es decir, ambas medidas son aparentes dado que
según estemos ubicados nosotros respecto al objeto, las
mismas serán diferentes (imaginemos que miramos al objeto
desde diferentes ángulos). Estas medidas aparentes son una
combinación o mix de las medidas reales del objeto, su
ancho y su profundidad, y se pueden calcular aplicando las
formulas anteriores de rotación. Si no pudiéramos
cambiar de posición respecto al objeto que observamos,
este ejercicio de pensamiento
seria irrelevante dado que siempre veríamos los mismo del
objeto, es decir para nosotros el ancho y la profundidad serian
dos medidas diferentes, que denominaríamos las verdaderas
medidas del objeto. Es debido a que podemos caminar alrededor del
objeto, que podremos darnos cuenta que el ancho y la profundidad
son de alguna manera dos aspectos diferentes de la misma cosa.
Supongamos que el objeto es un rectángulo, si lo miramos
de frente el ancho es una dimensión, mientras que si nos
colocamos de costado perpendicular a la posición anterior,
el ancho es lo que antes era la profundidad.
Ahora bien ¿podemos pensar a las transformadas de
Lorentz de la misma manera? En estas también los valores
primos son un mix de los no primos. Recordemos que los valores
primos son los correspondientes al sistema en movimiento,
mientras los no primos son los correspondientes al sistema en
reposo.
Lo complicado es que dicho mix, es un mix de espacio y
tiempo. En el sistema en movimiento (el primo) valores de
posición que denotan espacio, son una mezcla de valores de
posición del sistema en reposo y valores de tiempo en el
mismo sistema. Lo que una persona en el
sistema en movimiento ve como espacio, la otra persona en el
sistema en reposo lo ve en parte como paso del tiempo. Feynman
genera la siguiente idea: la "realidad" de un objeto al cual
miramos, es de alguna manera mas amplia (lo que miramos no es la
realidad objetiva e intrínseca del objeto) que el "ancho"
y la "profundidad" del objeto porque estos dependen del hecho de
cómo miremos al mismo, es decir desde que lugar. Cuando
nos movemos a una nueva posición, nuestro cerebro
inmediatamente recalcula el ancho y la profundidad,
dándonos una idea real de lo que es el objeto.
Pero nuestro cerebro no puede recalcular inmediatamente
coordenadas de espacio y de tiempo cuando nos movemos a altas
velocidades, debido a que no tenemos la experiencia efectiva de
viajar a velocidades cercanas a la de la luz, adonde
podríamos apreciar que el espacio y el tiempo son como "el
ancho y la profundidad" dimensiones de la misma naturaleza. A
nosotros nos ocurre como en el caso de aquella persona que mira a
los objetos siempre desde la misma posición, sin poder caminar
alrededor de ellos.
De esta manera intentaremos pensar a los objetos en una
nueva clase de mundo de espacio-tiempo combinado, de la misma
manera que en el espacio dimensional podemos observar los objetos
desde diferentes posiciones. Así consideraremos a los
objetos que ocupan un cierto espacio y duran un cierto tiempo,
como ocupando un cierto "blob" (es la palabra de Feynman) en este
nuevo mundo al que denominamos espacio-tiempo. Un punto en este
espacio-tiempo definido por cuatro coordenadas (x, y, z, t) se
denomina evento.
La geometría
del espacio-tiempo así definido no es euclidiana. El
espacio-tiempo es un espacio curvo, estando la curvatura dada
sobre la dimensión tiempo de dicho espacio.
b) ¿Qué es un espacio curvo?
El tema este me parece interesante porque si bien el titulo suena
a algo estrambótico, la realidad es que entenderlo abre la
mente, porque da la casualidad que nosotros vivimos en un espacio
curvo. Muchos de los conceptos que adquirimos en las escuelas
aprendiendo geometría euclidiana en un plano, no son
validos en los espacios curvos.
La explicación que da Feynman acerca de los espacios
curvos surge a partir de la teoría general de la
relatividad y de la teoría de la gravedad de Newton.
Newton decía que cualquier cuerpo con masa atrae a otros
cuerpos con masa, con una fuerza que de
acuerdo a una formula sencilla era igual al producto de
las masas dividido por el cuadrado de la distancia que separa a
ambos. Si bien sencilla, el fundamento físico de esta
formula no es para nada claro, ¿por qué se produce
esa atracción? Es una pregunta sin respuesta.
Einstein tenia una interpretación diferente de la fuerza
de gravedad o atracción entre los cuerpos. Según
el, el espacio y el tiempo, que conforman el denominado
espacio-tiempo, sufren una curvatura considerable cerca de
grandes masas. Es así que el intento de las cosas de
continuar el movimiento en línea recta en este
espacio-tiempo curvado lo que hace que las cosas se muevan como
lo hacen, es decir atrayéndose entre ellas según la
formula de Newton. Esto dice Feynman es una idea compleja para
entender, así que comienza su explicación
ocupándose solamente del concepto de espacio curvo sobre
todo en la aplicación de Einstein. Como en tres
dimensiones es un tema complejo, empieza a desarrollarlo en dos
dimensiones.
Para esto Feynman se imagina seres vivos que habitan en
un mundo de dos dimensiones. Estos insectos obviamente no tienen
posibilidad de imaginarse como es un mundo como el nuestro de
tres dimensiones, por lo tanto por analogía que hagamos al
pasar de dos a tres dimensiones, podremos comprender, no sin
esfuerzo como transformar nuestras ideas y pasar de nuestras tres
dimensiones a cuatro dimensiones (espacio-tiempo). Así
Feynman nos habla de un insecto que vive en un plano, otro que
habita la superficie de una esfera, donde podrá caminar
pero sin tener el concepto de mirar para arriba o para abajo o
para afuera de la esfera, y un tercero que vive en un plano mas
complejo y con ciertas características: la temperatura es
diferente en diferentes zonas de dicho plano, tanto el insecto
como las reglas que utiliza para medir están hechas de un
material que se expande cuando aumenta la temperatura. En este
plano que denominamos plato caliente, todo se expande con el
calor en la
misma proporción.
Ponemos ahora a nuestros insectos a estudiar
geometría.
Primero aprenden el concepto de línea recta como la
distancia mas corta que hay entre dos puntos. El insecto en el
plano dibuja una línea recta; el que esta sobre la esfera
también lo hace aunque nosotros (individuos en tres
dimensiones) veremos que es una curva sobre la esfera que une
ambos puntos. Para el tercer insecto en el plato caliente, el
dibujo
también resultara en una línea curva pero que
requiere mas explicación. Digamos primero que el plato
esta mas caliente en el centro que en los bordes, y digamos que
los puntos que debe unir están a ambos lados del centro.
Dada la definición que la línea recta es la menor
distancia entre dos puntos, el insecto comenzara a trazar esta
línea con su regla, pero dado que la misma se expande en
las zonas de mayor temperatura, los cm que el mida sobre esta
regla serán mas grandes en las zonas calientes que en las
frías por lo tanto al querer trazar la línea mas
corta, esta tendrá, viéndola desde arriba (algo que
nuestro insecto no puede hacer), una curvatura hacia fuera del
plato, que son las zonas de mayor temperatura. Vemos así
que el mismo concepto adopta diferentes formas para nosotros.
Estas formas se producen según es el punto de vista de los
insectos que dibujan las líneas.
Veamos ahora la construcción de figuras geométricas
sencillas: un cuadrado, un triangulo y un circulo.
Empezando por el insecto que esta en un plano, el dibujara un
cuadrado trazando a partir de un punto A, una línea de
longitud d definida; marcando luego un ángulo de
900 con esta, trazara otra línea de longitud d,
y así repetirá el procedimiento dos
veces mas, comprobando que vuelve al punto de partida A. Esta
figura es un cuadrado.
Si luego dibuja una figura que esta dada por la
intersección de tres líneas oblicuas
obtendrá lo que se denomina triangulo, figura esta que
tiene la propiedad de
que sus ángulos internos suman 1800.
Finalmente si desde un punto c, nuestro insecto comienza a
dibujar líneas todas de la misma longitud r, comprobara
que si une estos puntos obtenidos obtendrá una
línea curva que se cierra sobre si misma a la que
denominaremos circulo. También haciendo diferentes de
estos círculos, podrá comprobar que la
relación entre la medida de esta curva (perímetro
de la circunferencia) y la distancia desde el punto c (centro)
hasta la curva r (radio) es un
valor
constante, aproximadamente 6,283 (2p ).
Ahora bien cuando el mismo procedimiento es seguido por
nuestros otros dos insectos, el de la esfera y el del plato
caliente, nos encontramos con ciertos inconvenientes. El cuadrado
no se cierra, es decir no se vuelve al punto de partida cuando a
partir de un punto trazamos líneas en ángulos
rectos de la misma dimensión. Los ángulos del
triangulo no suman 1800 sino mas. Cuando dibujan la
circunferencia sobre la superficie de la esfera o sobre el plato
caliente, resulta que la relación entre C
(perímetro de la circunferencia) y la constante
2p , da un valor
que es menor al radio medido sobre el espacio sea de la esfera o
del plato caliente.
Se define entonces un espacio curvo como aquel en el que
ocurren este tipo de incongruencias o diferencias con el espacio
euclidiano.
Puede haber diferentes tipos de espacios curvos. Un insecto en
una pera tendrá una visión diferente a los otros
dos que mencionamos, dado que la curvatura de la pera varia
según este en la parte superior o la inferior. Un insecto
en una silla de montar también esta en otro tipo de
espacio curvo. Según sea la curvatura de estos espacios se
puede dar que las incongruencias con el espacio euclidiano sean
inversas. Así la suma de los ángulos internos de un
triangulo podrán ser inferiores 1800, el radio
calculado puede ser menor al radio medido. Se dice de estos que
son espacios curvos de curvatura negativa.
Un caso particular es aquel del insecto viviendo en la
superficie de un cilindro. Diríamos en principio que este
también esta en un espacio curvo. Sin embargo si dibujamos
el cuadrado, el triángulo y el circulo sobre la superficie
del cilindro, veremos que estas figuras cumplen con los criterios
del espacio euclidiano. Esto es simplemente así porque si
desenrollamos el cilindro con las figuras en el, veremos entonces
que estas son las mismas pero ahora en un plano. De esta manera
podemos decir que nuestro insecto no puede detectar que esta
sobre un espacio curvo, realizando los experimentos de
los dibujos,
porque le darán como si fuera un plano. Solo podrá
detectar la curvatura comenzando a caminar hacia una dirección y comprobando que regresa al
punto de partida. Según nuestra definición
técnica, el cilindro no es un espacio curvo. De esta
manera, introducimos el concepto de curvatura intrínseca,
diciendo que es aquella que puede detectarse mediante una
medición local, por ejemplo dibujando el
cuadrado y viendo que no llegamos al punto de partida. Decimos
entonces que el cilindro no tiene curvatura
intrínseca.
Este fue el sentido que le daba Einstein cuando
definía a nuestro espacio como un espacio curvo. Ya lo
vimos en dos dimensiones, debemos extrapolar ahora no sin cierta
complicación a tres dimensiones.
Vivimos en un espacio de tres dimensiones y no
podríamos imaginar que el mismo puede estar doblado o
curvado en alguna dirección, simplemente nos dice Feynman
porque nuestra imaginación no es lo suficientemente buena,
de la misma manera que para el insecto que habita la superficie
de la esfera, le es imposible darse cuenta de lo que significan
las tres dimensiones que nosotros vemos tan claramente. Aun
así podemos definir una curvatura sin salir de nuestro
mundo tridimensional. Todo lo dicho acerca de el mundo
bidimensional de nuestros insectos fue un ejercicio para mostrar
que podemos obtener una definición de curvatura del
espacio que no requiere que estemos en condiciones de observarla
desde una posición externa. Podemos determinar si nuestro
mundo esta en un espacio curvo de la misma manera que hacen
nuestros insectos que viven en la superficie de una esfera o de
un plato caliente. Es cierto que no podremos diferenciar entre
ambos, pero si podemos diferenciar ambos de un espacio plano.
¿Cómo lo hacemos? De la misma manera que hicimos
hasta ahora, dibujamos un triangulo y medimos sus ángulos
interiores, o un circulo y medimos la relación entre su
circunferencia y el radio, o una esfera, o tratamos de dibujar un
cuadrado o un cubo. En cada uno de estos casos verificamos si se
cumplen los postulados de la geometría euclidiana, si esto
no ocurre, entonces decimos que nuestro espacio es curvo. No
obstante en el caso de tres dimensiones la cosa no es tan
sencilla como en el caso de dos dimensiones, dado que en los
espacios bidimensionales, en cualquier punto del mismo hay una
cierta curvatura, pero en tres dimensiones existen varios
componentes de la curvatura, por ejemplo si dibujamos un
triangulo en un plano podremos obtener una suma de sus
ángulos interiores diferente a la que obtendríamos
si lo dibujamos en otro plano, lo mismo ocurriría si
dibujamos un circulo.
Una manera de superar este obstáculo seria
dibujando una esfera. Definimos la esfera como el conjunto de
puntos que en un espacio tridimensional son equidistantes de un
punto del mismo espacio al que denominamos centro de la esfera.
Podemos medir la superficie de la esfera mediante algún
sistema practico tal como colocar sobre dicha esfera una grilla
con pequeños rectángulos, hasta cubrirla
totalmente, luego sumar las áreas de los
rectángulos y esa será la superficie medida de la
esfera, como sabemos que la formula de la superficie de una
esfera es:
S = 4p
r2, resulta que de esta formula podemos calcular
el radio ya que la superficie S fue calculada con el método de
la grilla.
Es importante una aclaración; la formula del
área de una esfera es correcta si la misma (esfera) existe
en un espacio euclidiano, justamente que los resultados de la
formula no coincidan con las mediciones realizadas, asumiendo que
tenemos instrumentos perfectos para medir, denota la
característica de espacio no euclidiano y por ende la
denominación del mismo como espacio curvo.
Volviendo a nuestra comprobación, podemos medir
directamente el radio de la esfera con los instrumentos
perfectos. Si el radio medido es mayor al radio calculado,
tendremos un radio en exceso que es la medida de la curvatura
media del espacio tridimensional en el cual se encuentra nuestra
esfera. Al ser una curvatura media o promedio no se podrá
determinar las propiedades geométricas de dicho espacio.
En realidad la definición completa de la curvatura de un
espacio tridimensional requiere la especificación de seis
números de curvatura en cada punto. Esto así esta
dicho por Feynman, pero realmente no es sencillo entender a que
se refiere.
Ahora bien, el espacio tridimensional en el que vivimos
¿es curvo? A partir de muchas mediciones
geométricas realizadas, nadie detecto que nuestro espacio
fuera curvo. Simplemente para distancias no muy grandes no es
factible detectar si nuestro espacio es euclidiano o no. Pero
bajo ciertas circunstancias tales como en lugares donde la fuerza
de gravedad es muy intensa o las distancias en cuestión
son muy largas, tal como ocurre en los espacios interestelares o
cerca de estrellas que producen fuertes campos gravitatorios, se
ha comprobado que el universo es un
espacio no euclidianos es decir es un espacio curvo.
Fue Einstein quien estudiando el tema de la gravedad, en
su teoría general de la relatividad, quien
descubrió la curvatura de nuestro espacio. La
explicación que da Feynman no es sencilla, pero esta hecha
con lenguaje llano
y poca matemática
así que aquí la describo.
Einstein dijo que el espacio-tiempo es curvo y que la causa de
esa curvatura es la materia. Como
la materia es también la causa de la gravedad, entonces la
gravedad estará relacionada con la curvatura del
espacio.
Veamos algunas aclaraciones que da John Wheeler.
¿Cuál es la causa de la gravedad? ¿Esta
acaso en el objeto que cae? ¿o en el medio en el cual se
produce la caída? Si todos los cuerpos caen igual, si como
veremos masa inercial y gravitacional son equivalentes, entonces
la "responsabilidad" de la caída de los cuerpos
debemos buscarla en el medio donde esta se produce. Einstein
así dice que la gravedad no es una fuerza física externa
transmitida a través del medio que nos rodea
(acción a distancia) sino que es una manifestación
de la curvatura del medio. ¿Cuál es ese medio que
se curva y causa el fenómeno de la gravedad?.
Wheeler propone la observación del siguiente experimento:
lanzar bolas a diferentes velocidades en un cuarto que tiene dos
ventanas, una paralela a la dirección del movimiento de
las bolas, y otra perpendicular a dicho movimiento. En cada una
de ellas se coloca un observador con maquinas de fotos ultra
rápidas y se saca una serie de fotografías durante
el trayecto de las bolas.
Al revelar las fotos tomadas desde la ventana paralela
al movimiento, y colocando dichas fotos una al lado de la otra,
tendremos una imagen del viaje
de las bolas en dos dimensiones: la del movimiento y la
perpendicular al movimiento, esta es una visión en el
espacio. Veremos aquí, que según fue la velocidad con
que las bolas fueron lanzadas, la curvatura de la trayectoria es
diferente, formando una parábola mas pronunciada en el
caso de las bolas lentas. Es decir la curvatura del espacio solo
no muestra nada.
Si ahora revelamos las fotos tomadas desde la ventana
que enfrenta a las bolas disparadas, es decir desde una
posición perpendicular al movimiento, la imagen que
obtendremos en las diferentes fotos, será la bola en una
posición espacial (la altura o posición vertical) y
en una posición temporal, dado que cada posición
corresponde a un momento (tiempo) diferente. Si alineamos las
diferentes fotos tomadas por un lado las de la bola rápida
y por otro y debajo de las anteriores las bolas lentas,
comprobaremos que la curvatura de la trayectoria es similar.
Ahora bien, lo que hemos construido aquí al alinear
así las fotos es un diagrama de
dos dimensiones espacio-tiempo, dado que cada foto corresponde a
una dimensión espacial (la altura) y una dimensión
temporal ( el momento en el que sacamos la foto). Aquí si
vemos que la curvatura de la trayectoria es la misma, por eso
afirmamos como Einstein lo hizo que la explicación de la
gravedad es la curvatura pero no del espacio sino del
espacio-tiempo
c) Hiper-espacio
No es sencillo entender o imaginarnos los conceptos relacionados
con la teoría general de la relatividad y la
cosmología, porque nos hablan de hiperespacios (espacios
de mas de tres dimensiones) y espacios no euclidianos. Por esta
razón me pareció importante agregar algunas
explicaciones que no vienen de Feynman pero que ayudan a
comprender su lectura.
Como primera medida es necesario dar significado al termino
"dimensión". Podemos acordar que el lugar donde habitamos
es un espacio de tres dimensiones, un plano geométrico o
la superficie de una esfera, es un espacio de dos dimensiones,
una línea o una circunferencia es un espacio de una
dimensión.
En nuestro universo nosotros
siempre encontraremos un punto por donde puedan trazarse tres
líneas perpendiculares entre ellas, imaginemos la esquina
de un cuarto. En un plano solo podemos trazar dos líneas
perpendiculares que pasen por el mismo punto. Por lo tanto por
extensión decimos que si en un espacio podemos trazar por
un punto n líneas que son perpendiculares entre si, dicho
espacio será n-dimensional. Esta afirmación que
deducimos obviamente no puede captarse con la imaginación,
simplemente porque, como decía Feynman, nosotros estamos
metidos en un espacio tri-dimensional por lo que todo lo que lo
supere no es algo que podamos visualizarlo dado que nuestros
sentidos no están preparados para esto.
Un ejemplo típico de espacio bidimensional es la
superficie de la tierra,
donde solo pueden trazarse dos líneas perpendiculares que
pasen por el mismo punto.
Así el concepto de dimensión se define en
términos de la cantidad de líneas perpendiculares
que pueden pasar por un mismo punto. Dos cosas surgen como
validas de esta definición: la cantidad de dimensiones de
un espacio es un numero entero, y en un mismo espacio todos los
puntos cumplen con la condición de cantidad de
líneas perpendiculares, es decir no puede existir una zona
donde pasen tres líneas perpendiculares y otra donde pasen
dos, por que estaríamos hablando de espacios
diferentes.
Otra forma de definir el concepto de dimensión,
es a partir de la cantidad de valores que necesitan darse para
conocer la posición de un punto en el espacio de
referencia. Así en un espacio bi-dimensional solo
necesitamos dos valores, sean estos las coordenadas cartesianas
(x, y) o lo que mas nos suena en la superficie de la tierra la
longitud y la latitud, no olvidemos que en este último
caso el espacio es curvo sobre una tercera dimensión, por
lo que no existen las líneas rectas para dibujar los ejes
cartesianos, salvo en regiones pequeñas del mismo
(locales).
Si definimos como superficie de un objeto el
límite o la frontera que separa lo interior de los
exterior del objeto, en un espacio bi-dimensional, esto
será el perímetro del objeto. S el espacio es
además euclidiano podemos entonces decir que el
perímetro de un cuadrado es 4 veces el lado, y el de una
circunferencia es 2p
R. Si queremos medir lo mismo en un espacio curvo como la
superficie de una esfera, según habíamos visto en
la explicación de Feynman, esto no ocurre, es decir el
espacio continuo bi-dimensional que se forma sobre la superficie
de una esfera (como la tierra) no es euclidiano sino curvo.
Entrando a nuestro espacio dado por todo el universo que podemos
observar, desde Einstein con su teoría general de la
relatividad, se considera que el mismo podría ser un
espacio de cuatro dimensiones, donde para poder ubicar a cada
punto del mismo, se deberían conocer cuatro valores. Estos
cuatro valores ubicarían a cada punto en la superficie de
un hiper-esfera, es decir cada uno de estos equidistaría
(igual distancia) de algún epicentro cósmico. Las
desviaciones locales de la perfección euclidiana son muy
pequeñas como para ser detectadas, pero los
cosmólogos dicen que si iniciáramos un viaje
interestelar imaginario, a la larga llegaríamos al punto
de partida. Algo así como si iniciamos un viaje alrededor
de la tierra. Esto lleva a la idea de que nuestro universo no
tiene limites pero es finito. Para marearnos mas, este viaje nos
llevaría por una circunferencia cuyo distancia es
probablemente del orden de cientos de miles de millones de
años luz. Si viajáramos a la velocidad de la luz,
máxima permitida según la teoría especial de
la relatividad de Einstein, volveríamos cuando nuestro sol
esta consumido y la tierra congelada o evaporada.
¿Cuáles son las características de
este universo cuya forma es una esfera de cuatro dimensiones? En
primer lugar y como ya mencionamos, debemos definir que es una
hiper-esfera, y lo hacemos como analogía de una esfera
tri-dimensional, diciendo que es el conjunto de puntos que
están a la misma distancia de un centro P. En una
dimensión una esfera son solo dos puntos, en dos
dimensiones es un circulo, en tres dimensiones es lo que
conocemos como esfera. Una esfera en una dimensión no
tiene superficie o mejor la superficie es de dimensión
cero (recordemos como definimos superficie: es el limite entre lo
externo e interno del objeto), una esfera en dos dimensiones
tiene una superficie de una dimensión (una línea),
una esfera de tres dimensiones tiene una superficie de dos
dimensiones (una superficie curva. Analogía con la
tierra). Y en general decimos entonces que una n-esfera
tendrá una superficie de n-1 dimensiones. Nuestro Universo
si esta definido como una esfera en un espacio
cuatri-dimensional, tiene una superficie tri-dimensional que es
donde nosotros existimos. Nunca podemos ver nada fuera o dentro
de la esfera de 4 dimensiones, solo vemos lo que ocurre en la
superficie en la que estamos, dado que la luz viaja en solamente
sobre dicha superficie. Para reafirmar esta idea pensemos en el
insecto de Feynman que vive en un plano e imaginemos lo encerrado
en una circunferencia sobre el mismo, nosotros, seres con
capacidad para ver en tres dimensiones, sabemos que para salir
del encierro solo tendría que saltar, pero esto implica
poder ver esta tercera dimensión que es la altura, algo
imposible para nuestro ser bi-dimensional, por eso estar
encerrado. Así nosotros nos es imposible salir de nuestro
espacio tri-dimensional por las mismas razones. La
imaginación ha permitido escribir ciencia
ficción donde las maquinas del tiempo permitirían
salir de este confinamiento.
¿Cuál es el significado del tiempo como
una cuarta dimensión de nuestro espacio? En primer lugar
es perfectamente posible definir al tiempo como una variable para
ubicar un punto(evento) en el espacio. Sin ir mas lejos, existen
en los textos históricos flechas o líneas de tiempo
donde se ubican momentos ocurridos en el pasado. La magnitud de
los intervalos puede ser la que uno elija dado que el tiempo es
una variable continua. Adicionalmente existe una
correlación entre espacio y tiempo que pudiera permitir
medir la dimensión del espacio en unidades de tiempo. Esta
correlación surge del postulado d Einstein acerca de la
constancia de la velocidad de la luz. Así diríamos
que una medida de 300.000 Km. puede expresarse en unidades de
tiempo como 1 seg dado que es ese el tiempo que tarda la luz en
recorrer los 300.000 Km. Evidentemente esta medida es mas
adaptable a distancias muy grandes como las interestelares.
Así decimos que la distancia del sol a la tierra son 8
minutos, el diámetro del sistema solar es
de 10 horas, el diámetro de la vía Láctea es
de 100.000 años y el radio del universo conocido es de
10.000 millones de años.
Creo que ya lo mencione pero es a mi criterio importante
destacar que nuestro espacio tri-dimensional es no euclidiano, es
decir es un espacio curvo. Para que esto sea posible es necesaria
la existencia de una cuarta dimensión del espacio, de
manera tal que nuestro universo tenga algo respecto a que
curvarse. Si descubrimos que nuestro espacio es no-euclidiano,
entonces concluiremos que debe existir una dimensión
adicional.
Por ultimo algo extraño pero interesante. Si
pensamos nuestra ubicación en la superficie de la tierra,
vemos que la distancia entre dos puntos es una línea que
se denomina geodesia. Esta línea es un arco de
circunferencia que une ambos puntos. Esta es para nosotros la
distancia mas corta, aunque si nos movemos a tres dimensiones
sabemos que hay una distancia mas corta dada por la recta que
pasa bajo tierra y une ambos puntos. Si extendiéramos esto
al infinito, diríamos lo siguiente:
- Así como habitamos en un espacio
tridimensional que es la superficie de un espacio
cuatri-dimensional, podemos pensar que este espacio
cuatri-dimensional es la superficie de un espacio de 5
dimensiones. - Cada uno de estos espacios es como el anterior
no-euclidiano. ¿por qué? Simplemente por que
hay muchas formas para un espacio de ser curvo y solo una de
ser euclidiano. - Tal como ocurre al medir la distancia entre dos
puntos en este tipo de espacios curvos, veíamos como
cuando se agrega una dimensión, esta distancia es mas
corta que la que podíamos medir. - Podríamos entonces concluir que extendiendo
el razonamiento al infinito, la distancia entre dos puntos es
igual a cero. Es allí donde decimos que toda la
creación es un simple punto en un espacio de infinitas
dimensiones.
¿Qué es lo que nos ha llevado a decir que
nuestro espacio es no euclidiano o curvo? ¿Qué
propiedades hemos observado que nos hace creer en esto? La
respuesta que dio Einstein a estas es la gravedad. La presencia
de la materia causa una distorsión en el espacio-tiempo, y
esta es la base para la Teoría General de la
Relatividad.
8. La Teoría
General de la Relatividad
Cuando Einstein descubre los principios de la
relatividad especial, se conocían dos fuerzas de la
naturaleza, la electromagnética y la gravedad, y ambas
tenían categorías distintas en dicha teoría.
La relatividad especial surge para reconciliar el comportamiento
de las ondas
electromagnéticas con las propiedades mecánicas de
los cuerpos en movimiento. La teoría de Maxwell estaba de
acuerdo con la relatividad especial (velocidad de la luz
constante y maxima), a pesar de que se cambio la
interpretación física anulándose el concepto
del éter.. Por el contrario la teoría de la
gravitación de Newton, resultaba incorrecta desde la
perspectiva de la relatividad. Para Newton, la fuerza de la
gravedad consiste en una acción instantánea a
distancia, lo cual para Einstein carece de sentido dado que la
simultaneidad de los acontecimientos no es posible cuando estos
ocurren en dos lugares diferentes del espacio debido a que la
información no viaja a velocidad infinita
sino con un valor máximo pero finito igual al valor c =
300.000 km/seg.
Se denomina General por ser una generalización de
la teoría especial. Recordemos que la teoría
especial amplió el principio de relatividad desde la
mecánica a toda la física, siempre
que estuviéramos en sistemas de referencia inerciales, es
decir en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme. A
través de la teoría general, Einstein va mas
allá, diciendo que todos los sistemas de referencia son
equivalentes, incluso aquellos que se mueven entre sí con
movimientos acelerados.
¿Qué pasa cuando analizamos sistemas de
referencia que se encuentran en movimiento acelerado? Lo que
notamos y experimentamos sensiblemente es la aparición de
efectos inerciales.
Si vamos en un auto y este de repente cambia su velocidad, ya sea
porque dobla o porque acelera (cambia la velocidad), nosotros en
el interior del auto sentimos o que nos movemos para un costado (
el contrario al que dobla) o que nos pegamos contra el respaldo
del asiento. Si frena nos pegamos contra el vidrio de
adelante. En todos estos casos estamos experimentando una fuerza
que denominamos inercial pero que no sabemos quien la provoca, es
decir nada esta accionando contra nosotros para llevarnos a esa
situación, simplemente hubo un cambio en las condiciones
del movimiento.
De acuerdo a lo que ya sabemos respecto al movimiento
relativo, podríamos decir que en todos estos casos, el
auto es el sistema de referencia fijo y lo que en realidad se
mueve hacia el costado o acelerando hacia delante o frenando es
la tierra. Este razonamiento no nos parece lógico sino que
el sentido común nos hace pensar que es el auto el que se
esta moviendo y de allí los efectos inerciales, por eso es
que Newton dijo que para el caso del movimiento acelerado, no
existe el principio de relatividad sino que estos sistemas
realmente tienen un estado de
movimiento absoluto.
Entonces de acuerdo a este estado de la ciencia,
cuando aparece Einstein teníamos dos conceptos:
- El estado de movimiento uniforme es
relativo. - El estado de movimiento acelerado es
absoluto.
Einstein que siempre trataba de simplificar todo,
pensaba que esto era raro y que la naturaleza debía ser
más simple, es decir tener una sola verdad, que para el se
podía expresar diciendo que cualquiera fuera el estado de
movimiento de un cuerpo, siempre seria relativo. Esto es lo que
durante mas de 10 años estuvo pensando para concluir en su
teoría general de la relatividad.
¿Cuál era la intuición de Einstein
para pensar la generalización de la teoría especial
a la relatividad general? Einstein decía que tanto las
leyes de la
mecánica newtoniana, como la teoría especial de la
relatividad, son validas si las mismas se miden o se verifican
dentro de sistemas especiales llamados galileanos, y no lo son en
sistemas no galileanos. Einstein se pregunta ¿Qué
hace que un tipo de sistemas de coordenadas sean preferibles
respecto a otros. Redundantemente, por preferibles entendemos a
aquellos donde se cumplen ciertas leyes de la naturaleza, las
leyes de la mecánica y de la relatividad especial.
Tengamos en cuenta que un sistema de referencia es una
abstracción creada por el hombre.
Esta paradoja o incongruencia Einstein la explica muy bien a
partir de una comparación o imagen.
Dice así: supongamos que no conociéramos
lo que es el fuego, y nos encontramos en una cocina donde hay dos
ollas exactamente iguales con agua hasta la
mitad, de una sale vapor y de la otra no. Nuestra lógica
nos llevara a buscar la causa de esta diferencia aparentemente no
razonable. Si viéramos que debajo de una de estas ollas
hay una especie de luz azulada (una llama), aunque nunca
hubiéramos tenido la experiencia del fuego, inmediatamente
lo asociaríamos a la causa de la producción de vapor.
Si esto no ocurriera, estaríamos sorprendidos y
perplejos e intentando encontrar la causa de este comportamiento
extraño.
En forma análoga Einstein buscaba que era ese
algo en la mecánica clásica o en la relatividad
especial, al cual atribuir la diferente conducta de los
cuerpos considerada respecto a los sistemas de referencia
galileanos y no galileanos.
Newton vio esta objeción pero la invalido sin una
explicación lógica.
Mach la reconoció mas claramente y dijo que
debía estudiarse la mecánica sobre una nueva base.
Solo se podría mas tarde eliminar este estado d
preferencia arbitrario por medio de una física que este
conforme al principio de relatividad general. así las
ecuaciones que expresan todas las leyes de la naturaleza no
varían para ningún sistema de referencia, sin
importar su condición de movimiento.
Volvamos nuevamente sobre los sistemas de referencia no
inerciales. Imaginemos a un observador en un compartimiento en el
espacio intergaláctico donde no se ejerce sobre el
ningún tipo de fuerza. Imaginemos ahora que este
compartimiento sufre una aceleración (es decir cambia su
velocidad de reposo absoluto a una velocidad determinada v)
siendo la misma constante a la que llamamos ¨a¨. En ese
momento el observador suelta una moneda que tiene en su mano y
vera que la misma cae hacia el piso del compartimiento con una
aceleración constante igual a: -a.
Otro observador realiza el mismo experimento pero en un
sistema de referencia inercial en presencia de un campo
gravitatorio uniforme g, donde g=-a.
Al dejar caer la moneda este observador vera el mismo
efecto que en el caso anterior, es decir a la moneda caer con una
aceleración constante =-a.
¿Cómo podrían ambos observadores
diferenciar si están en un sistema no inercial o en uno
inercial dentro de un campo gravitatorio?. La respuesta es que no
pueden, y es desde aquí que Einstein establece el
postulado de la teoría general de la relatividad, diciendo
que ningún experimento llevado a cabo localmente puede
distinguir entre un sistema de referencia acelerado en forma
constante y otro inercial (no-acelerado) pero en presencia de un
campo gravitatorio.
Este postulado es un enunciado del principio de
equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatorio.
Así como la teoría especial de la relatividad nos
lleva a fundir conceptos que se consideraban separados e
independientes como son el espacio y el tiempo, en un nuevo
concepto espacio-tiempo cuatridimensional; la teoría
general requiere otro cambio en la visión de dicho
espacio-tiempo, por el cual la causa de la gravedad esta dada por
la deformación provocada en la geometría del
espacio-tiempo en presencia de grandes masas. Es decir en lugar
de tener un espacio-tiempo plano, este se curva en la vecindad de
una masa. La curvatura se produce en el espacio
cuatridimensional, por lo que es imposible que sea visualizada o
percibida sensiblemente por seres como nosotros que somos
tridimensionales. La teoría general de la relatividad
trata entonces a la gravitación o gravedad como una
curvatura del espacio-tiempo en cuatro dimensiones. Es decir como
un fenómeno geométrico.
Si recordamos cuando hablamos de espacios curvos,
veremos que la distancia mas corta entre dos puntos no es una
recta sino una curva a la que llamamos geodesia.
En el espacio-tiempo la trayectoria de la tierra y los
planetas
alrededor del sol es una curva dado que esta es la distancia mas
corta que puede recorrer a través de la geodesia del
espacio. Esta geodesia surge por la curvatura que produce en el
espacio- tiempo una masa como la del sol. Los efectos de la
curvatura son mas apreciados cerca de grandes masas tales como
las estrellas y los agujeros negros que se convierten en
laboratorios importantes para la física de grandes
energías.
- Masa Inercial y masa gravitatoria
Einstein analizaba que, tanto en la segunda
ley de
Newton F = m.a, como en la ley de gravitación
universal F = G.m.M/R2, aparece una masa
m.Si ambas leyes son independientes entonces
debería existir para cada cuerpo una masa inercial y
una masa gravitatoria. Ahora bien todos los experimentos
realizados para medir a ambas arrojaban los mismos
resultados, es decir ambas masas eran iguales para el mismo
cuerpo. Este resultado, ya conocido por Newton, hizo pensar
a este que era totalmente casual. Por el contrario,
Einstein dijo que el concepto de aceleración que
surge de la 2a ley de Newton, debía estar
relacionado con el concepto de gravedad.Si dos objetos tienen diferente peso, por ejemplo
una bala que pesa 100 veces mas que una bolita, significa
que la gravedad ejerce sobre la bala una fuerza 100 veces
mayor que sobre la bolita, sin embargo ignorando la
resistencia del aire
sabemos y demostramos experimentalmente que si las
arrojamos desde una misma altura, ambas caen en el mismo
tiempo al piso. Esto a lo mejor no lo pensamos
detenidamente, pero es totalmente extraño y contra
el sentido común. ¿Por qué ocurre
así?, Newton dijo que al mismo tiempo que la
gravedad arrastra hacia abajo a los cuerpos, estos se
resisten a moverse, ese es el concepto de inercia, es decir
resistencia
al cambio de movimiento. Si esta detenido: resistencia
a moverse, si se mueve y se lo acelera: resistencia a
aumentar la velocidad, si se lo quiere detener: resistencia
a parar. Es decir la inercia nos da una idea de vagancia
física propia de los cuerpos de cualquier
tipo.Entonces la bala si bien tiene 100 veces mas
fuerza de arrastre por la gravedad de la tierra (asumimos
que hacemos el experimento en la tierra), también
tiene como contrapartida 100 veces más resistencia a
moverse.Si esto no fuera así, objetos de diferentes
pesos caerían en diferentes tiempos desde la misma
altura.Decíamos que para Newton decir que la masa
gravitacional fuera igual a la masa inercial era una
casualidad, el no sabia cual era la razón de esta
igualdad.Einstein por el contrario estableció un
postulado, que se conoce como principio de equivalencia,
diciendo que la masa inercial y la masa gravitacional son
la misma cosa.Para ejemplificar esto un poco mas, Einstein
pensaba en una persona encerrada en una caja tipo ascensor,
en el espacio, y decía que si a esa caja se la ataba
a aun cohete que la aceleraba a un valor determinado (el
valor de g = 9.80 m/seg2), la persona en su
interior no podría distinguir entre esta
situación (aceleración arrastrada por un
cohete) o pensar que la caja estaba depositada en la
superficie de la tierra, y el parado sobre la
misma.De allí mostró la imposibilidad de
diferenciar entre una fuerza gravitacional y una inercial
producida por una aceleración. A partir de este
razonamiento, podemos considerar que los sistemas de
referencia que se encuentran en un estado de movimiento
acelerado entre ellos, es indistinto hablar de efectos
inerciales como de efectos gravitatorios.La teoría general de la relatividad
extiende entonces el postulado de la relatividad especial a
sistemas de referencia que estén en estado de
movimiento acelerado.Todas las leyes de la naturaleza son las mismas
con respecto a cualquier observador, sea cual fuere su
estado de movimiento relativo a otro sistema: reposo,
movimiento uniforme o acelerado.Un observador inercial es un sistema que recolecta
información en un sistema de coordenadas
espacio-tiempo, en el cual se identifican como coordenadas
espaciales a x,y,z y como coordenada temporal a t. Un punto
en dicho espacio-tiempo es un evento.Para que dicho sistema sea llamado inercial se
deben cumplir las siguientes 3 condiciones- La distancia entre dos puntos espaciales
P1(x1,y1,z1)
y
P2(x2,y2,z2)
es independiente del tiempo t. - Los relojes que miden el paso del tiempo en
cada punto del espacio-tiempo están
sincronizados y funcionan a la misma velocidad, es
decir cada tic es simultaneo. - La geometría de dicho espacio para un
tiempo t constante es euclidiana.
Una observación de un observador inercial
significa asignar a un evento las coordenadas x, y , z de
la localización de su ocurrencia (donde
ocurrió) y el tiempo t leído en el reloj que
esta ubicado en el lugar del evento, es decir en P = x, y,
z.Debemos aclarar que NO ES el tiempo que marca el
reloj de la muñeca del observador ubicado en el
origen O (0,0,0) cuando observa el evento en P
(x,y,z).Esto es así porque según sabemos, la
ocurrencia del evento y la observación del mismo por
parte del observador en O, no son eventos
simultáneos dado que la luz, que es el mecanismo de
transmisión de la información desde P hasta
O, tiene una velocidad finita.- La distancia entre dos puntos espaciales
- Observador Inercial
Este tipo de diagramas permite un enfoque
geométrico de la teoría especial de la
relatividad. Graficamos un par de ejes coordenados donde
las abscisas sean una dimensión espacial x, y las
ordenadas una dimensión temporal pero algo
diferente. Ponemos en ella el valor c.t, donde c es una
constante conocida (la velocidad de la luz) y t es el
tiempo variable. De esta manera lo que representamos en
este eje, será la distancia que recorre la luz en el
tiempo t. De esta manera tenemos un grafico de las mismas
dimensiones (dimensiones de espacio, Ej. Metros). Al ser c
una constante, adoptamos para ella un valor que sea
más accesible para trabajar, dándole
así el valor c=1.Una línea en este grafico se la denomina
línea del mundo del objeto que estamos observando, y
representa por un lado (eje de abscisas), la
posición de dicho objeto en el espacio que llamamos
para una sola dimensión espacial variable x. Por
otro lado, en el eje de las ordenadas, el momento en que
dicho objeto ocupo dicha posición x en el espacio.
En lugar de decir que ese tiempo es a los N segundos o
minutos u horas, diremos que el mismo es la distancia que
recorrió la luz a su velocidad constante c en el
tiempo t=N.La pendiente de una línea del mundo de un
objeto nunca puede ser menor que 1, es decir el
ángulo mínimo que forma la línea del
mundo con el eje de las abscisas será de
450. Esto resulta así por ser c la
velocidad máxima a alcanzar por cualquier objeto. Si
el objeto se moviera a la velocidad máxima de la luz
partiendo desde el origen del sistema, el punto alcanzado
será tal que la medida de la ordenada de dicho punto
será c.t la distancia recorrida por la luz, cuyo
valor es igual a la medida de la x, por que este es el
espacio recorrido por un objeto durante un tiempo t a la
velocidad c (espacio = velocidad x tiempo). Es decir ambos
valores serán iguales, y por un simple razonamiento
trigonométrico sobre el triangulo que se dibuja en
los ejes, resultara que la tangente del ángulo
será igual a 1, por lo que el ángulo
será de 450. No puede ser menor dado que
esto implicaría que el objeto recorriera una
distancia superior a la que puede recorrer la luz, lo cual
es imposible según el 20 postulado de la
teoría especial de la relatividad.Habiendo deducido el porque del ángulo
mínimo en las líneas del mundo del grafico de
Minkowski, detengámonos un poco mas en
el.Decíamos que a un punto en el grafico de
Minkowski se lo denomina evento. Cualquier evento que
ocurre en el mundo físico, ocurre en una determinada
ubicación en el espacio y en un determinado instante
o momento del tiempo.Antes del advenimiento de la teoría
especial de la relatividad, solo se consideraba al espacio
tridimensional y al tiempo como algo separado porque este
parecía un continuo en si mismo, independiente y
absoluto; es decir el tiempo pasa igual para todos. A
partir de los desarrollos de Einstein, se supo y
comprobó que el tiempo no es absoluto sino que
depende del estado de movimiento de los sistemas de
referencia donde se lo mida tal como surge de las
transformadas de Lorentz. Habíamos deducido que
eventos simultáneos para un observador que ocurren
en lugares distintos, no se presentan como
simultáneos a otro observador que se encuentra en un
sistema de referencia en movimiento respecto al
primero.En un espacio euclidiano de 3 dimensiones, sabemos
que la distancia entre dos puntos por ejemplo un punto P
(x,y,z) y el origen (0,0,0) se calcula con la
ecuación :
d2=x2+y2+z2Sabemos también que esta distancia no varia
cuando se la mida en otro sistema que este en movimiento
respecto al primero, es decir
d2=x´2+y´2+z´2.Vimos que en el espacio cuatri-dimensional de
Minkowski hacíamos un reemplazo de la variable
tiempo t por una constante multiplicada por t. Esa
constante es i.c, donde i es la raíz cuadrada de
–1, y c la velocidad de la luz (¿por
qué hacemos esto? No se). Es decir este es un numero
imaginario puro cuyo modulo es la distancia recorrida por
la luz en el tiempo t, que es lo que antes en dos
dimensiones habíamos explicado. Este cambio en la
forma de medir el tiempo apunta a poder medir la variable
tiempo con las mismas dimensiones que la variable espacio.
Vimos antes y se explicita formalmente en las transformadas
de Lorentz que ambos, tiempo y espacio, son parte de una
misma entidad llamada espacio-tiempo. De allí la
necesidad de tener las mismas dimensiones.Si definimos que el espacio-tiempo localmente,
tiene propiedades de espacio euclidiano, entonces la
formula de la distancia según vimos en tres
dimensiones vale también para cuatro:d2=
x2+y2+z2+(i.c.t)2,
o sea qued2=
x2+y2+z2
–c2.t2 - Grafico de Minkowski (Diagrama
espacio-tiempo) - Construcción de un grafico de Minkowski
(ejes no ortogonales)
Habíamos dicho que dado que c es una constante
nada impide que le demos a la misma el valor 1.
En el grafico bidimensional de Minkowski tenemos que la pendiente
de una línea del mundo que esta dada por la formula
∆t/∆x es la inversa de la velocidad.
Cada observador es un sistema de coordenadas espacio-tiempo. Dado
que todos los observadores miran a los mismos eventos (el mismo
espacio-tiempo) es posible dibujar los ejes coordenados de un
observador en el diagrama espacio-tiempo del otro. Para esto
debemos utilizar los postulados de la teoría especial de
la relatividad. Vemos el procedimiento.
La pregunta entonces es ¿Como dibujamos dos
sistemas que se mueven uno respecto a otro a la velocidad v, y en
donde en ambos se da el 2o principio de Einstein, c=
constante?
- Dibujamos un para de ejes coordenados
perpendiculares. Este será para nosotros el sistema en
reposo S (x, t) - Si el sistema S’ (x’,t’) que tiene
el mismo origen O’=O, se mueve con velocidad v respecto
de S; sabemos que el eje t’ formara con el eje t un
ángulo α tal que Sen α =
Δt/Δx = 1/v - Para dibujar el eje x’ que no es necesariamente
perpendicular a t’, sabemos que el mismo es el lugar de
eventos para los cuales t’ = 0. También sabemos
que c=1 tanto en S como en S’. Veamos el comportamiento
de un fotón graficado en el sistema S’ asumiendo
que ambos ejes son ortogonales (perpendiculares). Asumamos que
un fotón sale de una posición x’ = 0,
t’ = -a. Dicho fotón avanzara en el espacio a c=1,
por lo tanto en nuestro grafico de dos ejes tendrá
coordenadas t’ = 0 cuando x’ = a, ya que se mueve
en una recta de 45 0, no olvidemos como construimos
el diagrama de Minkowsky. Si en dicha posición x’
= a existe un espejo que refleja al fotón, este
seguirá un camino inverso hasta volver a la
posición x’ = 0 pero cuando t’ = a. De la
misma manera que antes se mueve en una dirección que
forma un ángulo de 45 0 con la
horizontal. - Ahora llevamos esta metodología de construcción a
nuestros grafico original en donde ya tenemos el sistema S
(x,t) con ejes ortogonales, y el eje t’ de nuestro
sistema S’; faltando solo dibujar el eje x’. Sobre
el eje t’ dibujamos el punto –a donde sale el
fotón. Dado que en el sistema S este fotón
también viaja a c = 1, la dirección que adopta
formara un ángulo de 45 0 con la horizontal
paralela al eje x, a esta recta la llamamos L1.
Sobre esta L1 se debe encontrar un punto del eje
x’. Dado que por construcción dijimos que los
orígenes de ambos sistemas coinciden, el otro punto
será O=O’, de esta manera podemos trazar el eje
x’. - ¿Dónde esta dicho punto? Sabemos
también de nuestro razonamiento anterior en un S’
con ejes ortogonales, que el fotón retornara al eje
t’ en un punto t’ = a, por lo tato allí
pasara nuestro fotón luego de haber sido reflejado en un
espejo situado sobre el punto del eje x’ que estamos
intentando detectar donde esta. ¿Con que
dirección llega al punto a? Formando un ángulo de
45 0 con la vertical paralela al eje t. A esta
línea la llamamos L2 . - Donde se cruza L2 con L1
tenemos el punto sobre x’ que estaba faltando para ahora
si construir este eje, que como vemos x’ y t’ no
son ejes ortogonales dado que fueron construidos de manera tal
que se mantenga el principio de la constancia de la velocidad
de la luz c para ambos sistemas S y S’.
La escala para medir
longitudes en el espacio-tiempo S’ es diferente a la
existente para el espacio S. La misma se deduce a partir del
teorema de la invarianza del intervalo.
Así como en un espacio euclidiano de tres dimensiones la
separación entre dos puntos se denomina distancia la cual
es invariante y se calcula con la formula
d2=x2+y2+z2, en el
espacio-tiempo se denomina intervalo a lo mismo, salvo que ahora
dado que la dimensión tiempo esta dada por i.c.t, su
cuadrado será -c2t2, y como
adoptamos para c un valor 1, dicho termino será
–t2.
El teorema de invarianza del intervalo dice que la el
intervalo permanece constante en los diferentes sistemas de
referencia, por lo tanto dados dos eventos E y P su intervalo
será tal que
(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2-(Δt)2=0
El intervalo de los mismos eventos en el espacio-tiempo
S’ será invariante siendo entonces que
(Δx’)2+(Δy’)2+(Δz’)2-(Δt’)2=0
.
A partir de esto definimos como intervalo entre cualquier de dos
eventos, los cuales no necesariamente estarán en la misma
línea del mundo del mismo haz de luz al valor Δs tal
que
(Δs)2=(Δx)2
+(Δy)2+(Δz)2-(Δt)2
Si
(Δs)2=0 para dos
eventos en el sistema K (t,x,y,z), entonces por el teorema de la
invarianza de los intervalos,
(Δs’)2=0 para
los mismos eventos usando sus coordenadas en el sistema K’
(t’,x’,y’,z’).
Se demuestra que
(Δs)2=(Δs’)2.
Es decir el intervalo entre dos eventos es el mismo cuando es
calculado por un observador inercial.
Si
(Δs)2>0, significa
que
(Δx)2+(Δy)2
+(Δz)2
>(Δt)2 en
cuyo caso al ser los incrementos espaciales superiores al
incremento temporal, se dice que los eventos están
separados espacialmente. Por el contrario si ocurre lo contrario
( Δs)2
<0, los eventos se dice que están separados
temporalmente. Si (Δs)2 =0 los eventos
están sobre los mismos rayos de luz, y su
separación es nula
Aquellos eventos que están sobre los mismos rayos
de luz tendrán separación nula con otro evento
determinado llamado A y en un grafico tridimensional
espacio-tiempo (dos dimensiones espaciales y una temporal) se
ubicaran sobre un doble cono invertido cuyo vértice es el
evento A. A este doble cono se lo llama cono de luz del evento A
y muestra las posiciones posibles de eventos ocurridos en el
pasado y ene el futuro del evento A.
Autor:
Eduardo Yvorra
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