Notas para una Clase de Matemáticas Superiores

Indice
1.
Álgebra Lineal.
2. Geometría
Analítica.
3. Límite y
Continuidad.

1. Álgebra
Lineal.

Tema 1.1 Espacio Vectorial.
Definición: Será un trió ordenado
(E,+,·) con E ¹ F .
Si, x · y Î E ; x + y Î E ; l Î
 con
l · x
Î E.
Ejemplo 1: (Â
,+,·) 3 Î Â
; 3,5 Î
 ; 3 ·
3,5 Î
Â
Matriz.
Matriz: Es un sistema
aij {i, j = 1,2,3…n} en forma ordenada en una
tabla rectangular de (p) filas y (n) columnas.
Las matrices se
representan con letras mayúsculas A, B,
C…

Ejemplo 2: A = A2,3 ; a2,2 = -1

Matriz Fila: A =()

Matriz Columna: B =

Matriz Nula: C =

Matriz Idéntica: Los elementos de la diagonal
serán (1) y el restos (0).

D =

Matriz Simétrica: Será la que al cambiar
el orden de las filas y las columnas se convertirá en la
misma matriz inicial.

H =

Matriz Traspuesta: Se toman las filas y se convierten en
columnas y viceversa.

K = KT =

Operaciones con matrices.
Suma de matrices: Para realizar la suma las matrices tienen que
tener el mismo índice y se va a realizar la
operación sumando cada elemento de la fila por el que le
corresponde en la matriz siguiente.

Ejemplo 3: H + K = .

Multiplicaciones de matrices: Para poder
multiplicar, la columna (n) de la primera matriz tiene que tener
el mismo índice que la fila (p) de la segunda
matriz.

Ejemplo 4:
· =
.

Nota 1: Este desarrollo se
realiza de la siguiente manera: Se multiplica filas de la primera
matriz por las columnas de la segunda matriz (este proceso
siempre se realiza elemento por elemento y se van sumando los
elementos resultantes de la multiplicación).
Nota 2: El número de filas de la matriz (2era)
debe coincidir con el número de columnas de la matriz
(1da) e índice de la matriz resultante va a ser
el número de filas de la matriz (1era) con el
número de columnas de la matriz
(2da).

Ejemplo 5: A = B = C =

A matriz 2x2, B matriz 2x2, C matriz
2x2.
Determinante: El determinante solo se le calcula a matrices
cuadradas n x n.
Nota 3: Esto se desarrolla de la siguiente manera:
Caso 2×2: Se multiplica los elementos de la diagonal principal
(va a ser la diagonal que parte del primer elemento de la primera
fila hasta el ultimo elemento de la ultima columna)y se le resta
el elemento resultante del producto de la
diagonal secundaria.

Ejemplo 6: |A| = = 3×3 – 2×2 = 5.

Caso 3×3(Método de
Sarrus): Se repiten las dos primeras filas al final de la matriz,
se multiplican los elementos de las diagonales (la principal y
las diagonales inferiores sumando cada multiplicación) y
se le resta al elemento de sumar la cada multiplicación de
la diagonal secundaria por las inferiores.
Nota 4: Este método se utiliza para matrices 3×3 y
4×4.
· Método de desarrollo por menores.
Forma ordinaria: Se tapa la 1era fila y la
1era columna y se le halla el determinante a la matriz
resultante, nuevamente se tapa la 1era fila y la
2era columna y se le halla el determinante a la matriz
resultante y así sucesivamente.
Nota 5: Se suma cada determinante resultante cambiando en signo
de cada operación (+,-,+,-,+,-…).Si la matriz
resultante no es 2×2, 3×3, 4×4 se le vuelve aplicar el
método del que se está hablando.
Matriz Inversa: Solo se le puede hallar a matrices
cuadradas.

·
=

Es decir el inverso de la matriz (1era) va a
ser la matriz segunda.

=

Sistemas de ecuaciones
lineales.

• SEL es Homogéneo: Cuando los elementos
  (bi) son todos iguales a (0).
• SEL no Homogéneo: Cuando los elementos
  (bi) al menos uno es diferente de (0).
• Sea (n) el # de incógnitas
  (x1,x2,x3,…xn)
• Sea r(A) rango de la matriz del sistema o de la
  matriz asociada.
• Sea r(A,B) rango de la matriz completada o matriz
  ampliada.
• Sea (k) cuando r(A) = r(A,B).

(k) o r(A) o r(A,B) es el # de filas donde al menos un
elemento sea diferente de 0.(Rango).

Ahora:

• Cuando en el sistema k = n es el sistema es
  Compatible determinado y tiene solución única
  (esto es siempre y cuando las ecuaciones sean todas linealmente
  independientes).
• Cuando k < n el sistema es Compatible
  indeterminado.
• Cuando r(A) ≠ r(A,B) el sistema es
  indeterminado.
• Matriz Asociada: Es la matriz que dado un sistema de
  ecuaciones se toman los coeficientes de las
  ecuaciones.

Ejemplo 7: 2x – y = 0

2x – 3y = 5 La matriz asociada es:

Matriz asociada ampliada: 2x – y = 0

2x – 3y = 5

La matriz asociada ampliada es:.

Método de Gauss: Es el método general para
la solucion de SEL, esto quiere decir que su aplicación
nos permitirá determinar si el sistema es o no compatible
y en caso de serlo (compatible), si es determinado o
indeterminado y desde luego permitirá obtener la solucion
en casos en que esta exista.

Ejemplo 8:
X1 – x2 + 2×3 = 3
-x1+ 3×2 + x3 + 3×4 =
2
x2 – x3 = 0
-3×2 +x3 =2

~

Esta matriz es la escalonada. Para comenzar a hacer
ceros los elementos por debajo del escalón es necesario
(si se va eliminar algún elemento de la primera columna)
trabajar con la fila correspondiente en número. Es decir
voy a eliminar un elemento de la primera columna tomo la primera
fila y así sucesivamente.

Ejemplo:

F1+ F2 = F2’ ~ -2 F3+ F2’ =
F3’ ~

3F2’ + 2F4 =
F4’ ~
-11F3’ + 5F4’ =
F4’’~ .

r(A) = 4, r(A,B) = 4; r(A) = r(A,B) = k
Compatible.

Como k = n = 4 Determinado.

S = {(x1, x2, x3,
x4)Î
 4|
x4 = ,
x3 = -1, x2 = -1, x1 =
4}.

Método de Cramer: Sea un SEL con (n) ecuaciones y
(n) número de incógnitas tal que el determinante de
la matriz del sistema sea diferente de (0); entonces el sistema
tendrá solución única determinada por las
siguientes formulas:

x1 = ,x2 = ,… xi = ;donde (D) es el determinante de la matriz
del sistema y Dj (j = 1, 2, …i) es el
determinante de la matriz que resulta al sustituir la columna (j)
de la matriz del sistema, por la columna formada por los
términos independientes.

Para resolver un sistema de (n) ecuaciones lineales con
(n) incógnitas:

1. Calcule el determinante (D) de la matriz del sistema.
   Si D≠ 0, entonces:
2. Calcule cada uno de los determinantes D1,
   D2, …Dn. Recuerde que para las
   incógnitas xi el determinante Di
   se obtiene sustituyendo en el determinante D la i-ésima
   columna por la columna de los términos
   independientes.
3. Formule la solución del sistema de
   ecuaciones.

2. Geometría
Analítica.

Tema 2.1 Ecuación del plano.
A x + B y + C z + D = 0
Ejemplo 9: x + y + z + 1 = 0
Para hallar los interceptos y de paso graficar un plano se
realiza lo siguiente:
Eje x: y = z = 0 x + 1 = 0, x = -1 (-1, 0, 0).
Eje y: x = z = 0 y + 1 = 0, y = -1 (0, -1, 0).
Eje z: x = y = 0 z + 1 = 0, z = -1 (0, 0, -1).
El gráfico (Figura 1) es la representación del
plano anterior.

Figura 1
Trazas:
Con respecto a: x y, z = 0 {x + y + 1 = 0

{z = 0

Con respecto a: y z, x = 0 {y + z + 1 = 0

{x = 0

Con respecto a: x z, y = 0 {x + z + 1 = 0

{y = 0

Tipos de planos:

1. D ≠ 0

2. A = B = 0; C ≠ 0; z + D = 0 Paralelo al plano x
   y.

   A = C = 0; B ≠ 0; y + D = 0.Paralelo al plano x
   z.

   B = C = 0, A ≠ 0; x + D = 0.Paralelo al plano y
   z.

3. D = 0

A = 0; B, C ≠ 0; y + z = 0.

B = 0; A, C ≠ 0; x + z = 0.

C = 0; A, B ≠ 0; x + y = 0.

Paralelismo y planos.

Forma canónica: A x + B y + C z + D =
0

A1x + B1y + C1z +
D1 = 0

Si Entonces los planos son paralelos.

Ejemplo 10. x + y + z + 1 = 0

2x + 2y + 2z + 3 = 0 Estos dos planos son paralelos por
cumplir las propiedad
anterior y solo quiero dar a conocer con este ejemplo es que la
distancia que hay dentro los dos planos va a ser igual al modulo
de la diferencia entre las elementos Di de cada
plano.
Dos planos son perpendiculares si AA1 + BB1
+ CC1 = 0.

Tema 2.2 Ecuación de la recta.
En el espacio es la intersección de dos planos
3x + 4y + z + 1 = 0
2x – y + z + 3 = 0

Forma simétrica de la ecuación de la
recta.
La ecuación de la recta se puede determinar con un trabajo
algebraico con dos puntos anteriormente dado.
Dado: P1(x1, y1, z1);
P2(x2, y2,
z2).

Esta es
la forma simétrica de la recta.

Cuádricas.
La forma general es la siguiente:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz +
Fyz + Gx + Hy + Iz + K =0

Clasificaciones:
Céntricas: Todos los componentes estarán no
lineales.
No Céntricas: Cuando al menos uno de los componentes sea
lineal.
Céntricas: Mx2 + Ny2 +
Pz2 = R.
Radio (R) M,
N, P Lugar Geométrico
>0 + Elipsoide. Si (M = N = P) Esfera.

Elipse
en el primer optante.

Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico

>0 Dos +, uno – Hiperboloide de una hoja.

>0 Dos -, uno + Hiperboloide de dos hojas.
>0 Uno 0, uno +, uno – Cilindro hiperbólico recto.
>0 Uno 0, dos + Cilindro elíptico recto
=0 Dos +, uno – Cono
No céntricas: Mx2 + Ny2= Rz.
Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico
>0 Mismo signo Paraboloide elíptico.
>0 Signos diferentes Paraboloide hiperbólico.
>0 Uno Cero Cilindro parabólico.

Una cuádrica es simétrica con respecto a
los ejes si al sustituir:
(x) por (-x) ;(y) por (-y); (z) por (-z) la ecuación no se
altera. Si se sustituyen simultáneamente la
ecuación es simétrica con respecto al eje de
coordenadas.

Curvas
Las curvas no son más que la intercesión de
Cuádricas. Cuando tenemos una cuádrica con el signo
de > (<) quiere decir que es por
fuera (dentro).

3. Límite y Continuidad.

Idea intuitiva del límite.
Dada una función
f(x) y el punto x = a, nos interesa saber donde se acerca x = a a
f(x).

Nota 6.
El acercamiento puede ser por la izquierda o por la
derecha.

Definición: Se dice que el límite de f(x)
es L para (x) cuando tiende a (a)
(x ® a) si
para todo e >
0 existe un l
> 0 que depende de e tal:
|x – a| < l
Þ |f(x) – L|
< e

Notación: (Limite de f(x) cuando tiende a (a) igual
L).

Limite lateral izquierdo:

Limite lateral derecho:

Nota 11: Los limites laterales pueden o no coincidir (en
caso que no coincidan de dice que el limite no
existe).

Ejemplo 7: f(x) =

Limite de una función en el infinito:

Limite de f(x) en un valor infinito
() se dice que el
limite

Si "
e > 0
$ H que depende
e tal que
" x > H
Þ |f(x) –
L|< e

Ejemplo 8: Calcular Como al sustituir = 0 entonces:

=
1.

Nota 12:;
;

Esto es un convenio para los límites.

Operaciones con límites.

· , k Î
 . El
límite de una constante es igual a la
constante.

Sea f(x), g(x) funciones y
;

Entonces:

·

·

·

·

·

·

Ejemplo 9:

;

Nota 13:

Cuando el límite de una función sobre otra
función cuando tiende a ± ¥ (funciones
polinómicas):

Cuando tiende a ¥ : Si el grado del polinomio del numerador
es igual al grado del polinomio del denominador el límite
es igual a la división de los coeficientes de cada
polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del
denominador el límite será infinito, viceversa
será 0.

Cuando tiende a – ¥ : Si el grado del polinomio del numerador
es igual al grado del polinomio del denominador el límite
es igual a la división de los coeficientes de cada
polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del
denominador se realiza el siguiente análisis:

Se analiza la resta de los grados (el grado del
numerador – el grado del denominador) y si es un numero
impar se pone un signo de – en el resultado (que va a ser
infinito) también se analiza la división de los
coeficientes y se pone el signo en el resultado.

Viceversa el límite es 0.

Ejemplo 10:

Continuidad:
Se dice que una función es continua en un punto (x = a)
si:
· Si esta definida en el punto (x = a) la
función.
· Si existe el limite cuando x ® a.
· Si limite es igual a la función evaluada en el
punto.

Tema 3.3 Tipos de discontinuidades.
Las funciones que no son continuas se clasifican en funciones
discontinuas evitables y no evitables.
Evitables: Son aquellas en que los limites laterales existen son
iguales (en este caso se dice que el limite existe) pero incumple
la tercera condición.
No evitable: Son aquellas que el límite no existe, estas
tienen una nueva clasificación; las de salto finito o
primera especie y las de salto infinito o segunda especie.
1era Especie: Los límites laterales existen
pero no son iguales.
2da Especie: Los límites laterales al menos uno
no existe (sea igual a infinito).

Ejemplo 11:
Analizar la continuidad en x = 1.

Primero, la función en el punto esta
definida.

Segundo, , .

Como los límites laterales no son iguales se dice
que el límite no existe y por tanto la función no
es continua.

Algunos tipos de indeterminaciones.

Si y
,

·

·

Si y
,

·

Es decir que siempre que nos encontramos expresiones
como las que pondré a continuaciones nos encontramos antes
indeterminaciones que no son mas que resultados de los limites
anteriores y habrá que aplicar algunos métodos
que los presento en breve.

Tipos de indeterminaciones:

;
; ; ; ; ;

Método de Cancelación.
Elimina el factor que me indeterminada la función.
Lo primero que se realiza a la hora de calcular un límite
es evaluar en el punto.

Ejemplo 12:

Este
límite es de la forma indeterminada .

.Por
Método de cancelación.

Tema 3.5 Limites fundamentales.

· Es decir siempre que en algún limite aparezca la
división de un factor trigonométrico con uno
polinomico se pueden simplificar. Siempre y cuando el
límite tiende a 0.

sen(x) — x

· .Como la tangente es seno sobre coseno sucede lo mismo que
en el primero.

tan(x) — x con (x > 0)

Forma General

· .Si .

Ejemplo 13:

.

Límite fundamental algebraico.

Siempre
y cuando y
.

4. Cálculo
Diferencial.

Propiedades de la derivación.
El significado de la (’) es la primera derivada.

1. [c]’ = 0
2. [c · f(x)]’ = c ·
   [f(x)]’
3. [f(x)± g(x)]’ =
   [f(x)]’± [g(x)]’
4. [f(x)·g(x)]’ = [f(x)]’·g(x)
   + f(x)·[g(x)]’
5. 

Reglas:

1- [fn(x)]’ =
n·fn-1(x)·[f(x)]’

2-

10-

Extremos de una función real en variable
real.
Definición: Se dice que x0 es un mínimo
(máximo) local de una función f(x) si
$ l > 0:" x Î (x0-d ,
x0+d
) se tiene que f(x0) ³ f(x) ( f(x0)
£ f(x) ).
Definición: Se dice que x0 es un mínimo
(máximo) global, si cumple las siguientes
condiciones:

• Ser un extremo local.
• Es de los máximos (mínimos) locales el
  de mayor (menor) valor al evaluarse en la
  función.

Ejemplo:
f(x)=x2. Supongamos que los puntos x0= 2 y
3 son extremos locales de la función
Nos hacemos una pregunta: ¿Cómo determinar los
extremos locales de una función?
Teorema: Si x0 es un punto de extremo local de f(x) y
f(x) es derivable en x0 Þ f’(x) = 0.
Definición: Llamaremos puntos estacionarios a todo punto
x0 que cumpla que f’(x) = 0.
Definición: Llamemos puntos críticos si no en dicho
punto (±
f’(x0) Ù x0 Î Dom (f(x))).

Criterio de la primera derivada:
Decimos que un punto de máximo (mínimo) local
si:
f ’(x) > 0 ( f ’(x) < 0 ) para
x0-d
< x < x0 y f ’(x) < 0 ( f
’(x) > 0 ) para x0 < x
x0+d
.

Criterio de la segunda derivada:
Decimos que un punto x0 máximo (mínimo)
local si f ’’(x) < 0 (f ’’(x) >
0).
Ejemplo: y = x3-x2+1.
Primero calculamos su primera derivada: y’ =
3×2-2x.
Segundo la igualamos a cero: 3×2-2x = 0, con esto
hallamos los puntos estacionarios x0 = 0 y
2/3.

Para la
ayuda visual hagamos un gráfico de la siguiente
forma:

En este gráfico vemos que hemos comenzado con el
signo de + por el hecho que la función tiene como signo de
la variable de mayor exponente el signo +. Si la función
dada tiene el signo + (-) comenzará con ese mismo signo.
Si tenemos que la función es fraccionaria miramos el signo
de la función del numerador y la del denominador y ponemos
el signo de la división al igual que dividir dos
números racionales.

Trazado de curvas.
El trazado de curvas lo veremos de la siguiente manera o orden de
trabajo.
· Monotonía: Se dice que una función es
monótona creciente(decreciente) en un intervalo (a,b) si
la f ’(x) ³
0 (f ’(x) £ 0).
Si (f) es continua en [a,b] ,derivable en (a,b) y f ’(x)
> 0 (f ’(x) < 0) Þ (f) es creciente(decreciente) en
[a,b].
En el ejemplo anterior la función es creciente en el
intervalo:
Creciente en (-¥
,0) Ú
(2/3, ¥
). Decreciente en el intervalo restante.
· Concavidad: Si f ’’(x) > 0 (f
’’(x) < 0) " x Î (a,b) la función es
cóncava hacia arriba (abajo).
Asíntotas: Se denomina asíntota de la curva y =
f(x) la rama infinita a una recta (L), tal que la distancia entre
el punto (m) de la curva y dicha recta (L) tiende a (0) al
alejarse infinitamente del origen de coordenadas.

1. Vertical: Tiene la forma x= a.

1. Oblicua: y= m x + n

1. horizontal: y = a

Para el calculo de las asíntotas verticales
tomamos los valores
del dominio para los
cuales la función no esta definida y calculamos en dichos
puntos los limites de la función por la izquierda y la
derecha. Si dicho límites dan entonces podemos decir que en dicho punto
hay una asíntota vertical.

Para determinar las asíntotas oblicuas tenemos
que resolver los siguientes limites, el primero va a ser igual a
la pendiente de la recta y el segundo el intercepto con el eje Y:
m = , n =
. Si dicho
límites existen entonces podemos decir que la
función tiene asíntotas horizontales y ustedes se
preguntaran porque digo asíntota en plural, ya que los
límites cuando tienden a más o a menos infinito
podrían ser diferentes. Siempre con la condición
que existen dichos limites.

Ejemplo: f(x) =

Determinemos primero las asíntotas verticales,
como el punto x = 2 no pertenece al dominio de definición
de la función se toma este punto para el análisis
de las asíntotas verticales. = + ¥ , = – ¥
. Por tanto como los limites son iguales a:
± ¥ la función f(x) tiene una
asintota vertical en el punto x = 2 y es la recta x =
2.

Determinemos las asintota oblicuas, como este tipo de
asintota tiene la forma y = m x + n, el objetivo es
calcular m, n.

m = = 0
n = = .

Es decir que la asintota va a tener la forma y= 1.
Para englobar todos los temas hablados en este tema existen pasos
a seguir para la determinación de la grafica de una curva
(función).

Autor:

Mijail Andrés Saralain Figueredo

Estudiante Licenciatura Matemática
UCLV. Villa Clara
Cuba
2003