Ingeniería Industrial (página 2)

 Max Z – 5X1 – X2 –
3X3

s.a. 2 X1 – X2 + 2 X3 +
X4 = 4

X1 + X2 + 4 X3 +
X5 = 4

X1 , X2 , X3 ,
X4 , X5 ³ 0

• Solución básica actual:

X4 = 4 min í 4/2 ,
4/1ý

X5 = 4 min í 2 , 4ý

• Solución básica actual:

X1 = 2 min í – ,
2/1.5ý

X5 = 2 min í – ,
1.33ý

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 44/3

X1* = 8/3

X2* = 4/3

X3* = X4* = X5* =
0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Max Z = 5X1 + X2 +
3X3

Z = 5 (8/3) + 4/3 + 0

Z = 44/3

• Comprobación en las restricciones:

2 X1 – X2 + 2 X3 +
X4

2 (8/3) – 4/3 + 2 (0) + 0 = 4

X1 + X2 + 4 X3 +
X5

8/3 + 4/3 + 4 (0) + 0 = 4

Utilizando el método
simplex resuelva el siguiente problema de programación
lineal.

Max Z = 25X1 + 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 £
1000

3 X1 £ 600 X1
+ 3X2 £ 600

X1 , X2 ³ 0

Max Z – 25X1 – 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 + X3 =
1000

3 X1 + X4 = 600

X1 + 3X2 + X5 =
600

X1 , X2 , X3 ,
X4 , X5 ³ 0

• Solución básica actual:

X3 = 1000 min í 1000/2 , – ,
600/3ý

X4 = 600 min í 500 , – ,
200ý

X5 = 600

• Solución básica actual:

X3 = 600 min í 600/4/3 , 600/3 ,
200/1/3ý

X4 = 600 min í 450 , 200 ,
600ý

X2 = 200

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 35000/3

X1* = 200

X2* = 400/3

X3* = 1000/3

X4* = X5* = 0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Max Z = 25X1 + 50X2

Z = 25 (200) + 50 (400/3)

Z = 35000/3

• Comprobación en las restricciones:

2 X1 + 2X2 +
X3

2 (200) + 2 (400/3) + 1000/3 = 1000

3 X1 + X4

3 (200) + 0 = 600

X1 + 3X2 +
X5

200 + 3 (400/3) + 0 = 600

Considere el siguiente problema.

Min W = 3X1 + 5X2 +
X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 +
X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³
0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 3

2Y1 £ 5

Y1 £ 1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –3X1 – 5X2
–X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2
–X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 ,
S1 ³ 0

 El primal no tiene solución porque no se
puede establecer la variable de entrada.

Para el dual

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 =
3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3
³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 3 min í 3/4 , 5/2 ,
1/1ý

S2 = 5 min í 0.75 , 2.5 ,
1ý

S3 = 1

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 =0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75< 1 INACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x1 a 4 de la
función objetivo y resolver el primal y el
dual.

Min W = 4X1 + 5X2 +
X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 +
X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³
0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 4

2Y1 £ 5

Y1 £ 1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –4X1 – 5X2
–X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2
–X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 ,
S1 ³ 0

 El primal no tiene solución porque no se
puede establecer la variable de entrada.

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 =
4

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3
³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 4 min í 4/4 , 5/2 ,
1/1ý

S2 = 5 min í 1 , 2.5 ,
1ý

S3 = 1

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 18

Y1* = 1

S2* = S3 =0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 18(1) = 18

4(1) = 4=4 ACTIVA

2(1)=2 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

1 = 1 ACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x3 a –1 y
a la función objetivo y resolver el primal y el
dual.

Min W = 3X1 + 5X2 *-
X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 +
X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³
0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 3

2Y1 £ 5

Y1 £ -1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –3X1 – 5X2
+X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2
–X3 + S1 = -18

X1 , X2 ,
X3 , S1 ³ 0

-RP+FO

-RP

• Solución básica actual:

S1 = -18 min í -18/-1
ý

min í 18ý

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

W* = -18

X3* = 18

X1*, X2*, S1*,=
0

• Comprobación en las restricciones:

W = 3(0) + 5(0) – 18 = -18

4(0) + 2(0) + 18 = 18 ACTIVA

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 =
3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = -1

Y1 , S1 ,S2, S3
³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 3 min í 3/4 , 5/2 ,
-1/1ý

S2 = 5 min í 0.75 , 2.5 ,
-ý

S3 = -1

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 *=0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3=3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75 > -1 INACTIVA Y DE SUPERAVIT

Utilizando el método
simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.

Min W = 6X1 + 8X2 +
16X3

s.a. 2 X1 + X2 ³
5

X2 + 3X3 ³
4

X1 , X2 , X3 ³
0

Min W – 6X1 – 8X2 –
16X3

s.a. 2 X1 + X2 + X4 =
5

X2 + 3X3 + X5 =
4

X1 , X2 , X3 ,
X4 , X5 ³ 0

• Solución básica actual:

X4 = 5 min í – ,
4/3ý

X5 = 4 min í – ,
1.33ý

• Solución básica actual:

X4 = 5 min í 5/2 ,
-ý

X3 = 4/3 min í 2.5 ,
-ý

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

W* = 109/3

X1* = 5/2

X3* = 4/3

X2* = X4* = X5* =
0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Min W = 6X1 + 8X2 +
16X3

W = 6 (5/2) + 8 (0) + 16 (4/3)

W = 109/3

• Comprobación en las restricciones:

2 X1 + X2 +
X4

2 ( 5/2) + 0 + 0 = 5

X2 + 3X3 +
X5

0 + 3 (4/3) + 0 = 4

Utilizando el método simplex resuelva el
siguiente problema de programación lineal.

Min W = X1 + 3X2 +
2X3

s.a. X1 + 4X2 ³
8

2 X1 + X3 ³
10

2 X1 + 3X2 £
15

X1 , X2 , X3 ³
0

Min W – X1 – 3X2 –
2X3

s.a. X1 + 4X2 + X4 =
8

2 X1 + X3 + X5 =
10

2 X1 + 3X2 + X6 =
15

X1 , X2 , X3 ,
X4 , X5 , X6 ³ 0

• Solución básica actual:

X4 = 8 min í 8/4 , – ,
15/3ý

X5 = 10 min í 2 , – ,
5ý

X6 = 15

• Solución básica actual:

X2 = 2 min í – , 10/1 ,
-ý

X5 = 10 min í – , 10 ,
-ý

X6 = 9

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

W* = 26

X2* = 2

X3* = 10

X6* = 9

X1* = X4* = X5* =
0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Min W = X1 + 3X2 +
2X3

W = 0 + 3 (2) + 2 (10)

W = 26

• Comprobación en las restricciones:

X1 + 4X2 +
X4

0 + 4 (2) + 0 = 8

2 X1 + X3 +
X5

2 (0) + 10 + = 10

2 X1 + 3X2 +
X6

2 (0) + 3 (2) + 9 = 15

Use variables
artificiales y póngalas en la tabla inicial
de:

1. Formule el problema dual

   Min W = 6X1 + X2 +
   3X3 – 2X4 Min W –
   6X1 – X2 – 3X3 +
   2X4 = 0

   s.a. X1 + X2 s.a. X1 +
   X2 + X6 = 42

   2 X1 + 3X2 –
   X3 – X4 ³ 10 2X1 +
   3X2 – X3 – X4
   – X5 + X7 = 10

   X1 + 2X3 + X4 =30
   X1 + 2X3 + X4 +
   X8 = 30

   X1 , X2 , X3 ,
   X4 ³ 0

   VB	W	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   W	1	-6	-1	-3	2	0	0	-M	-M	0
   X6	0	1	1	0	0	0	1	0	0	42
   X7	0	2	3	-1	-1	-1	0	1	0	10
   X8	0	1	0	2	1	0	0	0	1	30
   VB	W	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   W	1	3M-6	3M-1	M-3	2	-M	0	0	0	40M
   X6	0	1	1	0	0	0	1	0	0	42
   X7	0	2	3	-1	-1	-1	0	1	0	10
   X8	0	1	0	2	1	0	0	0	1	30

    

    

    

    

    

    

    

   	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   M	2	3	-1	-1	-1	0	1	0	10
   	2M	3M	-M	-M	-M	0	M	0	10M
   	-6	-1	-3	2	0	0	-M	-M	0
   	2M-6	3M-1	-M-3	-M+2	-M	0	0	-M	10M
   	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   M	1	0	2	1	0	0	0	1	30
   	M	0	2M	M	0	0	0	M	30M
   	2M-6	3M-1	-M-3	-M+2	-M	0	0	-M	10M
   	3M-6	3M-1	M-3	2	-M	0	0	0	40M

    

    

    

    

    

    

    

    

   Considérese el problema
   siguiente:

2. Elabore la tabla inicial para el problema
   dual
3. Formule el problema dual
4. Elabore la tabla inicial para el problema
   dual

Min W = 3X1 – 5 X2 +
4X3

s.a. 4 X1 – 2 X2 + X3
= 20

3 X1 + 4X3 ³ 12

-2X2 + 7X3 ³ 7

X1 , X2 , X3 ³
0

DUAL

Max Z = 20Y1 + 12Y2 +
7Y3

s.a. 4 Y1 + 3 Y2 3

-2Y1 – 2Y3 -5

Y1 + 4Y2 + 7Y3
-4

Y1 =NR Y2 , Y3 ³
0

 Use variables artificiales y el método
simplex para resolver el problema lineal:

Min W = -2X1 – X2 –
4X3 – 5X4

s.a. X1 + 3 X2 + 2
X3 + 5X4 £ 20

2 X1 + 16 X2 + X3
+ X4 4 3 X1 – X2 – 5X3
+ 10X4 £ -10 X1 ,
X2 , X3 , X4 ³
0

Min W + 2X1 + X2 + 4X3
+ 5X4= 0 s.a. X1 + 3 X2 + 2
X3 + 5X4 + S1 = 20

2 X1 + 16 X2 + X3 +
X4 -S2 + R2 = 4 3
X1 – X2 – 5X3 +
10X4 +S3 = -10

X1 , X2 , X3 ,
X4 ³ 0

Max Z -40X1 – 60X2 –
50X3

s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2
X3 + X4 = 950

2 X1 + 2 X2 + + X5 =
410

X1 + + 2 X3 + X6 =
610

X1 , X2 , X3 ,
X4 , X5 , X6 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 20 min í 20/3 , 1/16 ,
-10/-1ý

R2 = 4 min í 6.6 ,
0.25 , 10ý

S3 = -10

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

W* = -1/4

X2* = 1/4

S3* = -39/4

X1*, X3*, X4*,
S1*, S2* = 0

• Comprobación en las restricciones:

W = -2(0) – 1/4 + 4(0) – 5(0) =
-1/4

0 + 3(1/4) +2(0) + 5(0) = 3/4 £ 20 INACTIVA Y
DEFICIT

2(0) +16(1/4) + 0 +0 = 16/4 = 4 = 4 ACTIVA

3(0) –1/4 – 5(0) + 10(0) = -1/4 £
-10

Por el metodo simplex

Min
W+2X1+X2+4X3+5X4=0

s.a. X1 + 3X2 + 2X3
+ 5X4 + S1 =20

-2 X1 – 16X2 – X3 –
X4 + S1 =-4

3 X1 – X2 – 5X3 +
10X4 + S3 =-10

X1 , X2 , X3 ,
X4 ³ 0 S1 ,S2
,S3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 0 min í -20/5 , – , -50/10ý

X4 = 4 min í – , – , -ý

S3 = -50

No tiene solución porque se puede establecer la
variable de entrada pero no la salida.

En los ejercicios 1-4, escriba la tabla simples
inicial para cada problema dado de programación
lineal.

1.- Max Z= 3X1 +
7X2 Max Z- 3X1 –
7X2 =0

s.a. 3X1 – 2X2
£
7 s.a. 3X1 –
2X2 +S1 =7

2X1 + 5X2
£ 6
2X1 +5X2 +S2
=6

2X1 + 3X2
£
8 2X1 + 3X2 +
S3 =8

X1, X2
³
0 X1, X2
,S1, S2 ,S3
³
0

 2.- Max Z= 2X1 + 3X2
–4X3Max Z- 2X1 –
3X2+4X3 =0

s.a. 3X1 – 2X2
+X3 £ 4 s.a. 3X1
– 2X2 +X3 + S1
=4

2X1 -4X2
+5X3 £ 6 2X1
-4X2 +5X3 +S2 =6

X1, X2,
X3 ³ 0 X1,
X2 ,X3, S1, S2
³
0

 3.- Max Z= 2X1 + 2X2
+3X3+X4Max Z- 2X1
– 2X2 -3X3 -X4 =0

s.a. 3X1 – 2X2
+X3 + X4 £ 6 s.a.
3X1 – 2X2 +X3 +
X4 + S1 = 6

X1 + X2 + X3 +
X4 £ 8 X1
+ X2 + X3 + X4 +S2 =
8

2X1 – 3X2 +X3 +
2X4 £ 10 2X1
– 3X2 + X3 + 2X4 +S3=
10

X1, X2,
X3,X4 ³ 0
X1, X2 ,X3, X4,
S1, S2 , S3 ³ 0

4.- Max Z= 2X1 – 3X2 +
X3Max Z- 2X1 +
3X2 – X3 =0

s.a. X1 – 2X2 +
4X3 £ 5 s.a.
X1 – 2X2 +4X3 +
S1 = 5

2X1 + 2X2 +
4X3 £ 5 2X1
+ 2X2 + 4X3 +S2 = 5

3X1 + X2 –
X3 £ 7 3X1
+ X2 – X3 +S3 = 7

X1, X2, X3,
³
0 X1, X2
,X3, S1, S2 ,
S3 ³
0

En los ejercicios 5-11 resuelva cada problema de
programación lineal mediante el método simplex. de
alguno de los problemas
podrían no tener una solución optima
infinita.

5.- Max Z = 2X1 +
3X2 Max Z – 2X1 –
3X2 =0

s.a. 3X1 + 5X2 £
6 s.a. 3X1 + 5X2 +S1 =
6

2X1 +3X2 £ 7
2X1 +3X2 +S2 = 7

X1 , X2 ³
0 X1, X2, S1, S2
³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/5 ,7/3ý

S2 = 7 min í 1.2, 2.3ý

• Solución básica actual:

X2 = 6/5 min í 6/5 / 3/5 , -17/5 /
-1/5ý

min í 2 , 17ý

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 4

X1* = 2

X2* , S1*,S2*=0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Max Z = 2(2)+3(0)=4

Z=4

• Comprobación en las restricciones:

3 (2) + 5 (0) = 6=6 ACTIVA

2 (2) +3(0) = 4< 7 INACTIVA Y DEFICIT

6.- Max Z = 2X1 + 5X2

s.a. 3X1 + 7X2 £
6

2 X1 + 6X2 £
7

3 X1 + 2X2 £
5

X1 , X2 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/7 ,7/6 , 5/2ý

S2 = 7 min í 0.85 ,1.16 ,2.5ý

S3 = 5

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 30/7

X2* = 6/7

S1* = S2* =
S3*=X1*=0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Min Z = 2(0) + 5(6/7)=30/7

• Comprobación en las restricciones:

3(0)+7(6/7) = 42/7=6=6 ACTIVA

2 (0) + 6(6/7) = 36/7=5.14 < 7 INACTIVA Y
DEFICIT

3 (0) + 2(6/7) = 12/7 =1.71 < 5 INACTIVA Y
DÉFICIT

7.- Max Z = 2X1 + 5X2 Max
Z – 2X1 – 5X2 =0

s.a. 2X1 – 3X2 £
4 s.a. 2X1 – 3X2 +S1 =
4

X1 – 2X2 £ 6
X1 – 2X2 +S2 = 6

X1 , X2 ³
0 X1, X2, S1, S2
³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 4 min í 4/-3 , 6/-2ý

S2 = 6 min í -1.33, -3ý

No hay solución porque se puede establecer la
variable de entrada pero no la de salida.

8.- Max Z = 3X1 + 2X2
+4X3

s.a. X1 – X2 –
X3 £ 6

– 2 X1 + X2 -2X3
£ 7

3 X1 + X2
–4X3 £ 8

X1 , X2, X3 ³
0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/-1, 7/-2, 8/-4ý

S2 = 7 min í -6, -3.5, -2ý

S3 = 8

No hay solución porque se puede establecer la
variable de entrada pero no la de salida.

9.- Max Z = 2X1 – 4X2 +
5X3

s.a. 3X1 + 2X2 + X3
£ 6

3X1 – 6X2 + 7X3
£ 9

X1 , X2 , X3 ³
0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/1 , 9/7ý

S2 = 9 min í 6 , 1.28ý

• Solución básica actual:

X3 = 9/7 min í -33/7 / -20/7 , 9/7 /
-6/7ý

min í 33/20, -ý

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 69/10

X2* = 33/20

X3* = 27/10

X1* = S2=S1 =
0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Max Z = 2 (0) – 4(33/20)+5(27/10) =
69/10

Z = 69/10

• Comprobación en las restricciones:

3 (0) + 2(33/20)+ 27/10 = 6=6 ACTIVA

3(0)- 6(33/20) +7(27/10) =9 = 9 ACTIVA

10.- Max Z = 2X1 + 4X2
-3X3

s.a. 5X1 + 2X2 + X3
£ 5

3X1 –2X2 +3 X3
£ 10

4 X1 + 5X2 – X3
£ 20

X1 , X2 , X3 ³
0

• Solución básica actual:

S1 =5 min í 5/2 ,10/-2 , 20/5ý

S2 = 10 min í 2.5 , – , 4ý

S3 = 20

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 10

X2* = 5/2

S2* = 15

X1* = X4* = S1*
=S3*= 0

• Comprobación en la función
  objetivo:

Max Z = 2(0)+4(5/2)-3(0) =10

Z = 10

• Comprobación en las restricciones:

5(0)+2(5/2)+0 = 5=5 ACTIVA

3(0)-2(5/2)+3(0) = -5 < 10 INACTIVA Y
DEFICIT

4(0)+5(5/2)-0 = 25/2 = 12.5 < 20 INACTIVA Y
DEFICIT

11.- Max Z = X1 + 2X2 –
X3 + 5X4

s.a. 2X1 + 3 X2 +
X3 – X4 £ 8

3 X1 + X2 – 4X3 +
5X4 £ 9

X1 , X2 , X3 ,
X4 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 8 min í 8/-1 , 9/5ý

S2 = 9 min í – , 1.8ý

• Solución básica actual:

S1 = 49/5 min í 49/5 / 1/5 , 9/5 /
-4/5ý

X4 = 9/54

• Por lo tanto la solución óptima
  es:

Z* = 156

X3* = 49

X4* = 41

X1*= X2* = S1*=
S2* = 0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 0+2(0)-49+5(41) = 156

2(0)+ 3(0) +49 -41 = 8=8 ACTIVA

3(0)+0 –4(49)+5(41) = 9 = 9 ACTIVA

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Autor:

Iván Escalona Moreno

Estudios de Preparatoria: Centro Escolar Atoyac
(Incorporado a la U.N.A.M.)

Estudios Universitarios: Unidad Profesional
Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias
Sociales y Administrativas (U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto
Politécnico Nacional (I.P.N.) – Sexto
Semestre

Ciudad de Origen: México, Distrito
Federal

Profesor que revisó trabajo: Vergara Nava
Leonardo (Catedrático de la Academia de Investigación
de Operaciones de la U.P.I.I.C.S.A.)