Exámenes de Álgebra Lineal

Departamento de ciencias
básicas – Academia De Matemáticas
3er. Examen departamental de álgebra
lineal
Turno: matutino fecha: 14/vi/2000
Examen propuesto por los profesores integrantes de la academia de
álgebra lineal. Presidente: Ing. Arturo Ledesma
González.
Nota: resolver solamente cinco problemas.
1.- Encuentre una base ortogonal para  3 a partir de

2.- Dadas las bases

y

para Â
2 a. Encuentre la matriz de
coordenadas del vector , con respecto a la base B’ usando la matriz de
transición de la base B a la base B’.

3.- Sea T: Â 3 ® Â
3 una función
definida por

Determine si T es una transformación lineal.
NOTA: JUSTIFIQUE SU RESPUESTA.

4.- Sea T: Â 3 ® Â
4 una transformación lineal definida
por:

encuentre:

1. Una base para el recorrido y su
   dimensión
2. Una base para el núcleo y su
   dimensión

5.- Sea T: Â 3 ® Â
4 una transformación lineal y considere
que

,

6.- Encuentre Una matriz P que diagonalice a la matriz A
y compruebe que D = P-1AP es una matriz diagonal
si:

1.- En  2 se
obtienen dos bases

y

1. Obtenga la matriz de transición de la base B a
   la base B’
2. Para una vector v, su matriz de coordenadas con
   respecto a la base B es (-2, -4),

Obtenga la matriz de coordenadas son o no lineales
(Justificando si respuesta)

2.- Decida si las siguientes correspondencias son o no
lineales (justificando su respuesta).

1. T: Â
   2 ® M2´ 2 ;
   
2. T: M2´ 2 ® Â ;

3.- .- Se tiene una transformación lineal T:
Â
2 ® P2 tal que

,
, obtenga
y

4.- La matriz asociada a una transformación
lineal T: Â
3 ® Â
3 es

¿El Vector (4, 5, -2) pertenece a el Recorrido de
la transformación? ¿Porqué?

5.- Determine si la matriz dada es o no diagonalizable y
en caso de que si lo sea obtenga la matriz P que la
diagonaliza.

1.- Determine todo los valores de
"a" para los cuales el sistema lineal
resultante

1. No tenga solución x + y = 0
2. Tenga una única solución x +
   (a2 – 8)y = a
3. Tenga una infinidad de soluciones

2.- a) Encuentre un vector ortogonal al vector u = (1,
2, -3) y que tenga norma 5
b) Sean los vectores u = (1,
2, -3), v = (1, 3, -1) calcules el ángulo
q que forman
3.- a) Sea V = M3´ 3 Determine si W es
un subespacio de V si:
W es el conjunto de todas las matrices
antisimétrica de 3 ´ 3 de elementos reales.
b) Sea P una matriz invertible fija y sea T:
Mmn ®
Mmn una función definida por:
T(A) = P-1AP. Determine si T es una
transformación lineal.

NOTA: EN CADA CASO JUSTIFIQUE SU RESPUESTA
4.- Sea T: Â
3 ® Â
4 una transformación lineal y considere
que

,

encuentre una expresión para T

5.- Sea T: Â 3 ® Â
5 una transformación lineal definida
por:

encuentre:

1. El núcleo de T y su
   dimensión
2. El Recorrido de T y su dimensión

6.- encuentre una matriz A de 3 x 3 cuyos valores
propios sean l
1 = -3, l 2 = 6 y l 3 = -5 con sus vectores
propios asociados

,
y

respectivamente.

1.- Determine los valores de k para los cuales el
sistema dado sea consistente
x + y – z = 2k
2x + 3y = 2k – 1
x + y + (k2 – 10)z = 3k – 3

2.- Justificando su respuesta, responda a cada pregunta
dada

1. W = {A / A es invertibles} Ì M2x2 ¿Es un
   subespacio vectorial?

   3.- Usando vectores en el plano, obtenga:

   1. El ángulo entre las rectas cuyas ecuaciones son y = 3x y y = 5x.
   2. Dos vectores ortogonales a la recta y = 5x, cuya
      norma sea =
2. T: Mmn ® Mmn ; tal que T(A) =
   At ¿Es una transformación
   lineal?

4.- Encuentre una base y la dimensión para el
recorrido de una transformación lineal cuya matriz
asociada es:

5.- Decida si la matriz dada es o no diagonalizable y
explique su respuesta.

1.- a) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (2,
-3, 4) cuya norma sea igual a
b) Obtenga dos vectores ortogonales al vector u = (5, -3) cuya
norma sea igual a
2.- Determine si los siguientes conjuntos son
subespacios vectoriales.

a)

b)

Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
3.- Exprese el vector u = (3, 0, 3) como una combinación
lineal de los vectores

u1 = (-2, -1, 1), u2 = (-1, 1, 2)
y u3 = (2, -1, 1).
4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados
forman un conjunto linealmente independiente en
Â
3

donde:

,
y

5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman
una base del espacio solución del sistema de ecuaciones
lineales homogéneo siguiente:
-5x + 10y – 15z = 0
– x + 2y – 3z = 0
3x – 6y + 9z = 0

 1.- a) Encuentre el ángulo agudo entre las
rectas

y

b) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (5, -1)
cuya norma sea igual a
2.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios
vectoriales.

a)

b)

Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
3.- Obtener dos vectores unitarios que sean ortogonales al vector
u = (3, -4).
4.- Obtenga el conjunto generador del siguiente
subespacio

5.- Determine los valores de k para los cuales los
vectores dados forman una base de  3

donde:

,
y

1.- Sena A(1, -2, 3); B(2, 3, -1) y C(-1, 0, 3) los
vértices de un triángulo. Encuentre:

1. Sus ángulos interiores
2. Su Perímetro

2.- Dado el vector u = (1, 3) obtenga dos vectores
ortogonales al vector u de dirección opuesta y de norma 10.
3.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios
vectoriales.

a)

b)

Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados
forman un conjunto linealmente independiente en
Â
3

donde:

,
y

5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman
una base del espacio solución del sistema de ecuaciones
lineales homogéneo siguiente:
2y + 10z – 10w = 0
2x – 3y + 13z – 11w = 0
x – 2y + z – 3w = 0
– 2x + 5y – 3z + w = 0

1.- Encuentre un vector que sea ortogonal tanto al
vector al vector u = (3, -2, 3, 4) como la vector v = (-2, 4, -5,
-3) y que tenga norma 5.
2.- Sea V = Â
3 determine si W es un subespacio de V
si:

a)

b)

Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
3.- Determine cuales de los vectores dados pertenecen al
subespacio de Â
4 generado por W si: W = {(1, -2, 3, 1), (2, 1,
0, 2), (1, -1, 3, 2)}
a) (1, -1, 3, 5) b) (-1, 1, -3, -2) c) (2, -2, 0, 3)
Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
4.- Determine si el conjunto W =

u1 = (1, -2, 0, 1), u2 = (2, 3,
-1, 2) y u3 = (0, -1, 5, 3).

Es linealmente independiente en  4, cualquiera
que sea su respuesta justifíquela.
5.- encuentre una base y la dimensión del conjunto del
sistema homogéneo dado
2x – 2z – t = 0
– y – w + 4t = 0
3x + y – 3z = 0

Autor:

Iván Escalona Moreno

Ocupación: Estudiante
Materia:
álgebra Lineal
Estudios de Preparatoria: Centro Escolar Atoyac (Incorporado a la
U.N.A.M.)
Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de
Ingeniería y Ciencias sociales y Administrativas (UPIICSA)
del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.)
Ciudad de Origen: México,
Distrito Federal
Fecha de elaboración e investigación: Noviembre del 2002
Profesor que revisó trabajo: Carrillo Castrejón
Alberto (Profesor de la Academia de Matemáticas de la UPIICSA)