Tutorial Winplot (página 2)

arctan(x) para la tangente inversa de x o arco tangente
de x

sinh(x) para el seno hiperbólico de x

cosh(x) para el coseno hiperbólico de
x

tanh(x) para la tangente hiperbólica de
x

ln(x) para el logaritmo natural de x

log(x) para el logaritmo de base 10 de x

exp(x) para la exponencial de x

sqr(x) es la raíz cuadrada de x (para x >
0)

root(n,x) para la raíz enésima de
x

fact(n) para el factorial de n

abs(x) para el valor absoluto
de x

sgn(x) es la función
"signum" de x (definida como signum (x) = )

pi para denotar el valor
constante

Debe notarse que el valor de los argumentos va siempre
entre paréntesis, de otro modo Winplot no los
reconoce.

Es importante saber que también es posible
guardar funciones definidas por el usuario (esta operación
se describe en la sucesión Equa/User functions más
adelante).

2-dim

El propósito de este tutorial, es representar las
soluciones de una ecuación diferencial ordinaria a
través de su campo de pendientes, por lo que solamente
utilizaremos la opción 2-dim.

Figura 4

En la figura 4, aparece la pantalla cuando se pulsa esta
opción, distinguiéndose los
menús:

File, Equa, View, Btns, One, Two, Anim, Misc y Help. A
continuación se describe la función
que desarrolla cada uno.

Al activar File obtenemos la pantalla (figura
5):

Figura 5

que se agrupa en cuatro bloques:

En el primero están las opciones para abrir,
guardar y guardar renombrando un archivo (open,
save y save as).

El segundo grupo contiene
las opciones Print, Format y Select printer.

Print

Se selecciona esta opción para
imprimir.

Format

Al dar clic en esta opción (figura 6), aparece
una caja de diálogo
que contiene los botones (figura 7): width que al activarlo,
genera una imagen de acuerdo
al tamaño de la página (en una hoja carta por
ejemplo, no puede pasar de 21cm.) y dependiendo de este ancho de
página, la altura también se modifica; offset of
upper left corner con los botones hori y vert que posiciona la
imagen a
imprimir en las cantidades seleccionadas (en este ejemplo, se han
escogido width 10cm. hori 10cm. y vert 10cm. que significa que la
imagen que se imprime tiene 10 cm. de ancho y está
colocada a 10 cm. a partir de la izquierda y de la parte
superior). Y finalmente los botones frame image y color printer que
al activarlos colocan un recuadro alrededor de la imagen a
imprimir e imprimen en color (si se
cuenta con impresora de
color).

Figura 6

Figura 7

El tercer grupo contiene
las opciones: Copy to clipboard, With back color, Image size y
Bitmap to clipboard que sirven para mandar una imagen a otras
aplicaciones de Windows y
editar sus atributos.

Copy to clipboard

Cuando se activa esta opción (que sustituye a la
acción ctrl+C), se manda una imagen al portapapeles de
Windows, desde
donde podemos "pegarla" a cualquier aplicación Windows (en
la mayoría de las aplicaciones, es posible pegar usando la
combinación ctrl+V o seleccionando la opción pegar
del menú Edición).

With back color

Esta opción manda la imagen con el color de fondo
de la pantalla activa (ver figuras 8 y 9).

Cuando se pega la imagen seleccionando Copy to clipboard
(figura 8), aparece la pantalla:

Figura 8

Pegando la imagen seleccionando la opción With
back color (figura 9)

Figura 9

Bitmap to clipboard

Esta opción permite colocar la imagen al
portapapeles de Windows como un mapa de bits (número de
píxeles por unidad de superficie). De acuerdo a la
resolución escogida, el número de píxeles se
incrementa, aumentando por tanto, el tamaño del archivo (que
puede crecer bastante).

Image size

Al seleccionar este cuadro, aparece la caja (figura
10):

Figura 10

Donde aparecen los cuadros width y heigth (en
centímetros). Al seleccionar el ancho del dibujo,
automáticamente Winplot proporciona su altura (aún
cuando se introduzca otro valor).

El cuarto grupo contiene Help que proporciona información de todo el menú
File.

El siguiente menú es Equa y contiene cinco
grupos (ver
figura 11):

Figura 11

El primer grupo contiene cuatro formatos de entrada de
funciones: y = f(x), r = f(t), x = f(t) y 0 = f(x,y).

y = f(x)

Al activar este formato (figura 12), aparece la caja de
diálogo
(figura 13)

Figura 12

Figura 13

Que contiene las cajas f(x) = que permite introducir una
función definida de manera explícita en
términos de x . Si queremos definir el dominio de la
función, asignamos valores en las
cajas low x y high x y una vez hecho lo anterior, se selecciona
la caja lock interval. Por ejemplo, escojamos la función
definida en el
intervalo (figura
14):

Figura 14

Se obtiene la gráfica (figura 15):

Figura 15

Si incrementamos el dominio de la
función (figura 16), por ejemplo , obtenemos la gráfica (figura
17):

Figura 16

Figura 17

r = f(t)

Esta opción se utiliza cuando se grafican curvas
en coordenadas polares donde el ángulo está representado por la letra "t", es decir,
. El ángulo
se sobreentiende
está en radianes y el dominio por omisión es
(en la figura 18
la función que se ha introducido es en el intervalo por
omisión).

Figura 18

Y se ha obtenido la gráfica de la figura
19:

Figura 19

x = f(t)

Este formato se selecciona cuando se quieren graficar
curvas de forma paramétrica, es decir, curvas de la forma
(ver figura 20
donde se ha introducido los valores
en el dominio
por omisión [0, 6.28319] ).

Figura 20

Y se ha obtenido la curva (figura 21)

Figura 21

0 = f(x,y)

Este formato se utiliza cuando se necesitan graficar
curvas definidas implícitamente mediante una
ecuación que relaciona x y y (en la figura 22 está
escrita la ecuación del círculo )

Figura 22

Y la gráfica está representada en la
figura 23:

Figura 23

El siguiente grupo sirve para representar una recta o
una parte de ella ax + by = c y Segment.

ax + by = c

Aparece la caja (figura 24):

Figura 24

Donde se deben introducir valores para
los coeficientes a,b y c de la recta (en la figura 25 se obtiene
la recta para los valores
introducidos en la figura 24).

Figura 25

Segment

Al seleccionar este formato, aparece la caja siguiente
(figura 26)

Figura 26

Que muestra los
puntos (a,b) y (c,d) (puntos extremos del segmento). En la figura
26 están escritos los valores (2.54, 1.732) y (0,0) que
representa el segmento mostrado en la figura 27.

Figura 27

El tercer grupo muestra las
opciones Point, Recursion, DEq y Polynomial (figura
28)

Figura 28

Point

Al escoger esta opción, se introducen puntos a
través de sus coordenadas (x,y) a través de la caja
(figura 29) x = y = para escribir el valor del primer punto, el
tamaño y si se quiere círculo relleno o en
círculo hueco.

Figura 29

En la figura 30 se han representado cuatro puntos
diferentes (a diferencia de las ecuaciones, este formato se
escoge seleccionando Point cada vez que se introducen valores
(x,y) ).

Figura 30

Recursion

Este formato provee un medio para graficar una
sucesión de puntos. Nos dice cómo se obtiene cada
punto del anterior. Es necesario introducir dos tipos de
funciones en las cajas de edición new x y new y (figura
31).

Figura 31

Al dar clic en ok nada sucede ya que no se ha definido
un ejemplo recursivo hasta que se haya especificado un punto
inicial.

DEq

Al hacer clic aparecen en pantalla dos tipos de formatos
(figura 32):

Figura 32

Cuando se selecciona dy/dx aparece la caja (figura 33)
con los botones dy/dx = para introducir la función, field
que permite seleccionar el campo de pendientes o no, el
tamaño de las pendientes por medio de length (pct of
screen width), la densidad de
segmentos que se desea visualizar con horizontal rows, así
como colorear las curvas que son solución de la
ecuación diferencial y que han sido seleccionadas en la
cajas de problemas con
valores iniciales. También se puede delimitar el campo
escogiendo frame boundary.

Figura 33

Aquí se han seleccionado los valores escritos en
las cajas de la figura 33, para obtener el campo de pendientes de
la figura 34:

Figura 34

El otro formato dx/dt = define un campo vectorial (dx/dt
= f(x,y,t) y dy/dt = g(x,y,t)) que permite que las funciones f y
g dependan de t, x y y. Si existe el parámetro t en la
ecuación definida, se selecciona la caja time-dependent
(figura 35). Para ver las curvas solución, se usa las
cajas que contienen IVP que se describen más
adelante.

Figura 35

Polynomial

Se usa para construir ecuaciones polinomiales de grado
menor o igual a ocho y que recorren puntos específicos. Se
asignan tres puntos iniciales de manera arbitraria, y la ventana
original se transforma en una nueva con tres menús, donde
se puede editar el polinomio y de esta manera se puede usar el
botón izquierdo del ratón para "arrastrar" los
puntos y el derecho para añadirlos o borrarlos.

La pantalla que aparece cuando se selecciona Polynomial
(figura 36) muestra la ventana (figura 37) de editar polinomios
con los menús File, View y Edit y la parábola con
tres puntos (resaltados) asignados arbitrariamente. En el
menú Edit (figura 38) aparecen los diálogos
Attributes, See equation y Finish.

Figura 36

Figura 37

Figura 38

Figura 39

Seleccionando Attributes aparece la caja de
diálogo de la figura 39. See equation visualiza la
ecuación sin escribirla y Finish retorna a la ventana
normal. Las gráficas que aparecen en la ventana y
generadas de este modo, aparecen en el inventario como
"polynomial #".

La figura 40 muestra finalmente dos polinomios generados
por tres puntos iniciales asignados arbitrariamente y
transformados conforme a lo citado anteriormente.

Figura 40

El grupo siguiente abarca los diálogos Inventory,
Font, Library, User functions y Conceal/show all (figura
41).

Figura 41

Inventory

Es una de las más poderosas herramientas
de Winplot. Cuando se activa aparece la caja como se muestra en
la figura 42.

Figura 42

Aparecen los botones edit, delete, dupl, clip y derive.
Un segundo grupo (hide/show) contiene los botones graph, equa,
web y family.
Finalmente el tercer grupo de botones (reflect in) contiene
x-axis, y-axis, y = x y table. A continuación se describe
cada uno de ellos:

edit

Abre una caja de diálogo que permite introducir
cualquiera de los cuatro formatos de ecuación y = f(x), r
= f(t), x = f(t) y 0 = f(x,y). Esta caja de edición
aparece automáticamente una vez que se ha introducido
cualquiera de los formatos anteriores, y para volver a introducir
ecuaciones de cada uno de los formatos, basta simplemente con dar
un clic en el botón edit con la ecuación
seleccionada en el formato deseado, apareciendo
automáticamente la caja de editar (figura 42). En la
figura 43 se han seleccionado los cuatro formatos y se han
graficado (en diferentes colores) sus
ecuaciones correspondientes. Aparece resaltada la ecuación
xx + yy –13 que al dar clic, nos retorna a la caja de
editar(figura 44), de modo que podemos volver a editar una
ecuación con el formato 0 = f(x,y). Lo mismo sucede con
los demás casos.

Figura 43

Figura 44

Figura 45

En la figura 45 se ha editado una nueva ecuación
dando clic en edit simplemente y escribiendo las características de la nueva.

delete

Esta opción borra el contenido de la pantalla y
del inventario,
así como las ecuaciones que se han escrito en
función del original. No existe la acción de
"deshacer" que es usual en las aplicaciones de Windows del
menú Edición.

duplicate

Esta opción saca una copia del ejemplo
seleccionado y abre la caja de diálogo de
editar.

clip

Manda el texto que se
ha colocado en un ejemplo al portapapeles de Windows para poderlo
insertar en cualquiera de sus aplicaciones como texto
(pudiendo cambiar sus atributos, por tanto).

derive

Esta opción calcula la primera derivada de la
función señalada de manera gráfica. Se
pueden editar sus características (grosor de pluma, color,
etc.), pero no calcula su derivada en forma de expresión
matemática. Su gráfica se
añade al inventario (en la figura 46 en la caja de
diálogo se ha seleccionado la ecuación y su primera derivada,
indicada por y = 1derxsin(x) y en la parte izquierda están
sus gráficas correspondientes).

Figura 46

El segundo grupo de botones corresponde a hide/show y
contiene graph, equa, web y
family.

graph

Al dar un clic oculta (no elimina) la gráfica de
la ecuación seleccionada. Un segundo clic la
restablece.

equa

Visualiza la expresión para la ecuación en
la parte superior izquierda de la ventana que contiene la
gráfica. Un segundo clic la remueve.

web

Cubre con una red escalonada
gráficas para ecuaciones del tipo y = f(x). Se puede
seleccionar un punto x de partida, número de etapas y el
color de la red (en la figura 47 el
punto de partida está marcado seed 1.00000, el
número de etapas steps 10, color verde). Para desactivar
se da clic en undefine.

Figura 47

family

Esta opción genera una familia de curvas
que se forman en base a una ecuación en donde se definen
parámetros extra. Si se quiere generar una familia de curvas
para la ecuación ln(x), se debe construir al menos un
parámetro extra (en este caso ln(ax)+ b donde se han
construido los parámetros extra a y b), el rango de
valores del parámetro seleccionado y el número de
curvas que se quiere construir (en la figura 48 se muestra el
parámetro elegido a, el rango de –2 a 2 y el
número de pasos 10 ). Para deshacer la acción, se
da un clic en undefine.

Figura 48

El último grupo de botones reflect in, contiene
las opciones x-axis, y-axis, y = x y table. Las tres primeras
acciones nos
permiten reflejar sobre el eje x, eje y y la recta y = x. La
opción table abre una ventana que muestra los valores de
la función seleccionada en forma de tabla. Se puede
cambiar el contenido seleccionando params de su barra de
menú (figura 49), así como ver las tablas de otras
funciones diseñadas previamente dando clic en la
sucesión file/next de la barra de menú (figura
50).

Figura 50

Font

Esta opción nos permite elegir la fuente (de
acuerdo a las fuentes
disponibles), estilo (normal, cursiva, negrita o negrita
cursiva), tamaño de fuentes,
tachado o subrayado de frases, color y el tipo de alfabeto
(figura 51), al seleccionar alguna opción, la caja Muestra
se activa y proporciona la forma del tipo elegido.

Figura 51

Library

Esta acción nos permite consultar las funciones
preconstruidas en Winplot, así como algo de su
sintaxis.

User functions

Al abrir esta opción, aparece la caja de
diálogo (figura 52) en la que podemos nombrar la nueva
función (name), definirla en función de x
(introduciendo la fórmula en name(x)) y finalmente dar
clic en enter.

Figura 52

Conceal/show all

Finalmente, la última acción de este grupo
genera dos opciones Points y Equations (figura 53) que remueve
todos los puntos (cuando se selecciona Points) y todas las
ecuaciones (cuando se selecciona Equations) de la pantalla al
mismo tiempo. Para
volverlos a ver se da clic en show all .

Figura 53

Help

Contiene la ayuda para todo el menú
Equa.

El siguiente menú es View que se utiliza
para achicar o agrandar gráficos, ajustar ejes, restaurar a
pantalla inicial, poner o quitar rejilla, etc. Contiene tres
grupos. Ver
figura 54.

Figura 54

View

Al dar clic en esta opción, aparece la caja de
diálogo (figura 55), donde se pueden ajustar los sistemas de
coordenadas (ejes x- y) de dos modos:

Figura 55

Se pueden seleccionar las opciones set corners o set
center. La primera opción permite introducir valores en el
lado positivo y/o negativo de los ejes x-y de manera
independiente cada uno (en la figura 55, se han dado diferentes
valores a los rangos de cada eje, lo que se muestra a la
derecha). Al seleccionar la segunda opción, los dos ejes
se ajustan al mismo valor (figura 56).

Figura 56

Zoom out

Antes de utilizar esta opción, se debe definir el
tamaño (ver la opción Factor más
adelante) por el que se va a agrandar la escala (en la
figura 57 se ha dado el valor factor 2), de modo que la escala original
en el intervalo ,
se transforma en una con rango como se ve en la escala de los ejes de la figura
58).

Figura 57

Figura 58

Zoom in

Achica en la misma proporción que la
opción anterior, los ejes x-y.

Zoom square

Solamente se puede activar cuando se ha elegido la
opción set corners y retorna a la opción set
center. Esta opción reajusta los valores en las escalas a
modo que estén a

Factor

Esta opción se debe activar antes de las acciones Zoom
out y Zoom in e introducir el número que indica el factor
por el que se multiplican los valores actuales en las escalas
(figura 59). Para Zoom out se multiplica el valor (por los
actuales mostrados en la ventana view) y para Zoom in, se dividen
por este mismo factor dilation factor = 3 como se muestra en las
figuras 60 y 61.

Figura 59

Figura 60

Figura 61

Last window

Nos coloca en la ventana anterior a la que se visualiza
en la pantalla actual.

Fit window

Hace que los ejemplos activos en la
ventana quepan en ella. Puesto que en muchos casos los ejemplos
pueden salir de los ajustes de otro, no se sabe qué puede
pasar en estos casos.

Restore

Restablece los ajustes al inicio.

El segundo bloque tiene las opciones: Axes, Grid y
Connect dots (figura 62)

Figura 62

Axes

Muestra en pantalla los ejes x-y. Un segundo clic, los
quita de la pantalla.

Grid

Al activar esta opción, aparece en pantalla la
caja como en la figura 63:

Figura 63

Esta caja permite que construyamos un sistema de
coordenadas rectangular o polar. Al seleccionar axes, podemos
elegir ambos ejes de manera que los podamos visualizar (both), o
solamente uno de ellos (ya sea x o y) o elegir un sistema de
coordenadas polar (opción polar). También se
puede activar marcas en los
ejes (ticks), flechas en los extremos positivos de ambos ejes
(arrows), puntos de retícula (dots) y las letras x y y en
los ejes (labels) como se muestra en la figura 64. El
tamaño de marca en los ejes
se introduce en tick length (% of screen).

Figura 64

También se pueden escoger las opciones interval,
scale, places, freq y pi de manera independiente para cada uno de
los ejes x o y . Al activar interval se escoge el tamaño
de la marca en el eje
seleccionado, en la figura 64 se escogió 1, por lo que la
distancia entre cada marca es de uno. La opción scale
visualiza en pantalla los números correspondientes a cada
marca. Al activar places se debe introducir la cantidad de
lugares después del punto decimal (en la figura 64, se
escogió un solo lugar, por lo que las cantidades aparecen
1.0, 2.0, etc. Con freq activado, se muestra con qué
factor indicar la marca (en la figura 65 se escogió 2 para
el eje x y 4 para el eje y).

Figura 65

La opción pi muestra la numeración en el
eje seleccionado como un múltiplo de . La configuración
por omisión lo señala como p, para cambiar al
formato del símbolo, se debe ir al menú Misc y
seleccionar la fuente que contiene este símbolo y hacer
clic en enter. Al seleccionar la opción grid podemos
escoger entre retícula, sector polar o ambos. En la figura
66 hemos seleccionado poner retícula en los cuatro
cuadrantes (seleccionando su número romano
correspondiente) y sector polar con 12 sectores. Una vez que se
han seleccionado los cambios a hacer, se da clic en
apply.

Figura 66

Connect dots

Es la última opción de este bloque, al
activarse (después que se han introducido ecuaciones en
cualquiera de sus formatos), muestra la gráfica con trazos
discontinuos (figura 67).

Figura 67

El último bloque de este menú, es Help el
que nos proporciona ayuda para todas las acciones
correspondientes a View.

El menú siguiente Btns, está
formado por dos bloques (figura 68). El primero contiene Drag box
LB Zoom recenter RB, Text, Trajectories, XY coords LB y Paste
from clipboard. El segundo bloque lo constituye Help, que
proporciona toda la ayuda para este menú.

Figura 68

Drag box LB Zoom recenter RB

Selecciona y arrastra un rectángulo seleccionado
en el sistema de referencia actual. La opción Zoom
recenter RB recentra el sistema de referencia en el punto elegido
al dar un clic con el botón derecho del
ratón.

Text

Esta opción abre una caja pulsando con el
botón derecho del ratón una caja de diálogo
como en la figura 69. En este caso se introdujo el texto que se
indica en la gráfica.

Figura 69

Trajectories

Esta opción es muy importante para visualizar la
solución de una ecuación diferencial al pulsar con
el botón izquierdo del ratón, una región de
la ventana correspondiente a su campo de pendientes. Solamente se
activa cuando se ha abierto una caja de diálogo
correspondiente a Problemas con
Valor Inicial (IVP) que se trata en el menú
One.

XY coords LB

Con un click en el botón izquierdo, esta
opción muestra las coordenadas del punto seleccionado en
el píxel de la pantalla, relativo al sistema de
coordenadas actual. Una pulsación del botón derecho
en el píxel de la pantalla, centra el sistema de
coordenadas en ese punto.

Paste from clipboard

Coloca una imagen del portapapeles de Windows al pulsar
el botón derecho del ratón. Con el botón
izquierdo se puede mover en la pantalla. En la figura 70 se
pegó en la ventana la figura 69.

Figura 70

El menú siguiente One está formado
por dos bloques, el primero contiene Slider, Zeros, Extremes,
Integration, Sequence, dy/dx trajectory, dy/dt trajectory,
Roulettes y Revolve surface. En el segundo está contenida
toda la ayuda del menú con Help (figura 71).Los ejemplos
tratados con el
uso de este menú, solamente se pueden trabajar uno a la
vez.

Figura 71

Slider

Para activar esta opción, se debe haber
introducido alguno de los formatos y = f(x), r = f(t), x = f(t)
ó 0 = f(x,y) previamente como se muestra en la figura
72.

Figura 72

La barra deslizante se mueve a lo largo de la curva
seleccionada. Se puede elegir la abscisa x y determinar de
este modo su ordenada y correspondiente pulsando enter,
ubicando en la gráfica el punto seleccionado
automáticamente (mostrado con una cruz en rojo en la
figura 73). Los valores que aparecen a medida que se mueve la
barra deslizante, están determinados por la
ecuación introducida.

Figura 73

Al pulsar mark point, se guarda su posición en el
inventario (Inventory), así como una línea tangente
también se guarda en el inventario al pulsar Taylor approx (en
la figura 74 se pulsaron esta dos opciones como se puede ver en
el inventario).

Figura 74

El grado de aproximación se selecciona
introduciendo en degree el número correspondiente (hasta
9).

La opción secant demonstration at al ser pulsada,
muestra una secante que se mueve a lo largo de la curva respecto
a un punto que se puede seleccionar con base point, como se
muestra en la figura 75.

Figura 75

De la misma manera la opción tangent line
demonstration, cuando se pulsa mueve una línea tangente a
lo largo de la curva, como se muestra en la figura 76.

Figura 76

Zeros

Esta opción se activa al escoger el formato y =
f(x) solamente y muestra las coordenadas de los puntos donde la
curva corta el eje x, en la figura 74 se muestra con una
flecha roja, uno de los puntos de intersección de la
ecuación
con el eje x. Para ver otros puntos de intersección
(si los hay), se elige la opción next. Los puntos se
pueden guardar para introducirlos en una fórmula o en una
caja de editar. Simplemente se pulsa el nombre con el que fue
guardado (cualquier letra mostrada en la lista de la
caja).

Figura 77

En la figura 77 se guardó el valor de x =
-3.14159 con el nombre A, después fue llamado en la caja
de editar y se introdujo en la ecuación dando la nueva y construyendo su
gráfica como se muestra en la figura 78.

Figura 78

Los valores de x guardados, pueden ser
visualizados con la sucesión Misc/data/inspect (del
menú Misc). Ver figura 79.

Figura 79

Extremes

Esta opción muestra la pantalla como en la figura
80. Encuentra puntos extremos x, y ó r y se
seleccionan de la lista de la caja, como muestra la ventana de
arriba a la derecha de esta misma figura. Para buscar el
siguiente punto extremo, se pulsa next extreme of (figura
81).

Figura 80

Figura 81

Si se desea guardar como un parámetro, se
selecciona save (variable elegida) como algún
parámetro de la lista en la caja as (nombre del
parámetro).

Integration

Esta opción presenta la pantalla como en la
figura 82. De hecho es un submenú que contiene las
opciones Integrate, Area of sector, Length of arc, Volume of
revolution, y Surface area of rev.

Figura 82

Integrate. Muestra la pantalla como en la figura
83. Puede hacer cálculos numéricos para calcular la
integral definida (si se pulsa definite) usando los métodos
mostrados en las cajas y que se hayan seleccionado, o indefinida
(pulsando indefinite) que calcula la función primitiva y
se añade al inventario (como una gráfica que indica
que es la antiderivada de la función. La antiderivada se
calcula a partir del límite inferior. En la figura 83 se
ha calculado la derivada de una función primitiva que
genera la función x sen x (hemos graficado su campo de
pendientes en color rojo). Al calcular su primitiva obtenemos
la gráfica (en negro) que superpuesta con el campo de
pendientes nos muestra que esta curva es una solución
particular de la ecuación diferencial.

Figura 83

Area of sector.

Evalúa el área del sector generado a
partir del origen y barrido a través de un arco
seleccionado.

Las tres opciones siguientes Sequence, dx/dt trajectory
y dy/dt trajectory pertenecen a lo que en ecuaciones
diferenciales corresponde a problemas con valores iniciales
(Initial Value Problems, ó o como se maneja en las
ventanas correspondientes de este tutorial, IVP en inglés).

Sequence

Esta opción está disponible si se han
seleccionado antes ejemplos recurrentes y se han guardado en el
inventario (ver figura 84).

Figura 84

Cuando se elige el punto de partida (introduciendo los
valores para x y y en las cajas de editar, se puede
pulsar draw para visualizar la sucesión resultante como
muestran los puntos rojos en la figura 85.

Figura 85

El número de puntos graficados depende del
número de términos que fueron requeridos (caja
terms) y si se seleccionó la opción frame boundary
cuando se definió la recursión. El tamaño se
elige introduciendo la cantidad (positiva) en la opción
dot size. La opción watch se puede ver en la caja los
puntos en la forma en que se calcularon. La opción table
permite visualizar la lista de puntos en la ventana. El
botón izquierdo del ratón al ser pulsado en la
ventana de la gráfica, genera más puntos en base a
los anteriores.

dy/dx trajectory

Al elegir esta opción aparece la pantalla (figura
86) que se activa si se ha generado un campo de pendientes
previamente. Como muestra la figura, se ha seleccionado de la
lista una ecuación diferencial introduciendo un punto
inicial (en este caso se introdujo la ecuación y el punto inicial
.

Figura 86

Para encontrar la solución numérica
gráfica de la ecuación diferencial, se debe
seleccionar el tamaño del paso (step size), el método
(Euler, mod Euler ó Runge-Kutta) y el número de
etapas (steps). En la figura 86 están representados los
valores por omisión. La figura 87 muestra una
solución numérica gráfica de la
ecuación ,
partiendo del punto inicial (x,y) = (-4,4) y representada en
color amarillo dentro del campo de pendientes.

Figura 87

dy/dt trajectory

Tiene características semejantes a la anterior,
pero a diferencia de ella, no existe un método de
integración, tamaño de paso,
número de pasos y no se puede visualizar en forma de
tabla. Aparece en la pantalla como en la figura 87.

Figura 88

Se puede elegir la ecuación de la lista en la
caja superior, las coordenadas del punto inicial, si el campo
vectorial se construye dependiendo del tiempo, se
introduce este en t = (ver la caja de la figura 88).

Otras características importantes para la
solución de las ecuaciones diferenciales por medio del
campo de pendientes, están contenidas en el menú
Two, donde solamente consideraremos las opciones Meetings,
Combinations e Integration.

Meetings

Aparece la pantalla como en la figura 89. Con esta
opción podemos encontrar las intersecciones de las
ecuaciones (que pueden corresponder a diferentes formatos) que se
pueden seleccionar de las listas de ecuaciones que se encuentran
en el inventario y que se despliegan en las dos cajas de arriba
de la ventana al pulsar las flechas de recorrido hacia
abajo.

Figura 89

En la figura 90 están marcados algunos puntos de
intersección de las curvas y = -x sen (-5x) y .

Figura 90

Combinations

Esta opción es muy importante para la
visualización de suma, resta, multiplicación,
división, exponenciación y composición de
funciones. Al pulsar Combinations aparece en pantalla la caja en
la parte superior de la figura 91. En las dos cajas de arriba de
la ventana, se pueden seleccionar las ecuaciones existentes en el
inventario pulsando las flechas de inspección hacia
abajo.

Figura 91

En la ventana debajo de la figura 91, se han almacenado
en el inventario las seis opciones y en la ventana mayor se
encuentran las gráficas de cada una de las acciones
seleccionadas. La manera en que operan las seis opciones, obedece
a las reglas de funciones:

,
, , , y .

Integration

Esta opción es la misma que la correspondiente a
la del menú One vista anteriormente. La única
aportación extra es que se puede integrar la diferencia
entre las funciones f y g.

Oscar del Angel Cid Turcott