De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier

¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?

Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:
1

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
(Gp:) 1
(Gp:) f(t)
(Gp:) t
(Gp:) . . . -T -T/2 0 T/2 T . . .
(Gp:) p
(Gp:) -p/2 p/2

2

Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.
3

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
4

Si el periodo del tren de pulsos aumenta…
-20
-10
0
10
20
0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 2
t
f(t)
t
-20
-10
0
10
20
0
0.5
1
1.5
p = 1, T = 5
f(t)
(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) p = 1, T = 10
(Gp:) t
(Gp:) f(t)

(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) p = 1, T = 20
(Gp:) t
(Gp:) f(t)

5

(Gp:) -50
(Gp:) 0
(Gp:) 50
(Gp:) -0.1
(Gp:) 0
(Gp:) 0.1
(Gp:) 0.2
(Gp:) 0.3
(Gp:) p = 1, T = 5

-50
0
50
(Gp:) -0.05
(Gp:) 0
(Gp:) 0.05
(Gp:) 0.1
(Gp:) 0.15
(Gp:) p = 1, T = 10

(Gp:) -50
(Gp:) 0
(Gp:) 50
(Gp:) -0.02
(Gp:) 0
(Gp:) 0.02
(Gp:) 0.04
(Gp:) 0.06
(Gp:) p = 1, T = 20

-50
0
50
(Gp:) -0.2
(Gp:) 0
(Gp:) 0.2
(Gp:) 0.4
(Gp:) 0.6
(Gp:) p = 1, T = 2
(Gp:) w=nw0
(Gp:) cn

…el espectro se "densifica".
6

En el límite cuando T??, la función deja de ser periódica:

¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) p = 1, T = ?
(Gp:) t
(Gp:) f(t)

7

Si se hace T muy grande (T??), el espectro se vuelve "continuo":
8

El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w.

Así, la serie:

al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T??) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:
9

Recordemos:

La serie de Fourier es:
-T/2< x < T/2

O bien:
Cuando T? ?, nw0 ? w y w0 ? dw y el sumatorio
se convierte en:
10

La transformada de Fourier
Es decir,

donde:

Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
(Gp:) Identidad
de Fourier
o antitrans-
formada de
Fourier

(Gp:) Transformada
de Fourier

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La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
En algunos textos, el factor 1/2? se "reparte" entre la transformada y la
anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/v(2?).
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Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir

En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(?) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
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Transformadas integrales
K(?,t): núcleo o kernel.
Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra función F(?) en el espacio ? o recíproco.
Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
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Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio ?.
Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem in
Transform space
Original
problem
Solution in
Transform space
Solution of
original problem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
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Ejemplo. Calcular F(?) para el pulso rectangular f(t) siguiente:

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
(Gp:) -p/2 0 p/2
(Gp:) 1
(Gp:) f(t)
(Gp:) t

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Integrando:

Usando la fórmula
de Euler:

17

En forma gráfica,
la transformada es:
p =1
18

Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.

Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.

Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
La función sinc(x)
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Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, D(t), es sinc2(w/2)
w
0
1
t
0
1
1/2
-1/2
TF
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Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t):

Grafica U(w) = F[u(t)].
¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)?
¿Cuál es la frecuencia predominante?
(Gp:) u(t)
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) t

21

La función delta de Kronecker y delta de Dirac
(Gp:) t
(Gp:) d(t)

22

La función impulso o delta de Dirac
Recordemos que podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
t
f1(t)
(Gp:) f2(t)

fm(t) = m exp[-(mt)2]/vp
(Gp:) f3(t)

(Gp:) d(t)

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Y recordemos algunas propiedades de la función d
(Gp:) t
(Gp:) d(t)

24

Transformada de Fourier de la ?(t):
(Gp:) t
(Gp:) d(t)

w
w
d(w)
Observa que la transformada de Fourier de
f(t) = 1/(2?) es:
t
Recordemos
25

26

(Gp:) T 8

(Gp:) T 8

27

Transformada de Fourier de la función coseno
+w0
0
-w0
w
(Gp:) cos(w0t)
(Gp:) t
(Gp:) 0

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Transformada de Fourier de la función seno:
+w0
0
-w0
w
sen(w0t)
t
0
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La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t)
La TF de exp(iw0t) es una frecuencia pura.
F {exp(iw0t)}
0
w0
w
(Gp:) exp(iw0t)
(Gp:) 0
(Gp:) t
(Gp:) t
(Gp:) Re
(Gp:) Im
(Gp:) 0

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