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Polinomios de Legendre (página 2)




Enviado por Aladar Peter Santha



Partes: 1, 2

Dividiendo la ecuación (29) entre Monografias.comy teniendo en cuenta la definición (1) de los polinomios de Legendre se obtiene que

Monografias.com

, lo que quiere decir que los polinomios de Legendre Monografias.comson soluciones de la ecuación (27). Para hallar la solución general de la ecuación (27) se multiplica la ecuación por -1,

Monografias.com (27")

, luego se busca la solución general en la forma

Monografias.com (30)

Teniendo en cuenta que

Monografias.com

Monografias.com

, la ecuación (27") se transforma en:

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com (31)

Si los ceros de Monografias.comson Monografias.comentonces

Monografias.com

Descomponiendo en fracciones simples,

Monografias.com (32)

, donde

Monografias.com, Monografias.com

Monografias.comMonografias.com

Se observa que Monografias.comPor derivación,

Monografias.com

Monografias.com

Escribiendo que Monografias.comes una solución de la ecuación diferencial (27") resulta que

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com (33)

Poniendo Monografias.comen (33) resulta que

Monografias.com

Así, según la relación (31),

Monografias.com

Monografias.com (34)

Monografias.com (34")

, donde

Monografias.com (34")

, es un polinomio de grado menor o igual que Monografias.com

Por tanto, según (30), la solución general de la ecuación diferencial (27) es

Monografias.com (35)

Definición 2: Las funciones

Monografias.com (36)

, se llaman las funciones de Legendre de tipo 2.

Evidentemente, las funciones (36) son soluciones de la ecuación (27), y los polinomios Monografias.comse pueden determinar sustituyendo las funciones (36) en la ecuación (27).

Lema 6: Monografias.com

En efecto, si se introducen las notaciones

Monografias.com,

, entonces

Monografias.com (37)

Monografias.comMonografias.com

Monografias.comMonografias.comEscribiendo que Monografias.comson soluciones de la ecuación (27), resulta que

Monografias.com

Monografias.com (38)

Monografias.com

Monografias.com (39)

Luego, teniendo en cuenta que Monografias.comes solución de la ecuación (27) los coeficientes de t y de s en las igualdades (38) y (39) son nulos. Así (38) y (39) son equivalentes a las siguientes:

Monografias.com (40)

Monografias.com (41)

, respectivamente. Sumando las últimas dos ecuaciones se obtiene que

Monografias.com (42)

Teniendo en cuenta que las únicas soluciones de tipo polinomio de la ecuación diferencial (27) son los polinomios de Legendre de grado Monografias.comel polinomio nulo y que los polinomios Monografias.comson de gradoMonografias.comresulta que

Monografias.com (43)

Para hallar Monografias.comhay que sustituir Monografias.comen la ecuación (36) y tener en cuenta que

Monografias.comy Monografias.comy que Monografias.comes una constante:

Monografias.com

Entonces, Monografias.comy

Monografias.com

Para hallar Monografias.comhay que sustituir Monografias.comen la ecuación (40) y tener en cuenta que

Monografias.comy Monografias.comy que Monografias.com

Monografias.com Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Para hallar Monografias.comhay que sustituir Monografias.comen la ecuación (40) y tener en cuenta que

Monografias.comy Monografias.comy que Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Para hallar Monografias.comhay que sustituir Monografias.comen la ecuación (36) y tener en cuenta que

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Lema 7: En los polinomios Monografias.comlos exponentes de Monografias.comson todos pares o todos impares (se considera que 0 es par), según que n-1 es par o impar.

En efecto, según la fórmula (34"),

Monografias.com

, donde se Monografias.comson los ceros de Monografias.comen orden creciente. Entonces, teniendo en cuenta el lema 3, Monografias.comMonografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Así, Monografias.comes una función polinomio par o impar según que Monografias.comes par o impar.

Observación 4: Teniendo en cuenta el lema 7, en el cálculo de los polinomiosMonografias.comse puede reducir considerablemente el volumen de los cálculos:

Para hallar Monografias.comteniendo en cuenta el lema (7) resulta que Monografias.compuesto que Monografias.comLuego, puesto que

Monografias.com, Monografias.com

, y sustituyendo en la relación (36) para Monografias.coma las expresiones siguientes

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

, resulta que

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Así,

Monografias.com

Utilizando la observación 4, se puede averiguar que

Monografias.com

Monografias.com

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El código siguiente permite calcular los polinomios Monografias.comutilizando las operaciones con números enteros y decimales largos [4] y [5] y las funciones para operar con facciones expuestas a continuación.

Public Function PolLegWNG(ByVal g As Integer) As String

Dim i As Integer, j As Integer, i1 As Integer, pg As String, y() As String, z() As String

Dim res() As String, rc As String, dpleg() As String, dy() As String, y1() As String, resf As String

Dim n As Integer, pot2 As String, cw() As String, gm As Integer, cw1() As String, cw2() As String

Dim expot2 As Integer, rr() As String, nm As Integer, x(2) As String ', cw22() As String

If g < 3 Then

If g = 2 Then

PolLegWNG = "(-3/2)x": Exit Function

End If

If g = 1 Then

PolLegWNG = "-1": Exit Function

End If

Else

ReDim res(g – 1, 2)

rc = Chr$(13) + Chr$(10): gm = Int(g / 2): n = 7

ReDim z(g), cw(g – 1), dy(g – 1), y(g), dpleg(g – 1, 2) ', cw1(g – 1), cw2(g – 2)

y1() = PolLegNG(g)

For i = 0 To g: y(i) = y1(i): Next i

expot2 = y1(g + 1)

x(1) = "2": x(2) = expot2: pot2 = Potencias(x(), n): j = 0

dy() = PolDerivadoNG(y(), n)

For j = 0 To g – 1

x(1) = dy(j): x(2) = "2": dpleg(j, 1) = Multiplicar(x(), n)

Next j

For j = 0 To g – 1: dpleg(j, 2) = pot2: Next j

For i = 0 To g – 1

i1 = i Mod 2

If i1 = 0 Then cw(i) = "1" Else cw(i) = "0"

Next i

cw1() = PolDerivadoNG(cw(), n)

cw2() = PolDerivadoNG(cw1(), n)

nm = Str$(g * (g + 1)): If Left$(nm, 1) = " " Then nm = Mid$(nm, 2)

For i = 0 To g – 1

x(1) = nm: x(2) = cw(i): cw(i) = Multiplicar(x(), n)

Next i

For i = 0 To g – 2

x(1) = "-2": x(2) = cw1(i): x(1) = Multiplicar(x(), n)

x(2) = cw(i): cw(i) = Sumar(x(), n)

Next i

'cw22() = cw2()

For i = 0 To g – 3

x(1) = "-1": x(2) = cw2(i): x(1) = Multiplicar(x(), n)

x(2) = cw(i): cw(i) = Sumar(x(), n)

Next i

For i = 0 To g – 1 Step 2

If i = 0 Then

x(1) = dpleg(i, 1): x(2) = dpleg(i, 2)

z(1) = "-1": z(2) = cw(i): rr() = mufr(x(), z())

res(i, 1) = rr(1): res(i, 2) = rr(2)

Else

x(1) = res(i – 2, 1): x(2) = res(i – 2, 2): z(1) = cw2(i – 2): z(2) = "1": rr() = mufr(x(), z())

x(1) = dpleg(i, 1): x(2) = dpleg(i, 2): z(1) = rr(1): z(2) = rr(2)

rr() = sufr(x(), z())

x(1) = "-1": x(2) = cw(i): rr() = mufr(rr(), x())

res(i, 1) = rr(1): res(i, 2) = rr(2)

End If

Next i

End If

resf = "W" + Mid$(Str$(g – 1), 2) + "(x) = "

For i = 0 To g – 1 Step 2

resf = resf + "(" + res(i, 1) + "/" + res(i, 2) + ")" + "x^" + Str$(g – 1 – i)

If g – 1 – i = 0 Or g – 1 – i = 1 Then

Exit For

Else

resf = resf + " + "

End If

Next i

PolLegWNG = resf

End Function

' ———————————————————————————

Public Function PolDerivadoNG(ByRef p() As String, n As Integer) As Variant

Dim i As Integer, gx As Integer, x(2) As String, xd() As String

gx = UBound(p())

ReDim xd(gx – 1)

For i = 0 To gx – 1

x(1) = Mid$(Str$(gx – i), 2): x(2) = p(i)

xd(i) = Multiplicar(x(), n)

Next i

PolDerivadoNG = xd()

End Function

' ——————————————————————

Public Function sufr(xa() As String, ya() As String) As Variant

Dim x(2) As String, fr(2) As String, rr() As String

Dim n As Integer, r1 As String, r2 As String

n = 7

x(1) = xa(1): x(2) = ya(2): r1 = Multiplicar(x(), n)

x(1) = xa(2): x(2) = ya(1): r2 = Multiplicar(x(), n)

x(1) = r1: x(2) = r2: fr(1) = Sumar(x(), n)

x(1) = xa(2): x(2) = ya(2): fr(2) = Multiplicar(x(), n)

x(1) = fr(1): x(2) = fr(2): rr() = sifr(x())

fr(1) = rr(1): fr(2) = rr(2)

sufr = fr()

End Function

' ——————————————————————-

Public Function refr(xa() As String, ya() As String) As Variant

Dim x(2) As String, fr(2) As etring, rr() As String

Dim n As Integer, r1 As String, r2 As String

n = 7

x(1) = xa(1): x(2) = ya(2): r1 = Multiplicar(x(), n)

x(1) = xa(2): x(2) = ya(1): r2 = Multiplicar(x(), n)

x(1) = r1: x(2) = r2: fr(1) = Restar(x(), n)

x(1) = xa(2): x(2) = ya(2): fr(2) = Multiplicar(x(), n)

x(1) = fr(1): x(2) = fr(2): rr() = sifr(x())

fr(1) = rr(1): fr(2) = rr(2)

refr = fr()

End Function

' ——————————————————————–

Public Function mufr(xa() As String, ya() As String) As Variant

Dim x(2) As String, fr(2) As String, rr() As String

Dim n As Integer

n = 7

x(1) = xa(1): x(2) = ya(1): fr(1) = Multiplicar(x(), n)

x(1) = xa(2): x(2) = ya(2): fr(2) = Multiplicar(x(), n)

rr() = sifr(fr())

fr(1) = rr(1): fr(2) = rr(2)

mufr = fr()

End Function

' ———————————————————————————

Public Function sifr(xa() As String) As Variant

Dim x(2) As String, fr(2) As String, rr() As String

Dim n As Integer, mcd As String, r As String

n = 7

mcd = MaxComDiv(xa(), n)

x(1) = xa(1): x(2) = mcd

rr() = DivisionEuclidea(x(), n): fr(1) = rr(1)

x(1) = xa(2): x(2) = mcd

rr() = DivisionEuclidea(x(), n): fr(2) = rr(1)

sifr = fr()

End Function

Para darse cuenta de la eficacia del código anterior, se obtiene con mucha rapidez el resultado siguiente:

Monografias.com

Lema 8: Monografias.com (44)

En efecto, según el binomio de Newton,

Monografias.com (45)

Derivando la igualdad (45) Monografias.comsucesivamente se obtiene que

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

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Definición 3: Se llama función generatriz de los polinomios de Legendre la función:

Monografias.com (46)

Para desarrollar en una serie de potencias a la función (46), según la variable Monografias.comse considera el desarrollo

Monografias.com (47)

, convergente para Monografias.com

Teniendo en cuenta que Monografias.comse puede elegir a Monografias.comtan pequeño para que tengan lugar las desigualdades

Monografias.com

Entonces poniendo Monografias.comen el desarrollo (45) se obtiene que

Monografias.com (48)

Desarrollado y ordenando a (48) según las potencias de t, resulta que

Monografias.com

, donde

Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com

, y en general el coeficiente del término de Monografias.comque contiene a Monografias.comes Monografias.com

Por tanto, según el lema 8,

Monografias.com

Monografias.com

Bibliografía:

[1 ] Nicolae Cioranescu, Tratat de Matematici Speciale, Edititura de Stat Didactic? si Pedagogica,

Bucuresti, 1962

[2] I. GH. Sabac, MATEMATICI SPECIALE, I-II, Edititura de Stat Didactic? si Pedagogica,

Bucuresti, 1962

[ 3] V.Rudner, Editura Didactica si Pegagogic?, Bucuresti, 1970 .

[4] Aladar Peter Santha, Cálculos con números enteros largos en ordenadores, Monografias.com, 2012

[5] Aladar Peter Santha, Cálculos con números decimales largos en ordenadores, Monografias.com, 2012

 

 

Autor:

Aladar Peter Santha

Partes: 1, 2
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