Polinomios de Legendre

Definición (de Olinde Rodrigues): El polinomio de Legendre de grado n se define de la manera siguiente:

(1)

Puesto que y teniendo en cuenta que la derivada de orden cero de una función es la función misma, resulta que

y (2)

Teorema 1: Los polinomios de Legendre verifican la relación:

(3)

Demostración: Notando se calcula la derivada de orden de utilizando la fórmula de Leibniz:

(4)

Resulta que:

(5)

Por otra parte,

(6)

Igualando los resultados (5) y (6), se obtiene que

(7)

Ahora, utilizando las relaciones (1) y (7) y la regla de Leibniz, resulta que:

, es decir,

Al dividir ambas partes de esta última igualdad entreresulta que

, es decir,

La fórmula de recurrencia (3) permite calcular cómodamente los coeficientes de los polinomios de Legendre, a partir de los coeficientes de Por ejemplo, si la relación (3) se transforma en:

, de donde, teniendo en cuenta a (2), resulta que

Para calcular a se procede de la misma manera. Poniendo en la relación (3)

, se obtiene que:

, de donde, teniendo en cuenta las expresiones de y resulta que

Continuando así, se obtienen los resultados siguientes:

(8)

Lema 1: Cualquier producto de números naturales consecutivos es un múltiplo de

Demostración: Si hay que demostrar que el producto

, es un múltiplo de . La demostración se hace por recurrencia respecto al número de los factores en el producto.

Obviamente, el lema se cumple en el caso de un producto de dos factores consecutivos

, puesto que en este caso uno de los factores es par y por tanto es divisible por Supongamos ahora que el lema se cumple para los productos de p factores. Así

, es un múltiplo de Para que el lema sea verdadero para un número cualquiera de factores, hay que demostrar que el producto de factores

, es un múltiplo de Se observa que,

, es decir,

.

Dado que es múltiplo de será múltiplo de Por tanto, es múltiplo de si, y solamente si, lo es.

Con otras palabras,

, donde significa que es múltiplo de

Así,

Dado que es múltiplo de de las equivalencias anteriores resulta que lo es también, y así el lema queda demostrado.

Lema 2: Todos los coeficientes del polinomio son múltiplos de

Demostración: Dado que es un polinomio de grado

, y así

Teniendo en cuenta que todos los coeficientes de son productos de números naturales consecutivos, según el lema 1 resulta que sus coeficientes son múltiplos de

Para el cálculo de los polinomios de Legendre por programa no es conveniente determinar los coeficientes de puesto que, según el lema 2, estos son múltiplos de y así, crecen de manera muy rápida con el aumento de Por este razón, es conveniente buscar una fórmula de recurrencia para el cálculo de

Obviamente, según (3),

(9)

, donde y El procedimiento siguiente, que utiliza la fórmula (9), sirve para el cálculo de los polinomios de Legendre, hasta el grado 24:

Public Function CalPolLegendre(ByVal g) As String

Dim i As Integer, p As Double, y() As Double, z() As Double

Dim res As String, res0 As String, rc As String

ReDim z(g)

rc = Chr$(13) + Chr$(10)

y() = PolLeg(g)

For i = 0 To g

z(i) = y(i)

Next i

p = y(g + 1)

res = "Polinomio de Legendre de grado " + Str$(g)

res = res + ", multiplicado por: " + "2^" + Str$(p)

res0 = FormatoPol(z())

res = res + rc + rc + res0

CalPolLegendre = res

End Function

' ———————————————————————————

Public Function PolLeg(ByVal g As Integer) As Variant

If g > 24 Then

MsgBox "El grado tiene que ser menor que 25"

End

End If

Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, res0 As String

Dim sw As Integer, y() As Double, res As String, rc As String

Dim a() As Double, b() As Double, t() As Double

If g < 3 Then

If g = 0 Then

ReDim y(1): y(0) = "1": y(1) = "0"

End If

If g = 1 Then

ReDim y(2)

y(0) = "1": y(1) = "0"

End If

If g = 2 Then

ReDim y(3): y(0) = "3": y(1) = "0": y(2) = "-1": y(3) = "1"

End If

PolLeg = y()

Exit Function

End If

ReDim a(g), b(g + 1), t(g – 1, g + 1), y(g + 1)

rc = Chr$(13) + Chr$(10): p = g

t(0, 0) = 0: t(0, 1) = 2 'Coeficiente de 2* L1(x)

t(1, 0) = -2: t(1, 1) = 0: t(1, 2) = 6 ' Coeficientes de 2*L2(x)

For i = 2 To g – 1

For j = 0 To g

If j <> g – 1 Then

a(j) = -4 * i * t(i – 2, j)

End If

b(j + 1) = (4 * i + 2) * t(i – 1, j)

b(j) = b(j) + a(j)

Next j

For k = 0 To i + 1

t(i, k) = b(k) / (i + 1)

b(k) = 0

Next k

Next i

For i = 1 To g

For j = 0 To g

If Int(t(g – 1, j) / 2) <> t(g – 1, j) / 2 Then

sw = 1: Exit For

End If

Next j

If sw = 1 Then

Exit For

End If

p = p – 1

For j = 0 To g

t(g – 1, j) = t(g – 1, j) / 2

Next j

Next i

For i = 0 To g

y(i) = t(g – 1, g – i)

Next i

y(g + 1) = p

PolLeg = y()

End Function

' ———————————————————————————

Public Function FormatoPol(ByRef x() As Double) As Variant

Dim i As Integer, gx As Integer, ax As String, cx As String

gx = UBound(x())

For i = 0 To gx

If x(i) <> 0 Then

If i = 0 Then

If Abs(x(0)) <> 1 Then

If x(0) < 0 Then

cx = Str$(x(0))

Else

cx = Mid$(Str$(x(0)), 2)

End If

Else

If gx <> 0 Then

If x(0) = -1 Then

cx = "-"

End If

Else

If x(0) = -1 Then

cx = Str$(-1)

Else

cx = Mid$(Str$(1), 2)

End If

End If

End If

If gx <> 0 Then

If gx = 1 Then

cx = cx + " X"

Else

cx = cx + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2)

End If

End If

Else

If x(i) > 0 Then

ax = " + "

Else

ax = " – "

End If

If Abs(x(i)) <> 1 Or i = gx Then

ax = ax + Mid$(Str$(x(i)), 2)

End If

If gx > 1 Then

If i < gx – 1 Then

ax = ax + " X^"

ax = ax + Mid$(Str$(gx – i), 2)

Else

If i = gx – 1 Then

ax = ax + " X"

End If

End If

End If

cx = cx + ax: ax = ""

End If

End If

Next i

FormatoPol = cx

End Function

Utilizando el procedimiento anterior se obtienen los resultados (8) y se pueden calcular los coeficientes para más polinomios de Legendre de grados menores que 25:

Para hallar polinomios de Legendre de grado muy grande, hay que utilizar los programas para operar con enteros extra-largos [4]. En este caso el código a utilizar es el siguiente:

Public Function CalPLegNG(ByVal g As Integer) As String

Dim i As Integer, pg As String, y() As String, z() As String

Dim res As String, res0 As String, rc As String

ReDim z(g)

rc = Chr$(13) + Chr$(10)

y() = PolLegNG(g)

For i = 0 To g

z(i) = y(i)

Next i

pg = y(g + 1)

res = "Polinomio de Legendre de grado " + Str$(g)

res = res + ", multiplicado por: " + "2^" + pg

res0 = FormatoPolLegNG(z())

res = res + rc + rc + res0

CalPLegNG = res

End Function

' ———————————————————————————

Public Function PolLegNG(ByVal g As Integer) As Variant

Dim i0 As Integer, i1 As Integer, j0 As Integer, sw1 As Integer, w4 As Integer

Dim w3 As String, q() As String, s() As String, t() As String, rr() As String

Dim x0() As String, x(2) As String, res As String, res0 As String, rc As String

Dim n As Integer, pq As Integer

If g < 3 Then

If g = 0 Then

ReDim x0(1): x0(0) = "1": x0(1) = "0"

End If

If g = 1 Then

ReDim x0(2)

x0(0) = "1": x0(1) = "0"

End If

If g = 2 Then

ReDim x0(3): x0(0) = "3": x0(1) = "0": x0(2) = "-1": x0(3) = "1"

End If

PolLegNG = x0()

Exit Function

End If

ReDim q(g), s(g + 1), t(g – 1, g + 1)

n = 7: t(0, 1) = "2": pg = g

t(1, 0) = "-2": t(1, 1) = "0": t(1, 2) = "6"

rc = Chr$(13) + Chr$(10): sw1 = 0

For i0 = 2 To g – 1

For j0 = 0 To g

If j0 <> g – 1 Then

x(1) = Str$(-4 * i0): x(2) = t(i0 – 2, j0)

q(j0) = Multiplicar(x(), n)

End If

x(1) = Mid$(Str$(4 * i0 + 2), 2)

x(2) = t(i0 – 1, j0)

s(j0 + 1) = Multiplicar(x(), n)

x(1) = s(j0): x(2) = q(j0)

s(j0) = Sumar(x(), n)

Next j0

For i1 = 0 To i0 + 1

x(1) = s(i1): x(2) = Mid$(Str$(i0 + 1), 2)

rr() = DivisionEuclidea(x(), n)

t(i0, i1) = rr(1)

s(i1) = "0"

Next i1

Next i0

For i0 = 1 To g

For j0 = 0 To g

w3 = Right$(t(g – 1, j0), 1)

x(1) = w3: x(2) = 2: rr() = DivisionEuclidea(x(), n): w4 = rr(2)

If w4 <> 0 Then

sw1 = 1: Exit For

End If

Next j0

If sw1 = 1 Then

Exit For

End If

pg = pg – 1

For j0 = 0 To g

x(1) = t(g – 1, j0): x(2) = "2"

rr() = DivisionEuclidea(x(), n)

t(g – 1, j0) = rr(1)

Next j0

Next i0

ReDim x0(g + 1)

For i = 0 To g

x0(i) = t(g – 1, g – i)

Next i

x0(g + 1) = Str$(pg)

PolLegNG = x0()

End Function

' ———————————————————————————

Public Function FormatoPolLegNG(ByRef x0() As String) As String

Dim i As Integer, gx As Integer, ax As String, cx As String

gx = UBound(x0())

For i = 0 To gx

If x0(i) <> "0" Then

If i = 0 Then

If x0(0) <> "1" And x0(0) <> "-1" Then

cx = x0(0)

Else

If gx <> 0 Then

If x0(0) = "-1" Then

cx = "-"

End If

Else

If x0(0) = "-1" Then

cx = Str$(-1)

Else

cx = Mid$(Str$(1), 2)

End If

End If

End If

If gx <> 0 Then

If gx = 1 Then

cx = cx + " X"

Else

cx = cx + " X^" + Mid$(Str$(gx), 2)

End If

End If

Else

If Left$(x0(i), 1) = "-" Then

ax = " – "

Else

ax = " + "

End If

If (x0(i) <> "1" And x0(i) <> "-1") Or i = gx Then

If Left$(x0(i), 1) = "-" Then

ax = ax + Mid$(x0(i), 2)

Else

ax = ax + x0(i)

End If

End If

If gx > 1 Then

If i < gx – 1 Then

ax = ax + " X^"

ax = ax + Mid$(Str$(gx – i), 2)

Else

If i = gx – 1 Then

ax = ax + " X"

End If

End If

End If

cx = cx + ax: ax = ""

End If

End If

Next i

FormatoPolLegNG = cx

End Function

Haciendo los cálculos con el código anterior se obtiene, por ejemplo, el resultado siguiente:

Teorema 2: Cualquiera que sea (10)

Según las igualdades (2), la propiedad se cumple para Suponiendo que se cumple para según la fórmula de recurrencia (3) resulta que

Lema 3: Si la función es derivable y par (impar) su derivada es impar (par).

En efecto, si , entonces según la regla de derivación de las funciones compuestas

, es decir

Si es impar,

, es decir

Lema 4: si es una función par derivable y es su dominio de definición, entonces según el lema 3

En efecto, si es una función par entonces es impar, es par, es impar, es par, es impar es par, es impar. Así el lema 4 queda demostrado.

Teorema 3: Cualquiera que sea

(11)

Demostración: El caso resulta de la definición1. Si y teniendo en cuenta que la función es una función par, según el lema 4 resulta que

, es decir

Consecuencia: Puesto que según el teoremas 2 del teorema 3 resulta que

Teorema 4: Cualquiera que sea

Según las igualdades (2), la propiedad se cumple para Derivando la fórmula de recurrencia (3) resulta que

(12)

Suponiendo que el teorema se cumple para y poniendoen la igualdad (12) se obtiene que

Así el teorema queda demostrado.

Lema 5: Si y entonces

(13)

Demostración: Dado que 1 y 1 son raíces de orden n para y teniendo en cuenta que resulta que 1 y 1 seguirán siendo raíces de Integrando por partes,

, resulta que se verifica la igualdad (12), puesto que

Teorema 5: Si es el polinomio de Legendre de grado y Q es una función polinomio de grado menor que entonces

(14)

Demostración: Puesto que la función polinomio Q es combinación lineal de las funciones polinomios es suficiente demostrar que

, donde Aplicando kveces sucesivamente el lema 5, y teniendo en cuenta que se obtiene que

………………………………………………………….

Dado que, 1 y 1 son ceros de orden de , 1 y 1 serán ceros también y así

Por tanto y el teorema queda demostrado.

Observación 1: Si y entonces

(15)

En efecto, suponiendo que en el teorema anterior resulta que la integral (14) es una combinación lineal la de integrales del tipo (14) que son todas nulas.

Teorema 6: Si es el polinomio de Legendre de grado n, entonces

(16)

Demostración: De la definición (1) de los polinomios de Legendre resulta que

, donde

(17)

Así,

(18)

, puesto que, según el teorema 5, los integrales que contienen son nulos. Por otra parte, sustituyendo a por en la fórmula de recurrencia (3), se obtiene que

, y así

(19)

Dado que, según el teorema 5, la segunda integral en la expresión de es cero, resulta que

(20)

Es fácil comprobar que y así , cualquiera que sea en N*. Según (20),

, y así

(21)

Ahora, de (16) y (18) resulta que

, donde

,

Observación 2: En el espacio vectorial de las funciones polinomio de grado menor o igual que el producto escalar de se puede definir de la manera siguiente:

(22)

, y por tanto

Si las funciones se definen por

, entonces, según la observación1 y el teorema 4, las funciones forman una base orto-normal de lo que quiere decir que

Ahora se puede considerar la seria Fourier asociada a la función

(23)

Para que pueda tener lugar la igualdad

(24)

, es preciso determinar los coeficientes de Fourier teniendo en cuenta que las funciones forman un sistema orto-normal sobre el intervalo

, es decir

(25)

En la teoría general de las series Fourier se demuestra que si la función cumple ciertas condiciones sobre el intervalo entonces la serie Fourier con los coeficientes (23) converge a

Ejercicio 1: Calcular la integral

De la relación de recurrencia (3) resulta que

, y así

Según la observación 1, la primera integral es nula, luego, según el teorema 6, la segunda integral vale . Por tanto,

Ejercicio 2: Calcular la integral:

Sustituyendo en la fórmula de recurrencia (3) por

, de donde resulta que

Continuando con el mismo tipo de razonamiento que en el ejercicio anterior, se obtiene que

Teorema 7: En el intervalo el polinomio tiene ceros reales.

Demostración: Obviamente 1 y 1 son ceros de orden de la función

, y así 1 y 1 son ceros también para sus derivadas, hasta la derivada de orden inclusive:

Sea la propiedad de que una función tiene por lo menos ceros en el intervalo y sea Puesto que se anula para resulta que Si entonces existen tal que

,

Aplicando ahora el teorema de Rolle para la función en losintervalos

, resultará que se anulará por lo menos una vez en el interior de cada uno de estos intervalos. Por tanto Así y la función tendrá la propiedad Teniendo en cuenta que la función es un polinomio de grado y que no puede tener más que ceros, resulta que resulta que tendrá exactamente ceros reales distintos, situados en el intervalo

Observación 3: De la relación (11) resulta que la función es par o impar, según que es un número par o impar, respectivamente. En los dos casos, los ceros de serán dispuestas de manera simétrica en el intervalo es decir, si son los ceros de en orden creciente, entonces

(26)

, cualquiera que sea i, tal que Si es impar, es decir entonces para en la relación (26) resulta que es decir

El código siguiente permite calcular los ceros de los polinomios de Legendre de grado menor que 25 y se exponen los 14 decimales después del punto decimal.

Public Function CerosPolLeg(ByVal g) As String

Dim i As Integer, y() As Double, z() As Double

Dim ceros() As Double, rr() As Double, m As Integer, st As Double

Dim res As String, rc As String, n1 As Integer, g1 As Integer

If g = 0 Then

CerosPolLeg = "¡P0 no tiene ceros!"

Exit Function

End If

If g = 1 Then

CerosPolLeg = "El único cero de P1 es x = 0"

Exit Function

End If

rc = Chr$(13) + Chr$(10): g1 = Int(g / 2): st = 0.013

ReDim z(g), ceros(g1)

y() = PolLeg(g)

For i = 0 To g: z(i) = y(i): Next i

Do

rr() = Rastreo(z(), 0, 1, st)

n1 = UBound(rr())

If rr(n1, 1) <> 0 Then

Exit Do

Else

st = st * 0.13

End If

Loop

For i = 1 To n1

ceros(i) = Bipartp(z(), rr(i, 1), rr(i, 2))

Next i

res = "": m = g Mod 2

For i = n1 To 1 Step -1

res = res + "-" + Format$(ceros(i), "0.##############") + rc

Next i

If m = 1 Then res = res + "0" + rc

For i = 1 To n1

res = res + Format$(ceros(i), "0.##############") + rc

Next i

CerosPolLeg = res

End Function

' —————————————————————————————————————

Public Function Bipartp(ByRef p() As Double, ByVal xa As Double, ByVal xb As Double) As Double

Dim a As Double, b As Double, c As Double, fc As Double

Dim n1 As Integer, n0 As Integer, n As Integer

a = xa: b = xb

Do

c = (a + b) / 2

fc = Vp(p(), c)

If Sgn(Vp(p(), a)) <> Sgn(fc) Then

b = c

Else

a = c

End If

If Abs(a – b) < 0.00000000000001 Then Exit Do

Loop

If Abs(c) < 0.000000000001 Then c = 0

Bipartp = c

End Function

' ———————————————————————————

Public Function Vp(ByRef pz() As Double, ByVal z As Double) As Double

Dim fz As Double, gz As Integer, j As Integer

gz = UBound(pz())

fz = pz(0)

For j = 1 To gz

fz = fz * z + pz(j)

Next j

Vp = fz

End Function

' ———————————————————————————

Public Function Rastreo(ByRef py() As Double, ByVal ai As Double, ByVal bi As Double, st As Double)

Dim i As Double, g As Integer, k As Integer

Dim c As Double, fa As Double, fb As Double, fc As Double

Dim u() As Double, ni As Integer, g1 As Integer

g = UBound(py): k = 1: g1 = Int(g / 2)

ReDim u(g1, 2)

For i = ai To bi Step st

If i <> ai Then

fa = fb

Else

c = i

fc = Vp(py(), c)

fa = fc

End If

If i + st < bi Then

c = i + st

Else

c = bi

End If

fc = Vp(py(), c)

fb = fc

If (fa < 0 And fb > 0) Or (fa > 0 And fb < 0) Then

u(k, 1) = i: u(k, 2) = i + st

ni = k

k = k + 1

End If

Next i

Rastreo = u()

End Function

En el caso del polinomio se obtienen los ceros siguientes:

-0.94910791234275, -0.7415311855994, -0.4058451513774, 0, 0.94910791234275, 0.7415311855994, 0.4058451513774

Si se quieren obtener los ceros de los polinomios con mayor precisión o se quieren calcular los ceros de un polinomio de grado mayor que 24, hay que utilizar otro código que trabaja con enteros y decimales extra-largos [4], [5] y que se expone a continuación.

Public Function CalCPLegNG(ByRef g As Integer, pr) As String

Dim i As Integer, y() As String, z() As String, gg As Integer

Dim ceros() As String, rr() As String, m As Integer, n1 As Integer

Dim res As String, rc As String, st As String

If g = 0 Then

CalCPLegNG = "¡P0 no tiene ceros!"

Exit Function

End If

If g = 1 Then

CalCPLegNG = "El único cero de P1 es x = 0"

Exit Function

End If

If g < 32 Then st = "0.013" Else st = "0.0013"

ReDim z(g), ceros(g)

rc = Chr$(13) + Chr$(10)

y() = PolLegNG(g)

For i = 0 To g

z(i) = y(i)

Next i

Do

rr() = RastreoNG(z(), 0, 1, st)

n1 = UBound(rr())

If rr(n1, 1) <> "" Then

Exit Do

Else

x(1) = st: x(2) = "0.13": st = MultiplicarDec(x(), n)

End If

Loop

For i = 1 To n1

ceros(i) = BipartpNG(z(), rr(i, 1), rr(i, 2), pr)

Next i

res = "Los ceros del polinomio " + "P" + Mid$(Str$(g), 2) + "(x) son: " + rc

m = g Mod 2

For i = n1 To 1 Step -1

res = res + "-" + ceros(i) + rc

Next i

If m = 1 Then res = res + "0" + rc

For i = 1 To n1

res = res + ceros(i) + rc

Next i

CalCPLegNG = res

End Function

' ———————————————————————————

Public Function BipartpNG(ByRef p() As String, ByVal xa As String, ByVal xb As String, ByVal pr As Integer) As String

Dim i As Integer, a As String, b As String, c As String, fc As String, x(2) As String

Dim fa As String, dif As String, n As Integer, prod As String, prec As String

' pr es el número de cifras a calcular después del punto decimal.

n = 7: a = xa: b = xb: prec = "0."

For i = 1 To pr: prec = prec + "0": Next i

prec = prec + "1"

Do

x(1) = a: x(2) = b: c = SumarDec(x(), n): c = DividirPor2Dec(c, n)

fc = VpNG(p(), c): fa = VpNG(p(), a)

x(1) = fa: x(2) = fc: prod = MultiplicarDec(x(), n)

If Left$(prod, 1) = "-" Then

b = c

Else

a = c

End If

x(1) = a: x(2) = b: dif = RestarDec(x(), n)

If Left$(dif, 1) = "-" Then dif = Mid$(dif, 2)

x(1) = dif: x(2) = prec: dif = RestarDec(x(), n)

If Left$(dif, 1) = "-" Then Exit Do

Loop

BipartpNG = Left$(c, pr + 2)

End Function

' ———————————————————————————

Public Function VpNG(ByRef pz() As String, ByVal z As String) As String

Dim fz As String, gz As Integer, j As Integer, x(2) As String, n As Integer

n = 7: gz = UBound(pz())

fz = pz(0)

For j = 1 To gz

x(1) = fz: x(2) = z: x(1) = MultiplicarDec(x(), n)

x(2) = pz(j): fz = SumarDec(x(), n)

Next j

VpNG = fz

End Function

' —————————————————————————————————–

Public Function RastreoNG(ByRef py() As String, ByVal ai As String, ByVal bi As String, ByVal st As String) As Variant

Dim i As String, g As Integer, k As Integer, x(2) As String

Dim c As String, fa As String, fb As String, fc As String, r As String

Dim u() As String, sgfa As String, sgfb As String, dif As String

Dim g1 As Integer, t As Single, ist As String, n As Integer

g = UBound(py): g1 = Int(g / 2): k = 1: n = 7

ReDim u(g1, 2)

i = ai

Do

If i <> ai Then

fa = fb

Else

fa = VpNG(py(), ai)

End If

x(1) = i: x(2) = st: ist = SumarDec(x(), n)

x(1) = ist: x(2) = bi: r = RestarDec(x(), n)

If Left$(r, 1) = "-" Then

c = ist

Else

c = bi

End If

fc = VpNG(py(), c)

fb = fc

x(1) = fa: x(2) = fb: r = MultiplicarDec(x(), n)

If Left$(r, 1) = "-" Then

u(k, 1) = i: u(k, 2) = ist

k = k + 1

End If

x(1) = bi: x(2) = ist

dif = RestarDec(x(), n)

If Left$(dif, 1) = "-" Then Exit Do

i = ist

Loop

RastreoNG = u()

End Function

Si en el caso del polinomio los ceros se quieren calcular con 24 decimales después del punto decimal el resultado de los cálculos (sin redondeo) será el siguiente:

Los ceros de calculados con 12 cifras después del punto decimal son:

-0.998540200636, -0.992316392138, -0.981151833077, -0.965099650422,

-0.944239509118, -0.918675259984, -0.888534238285, -0.853966595004,

-0.815144539645, -0.772261479248, -0.725531053660, -0.675186070666,

-0.621477345903, -0.564672453185, -0.505054391388, -0.442920174525,

-0.378579352014, -0.312352466502, -0.244569456928, -0.175568014775,

-0.105691901708, -0.035289236964, 0.035289236964, 0.105691901708,

0.175568014775, 0.244569456928, 0.312352466502, 0.378579352014,

0.442920174525, 0.505054391388, 0.564672453185, 0.621477345903,

0.675186070666, 0.725531053660, 0.772261479248, 0.815144539645,

0.853966595004, 0.888534238285, 0.918675259984, 0.944239509118,

0.965099650422, 0.981151833077, 0.992316392138, 0.998540200636

Teorema 8: Los polinomiosde Legendre son soluciones de la ecuación diferencial siguiente:

(27)

Si , por derivación resulta que

(28)

Derivando a ambas partes la última igualdad de (28) según la fórmula (4) de Leibniz, se obtiene que

(29)