La adición (página 3)

Partes: 1, 2, 3

ETC.
0,4 + 0,6 =1
0,003 + 0,007= 0,01
17
de los órdenes del sistema decimal de
numeración.

De esta forma podemos extender el
cuadrodelasdestrezasasociativasydi-
sociativas antes presentadas:
Como puede apreciarse, la norma
básica consiste en utilizar las propieda-
desconmutativa,asociativaydisociati-
va para buscar –y encontrar– el valor de
10 ó de las potencias de 10 (100, 1.000,
etc.), y también para saber “romper”
estas potencias en los sumandos más
adecuados en cada caso. Un ejemplo
sencillodeaplicacióninmediata,incluso
en sumas escritas, puede verse en la
realización de la siguiente:

73
144
55
316 +
67
51
+ 90 = 100
+ 50 = 100
+ 0,9 = 1
+ 0,5 = 1
20+ 80= 100
100+ 900 =1.000
0,2+ 0,8 = 1
0,001+0,009= 0,01
30
200
0,3
0,002
+ 70 = 100
+ 800 = 1.000
+ 0,7 = 1
+0,008 = 0,01
10
50
0,1
0,5
ETC.
100 = 90 + 10
1 = 0,9 + 0,1
100 = 20 + 80
1 = 0,8 + 0,2
100 = 30 + 70
1= 0,7 + 0,3
100 = 40 + 60
1 = 0,6 + 0,4
100 = 50 + 50
1 = 0,5 + 0,5 ETC.
Habitualmente solemos proceder
sumando la columna de las unidades,
luego la de las decenas, etc. Esta prác-
tica está justi?cada por la propiedad
disociativa de la suma, aplicada a to-
dos los sumandos. Ahora bien, dentro
de cada columna podemos utilizar la
propiedad conmutativa (sumar en
cualquier orden), lo que nos permite
asociar los sumandos que se comple-
mentan para obtener 10: visualmente
asocio el 3 con el 7, el 4 con el 6 (ya
llevo 20) y percibo que me quedan sin
asociar el 5 y el 1. Así, la suma de las
unidades es 26: escribo el 6 y “llevo” 2
decenas (no 2, simplemente, sino 2
decenas).
De un modo análogo, en la columna
de las decenas asocio rápidamente el 4
40 + 60 =100 con el 6, el 5 con el 5, y el 7 y el 1 con el
2 de la llevada, lo que me da un total de
30 decenas: escribo el 0 y “llevo” 3
centenas.Lasumadeéstasesmásfácil,
7. La suma total es 706.
Volviendoacasosmásgenerales–no
sóloalosdelassumasdispuestasverti-
calmente– y partiendo de la base de las
destrezas descritas, es posible precisar
algunas sugerencias para facilitar las
operaciones mentales de sumar (en lo
que sigue, se mostrarán de nuevo los
cálculos escritos como una orientación
del proceso mental, pero tales cálculos
no se escriben en la práctica).

1. Acercar alguno(s) de los suman-
dos a potencias o múltiplos de 10. Por
ejemplo,alsumar156+199=156+(200
– 1) = 156 + 200 – 1 = 356 – 1 = 355. O
también, 412 + 84 = 400 + 10 + 2 + 80 +
4 = 400 + 90 + 6 = 496.

2. “Prestarse” entre los sumandos
paraformarpotenciasomúltiplosde10.
Porejemplo:46+88=44+2+88=40+
4+90=130+4=134.Otambién:137+

18
63 = 137 + 3 + 60 = 140 + 60 = 100 + 40
+ 60 = 200. O en el caso del ejercicio
propuesto anteriormente, 156 + 199 =
155 + 1 + 199 = 155 + 200 = 355.

3. Sumar de izquierda a derecha,
siempre que no resulte complicado. Por
ejemplo, si se observa que en la suma
no va a haber “llevadas”: 603 + 195 =
600 + 100 + 90 + 3 + 5 = 798.

Cuando trabajemos el siguiente
Cuaderno, dedicado a la sustracción,
ampliaremosotrasestrategiasdecálcu-
lo mental para las sumas y las restas.

6. El apoyo de otras
representaciones grá?cas
Además del conjunto de las tablas de
sumar antes presentadas, es posible
elaborarotrasquenospermitenvisualizar
la aplicación de las propiedades de la
sumay,además,fomentareldesarrollode
destrezas a la hora de efectuar diversas
sumas.Laprimeradeestasrepresentacio-
neseslatabladelosnúmerosde1a100:
Deacuerdoconestepardecriterios,
sisequieresumar,porejemplo,36+58,
nos ubicamos en uno de los dos
números(sea58);agregarle36signi?ca
“bajar 3 pisos (llegar a 88) y correrse 6
números a la derecha (2 hasta 90, y 4
más hasta 94)”, o bien “correrse 6
números a la derecha (2 hasta 60, y 4
más hasta 64) y bajar 3 pisos (llegar a
94)”. De una forma análoga se procede
si nos ubicamos inicialmente en 36.
Como puede verse, hay cuatro formas
de “visualizar” una sola suma…
Enellapodemosdetectarlasregulari-
dades,lospatronesquesehallanpresen-
tes en esta distribución de números. Por
ejemplo, todos los números de cada
columna tienen la misma cifra en la
posición de las unidades (¿y los números
de cada ?la?). Asimismo, si se observa
cada fila, el paso de un número a su
siguientealaderechasigni?calaadición
deunaunidad.Análogamenteparacada
columna, el paso a cada número inferior
–“bajar un piso”– representa la adición
de una decena.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

19
Otradelasrepresentacionesgrá?cas
–sinlaslimitacionesqueimponelatabla
anterior, en la que la suma no puede
pasar de 100– utiliza la recta numérica
como soporte visual. Sea, por ejemplo,
la suma 358 + 674. Ubicamos uno de
los números (sea 358) en un punto
cualquieradelarecta.Ahoradisociamos
convenientemente el otro sumando, de
tal forma que busquemos oportuna-
mente, a partir de 358, llegar a números
que representen potencias o múltiplos
de10,obienagreguemossumandosque
sean potencias o múltiplos de 10.
Enlaprimeradelasgrá?caspercibi-
mos cómo vamos avanzando “por
saltos” a medida que vamos añadiendo
“pedacitos” del número 674 (que se
rompió progresivamente en 2 + 40 +
600 + 30 + 2, a medida que se veía la
conveniencia del siguiente sumando):
Hayvariasalternativasparaefectuar
esta suma por saltos, tantas como
disociaciones adecuadas podamos
obtener del segundo sumando. Una de
estas alternativas es la siguiente:
Como dijimos antes, el uso de estas
representaciones grá?cas nos permite
visualizar la aplicación de las propie-
dades de la suma y, además, fomentar
el desarrollo de destrezas a la hora de
efectuar diversas sumas. El proceso
debe partir de la construcción de tales
representaciones para ir, poco a poco,
haciaunaimagenmentaldelasmismas.

En de?nitiva, y como puede apre-
ciarse, existe una diversidad de cami-
nos para llegar al resultado de la suma.
No es conveniente cerrarnos en uno
solo, por lo que dijimos en el Cuaderno
1. Es preferible exponer todos los que
se puedan y dejar que nuestra creativi-
dad –y la de nuestros alumnos– pueda
hallarotros.Después,cadaquientermi-
nará por seleccionar el que mejor se
acomode a la situación propuesta o el
que mejor vaya con su estilo personal
de hacer las cosas: una diversidad
abierta a la posibilidad de elegir…

EFECTúE MENTALMENTE LAS SIGUIENTES
SUMAS (HáGALO DE TODAS LAS FORMAS QUE
SE LE OCURRAN):
A) 9 + 7
B) 13 + 8
C) 4 + 21
E) 35 + 56 F) 71 + 22
D) 27 + 14
G) 65 + 37
I) 602 + 399
K) 225 + 176
H) 148 + 454
J) 65 + 44 + 32
L) 599 + 87
N) 48 + 973
O) 806 + 199
M) 415 + 186
ñ) 134 + 807 + 59
P) 123 + 987
INVéNTESEOTRASERIEDEEJERCICIOSSIMILARES
A LOS ANTERIORES Y RESUéLVALOS.
7. Estimar el valor de la suma
Que,enestecaso,nosigni?caquerer,
tener aprecio por lo que dé la suma…,
sino dar el resultado aproximado de
la suma. Y eso, ¿por qué y para qué?
Porquemuchasvecesnoesnecesarioel
valorexactodelasuma,sinoqueresulta
su?ciente una aproximación adecuada
a nuestros intereses o a la naturaleza
del problema.
2
40
600
30
2
358
360
400
1.000
1.030
1.032
600
2
40
30
2
358
958
960
1.000
1.030
1.032

20
VOY A UNA TIENDA DE ROPA CON 20.000 PESOS
EN EL BOLSILLO.VEO UNA BLUSA QUE VALE 7.990
PESOS,UNAFALDAPOR5.399PESOSYUNPANTALóN
QUE CUESTA 6.495 PESOS.¿ME ALCANZA LA PLATA
PARA COMPRAR LAS TRES PRENDAS?

UNA SALIDA SERíA LA DE SUMAR LAS TRES CANTI-
DADESYCOMPARARELRESULTADOCONLOS20.000
PESOS. ESTO ES NECESARIO SI, POR EJEMPLO,
QUIEROSABERCONEXACTITUDELVUELTOQUEME
VAN A DAR.PERO PARA RESPONDER A LA PREGUNTA
FORMULADA,PUEDO PENSAR DE OTRA MANERA.

Veamosquécompetenciasseponen
de mani?esto al estimar el valor de una
suma. En primer lugar, se produce un
análisis inicial de la situación, análisis
que lleva a la conclusión de la pertinen-
cia del uso de la estimación. Ya dentro
del proceso, se “leen” las cantidades y
setomaencuentasuvalorglobal,loque
permite redondearlas sin mayor riesgo.
Esa lectura permite también dar su
verdadero sentido al valor de posición
decadacifra;así,porejemplo,enelcaso
PRIMERO REDONDEO LOS PRECIOS Y LOS LLEVO A
8.000,5.400 Y 6.500,RESPECTIVAMENTE (PARA
FACILITAR MIS CáLCULOS MENTALES). AHORA
EMPIEZO A SUMAR POR LA IZQUIERDA, POR LAS
UNIDADESDEORDENMáSALTO,QUESONLASMáS
DETERMINANTES EN CUESTIóN DE PRECIOS:8 + 5
+ 6 ME DAN 19.000 PESOS. AHORA, LAS
CENTENAS SON LAS PROTAGONISTAS: 4 + 5 SON 9
CENTENAS. CONCLUSIóN: EL PRECIO ANDA ALRED-
EDOR DE 19.900 PESOS, POR LO QUE DEDUZCO
QUE Sí ME ALCANZA LA PLATA PARA LA COMPRA DE
LAS PRENDAS.

del pantalón, 6 no es “seis”, sino “seis
mil”.

Por otro lado, la suma de izquierda a
derecha permite, desde el comienzo,
dotardesentidorealalvalordelasuma:
apenas se suman las unidades de mil,
yasabemosqueelresultadoalcanzalos
19.000 pesos. Esta es la razón funda-
mental que justi?ca el sumar de izqui-
erda a derecha.
Como puede observarse –además
de permitirnos responder a preguntas
como la formulada en el problema–,
desde el punto de vista del desarrollo
de destrezas y competencias por parte
de las personas, todo es ganancia a la
hora de estimar.

Con el ?n de facilitarnos las tareas
de estimación en el caso de la suma,
presentamos algunas estrategias reco-
mendadas por la experiencia de los
buenos estimadores:

1. Redondear el valor de los suman-
dos, bien sea por exceso o por defecto,
segúnlorecomiendelasituación(véase
el caso de las prendas de vestir). Por
ejemplo,lasuma3.015 + 692 + 11.890,
puede llevarse a 3.000 + 700 + 12.000,
o bien a 3.000 + 700 + 11.900, según
seaelmargendeaproximaciónquenos
podamos permitir.

2. Compensar el valor de la suma.
Volviendo al ejemplo anterior, podemos
optar por la primera aproximación:
3.000 + 700 + 12.000, que es más
fácil de calcular, y llegar al resultado de
15.700. Pero advertimos que 11.900
es una mejor aproximación al tercer
sumando (11.890) que 12.000. Enton-
ces, al resultado obtenido (15.700) le
restamos los 100 de exceso que llevaba
12.000 sobre 11.900 y llegamos a un
resultado más ajustado, 15.600.

21
3. Compensar entre sí los valores de
los sumandos. Obsérvese la siguiente
suma:
38.465
40.719
42.174 +
37.002
41.945

Aquí la observación inicial (que es
fundamental) nos permite percibir que
los cinco sumandos están alrededor
del valor de 40.000 y que el exceso de
unos con respecto a ese valor puede
compensarlafaltadeotros.Estapercep-
ción puede llevarnos a calcular el valor
aproximado de la suma simplemente
multiplicando 40.000 por 5, es decir,
200.000. (Veri?que el valor exacto de
la suma y califique la aproximación
obtenida con 200.000…).

ESTIME MENTALMENTE EL VALOR DE LAS
SIGUIENTES SUMAS (HáGALO DE TODAS LAS
FORMAS QUE SE LE OCURRAN):

A) 295 + 3.016 + 9.940
B) 1.189 + 915 + 7.090
C) 523 + 471 + 546 + 450
D) 29,75 + 18,90 + 104,15
E) 0,105 + 0,93 + 1,87 + 0,16
F) 398 + 3.980 + 39.800
G) 6.050 + 978 + 2.844 + 9.485

Inventeunaseriedeejerciciossimi-
lares a los anteriores y resuélvalos.
8. Tengo ante mí
una situación de suma;
y ahora, ¿qué hago?
1. Observo la situación y decido si
necesitounresultadoexactoomebasta
con una aproximación. En el segundo
casoprocedoporlavíadelaestimación,
tal como se ha presentado.

2. Si necesito un resultado exacto,
veo si hay 2 ó más sumandos; además,
los “leo” y observo si son grandes o
pequeños, y si se van a producir –o no–
llevadas.

3. En función del análisis anterior,
decido la vía que voy a utilizar para
realizarlasuma(algunadelassiguientes):
• La visualizo y resuelvo sobre la ta-
bla de números del 1 al 100.
•Lavisualizoyresuelvosobrelarec-
ta numérica.
• Aplico las diversas estrategias de
cálculo mental.
•Resuelvolasumaenformaescrita,
colocando ordenadamente los su-
mandos uno sobre otro y proce-
diendodederechaaizquierdaoen
cualquier otro orden pertinente.

4. Reviso el resultado obtenido. Para
ello,enprimerlugarevalúosuverosimili-
tud, es decir, si a la vista de los suman-
dos dados, el resultado tiene sentido
(obsérvese que este es un ejercicio de
estimación…). Y para validar la exacti-
tud de la suma, puedo seguir una vía
distinta a la utilizada.

Este proceso puede seguirse tanto
si se trata de un ejercicio directo de
suma o de estimación –con lo cual el
paso1quedadecidido–,comosisetrata
deunasituaciónproblemaqueimplique
la adición como modelo adecuado.

LO QUE Sí CONVIENE DESTACAR ES QUE,ESCRITOS
LOS SUMANDOS PARA HACER LA SUMA,SEA QUE SE
DISPONGAN HORIZONTAL O VERTICALMENTE, ESTE
“ESPACIO” DEL EJERCICIO ESCRITO NO ES NECE-
SARIAMENTE EL ESPACIO EN EL QUE SE REALIZA
EFECTIVAMENTE LA SUMA. LA SUMA PUEDE
REALIZARSE CON TODA LIBERTAD POR CUALQUIERA
DE LAS VíAS PROPUESTAS,Y ALGUNAS DE ELLAS NO
NECESITANRECURSOSPARAESCRIBIR(PAPELYLáPIZ,
O PIZARRA Y TIZA…),SINO UNA MENTE ACTIVA.EL
“ESPACIO” DEL EJERCICIO ESCRITO ES SIMPLEMENTE
EL ESPACIO EN EL QUE SE LEEN LOS SUMANDOS Y EN
EL QUE LUEGO SE ESCRIBE LA RESPUESTA.

9. La resolución
de «problemas de suma»…
Los «problemas de suma» adoptan
diversas formas. A veces se trata de
situaciones sencillas de la vida diaria
que,porejemplo,sere?erenaacumula-
ciones de gastos al comprar, a canti-
dades de objetos que se agrupan, etc.,
es decir, a situaciones en las que la

22
adición aflora sin dificultad como la
operación matemática que sirve de
modelo oportuno.

Otras veces, el formato de la situ-
ación puede ser un poco más complejo
e,incluso,presentaruncarácterlúdico,
oreferirsearegularidadesocaracterísti-
cas que presentan algunos números o
series de números. Vamos a plantear
algunosdeestostiposdeproblemas.Lo
que sugerimos a nuestros lectores es
que,unavezleídoelenunciadodecada
situación,intentenresolverelproblema
porcuentapropia,antesderevisarlavía
de solución que se propone posterior-
mente.

A) TENEMOS REUNIDAS A LAS SEñORAS
AMELIA, BEATRIZ Y CLAUDIA. LA SUMA DE
LAS EDADES DE LAS DOS PRIMERAS ES DE 85
AñOS;LA DE LAS SEñORAS BEATRIZ Y CLAUDIA,
80 AñOS; Y LA DE LAS SEñORAS AMELIA Y
CLAUDIA,75 AñOS.¿CUáNTOS AñOS TIENE LA
MáS JOVEN DE LAS SEñORAS?

B) A LA ELECCIóN PARA MADRINA DEL
DEPORTE DE LA ESCUELA SE PRESENTARON
6CANDIDATAS.SERECOGIERON 400VOTOS
VáLIDOS.SE SABE QUE TODAS OBTUVIERON
UN NúMERO DIFERENTE DE VOTOS. ¿CUáL
ES EL MENOR NúMERO DE VOTOS QUE
PUEDE HABER OBTENIDO LA GANADORA?
C) ALBERTO ESTá LANZANDO DARDOS SOBRE
UNA DIANA QUE PRESENTA 5 ANILLOS CIRCULA-
RES CON SUS RESPECTIVAS PUNTUACIONES: 1,
3, 5, 7 Y 9.ALBERTO LANZA 6 DARDOS, QUE
SE CLAVAN TODOS SOBRE LA DIANA. ¿PUDO
HABER OBTENIDO UN TOTAL DE 31 PUNTOS?
¿Y UN TOTAL DE 28 PUNTOS? ¿DE CUáNTAS
MANERAS PUDO HABER ALCANZADO ESTE
úLTIMO TOTAL?
D) EN LA SUMA
A A A
B B B +
A A A C
SI A, B Y C REPRESENTAN TRES DíGITOS
DIFERENTES,¿CUáLES SON ESTOS DíGITOS?

E) CONSIDERE TODOS LOS NúMEROS DE 4
CIFRAS QUE SE PUEDEN FORMAR CON LOS
DíGITOS 1 Y 2 (P.EJ.,2.112,1.111,1.222,
ETC.).¿CUáL ES LA CIFRA DE LAS UNIDADES DE
LA SUMA DE TODOS ELLOS?

F) SI JUNTAMOS 6 MONTONES DE ARENA
CON 3 MONTONES DE ARENA, ¿CUáNTOS
MONTONES DE ARENA TENDREMOS AL
?NAL?

G) EN LA SUMA IRA +ARO + ORA LAS
LETRAS REPRESENTAN LOS DíGITOS 1,3,8 Y 9
(CADA LETRA UN DíGITO DISTINTO) ¿CUáL ES LA
MAYOR SUMA POSIBLE? ¿Y LA MENOR?

H) UN PADRE LE DA A SU HIJO 15.000
PESOS,MIENTRAS QUE OTRO PADRE LE DA
AL SUYO 10.000 PESOS. AL REUNIRSE LOS
DOS HIJOS SE DAN CUENTA DE QUE SóLO
HAN AUMENTADO SU CAPITAL CONJUNTO EN
15.000 PESOS.¿CóMO PUEDE SER ESTO?

I) ¿CUáL ES EL MAYOR NúMERO DE BUZONES
QUE SE NECESITAN PARA DISTRIBUIR 105
CARTAS, SI CADA BUZóN GUARDA POR LO
MENOS 1 CARTA Y TODOS ELLOS DEBEN TENER
UN NúMERO DIFERENTE DE CARTAS?

J) LA SUMA DE TRES NúMEROS IMPARES
CONSECUTIVOS ES 81.¿CUáL ES EL MENOR
DE ELLOS?
K) ¿QUé NúMERO SIGUE EN LA SECUENCIA:
1,1,1,3,5,9,17,31,__?

L) JUGANDO AL BALONCESTO,
DANIEL HA ENCESTADO 40
BALONES DURANTE 5 DíAS
CONSECUTIVOS.SI CADA DíA
LOGRó ENCESTAR 3 BALONES
MáS QUE EL DíA ANTERIOR,
¿CUáNTASCESTASCONSIGUIó
EL PRIMER DíA?

M) ENTRE LOS NúMEROS 300 Y 600,
¿CUáNTOS NúMEROS HAY,TALES QUE LA SUMA
DE LOS TRES DíGITOS SEA EL DOBLE DE LA CIFRA
DE LAS CENTENAS DEL PROPIO NúMERO?

N)CUANDOANACUMPLIó16AñOS,NOTó
QUE SI INVERTíA LAS CIFRAS DE SU EDAD,
OBTENíA LA DE SU ABUELITA. ¿CUáNTOS
AñOS DEBEN TRANSCURRIR PARA QUE SE
REPITA UNA SITUACIóN ANáLOGA?

23
ñ) SI A Y B SON DOS CIFRAS ESCONDIDAS
DIFERENTES DE 0, ¿CUáNTAS CIFRAS DEBE
TENER LA SUMA 9.876 +A32 + B1?

O)SIELNúMEROQUEHAYENCADACASILLA
ES LA SUMA DE LOS NúMEROS QUE SE
ESCONDEN TRAS LOS SíMBOLOS EN LAS DOS
CASILLASINMEDIATAS–ALOSLADOSOARRIBA
Y ABAJO–,¿CUáL ES LA SUMA TOTAL DE LOS
4NúMEROSESCONDIDOSTRASLOSSíMBO-
LOS? (LA CASILLA CENTRAL SE CONSIDERA
VACíA).

Vamos,pues,areportaralgunasvías
desoluciónparapodercontrastarlascon
las que hemos podido obtener entre
todos.
A) PRIMERO, OBSERVAMOS LOS DATOS. POR LA
CON?GURACIóNDELASTRESPAREJAS,PARECEQUE
CLAUDIAES LA SEñORA DE MENOR EDAD,PUESTO
QUE APARECE EN LAS DOS úLTIMAS PAREJAS,
QUE SON LAS DE MENOR EDAD CONJUNTA.
UN RAZONAMIENTO ANáLOGO NOS INDICA QUE
BEATRIZESLADEMAYOREDAD,PORQUEAPARECE
EN LAS DOS PRIMERAS PAREJAS. POR OTRO LADO,
NO PARECE DESCABELLADO PENSAR QUE LAS TRES
EDADES PUEDEN SER MúLTIPLOS DE 5, YA QUE
LAS TRES SUMAS PARCIALES LO SON.

CON ESTAS PEQUEñAS INTUICIONES Y AYUDAS,
LO QUE SIGUE ES AVENTURAR POSIBLES EDADES
PARA LAS TRES SEñORAS. PODEMOS PENSAR EN
QUEBEATRIZTIENE50AñOS,CONLOQUEAMELIA
TENDRíA 35 Y CLAUDIA 30, PERO LA SUMA DE
ESTAS DOS úLTIMAS EDADES NO NOS DARíA 75.
POR CONSIGUIENTE,BEATRIZ DEBE TENER MENOS
EDAD (¿POR QUé?). SI LE ASIGNAMOS 45 AñOS,
AMELIA TENDRíA 40 Y CLAUDIA 35,EDADES QUE
Sí SATISFACEN LAS CONDICIONES PROPUESTAS.

B)AQUí TENEMOS QUE IMAGINARNOS POSIBLES
SITUACIONES PARA PODER PRECISAR QUé
DEBEMOS HACER. IMAGINéMONOS QUE LA
CANDIDATA GANADORA «BARRIó» EN LAS ELEC-
CIONES.ES DECIR,QUE LAS DEMáS SACARON 1,2,
3, 4 Y 5 VOTOS (15 VOTOS EN TOTAL). ESTO LE
DARíA A LA GANADORA 385 VOTOS. EVIDENTE-
MENTE,ESTA NO ES LA RESPUESTA,PUESTO QUE
NOS PIDEN EL MENOR NúMERO DE VOTOS
POSIBLE PARA GANAR. SI, POR EJEMPLO,
SUPONEMOS QUE LAS NO GANADORAS OBTUVIE-
RON 30,40,50,60 Y 70 VOTOS (250 VOTOS EN
TOTAL),ESTA SITUACIóN DEJA 150 VOTOS PARA LA
GANADORA.LóGICAMENTE,SE PUEDE GANAR CON
MENOS VOTOS.

¿HASTA DóNDE PUEDO BAJAR EL TECHO PARA
GANAR?PROBABLEMENTEYASENOSHAOCURRIDO
QUE ESA SITUACIóN PODRíA PENSARSE PARA EL
CASO EXTREMO EN QUE TODAS LAS CANDIDATAS
HAYAN OBTENIDO CANTIDADES CONSECUTIVAS DE
VOTOS. TENGO QUE BUSCAR, PUES, «DISOCIAR»
400 EN 6 SUMANDOS CONSECUTIVOS: ESTE ES
MI MODELO MATEMáTICO DE SUMA PARA ESTA
SITUACIóN.

UNA PRIMERA APROXIMACIóN CONSISTE EN
PENSAR QUE TODAS LAS VOTACIONES ESTáN EN
60 Y PICO VOTOS:YA ESTO NOS GARANTIZARíA UN
TOTAL DE MáS DE 360 VOTOS, CERCA DEL TOTAL
DE LOS 400. AHORA ES CUESTIóN DE ENSAYAR
CON MáS CUIDADO,SABIENDO QUE LOS «PICOS»
QUE VAMOS A AñADIR DEBEN ACERCARSE A 40.
UNA ASIGNACIóN DE 64 A 69 VOTOS NOS DA
UNA SUMA DE 399 VOTOS. COMO NOS FALTA 1
VOTO, DEBEMOS AGREGáRSELO A LA GANADORA
(¿POR QUé NO A NINGUNA DE LAS OTRAS 5
CANDIDATAS?).ASí QUE 70 VOTOS ES EL MíNIMO
DE VOTOS QUE SE DEBEN OBTENER PARA GANAR
COMO MADRINA DEL DEPORTE EN ESA ESCUELA
(CON LO CUAL –OJO– TAMPOCO SE GARANTIZA
GANAR,PERO CON MENOS ES IMPOSIBLE).

C) PUES, LA VERDAD, NO PUEDE HABER TOTALI-
ZADO 31 PUNTOS, PORQUE ESTARíA SUMANDO
?

24
FUERA 0) O A (SI B FUERA 0). COMO LA SUMA
POSEE UNA A EN LA POSICIóN DE LAS UNIDADES
DE MIL, EL DíGITO ESCONDIDO DEBE SER 1,
PROVENIENTE DE LA úLTIMA LLEVADA. POR OTRO
LADO, SI A = 1 Y LAS SUMAS DE LOS DíGITOS DE
LAS CENTENAS Y DE LAS DECENAS (A + B)
REPORTAN UN 1 EN EL RESULTADO,ES PORQUE B
DEBE VALER 9. DE ESTA FORMA C = 0. LOS
NúMEROS QUE SE SUMAN SON 111 + 999,Y EL
RESULTADO ES 1.110.

E)LAIDEAPARARESOLVERELPROBLEMAPARECE
SENCILLA:HAY QUE FORMAR TODOS LOS NúMEROS
POSIBLES CONSTITUIDOS POR LOS DíGITOS 1 Y 2.Y
UNA MANERA DE HACERLO ES ESCRIBIRLOS
ORDENADAMENTE DESDE EL MENOR (1.111)
HASTA EL MAYOR (2.222). DE ESTA FORMA SE
OBTIENEN 16 NúMEROS: LA MITAD DE ELLOS
ACABA EN 1, Y LA OTRA MITAD EN 2. POR
CONSIGUIENTE, LA CIFRA QUE APARECERá EN LA
POSICIóN DE LAS UNIDADES SERá 4 (8 VECES (1
+ 2)) ES IGUAL A 24: DEJAREMOS EL 4 EN LAS
UNIDADES Y «LLEVAREMOS» 2 DECENAS).

F) PUES NO, NO TEN-
DREMOS9MONTONES
DEARENA:TENDREMOS
UNO SOLO, ESO Sí, DE
MAYOR TAMAñO. ESTE
NO ES UN EJERCICIO
TONTO,SINOUNASITUA-
CIóN PARA PREVENIR-
NOS CONTRA CIERTAS
«?JACIONES»DELENGUAJE: NOSIEMPRE«JUNTAR»
SETRADUCEPORSUMAR.HAYQUEESTARPENDIEN-
TES DE LAS CARACTERíSTICAS DE LA SITUACIóN…

G) COLOQUEMOS LAS CANTIDADES EN FORMA
VERTICAL,PARA OBSERVARLAS MEJOR:

I R A
A R O +
O R A

VEMOS QUE EN LA POSICIóN DE LAS CENTENAS
APARECEN I, A Y O; QUE R ESTá REPETIDA TRES
VECES EN LAS DECENAS,Y QUE EN LAS UNIDADES
APARECEN A, A Y O. PARA OBTENER LA MAYOR
SUMA POSIBLE,LO QUE NOS INTERESA ES QUE LOS
SUMANDOS DE LAS CENTENAS SEAN LOS MAYORES.
POR CONSIGUIENTE,LOS VALORES 3,8 Y 9 DEBEN
SERASIGNADOSAI,AYO(TODAVíANOSABEMOS
EN QUé ORDEN);ADEMáS,R = 1.SI AHORA NOS
?JAMOS EN LAS UNIDADES,CONVIENE QUE A SEA
EL DíGITO MAYOR (9) Y O EL SIGUIENTE (8),CON
LO QUE I = 3. LOS NúMEROS QUE SE ESTáN
SUMANDO SON: 319 + 918 + 819 Y SU SUMA,
2.056. DE UNA FORMA
ANáLOGASEPUEDERAZO-
NAR PARA EL CASO DE LA
MENOR SUMA POSIBLE.

H) SENCILLO, ¿NO? EN
ESTA HISTORIA NO HAY
CUATRO PERSONAS, SINO
TRES:UN ABUELO,SU HIJO
?
?

SEIS NúMEROS IMPARES,Y UNA SUMA ASí DEBE
SER PAR. PARA UN TOTAL DE 28 PUNTOS, ES
CUESTIóN DE ENSAYAR CON COMBINACIONES
DE SUMANDOS (EN CADA COMBINACIóN HABRá,
AL MENOS, UN SUMANDO QUE SE REPITE).
AQUí YA ES CUESTIóN DE HACER LAS COSAS
CON ORDEN.

POR EJEMPLO,SI SUMAMOS LOS 5 PUNTAJES DE
LOS ANILLOS, OBTENEMOS 25 PUNTOS; BASTA
ENTONCES CON ASIGNAR 3 PUNTOS AL OTRO
LANZAMIENTO.UNA FORMA SERíA,PUES,1 + 3 +
3 + 5 + 7 + 9 (EN CUALQUIER ORDEN DE
OBTENCIóN). NO EXISTE OTRA FORMA DE
OBTENER 28 CON UN SOLO NúMERO REPETIDO
(VERIFíQUELO…).

DEBEMOS PASAR,PUES,A CONSIDERAR MáS DE
UN NúMERO REPETIDO, LO QUE LLEVA A LA
SITUACIóN DE QUE NO TODAS LAS PUNTUACIONES
DE LOS ANILLOS VAN A APARECER EN LA CUENTA.EL
NúMERODECASOSCONQUEENSAYARESMAYOR.
POR EJEMPLO, SI DOS NúMEROS VAN A ESTAR
REPETIDOS, PODRíAMOS TENER: 1 + 1 + 5 + 5
+ 7 + 9;1 + 1 + 3 + 7 + 7 + 9;1 + 1 + 3 +
5 + 9 +9; 1 + 3 + 5 + 5 + 7 + 7, ETC. EL
ASUNTO ESTá EN LLEVAR LAS COSAS CON ORDEN,
PORQUE FALTAN TODAVíA ALGUNAS RESPUESTAS.

D)AQUí –COMO EN TODO…– LO PRIMORDIAL ES
OBSERVAR CON CUIDADO. NI A NI B PUEDEN
SER 0, PORQUE SI NO, EN LA SUMA DE LAS
UNIDADES (A + B) DEBERíA OBTENERSE B (SIA

25
BUSCAMOS UNA RELACIóN DE ESTOS TRES CON
LOS QUE SIGUEN. ASí, SE PUEDE LLEGAR A VER
QUE,A PARTIR DEL 3,CADA NúMERO ES LA SUMA
DE LOS TRES ANTERIORES.EL NúMERO SOLICITADO
ES 57 (9 + 17 + 31).

L)UNAFORMASENCILLADEPROCEDERESTANTEAR
A PARTIR DE UN NúMERO PEQUEñO PARA EL
PRIMER DíA Y FORMAR ASí LA SERIE DE 5
SUMANDOS,DISTANCIADOSDE3EN3,CUYASUMA
SEA 40.EL ENSAYO DEBE LLEVARNOS A 2 CESTAS
EL PRIMER DíA.

M) OTRO CASO MUY SENCILLO. SE TRATA DE
HALLAR LOS NúMEROS «TRESCIENTOS» TALES QUE
LA SUMA DE LOS DíGITOS DE LAS DECENAS Y LAS
UNIDADES SUMEN 3 (¿POR QUé?). ELLOS SON:
303,312,321 Y 330. ANáLOGAMENTE CON LOS
«CUATROCIENTOS» (QUE SUMEN 4) Y CON LOS
«QUINIENTOS» (QUE SUMEN 5).
N) ÉSTE ES TAMBIéN UN PROCESO DE TANTEO Y
DE OBSERVACIóN. SE VA PROBANDO CON LOS
NúMEROS DE LAS EDADES SIGUIENTES (17, 18,
ETC.,PARA ANA,Y LOS CORRESPONDIENTES DE LA
ABUELITA: 62, 63, ETC.) Y VERI?CANDO SI SE
CUMPLE LA RELACIóN DE ESCRITURA «INVERSA».
ESTA SE OBTIENE A LOS 27 AñOS DE ANA, ES
DECIR, 11 AñOS MáS TARDE. ¿CUáNDO SERíA LA
SIGUIENTEVEZ?¿SECUMPLEALGUNAREGULARIDAD?
?

Y SU NIETO. OJO CON LAS CARACTERíSTICAS DE
CADA SITUACIóN… LA OBSERVACIóN INICIAL ES
FUNDAMENTAL.

I) EN LAS CONDICIONES SEñALADAS Y PARA
OBTENER EL MAYOR NúMERO DE BUZONES
NECESARIOS,LOMEJORESEMPEZARPROGRESIVA-
MENTE DESDE 1 (UN BUZóN CON 1 SOLA CARTA),
AñADIRLE 2 (UN BUZóN CON 2 CARTAS), ETC. LA
SUMA 1 + 2 + 3 +…SE INTERRUMPE CUANDO
SU RESULTADO LLEGUE A 105.EFECTIVAMENTE,EL
MAYOR NúMERO DE BUZONES NECESARIOS ES
DE 14.

J) BASTA CON APROXIMARNOS POR TANTEO. SE
LLEGA AL VALOR DE 25 (25 + 27 + 29 = 81).

K) ESTE ES TAMBIéN UN EJERCICIO QUE EXIGE
OBSERVACIóN PARA TRATAR DE DESCUBRIR EL
PATRóN(LAREGULARIDAD)QUERIGELAFORMACIóN
DEESTASERIEDENúMEROS.LOSTRESPRIMEROS
SONIGUALES,LOQUENOSSUGIEREQUEELPATRóN
DE FORMACIóN NO PUEDE DESCUBRIRSE SI NO
ñ) COMO PUEDE OBSERVARSE, SE TRATA DE
SABER SI EL 9 DE LAS UNIDADES DE MIL RECIBIRá,
O NO,UNA UNIDAD DE «LLEVADA» DE
LAS CENTENAS. LAS CIFRAS QUE
OCUPAN ESTA POSICIóN SON 8 Y A.
SIAVALEMáSQUE1,HABRáLLEVADA
Y 5 CIFRAS EN LA RESPUESTA.EL CASO
CRíTICO SE PRESENTA CUANDO A
VALGA 1. EN ESTE CASO, TENEMOS
QUE MIRAR HACIA LAS DECENAS,
CUYOSDíGITOSSON7,3YB:SEACUAL
SEAELVALORDEB,LASUMADEESTOS
DíGITOS ES MAYOR QUE 10 DECENAS,
LO QUE PRODUCIRá 1 CENTENA DE
LLEVADA; A SU VEZ, LAS CENTENAS
LLEGARáN A 10,Y CON LA UNIDAD DE
MIL DE LLEVADA TENDREMOS 10 UNIDADES DE
MIL.DECUALQUIERMODO,PUES,LASUMATENDRá
SIEMPRE 5 CIFRAS.

O) PODEMOS ABORDAR ESTE PROBLEMA DANDO
UN VALOR ARBITRARIO A UNO DE LOS SíMBOLOS Y,A
PARTIR DE AHí, DEDUCIR LOS DE LOS DEMáS. POR
EJEMPLO, SI HACEMOS ? = 10, ENTONCES,
=
13, ? = 15 Y ? = 24, Y LA SUMA DE TODOS
ELLOS ES 62.OTRA ASIGNACIóN PUEDE SER:
=
2,DEDONDE:?=35,?=4Y?=21;TAMBIéN
EN ESTE CASO LA SUMA DE LOS CUATRO ES 62.
CUALQUIER OTRA ASIGNACIóN DE VALORES DA EL
MISMO RESULTADO.USTED PUEDE DESCUBRIR LA
RAZóN DE ESTA REGULARIDAD SI OBSERVA QUE LA
SUMA DE LOS VALORES OPUESTOS EN LAS CASILLAS
TAMBIéN DA 62 (39 + 23 Y 25 + 37).

26
No podemos terminar esta parte
dedicada a los problemas de suma sin
hacer una re?exión sobre la forma en
que los hemos abordado y resuelto. He
aquíalgunasconclusiones,quesegura-
mente compartimos todos:

1. El método que aparece como más
utilizado y eficiente es el del tanteo
razonado, sobre todo en los tipos de
situaciones en que, dada la suma, hay
que descubrir los sumandos. Identi?-
camoselmétodocomodetanteoyaque,
efectivamente, se adelanta una posible
solución que –esto es lo importante–
debe ajustarse a las condiciones inicia-
lesexpuestasenelenunciado.Elensayo
(acierto o error) nos indica hacia dónde
debevariarlasolución–haciasumandos
mayores,menores,etc.–,loquejusti?ca
el cali?cativo de razonado, no a ciegas.

Tenemosqueinsistirenlapertinencia
de este método, muchas veces deste-
rrado del aprendizaje y de la enseñanza
de la matemática por no se sabe qué
prejuicio sin fundamento acerca de una
supuesta «exactitud» y «formalidad»
propias de la disciplina, en la que «no se
debe jugar al ensayo y error». Quien
a?rma esto desconoce la historia de la
matemática y de la ciencia en general.

No debemos dejarnos llevar por
estos prejuicios sin sentido, sino, más
bien, practicar y enseñar el tanteo
razonado. En de?nitiva, es un método
cientí?co excelente, que nos acostum-
bra a formular hipótesis razonables
–ajustadas a las condiciones de la
situación–yaveri?carlasenlapráctica.
Todoestore?ejaunprocesopermanente
de toma de decisiones, así como de
control sobre la propia actividad. ¿Y no
es esto lo que queremos de nosotros
mismos y de nuestros alumnos?

2. La valoración del método de
tanteo razonado no debe excluir la con-
sideración y práctica de otros métodos
a la hora de resolver problemas. Por
ejemplo, algunos de los problemas que
acaban de trabajarse podían haberse
planteado y resuelto por la vía alge-
braica, es decir, utilizando incógnitas y
ecuaciones. Es más, así es la forma en
que habitualmente se procede en la
escuela, y ésta es la razón por la que
tales problemas no aparecen sino en el
contexto de aplicación de las ecu-
aciones algebraicas y no antes, en el
contexto de la aritmética.

Nuestra intención no es invalidar el
uso de los métodos algebraicos –que
valoraremos oportunamente–, sino
fomentar la diversidad en la utilización
de tales métodos de resolución. Vale lo
aritmético y vale lo algebraico… y vale
logeométrico.Loimportanteescapaci-
tarnos para el uso de todos y cada uno
de ellos.
3. Volviendo a las formas en que
hemos trabajado los problemas anteri-
ores, nunca insistiremos demasiado
acerca del valor de la observación:
observar el enunciado de la situación,
las condiciones que afectan a las vari-
ables, los casos posibles, las hipótesis
queformulamos,losresultadosparciales
que vamos obteniendo…

4. Otro punto a destacar es la pres-
encia de ciertas técnicas que van apa-
reciendoendeterminadosproblemas:a
veces, hay que inducir casos generales
o regularidades a partir de casos par-
ticulares, pero otras veces hay que
considerartodosloscasosposibles…Es
la práctica de resolver problemas por
vías aritméticas la que nos enseñará la
selección oportuna de la vía más adec-
uada en cada caso.

5. Finalmente, debemos subrayar la
atención que siempre hay que prestar
alenunciadodelasituación.Nohayque
dejarse llevar por ciertas expresiones:
«juntar», «juntos», «más», y similares,
como si su presencia garantizara
automáticamente la aplicación de la
suma como modelo de la situación y
como operación que, aplicada a los
datos, nos lleva indefectiblemente a la
respuesta.

27
10. Y en la escuela,
de la suma, ¿qué?
Este es un punto para re?exionar
individualmenteyparadiscutircolecti-
vamente. Hay que llegar a acuerdos
acerca de lo que se tiene que hacer con
este tema en la escuela, en los diversos
grados. No vamos a entrar en detalle
–porque éste no es el lugar para ello–,
pero ya los lectores deben haber que-
dado claros: hay mucho que hacer, más
alládelashabitualesyrutinarias“cuen-
tas”, y más allá de los primeros grados.
Saber sumar es mucho más que eso,
como se habrá apreciado.

• Hay que abrir el campo, amplia-
mente, al cálculo mental, porque nos
interesa el desarrollo de destrezas. Este
puede ser el punto de partida.

• Las sumas escritas pueden venir
posteriormente y más dosi?cadas, en
menor cantidad. Eso sí, se debe alcan-
zar la competencia necesaria en este
punto.

•Trabajarconlasumadebebasarse
–y a la vez, proporcionar un fortaleci-
miento– en el dominio del sistema
decimal de numeración.

• Ante una suma propuesta, la
primera tarea debe ser la de observar y
leerlossumandosyestimarelresultado.
Luego puede obtenerse el resultado
exacto, bien sea efectuando la suma
escrita, bien sea por la vía del cálculo
mental o bien utilizando la calculadora
(ésta puede ser muy útil en tareas de
veri?cación…), y validarlo. Uno de los
objetivosdelaobtencióndelarespuesta
exacta debe ser el de juzgar la esti-
mación hecha, con el ?n de ir a?nando
dicho proceso.

• La resolución de problemas debe
propiciarelplanteamientodeejercicios
yproblemasmotivadores,alestilodelos
propuestos aquí. No tengamos miedo
deexigiranuestrosalumnos;másbien,
ellos están esperando que lo hagamos.

Una última sugerencia. Quizá sea
éste un buen momento para revisar el
contenidodelCuadernonº1yprofundi-
zar en lo que signi?ca la matemática
que debemos aprender y enseñar…

11. Y ahora, otros ejercicios
“para la casa”…

4. UN LIBRO TIENE 100 PáGINAS.¿CUáNTOS
DíGITOS SE NECESITAN PARA
ESCRIBIR TODOS LOS
NúMEROS DE LAS
PáGINAS? ¿CUáL ES
EL DíGITO QUE MáS
VECES SE UTILIZA?

5. ¿QUé NúMERO DEBE AñADIRSE A 45
+ 25 PARA DUPLICAR LA SUMA DE ESTOS
NúMEROS?

28
6. EN LA EXPRESIóN: YA +YA +YA +YA
+ YA = HOY, CADA LETRA DIFERENTE
ESCONDE UN DíGITO DIFERENTE COMPRENDIDO
ENTRE EL 1 Y EL 6.¿QUé DíGITO CORRESPONDE
A CADA LETRA?

7. ¿CUáNTOS NúMEROS HAY DE CUATRO
CIFRAS,TALES QUE LA SUMA DE SUS DíGITOS
SEA 3?

8. LUIS TIENE 19 PALILLOS. ¿DE CUáNTAS
FORMAS DIFERENTES PUEDE AGRUPARLOS EN
TRES MONTONES,DE TAL MANERA QUE CADA
MONTóN TENGA UN NúMERO IMPAR DE
PALILLOS? ¿Y SI, AHORA, LAS CANTIDADES DE
CADA MONTóN TIENEN QUE SER DIFERENTES?

9. EN UNA CARRERA INFANTIL DE BICICLETAS
Y TRICICLOS HAY7 “PILOTOS”Y19RUEDAS.
¿CUáNTOS TRICICLOS PARTICIPAN?

10. ¿CUáNTAS PáGINAS TIENE UN LIBRO SI
PARA NUMERAR TODAS SUS PáGINAS SE
UTILIZARON 3.093 DíGITOS?

11. ¿CUáNTOS AñOS TRANSCURRIERON
ENTRE EL 01/01/325 A.C.Y EL 01/01/325
D.C.?

12. SE TIENEN TRES NúMEROS TALES QUE,
SUMADOSENPAREJASDIFERENTES,DANCOMO
RESULTADOS 38,52 Y 44.¿CUáL ES EL MAYOR
DE LOS TRES NúMEROS INICIALES?
13. EN UN PE-
RíODO DE 12
HORAS, ¿DURANTE
CUáNTOS MINUTOS
EL NúMERO DE LA
HORA ES MAYOR
QUE EL NúMERO
DE LOS MINUTOS?

14. LA SUMA DE 5 NúMEROS ENTEROS
DIFERENTES ES 147. SI M ES EL MAYOR DE
LOS 5 NúMEROS, ¿CUáL ES EL MENOR VALOR
QUE PUEDE TENER M?

15. AL LANZAR TRES DADOS, LAS CARAS
SUPERIORES SUMAN 13;¿CUáNTO SUMAN
SUS CARAS OPUESTAS?

NUMERA LOS 8 VéRTICES DE UN CUBO CON
LOS DíGITOS DEL 1 AL 8,DE TAL FORMA QUE LA
SUMA DE LOS VéRTICES DE CADA UNA DE LAS
SEIS CARAS DEL CUBO SEA 18.

16. ¿DE CUáNTAS MANERAS PUEDE
EXPRESARSE 15 COMO SUMA DE Nú-
MEROS NATURALES CONSECUTIVOS?

17. ¿CUáNTO VALE LA SUMA DE LOS 50
PRIMEROS NúMEROS PARES (EMPEZANDO EN
0)? ¿CóMO PUEDO USAR ESTE RESULTADO
PARA OBTENER LA SUMA DE LOS 50 PRIMEROS
NúMEROS IMPARES?

UNA DIANA PRESENTA CINCO ANILLOS
CIRCULARES CON SUS RESPECTIVAS PUNTUA-
CIONES: 16, 17, 23, 24 Y 39. EN SEIS
TIRADAS, JULIáN HA CONSEGUIDO UN TOTAL
DE 100 PUNTOS,PERO NO SABEMOS SI EN
ALGUNA DE ELLAS EL DARDO CAYó FUERA DE
LA DIANA. ¿PUEDE INDICAR AL MENOS UNA
FORMA –SIN IMPORTAR EL ORDEN– EN QUE
JULIáN PUDO OBTENER ESA PUNTUACIóN?

18. EN LA EXPRESIóN:
C O B R E
E S T A Ñ O +
B R O N C E

CADA LETRA DIFERENTE ESCONDE UN DíGITO
DIFERENTE. ¿CUáL ES EL DíGITO QUE CO-
RRESPONDE A CADA LETRA PARA QUE LA SUMA
SEA CORRECTA?

19. UN GRUPO DE ARTESANOS TEJEDORES
ADQUIERE EL COMPROMISO DE ENTREGAR
14.950 MANTAS A UNA EMPRESA MAYO-
RISTA, EN LOTES DIARIOS, DE LUNES A
VIERNES. EL ACUERDO ES EL SIGUIENTE: LA
PRIMERA SEMANA,LLEVARáN 100 MANTAS
DIARIAS, Y EN CADA UNA DE LAS SEMANAS
QUE SIGAN,INCREMENTARáN EN 25 –CON
RESPECTO A LA SEMANA ANTERIOR– LA
CANTIDAD DIARIA A ENTREGAR.SI EMPIEZAN
LA ENTREGA EL
LUNES 1 DE SEP-
TIEMBRE, ¿LLE-
GARáNATENERLAS
LISTAS PARA EL
VIERNES 28 DE
NOVIEMBRE?

29
OBSERVE ESTA DISTRIBUCIóN:

TRATE DE DIVIDIR LA TABLA EN SEIS REGIONES
–NO NECESARIAMENTE TIENEN QUE SER DE
LA MISMA FORMA– DE SEIS CASILLAS
CONSECUTIVASCADAUNA,DETALMANERAQUE
LA SUMA DE LOS DíGITOS DE LAS SEIS CASILLAS
DE CADA REGIóN SEA EXACTAMENTE 30.

20.EN LA SIGUIENTE DISTRIBUCIóN:

LA SUMA DE LOS SíMBOLOS DE LA 1ª ?LA
ES 10;DE LOS DE LA 3ª ?LA,9;DE LOS DE LA
1ª COLUMNA, 8; Y DE LOS DE LA 2ª
COLUMNA, 12. ¿QUé VALOR TIENE CADA
SíMBOLO?
SELECCIONE TRES NúMEROS DIFERENTES
COMPRENDIDOS ENTRE 3,01 Y 3,02 Y
EFECTúE SU SUMA.

Y como despedida, la indicación de
queenelsiguienteCuaderno,dedicado
a la operación de sustracción, volvere-
mos a plantear estrategias y problemas
referentes a la suma.
Referencias
bibliográ?cas

– Gadino, A. (1996). Las operaciones
aritméticas, los niños y la escuela.
Buenos Aires: Magisterio del Río de la
Plata.
– Mialaret, G. (1977). Las matemáti-
cas, cómo se aprenden, cómo se
enseñan. Madrid: Pablo del Río.
– Vergnaud, G. (1991). El niño, las
matemáticas y la realidad. México:
Trillas.

Respuestas
de los ejercicios propuestos
1. 0 2. 39.637,51 décimas / 204,02
decenas / 3,9406 unidades / 141.119
milésimas / 3.312,65 unidades de mil 3.
3,2 cm 4. 192 dígitos 5. 70 6. A = 3, Y =
5, O = 6, H = 2 7. 10 8. 10 formas / 5
formas 9.5triciclos10.1.050páginas
11. 649 años 12. 29 13. 78 minutos 14.
32 15. 8
16. 3 maneras 17. 2.450 18.
40.736 + 689.510 19. Sí 20. ? = 4, ? = 3,
? = 2, ? = 5

2
372.7
AND.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMáTICO:
LA ADICIóN
FEDERACIóN INTERNACIONAL FE Y ALEGRíA,2004.
30 P.;21,5 X 19 CM.
ISBN:980-6418-68-9
ADICIóN,SUMA,RESOLUCIóN DE PROBLEMAS.