Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Generalidades:
Definición:
Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que
contiene derivadas ordinarias de una o mas variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente.
Las siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias:
Ejemplos:
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la
derivada de mayor orden en la ecuación diferencial.
Ejemplos:
es una ED de segundo orden
es una ED de primer orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
también puede expresarse en términos de las diferenciales de
las variables, en cuyo caso se obtiene la forma diferencial de
la ecuación diferencial. Ejemplo:
Por lo que
de la ecuación diferencial
es la forma diferencial
.
diferencial:
es la forma diferencial de la ecuación
porque:
Una función
es solución explícita de una
ecuación diferencial, si satisface dicha ecuación, es decir, si
al sustitir la variable “ ” por su expresión “ ” en la
ecuación diferencial, se obtiene una identidad.
Ejemplo:
La función
es solución explícita de la ecuación
diferencial
, porque
satisface esta
ecuación. Veamos:
Una relación en términos de y de , de la forma
es una solución implícita de una ecuación
diferencial, si dicha relación define al menos una función
que es solución explícita de la ecuación diferencial.
Ejemplo:
es de la forma
es solución implícita de
La relación
en donde
la ecuación diferencial
define
implícitamente
las
porque
funciones
y
,
cada una de las cuales es solución explícita de la ecuación
diferencial:
, como se muestra enseguida:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
O bien la relación
es solución implícita
de , porque al derivar implícitamente, dicha
relación se obtiene la mencionada ecuación diferencial,
veamos:
Ecuaciones de variables separables
Definición:
Una ecuación diferencial es una ecuación de variables
separables o ecuación separable si tiene la forma:
en donde “ ” y “ ” son funciones de “ ”, y “ ” y “ ” son
funciones de “ ”. donde cada una de ellas puede ser
constante
Ejemplo:
La ecuación diferencial
es una ecuación separable, porque cumple con la definición:
Una ecuación separable:
se resuelve multiplicándola por el factor
llamado
factor integrante, obteniéndose una ecuación difiierencial
equivalente a la ecuación diferencial original, es decir, que
tiene las mismas soluciones que la primera. Entonces:
Al integrar ambos lados de esta ecuación se obtiene una
familia de soluciones llamada la solución general de la
ecuación diferencial original. Tenemos que:
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
Solución: La ecuación es separable, entonces, dividiendo
entre “
” se obtiene:
Integrando esta última ecuación se tiene:
Entonces
implícita de la ecuación
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
de modo que
Solución: La ecuación
es la solución general
,
<1>
es separable, por lo que se deben separar las variables en dos
productos, uno en términos de x y el otro en términos de y,
para lo cual se multiplica la ecuación por el factor integrante
, obteniéndose los siguiente:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Integrando esta última ecuación se obtiene:
De donde:
(Solución general implícita)
La condición inicial o valor inicial
es una
condición que restringe la solución general a un valor
particular de la constante “ ” , obtenièndose una solución
particular de la ecuación diferencial, para lo cual puede
mencionarse lo siguiente:
La condición inicial
debe interpretarse a partir
del hecho de que la variable “ ” es una función de “ ” , es
decir
de
cuando
y
; por lo que
significa que
. Por lo tanto, sustituyendo los valores
en la solución general, se obtiene:
Entonces la solución del problema de valor inicial del
ejemplo es:
lo cual es una solución particular de la ecuación diferencial:
Ciertas ecuaciones diferenciales no tienen la forma o el
aspecto de una ecuación separable, pero pueden
transformarse, mediante un cambio de variable, en una
ecuación separable. Un ejemplo de tales ecuaciones
diferenciales son aquellas que tienen la siguiente la forma:
en donde
es una expresión en “ ” y “ ” , o
función de “ ” y “ ” , para la cual existe una función
escalar o función real “ ” tal que:
en donde
en cuyo caso
. Por lo tanto,
:
derivando
Por lo que:
Ecuación separable
, son las
, siempre que
Ahora multiplicando por el factor integrante
nos queda:
Por lo tanto, las soluciones de
mismas que las de
y
.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ejemplo:
Resolver la ecuación
Solución:
Haciendo
, se tiene:
Observe la relación entre las expresiones en recuadros
Por lo que:
(Ecuación separable)
Integrando esta última expresión tenemos:
Pero
, entonces devolviendo el cambio:
De donde la expresión:
Es la solución general de la ecuación:
Ecuaciones lineales de primer orden
Definción:
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una
ecuación diferencial lineal de primer orden en la variable
dependiente y respecto a la variable independiente y
, si es o puede
respecto a la variable independiente
escribirse de la forma:
Ecuación
La ecuación anterior también es llamada
Diferencial de Bernoulli
Ejemplo:
La ecuación:
es una ecuación diferencial
lineal de primer orden en la variable y respecto a x , porque
puede escribirse de la forma
. Veamos:
Tenemos que
y
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Una ecuación lineal de primer orden:
se resuelve multiplicándola por el factor integrante:
Como se muestra enseguida:
Multiplicando por el factor integrante:
Pero
Así que:
Ahora, integrando esta última ecuación se tiene:
De donde:
es la solución general de la ecuación lineal:
Ejemplo:
Resolver la ecuación
Solución:
en donde
,
por el factor
Multiplicando la ecuación
integrante:
se obtiene:
Pero
, entonces:
de donde:
Integrando esta última ecuación diferencial, se obtiene
Por lo tanto,
es la solución de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
,
.
de tal manera que
en donde
y
por
Multiplicando la ecuación
el factor integrante:
se obtiene:
Pero:
Entonces
De donde
Integrando esta última ecuación se obtiene:
De donde:
y
,
,
en la
Es la solución general de
la cuál está sujeta a la condición inicial
entonces sustituyendo los valores
solución general, se obtiene:
De donde
, por lo que:
es la solución del problema del valor inicial del ejemplo en
cuestión.
Ejercicios:
Resuelva la ecuación diferencial que se indica:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Del ejercicio 41 al 50, resuelva la ecuación diferencial con el
valor inicial que se indica:
Respuestas de los ejercicios impares: