41
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
¿Es la covarianza entre X e Y positiva o negativa?
Sabemos que cuando Y se acerca a 4, X se acerca a 0
Por lo tanto la covarianza el negativa
4 Características de un vector aleatorio
42
4 Características de un vector aleatorio
Correlación
La correlación entre dos variables también es una medida de la relación
linear entre dos variables
Si son independientes ya que
Si
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4 Características de un vector aleatorio
Matriz de Varianzas y Covarianzas
Dadas n v.a. llamamos matriz de varianzas y covarianzas
del vector a la matriz cuadrada de orden n:
Propiedades
Simétrica
Semidefinida positiva
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5 Transformaciones de vectores aleatorios
Al igual que en el caso univariante, hay ocasiones en que es necesario
calcular la distribución de probabilidad de una función de dos o más v.a.
Dado un vector aleatorio con función de densidad conjunta
y lo transformamos en otro vector aleatorio de la misma dimensión
mediante una función
Existen las
transformaciones
inversas
45
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Si tiene menor dimensión que , completamos con elementos
de hasta completar la misma dimensión.
Ejemplo
Calcular la función de densidad de
Definimos
Buscamos la distribución conjunta de
Calculamos la marginal de
46
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Buscamos la distribución conjunta de
¿En qué recinto está definida?
47
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
2
1
48
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
2
1
49
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Calculamos la marginal de
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5 Transformaciones de vectores aleatorios
Convolución de X1 y X2
Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con funciones de
densidad y , la función de densidad de es
Se utiliza en casos como la transformada de Fourier
51
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y
varianzas de transformaciones lineales:
Ejemplo
52
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y
varianzas de transformaciones lineales:
Ejemplo
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5 Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y
varianzas de transformaciones lineales:
Caso particular: Distribución Normal
Normal
54
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Una pieza en forma de U está formada por tres partes, A, B y C. La longitud
de A sigue una distribución Normal con media 10mm y desviación típica
0.1mm. El grosor de las partes B y C se distribuye normalmente con media
2mm y desviación típica 0.05mm.
Suponiendo que las dimensiones de las partes son independientes:
Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.
En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de
que una pieza de esta forma sea inservible?
A
B
C
D
55
5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.
A
B
C
D
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5 Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de
que una pieza de esa forma sea inservible?
A
B
C
D
El 20% de las
piezas fabricadas
es inservible
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Si vector aleatorio sigue una distribución Normal bivariante
con vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas
tiene función de densidad:
6 Distribución Normal multivariante
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6 Distribución Normal multivariante
60
6 Distribución Normal multivariante
Propiedades
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6 Distribución Normal multivariante
Ejemplo
En el proceso de fabricación de lámparas electroluminiscentes (luz negra), se
depositan capas de tinta en una base de plástico. El grosor de esas capas es
determinarte a la hora de satisfacer las especificaciones relativas al color e intensidad
de la luz.
Sean X e Y el grosor de dos capas de tinta, se sabe que ambas siguen una
distribución Normal, con medias 0.1mm y 0.23mm y desviaciones típicas 0.00031mm
y 0.00017mm respectivamente. La correlación entre ambas es 0.
Las especificaciones de grosor son las siguientes:
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida
al azar satisfaga las especificaciones?
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6 Distribución Normal multivariante
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones?
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