Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto
La clasificacion de los sistemas de tiempo discreto se puede hacer de manera similar a la de los sistemas continuos:
Estaticos, dinamicos
Lineales, No lineales
Variables o invariantes en el tiempo
Causales, no causales
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Ejemplos de sistemas de tiempo discreto
Sistema de tiempo discreto estatico
Sistema de tiempo discreto dinamico
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Ejemplos de sistemas de tiempo discreto
Sistema de tiempo discreto variable en el tiempo
Sistema de tiempo discreto invariante en el tiempo
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Ejemplos de sistemas de tiempo discreto
Sistema de tiempo discreto causal
Sistema de tiempo discreto no causal
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Representacion en el dominio del tiempo de sistemas LTI de tiempo discreto
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La respuesta al impulso
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LTI system
(Gp:) unit impulse
(Gp:) impulse response
La entrada es un impulso unitario
La respuesta al impulso
La relación entre las señales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso h(t)
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Respuesta al paso
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(Gp:) unit step
(Gp:) step response
unit-step response
LTI system
Estas expresiones relacionan la respuesta al impulso y la respuesta al paso
Operadores de adelanto y de retardo
Para especificar relaciones de sistemas de tiempo discreto entre señales de entrada y salida se usan dos operadores de desplazamiento:
El operador de desplazamiento de adelanto q
El operador de desplazamiento de retardo q-1:
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Operadores de adelanto y de retardo
El operador de desplazamiento de adelanto q
El operador de desplazamiento de retardo q-1:
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Sistemas de tiempo discreto en terminos del operador de retardo
Siendo {h(k)} k = 0,1, ··· la respuesta al impulso del sistema,
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Respuesta del sistema
La “funcion de transferencia” de un sistema LTI es:
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¡no confundir con la variable compleja z!
Representacion en el dominio de la frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto
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Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto
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(Gp:) LTI system
(Gp:) complex-valued exponencial signal
(Gp:) impulse response
(Gp:) LTI system output
Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto
Calculemos la salida del sistema . . .
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Respuesta en Frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto
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Respuesta en Frecuencia
Periodicidad de la respuesta en frecuencia
Una propiedad importante de la respuesta en frecuancia es que es periodica con periodo 2p
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Podemos considerar la expresion de como su expansion en series de Fourier donde h(k) son los coeficientes de la serie. En consecuencia h(k) esta relacionada con por la integral
Propiedades de simetria de la respuesta en frecuencia
La parte real es un funcion par con periodo 2p
La parte imaginaria es un funcion impar con periodo 2p
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(Gp:) Symmetry Properties
(Gp:) EVEN
(Gp:) ODD
Representacion en el plano z de sistemas LTI de tiempo discreto
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La transformada Z
Definicion: La transformada Z de una señal discreta esta definida como la serie de potencia:
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Donde z es una variable compleja
La transformada Z inverza
El procedimiento para transformar del dominio z al dominio del tiempo es denominado la transformada Z inversa:
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donde C denota el contorno cerrado en la region de convergencia de X(z) que contiene el origen.
La ecuacion de diferencia
Un sistema LTI de tiempo discreto puede ser descrito por medio de una ecuacion de diferencia con coeficientes constantes, como sigue
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La funcion de transferencia
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La aplicación de la transformada Z a la ecuacion de diferencia
Bajo la condicion de condiciones iniciales nulas
Conduce a la nocion de funcion de transferencia
La funcion de transferencia
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(Gp:) LTI System
(Gp:) input signal
(Gp:) output signal
La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada
La funcion de transferencia
La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada
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Funcion de transferencia del sistema LTI
A partir de la ecuacion de diferencia es posible calcular entonces la funcion de transferencia
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Funcion de transferencia del sistema LTI
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H(z): puede ser vista como una funcion racional de la variable compleja z (z-1).
Representacion en espacio de estado de sistemas LTI de tiempo discreto
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Equivalencia de las representaciones
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Equivalencia de las representaciones
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Ejercicio
Investigue como Matlab representa un sistema dinámico de tiempo discreto en los diferentes dominios. Ver LTI_formats.m
Fuentes
Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003.
Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003
Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003.
Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.
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