5 k?
1000 H
10–3 F
Z
5 k?
200 mH
200 pF
Z
Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:
La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en el eje horizontal, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva de respuesta anterior.
Una impedancia dada como función de s también puede cambiar su escala, sea en magnitud o en frecuencia.
Para un cambio de escala en magnitud de Z(s): solo multiplicamos Z(s) por el factor Km .
Ejemplo:
La impedancia Z´(s) de la red con cambio de escala en magnitud es:
Z´(s)=Km Z(s)
Para el cambio de escala en frecuencia:
Z´´(s)=Z´
Siempre y cuando Z´´(s) y Z´(s) deben dar valores idénticos de impedancia
Estos dos tipos de cambios de escala también pueden ser realizados a las fuentes dependientes
Title: Tarea
Un circuito resonante en paralelo tiene una frecuencia de resonancia 2500 rad/s, un ancho de banda de 100 rad/s y una inductancia de 200 mH. Halle el nuevo ancho de banda y capacitancia si se emplea una escala en el circuito en a) la magnitud por un factor de 5; b) la frecuencia por un factor de 5; c) magnitud y la frecuencia por factores de 5.
Una tensión V(s) aplicada a una red dada produce una salida I2(s) = (2s+5)/(3s2 + 4s+ 6)A. Hallar I2(s) si la red tiene una escala en a) frecuencia por un factor de 2; b) magnitud por un factor de 2; c) frecuencia y magnitud por factores de 2; b)
Title: Diagramas de Bode
Definición: Una magnitud en decibeles se obtiene tomando el logaritmo en base 10 de la magnitud y multiplicando por 20.
HdB = 20 log|H(jw)|
La operación inversa es:
|H(jw)| = 10(HdB/20)
Algunos valores comunes son:
|H(jw)| = 1 ? HdB = 0 dB
|H(jw)| = 2 ? HdB = 6 dB
|H(jw)| = 10 ? HdB = 20 dB
|H(jw)| = 10n ? HdB = 20n dB
20 log 5 = 20log(10/2) = 20log10 – 20log2 = 20 – 6 = 14 dB
?2 ?20log21/2 = 10×0.3 = 3dB
1/?2 ? -3dB
Title: Ejemplo
Diagrama de Bode
HdB = 0 si w << a HdB = 20 log(w/a) si w >> a
w = logspace(-2,2,100);a = 1;H = 1 + j*w/a;HdB = 20*log10(abs(H));semilogx(w,HdB)
Gráfico de Bode para la magnitud de un cero simple
Diagrama de Bode
H(s)| = 1 + s/a
ang H(jw) = ang(1+jw/a) = tan-1w/a
ang H(jw) = 0° si w < 0.1a ang H(jw) = 90° si w > 10a
w = logspace(-2,2,100);a = 1;H = 1 + j*w/a;Hang = angle(H);semilogx(w,Hang)axis([0.01,100,0,2.5])
Gráfico de Bode para la fase de un cero simple
|H(s)| = -2s/(1 + s/10)(1 + s/20000) -2 ? 6 dBs ?20 dB/década en 0 1 + s/10 ? -20 dB/década en 10 1 + s/20000 ? -20 dB/década en 20000
cruza por 0 en w = 400,000
w = logspace(-1,6,100);H = -2*j*w./((1 + j*w/10)… .*(1 + j*w/20000));HdB = 20*log10(abs(H));semilogx(w,HdB)axis([0.1,10e6,-20,40])grid
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105
106
1
20
40
10 nF
20 mF
1 k W
4 k W
5 k W
Vx
Vent
Vsal
Vx
200
+ –
+
–
s
1 +s/10
1 +s/20000
H(s)| = -2s/(1 + s/10)(1 + s/20000) -2 ? 6 dBs ?20 dB/década en 0 1 + s/10 ? -20 dB/década en 10 1 + s/20000 ? -20 dB/década en 20000
w = logspace(-1,6,100);H = -2*j*w./((1 + j*w/10)… .*(1 + j*w/20000));Hang = atan(imag(H)./real(H))…*180/pi-180;semilogx(w,Hang)grid
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106
1
-90
Title: Algunas consideraciones
Un término s?n representa una magnitud que pasa por w = 1, con una pendiente de ?20n dB/década, la respuesta en fase es un ángulo constante de 90n°.
Un cero múltiple (1+ s/a)n representa la suma de n curvas de respuesta en magnitud o fase de un cero simple. Por tanto se obtiene una respuesta de 0 dB para wa. el error es –3n dB en w=a, y –n dB en 0.5a y 2a.
El diagrama de fase es 0° para w<0.1a, 90n° para w>10a, 45n° para w=a, y una línea recta con pendiente de 45n°/década para 0.1a<10a. El error es ?5.71n° en las dos frecuencias.
Title: Ejemplo
Haga el diagrama de la función
H(s) = (1 + s/10)/((1 + s/500)(1 + s/10,000)2)
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1
20
30
(1+s/10)
1 +s/500
(1 +s/10,000)2
10
|H(s)| = 1 + 2z(s/w0) + (s/w0)HdB = 20 log|H(s)| = 20 log|1 + j2z(w/w0) – (w/w0)2|
Si z = 1 se tiene un cero de segundo orden.
Se tiene una asíntota en 0dB y otra que corresponde al término cuadrático de –40 dB/década.
Para w = w 0 hay que hacer un ajuste, HdB = 20log(2z)
Si z = 0.1, HdB = –14 dB.
w = logspace(-2,1,100);w0 = 1;zeta = 1;H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -… (w/w0).^2;HdB1 = 20*log10(abs(H1));
z = 1
z = 0.5
z = 0.25
z = 0.1
Title: Pares complejos conjugados
ang H(s) = tan-1(2z(w/w0)/(1 – (w/w0)2))
Debajo de w = 0.1w0 ang H(s) = 0°
Arriba de w = 10w0 ang H(s) = 180°
Para w = w0 ang H(s) = 90°
w = logspace(-2,2,100);w0 = 1;zeta = 1;H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -… (w/w0).^2;Hang1 = angle(H1)*180/pi;
z = 1
z = 0.5
z = 0.25
z = 0.1
H(s) = 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2))
w = logspace(-1,3,100);w0 = 100;zeta = 0.1;H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 + … 2*zeta*j*w/w0 – (w/w0).^2));HdB = 20*log10(abs(H));semilogx(w,HdB)
Title: Ejemplo
ang H(s) =ang( 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2)))
w = logspace(-1,3,100);w0 = 100;zeta = 0.1;H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 +… 2*zeta*j*w/w0 – (w/w0).^2));Hang = angle(H)*180/pi;semilogx(w,HdB)
Title: Ejemplo
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