El problema de la ambiguedad
En general, una señal de tiempo discreto puede ser generada por infinito numero de señales continuas
¿Es posible reconstruir de manera univoca la señal continua original de la señal muestreada?
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(Gp:) x1(t), x2(t), x3(t),
x[n]
(Gp:) t = nT
El problema de la ambiguedad
Claramente, el incremento del periodo de muestreo mejora la resolucion
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(Gp:) t
(Gp:) x(t)
(Gp:) t
(Gp:) x(t)
¿Que tan rapido muestrear?
¿Cual es el periodo de muestreo critico?
Muestreo de una onda senoidal
Considere el muestreo de una onda senoidal simple
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(Gp:) 700Hz
(Gp:) 300Hz
(Gp:) Sampling rate: 1000Hz
No es posible distinguir la onda de 700 Hz de la de 300 Hz
Frecuencia aparente
Consideremos el problema analiticamente,
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cos(x) = cos(x + 2pm)
Frecuencia aparente
Si m es un multiplo entero de n, m = k*n
Las frecuencias f0 +kfs aparentemente parecen ser f0 < fs / 2
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f0 +kfs son las frecuencias de “solapamiento” de f0
“alias”
Frecuencia aparente
En general,
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(Gp:) Actual
Frequency
(Gp:) Apparent
Frequency
(Gp:) fs / 2
(Gp:) fs
(Gp:) 2 fs
(Gp:) 3 fs / 2
(Gp:) fs / 2
Para evitar solapamiento
En general, el error por solapamiento (aliasing) resulta de no tener suficientes muestras para señales de cambios rapidos
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(Gp:) 700Hz
(Gp:) Sampling rate increases to: 1400Hz
Para evitar el aliasing, muestrear lo suficiente mente rapido!
Antialiasing
Para prevenir el aliasing son posibles dos vias:
Hacer el muestreo lo suficientemente rapido, es decir, fs > 2fMAX
Usar un filtro para quitar las frecuencias de la señal por encima de fs /2
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(Gp:) Amplifier
(Gp:) Low-pass
Filter
(Gp:) Input
(Gp:) Signal
La frecuencia de Nyquist
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Claude Elwood Shannon
Harry Nyquist
Señal de banda limitada
Definicion: Una señal es de banda limitada a fMAX hertz si
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U(f) = I [u(t)] = 0 for |f| = fMAX
?
(Gp:) |U(j?)|
(Gp:) ?MAX
Frecuencia de Nyquist
El teorema del muestreo (Nyquist, Shannon):
Frecuencia de Nyquist
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Para que una señal de banda limitada pueda ser reconstruida completamente, la frecuecia de muestreo debe cumplir,
Normalizacion de la frecuencia de señales muestreadas
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El Concepto de frecuencia para una señal continua
Para una señal senoidal
El incremento de f da como resultado mas oscilaciones por unidad de tiempo (más períodos en la unidad de tiempo)
Dos señales senoidales con frecuencias distintas f 1 y f 2 son distintas.
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El Concepto de frecuencia para una señal de tiempo discreto
Sea la señal senoidal de tiempo discreto
Para periodicidad debe cumplirse
Esta relación es verdadadera si y sólo si existe un entero k tal que
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El Concepto de frecuencia para una señal de tiempo discreto
Sea la señal senoidal de tiempo discreto
Para periodicidad, f debe ser un numero racional
Si k y N son primos entre si entonces N se denomina el periodo fundamental de x[n]
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El periodo de una señal de tiempo discreto
Sean dos señales senoidales de tiempo discreto
Un pequeño cambio en la frecuencia
da como resultado un cambio grande en el periodo
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Frecuencia maxima de una señal de tiempo discreto
La maxima oscilacion de una señal senoidal de tiempo discreto se obtiene cuando
La frecuencia radial w maxima es entonces
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Frecuencia discreta de una señal continua
Considerese que la señal x(t) produce x[n]
Definamos la frecuencia digital
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Las unidades de wd es radianes, no rads/seg
Frecuencia discreta de una señal continua
Cuando wd varia entre 0 y 2p, entonces f varia de 0 a la frecuencia de muestreo
La frecuencia digital esta normalizada
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Normalizacion de la frecuencia
En la mayoría de las situaciones del análisis de señales muestreadas,
la conección con un mecanismo de muestreo simplemente se descarta
Introduciendo la transformación de variables
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Asumiendo Ts = 1.
Normalizacion de la frecuencia
Las señales se interpretan como señales de tiempo discreto (secuencias de números)
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La frecuencia radial se normaliza en el intervalo [0, p]
Normalizacion de la frecuencia
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Ejemplo:
Reconstruccion de la señal continua
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Muestreo periodico de una señal continua
El proceso de muestreo toma el valor instantaneo de la continua cada periodo de muestreo
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ud(k) = u(kTs) es una secuencia discreta definida para valores enteros k?Z.
Ts es el periodo de muestreo
Muestreo periodico impulsivo
Necesitamos una forma conveniente para representar el muestreo periodico de una señal continua
Una manera de hacerlo es a traves del uso de un tren de impulsos
Se asume que se toma el valor de la señal en un instante infinitesimal de tiempo
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Toma de la muestra mediante la señal impulso
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(Gp:) 1
(Gp:) 1
(Gp:) 1/2
(Gp:) 2
(Gp:) 1/4
(Gp:) 4
(Gp:) 3
(Gp:) 5
(Gp:) 1/8
(Gp:) Voltage pulse of strength 1?1=1
(Gp:) Pulse of strength 2?0.5=1
(Gp:) More pulses of strength 1
(Gp:) As width ?0, & height ? ? with strength remaining at 1 we get ‘unit impulse’
(Gp:) 1
(Gp:) Volts
(Gp:) t
Muestreo con un tren de impulsos periodico
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(Gp:) Conversion from
impulse train
to discrete-time
sequence
Conversor C/D ideal
Muestreo con un tren de impulsos periodico
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(Gp:) Aliasing Effect
Efecto en el dominio de la frecuencia
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– 42 –
(Gp:) Aliasing Effect
Sistema de reconstruccion ideal
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(Gp:) Ideal
Reconstruction
Filter
(Gp:) Convert from
sequence to
impulse train
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