11
Convolución de dos
densidades de probabilidad
exponenciales Exp(?).
12
Suma de dos variables aleatorias
normales independientes
Dos densidades de probabilidad normales
tipificadas N(0,1).
13
Obtenemos la
densidad de
probabilidad de la
suma de las dos
variables por
convolución de sus
densidades.
Normalización
de N(0, v2)
El resultado es una normal de media 0 y varianza 2, N(0,2)
14
Suma de n variables aleatorias independientes
Teniendo en cuenta que:
Y que:
Tendremos para n variables aleatorias independientes:
Recuerda que la convolución es una operación conmutativa y asociativa.
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Suma de n
uniformes
16
Suma de n
normales
17
Suma de n
exponenciales
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Teorema central del límite
En condiciones muy generales la suma de n variables aleatorias , independientes e idénticamente distribuidas con media µ y varianza distinta de cero s2, tiende a la distribución normal a medida que n tiende a infinito.
Otra manera de enunciarlo: bajo las mismas condiciones, si n
es suficientemente grande
se distribuye como una normal N(µ, s2/n)
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Desigualdad de Chebyshev (1821-1894)
Una varianza pequeña indica que las desviaciones grandes
alrededor de la media son improbables. La desigualdad de
Chebyshev hace precisa esta impresión:
O bien, haciendo:
Pafnuti Lvovic Cebicev
(1821-1894)
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Demostración:
Para el caso discreto la demostración es semejante.
22
Ley de los grandes números (en forma débil)
Sean X1, X2, …, Xn variables aleatorias independientes, con la misma distribución (misma media µ y varianza s2). Entonces, para
Sn = X1 + X2 + … + Xn y cualquier real ? > 0:
«La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería». Wikipedia
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Demostración:
Usando la desigualdad
de Chebyshev y fijado
un épsilón:
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Observa que Sn/n es un promedio y por eso a la ley de
los grandes números suele conocerse también como
ley de los promedios.
Hemos visto su "forma débil". En su "forma fuerte" nos
dice que si repetimos el lanzamiento de una moneda, la
proporción de caras se aproxima más y más a 1/2 a
medida que aumentamos el número de lanzamientos.
Si Sn es el número de caras en n lanzamientos, la ley
fuerte de los grandes números dice que cuando n tiende
a infinito:
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En las gráficas se ha marcado con puntos
las probabilidades comprendidas entre
0.45 y 0.55.
Vemos como a medida que n crece la distribución se concentra más y más alrededor de 0.5 y el porcentaje de área correspondiente al intervalo (0.45, 0.55)
se hace más y más grande.
Distribuciones para el número de caras en n lanzamientos de una moneda.
La ley de los grandes números predice que el porcentaje de caras para n
grande estará próximo a 1/2.
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Supongamos que tomamos al azar n números del intervalo
[0,1] con una distribución uniforme. Si la variable aleatoria
Xi describe la elección i-ésima, tenemos:
De modo que, para cualquier ? > 0, tendremos:
Es decir, si escogemos al azar n números del intervalo [0,1],
las probabilidades son mejores que 1 – 1/(12n?2) de que
la diferencia |Sn/n – 1/2| sea menor que ?.
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Gráficos semejantes al caso del lanzamiento de n monedas anterior, pero ahora con la suma de n valores independientes tomados de una U(0,1). Rigen los mismos comentarios.
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Una aplicación al Método de Monte Carlo
Sea g(x) una función
continua definida en
el intervalo [0,1] y con
imagen en [0,1].
Vimos cómo estimar
el área bajo la función,
su integral, generando
pares de números (x,y)
al azar.
Existe una forma más
eficiente de calcular la
integral basándose en
la ley de los grandes números.
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Escojamos una gran cantidad de números Xn al azar del
intervalo [0,1] con densidad uniforme. Definamos Yn = g (Xn).
El valor esperado de Yn es una estimación del área.
Como el dominio y la imagen de g(x) son el intervalo [0,1],
la media µ estará en [0,1] también y |g(x)- µ| = 1.
Que podemos leer como: la diferencia entre el área estimada
y la real, el error que cometemos, es mayor que épsilon con
probabilidad 1/n?2.
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