Punto de equilibrio

Introducción

Indudablemente nuestra economía se perfila hacia un contexto internacional y de transformación estructural, en la cual la productividad es la clave del éxito. En los ejecutivos recae el compromiso de lograr la adecuación técnico-administrativo-financiera necesaria en las empresas, para que el reto que se nos presenta se transforme en éxito.

Durante varias décadas nuestra economía se encontró aislada (protegida), tiempo en el cual no se presentó un verdadero mercado de competencia, siendo una economía en la que el precio prevalecía sobre el volumen.

Inevitablemente a la luz de los cambios, tendremos que modificar nuestra visión hacia el mercado, pues ya no será posible continuar con políticas de altos márgenes, si es que deseamos que las empresas arrendadoras logren permanecer en el futuro que ya comenzó.

Así las cosas, resulta vital implementar herramientas de análisis, que permitan a las empresas de arrendamiento financiero competir en este nuevo mercado en formación y que proporcione alternativas para llegar al mercado con políticas de bajo margen y mayor volumen de colocación.

El empleo de la técnica del punto de equilibrio brinda una herramienta auxiliar de análisis y de reflexión, que utilizada con ingenio, proporciona un soporte a la dirección de las arrendadoras financieras para lograr una mejor toma de decisiones.

El punto de equilibrio sirve para determinar el volumen mínimo de ventas que la empresa debe realizar para no perder, ni ganar.

En el punto de equilibrio de un negocio las ventas son iguales a los costos y los gastos, al aumentar el nivel de ventas se obtiene utilidad, y al bajar se produce pérdida.

Se deben clasificar los costos:

• Costos fijos: Son los que causan en forma invariable con cualquier nivel de ventas.

• Costos variables: Son los que se realizan proporcionalmente con el nivel de ventas de una empresa.

Fórmula para calcular el punto de equilibrio

Ventas en punto de equilibrio = 4.346.938

El nivel de ventas para no ganar, ni perder es de $4.346.938, este es el punto de equilibrio para la empresa.

El costo fijo permanece invariable, independientemente del volumen de ventas, mientras que el costo variable está relacionado directamente con el volumen de ingresos o ventas.El porcentaje del costo variable en el punto de equilibrio está dado por la relación existente entre los costos variables y el nivel de ventas, así

Los costos variables en el punto de equilibrio son $4.346.938 X 51% = $2.216.938

Comprobación del punto de equilibrio

Ventas                                                    4.346.938

(-) Costos variables                                  2.216.938  

= Utilidad Bruta en Ventas                        2.130.000

(-) Costos fijos                                        2.130.000   

= Utilidad neta                                                     0

Aplicación del punto de equilibrio

En  la práctica, el punto de equilibrio sirve para calcular el volumen de las ventas que debe realizar una empresa para obtener un porcentaje de utilidad determinado. La fórmula es la siguiente:

Ventas = Ventas en punto de equilibrio + Porcentaje de Utilidad deseado + % de Costo variable

Ejemplo: La XYZ empresa desea obtener una utilidad del 20% sobre el punto de equilibrio. Determinar el volumen de ventas necesario para obtener dicha utilidad. (Utilizando los datos de los ejemplos anteriores).

Ventas = Ventas en punto de equilibrio + Porcentaje de Utilidad deseado + % de Costo variable

Ventas = 4.346.938 + 20%(4.346.938) + 51%(4.346.938)

Ventas = 4.346.938 + 869.387 + 2.216.938

Ventas = 7.433.263

Aplicación

Ventas                                                        7.433.263

(-) Costos variables                                      3.790.964

= Utilidad Bruta en Ventas                            3.642.299

(-) Costos fijos                                            2.130.000

= Utilidad neta                                            1.512.299

Es conveniente para una mayor comprensión dejar claro lo que entendemos como PUNTO DE EQUILIBRIO. Decimos que es aquel nivel en el cual los ingresos "son iguales a los costos y gastos, y por ende no existe utilidad", también podemos decir que es el nivel en el cual desaparecen las pérdidas y comienzan las utilidades o viceversa.

Elementos que lo forman

Para la determinación del punto de equilibrio se requiere la existencia de cuatro elementos básicos: los ingresos, margen financiero, los costos variables y los costos fijos.

Para el propósito del presente artículo consideraremos los ingresos como aquellos que fueron originados directamente por la operación, como son: ingreso por operaciones de arrendamiento financiero, comisiones, beneficios por opción de compra. Los costos variables serán aquellos que se modifican en función del volumen de operación siendo estos: los intereses pagados. El margen financiero será la resultante de disminuir a los ingresos los costos variables. Los costos fijos estarán dados por el monto de los gastos de operación.

De esta forma a fin de facilitar el desarrollo diremos que:

PUNTO DE EQUILIBRIO = PE

INGRESOS DE OPERACION DE ARRENDAMIENTO FINANCIERO = V

INTERESES PAGADOS = CV

MARGEN FINANCIERO = MF

GASTOS DE OPERACION = CF

3.-DETERMINACION DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

De acuerdo a lo conceptualizado anteriormente podemos expresar en términos de fórmula que el punto de equilibrio estará en la igualdad:

PUNTO DE EQUILIBRIO = INGRESOS DE OPERACIONES DE ARRENDAMIENTO FINANCIERO – INTERESES PAGADOS – LOS GASTOS DE OPERACION.

Sustituyendo en la igualdad, con los términos definidos anteriormente, tendríamos la siguiente ecuación:

V – CV – CF = 0

Dicha igualdad nos representa el punto de equilibrio.

Por tanto:

PE = V – CV- CF

PE = ( V – CV ) – CF

MF$ = ( V – CV ) EXPRESADO EN PESOS

MF% = ( MARGEN FINANCIERO / V ) X 100 EXPRESADO EN PORCENTAJE

PE = MF $ – CF

PE = CF / MF%

Resulta necesario establecer una unidad de medida que permita realizar los cálculos en forma correcta y sin complicaciones.

En las arrendadoras financieras fundamentalmente se trabaja con "pesos" en términos de volumen y con tasa (%) en función unitaria. Es decir, cuando nos referimos al punto de equilibrio, lo visualizamos en términos de pesos, al expresar "que con una cartera colocada de $ xx millones y la cual genera un ingreso de $ yy millones, estamos arriba del punto de equilibrio". Sin embargo, al analizar una operación en forma individual la realizamos inicialmente en términos de tasa (%) ya se trate de la tasa de colocación o del margen financiero que ésta produzca.

Análisis de un caso practico

Para aplicar lo anterior y proceder a realizar el análisis supongamos la siguiente información a diciembre de 1998:

INGRESOS POR ARRENDAMIENTO FINANCIERO: $ 58,837,000

MARGEN FINANCIERO $ 25,300,000

GASTOS DE OPERACION: $ 12,800,000

CARTERA PROMEDIO (DIARIA) $ 195,750,00

CAPITAL CONTABLE: $ 27,500,000

A) DETERMINAR EL PUNTO DE EQUILIBRIO EN INGRESOS Y EN CARTERA

Se requiere primeramente conocer cuál es el margen financiero expresado como %:

MF% = MARGEN FINANCIERO / INGRESOS X 100

MF%= 25,300,000 / 58,837,000 x 100 = 43 %, este porcentaje representa el margen financiero.

El punto de equilibrio se obtendrá al emplear la fórmula:

PE = CF / MF %

Sustituyendo con la información tendríamos:

PE = 12,800,000 / 43 % = 29,767,442, esta cantidad representa el nivel de ingresos de la arrendadora en la cual no pierde ni gana. Importante resulta, para el director de la arrendadora conocer esta informacion, ya que le permitirá ir visualizando en todo momento el comportamiento que está registrando la compañía y de acuerdo a los objetivos trazados qué tanto arriba de este nivel se encuentra.

Como decíamos, el nivel determinado anteriormente está referido a los ingresos cobrados, pero ¿cuánta cartera será necesario tener colocada? Es posible determinar la cartera, al incluir un elemento adicional en nuestro análisis, este elemento es la TASA PROMEDIO DE COLOCACION, y la cual se define como: TPC.

Para la obtención de la tasa promedio de colocación, será necesario conocer la cartera colocada promedio diario, ya que de ser en base a saldos finales el cálculo se vería alterado y no presentaría una información real.

Para continuar con el análisis, supongamos que la cartera promedio es de 195,750,000. La determinación de la tasa promedio de colocación será:

TPC = INGRESOS / CARTERA PROMEDIO; sustituyendo

TPC = 58,837,000 / 195,750,000 = .30057 x 100 = 30.06 %

CARTERA DE EQUILIBRIO = PE $ / TASA PROMEDIO DE COLOCACION

CE = 29,767,442 / 30.06 % = 99,026,637

La cantidad obtenida es la cartera de equilibrio que produce los ingresos necesarios para llegar al punto de equilibrio de 29,767,442, con una tasa promedio de colocación del 30.06%.

B) DETERMINAR EL PUNTO DE EQUILIBRIO CON UN OBJETIVO – UTILIDAD.

Si la arrendadora desea obtener para 1999 una utilidad equivalente al 80% de su capital contable, ¿cuál sería la cartera promedio que resultaría necesario colocar y a cuánto ascenderían los ingresos que permitirían cubrir el objetivo-utilidad?

Para lo anterior se establecen los siguientes supuestos:

Los gastos de operación tendrán un incremento de 15%

El margen financiero estará situado en 44%

Gastos de operación 1998 = 12,800,000

15% incremento para 1999 = 1,920,000

Gastos de operación 1999 = 14,720,000

Capital Contable = 27,500,000

Utilidad objetivo = 50% de 27,500,000 = 13,750,000

PE= CF + UTILIDAD / MF %

PE = (14,720,000 + 13,750,000) / 44 %

PE = 64,704,545

Este sería el nivel de ingresos requeridos para cumplir el objevo-utilidad y los nuevos gastos de operación para 1999.

La cartera promedio a colocar se determinaría de la siguiente forma:

CARTERA REQUERIDA = PE / TASA PROMEDIO DE COLOCACION

Dado que el comportamiento de las tasas de interés están basadas en función de diversas variables económicas y que no es el propósito del presente artículo, supondremos que las tasas tendrán un comportamiento a la baja, según las expectativas para 1999, de esta forma se proyecta que la tasa promedio de colocación será de un 20.96%.

CARTERA REQUERIDA = 64,704,545 / 20.96%

CARTERA REQUERIDA = 308,704,890

Este monto significa que se necesitaría un incremento en colocación promedio de un 57.7% respecto de 1998, la obtención de este dato puede ser el punto de partida para realizar diversos análisis de sensibilidad que consideren por ejemplo: un incremento superior en el margen de contribución, diversas tasas de colocación promedio, mejorar la eficiencia en la operación, de tal forma que exista una reducción en gastos de operación, etc. y poder llegar así a una proyección más cercana a la realidad que permita a la dirección cumplir con el objetivo-utilidad.

C) DETERMINAR EL PUNTO DE EQUILIBRIO CON MEZCLA DE TASAS DE COLOCACION.

Resulta interesante profundizar en el análisis del punto de equilibrio cuando se considera la mezcla de tasas de colocación, ya que éste es un hecho real, pues no se opera la colocación de cartera sobre la base de una sola tasa.

Son diversas las causas que se presentan para la existencia de tasas diferentes de colocación, algunas de éstas son: la competencia del mercado, el costo del fondeo, interés por conservar o ganar un cliente, la importancia del contrato de arrendamiento por su monto, el crecimiento deseado o esperado, sobrantes en tesorería, objetivo-utilidad,etc.

La estrategia será entonces definir las tasas políticas de colocación a diferentes niveles en función de su monto. Este punto será tratado en un artículo aparte, por requerir de un análisis diferente al que nos ocupa en este momento, sin embargo supondremos que se llevó a cabo el análisis anterior, a fin de poder continuar con nuestro desarrollo.

Las tasas de colocación supuestas están en base al monto colocado:

TASA % DE LA CARTERA MF

hasta 100,000 22% 40% 41%

hasta 500,000 21% 25% 38%

arriba de 500,000 19% 35% 32%

Los gastos de operación se estima que asciendan a 20,500,000.

Se requiere determinar el punto de equilibrio, así como la cartera de equilibrio.

Primeramente será necesario obtener el MF PONDERADO:

hasta 100 millones = 40% x 41% = 16.40%

hasta 500 millones = 25% x 38% = 9.50%

arriba de 500 millones = 35% x 32% = 11.20%

MARGEN FINANCIERO = 37.10%

PE = 20,500,000 / 37.10%

PE = 55,256,065

En este nivel de ingresos se ubicaría el punto de equilibrio con diferentes niveles de tasas de colocación.

Ahora se desea conocer cuál sería la cartera de equilibrio resultante de la mezcla de tasas.

Para lo anterior se requiere seguir el mismo procedimiento para ponderar el margen financiero, solo que sustituyendo el porcentaje de margen financiero por el de la tasa.

hasta 100,000 = 22 % x 40% = 8.80%

hasta 500,000 = 21% x 25% = 5.25%

arriba de 500,000 = 19 % x 35% = 6.65%

———

TASA PONDERADA DE COLOCACION = 20.70%

De esta forma la tasa ponderada de colocación resulta 20.70%

CE = PE / TASA PONDERADA DE COLOCACION

CE = 56,256,065 / 20.70%

CE = 271,768,430

El resultado es la cartera de equilibrio que se requiere colocar con la mezcla de tasas, y su distribución quedaría de la siguiente forma:

hasta 100,000 = 108,707,372

hasta 500,000 = 67,942,108

arriba de 500,000 = 95,118,951

Conocido el desarrollo para trabajar con mezcla de tasas y margen financiero determinemos ahora, con la misma información anterior, el nivel de ingresos y cartera de colocación, que sería requerida para llegar a un objetivo-utilidad de 18,000,000.

PE = ( CF + UTILIDAD ) / MF %

PE = (20,500,000 + 18,000,000) / 37.10%

PE = 103,773,585

CR = 103,773,585 / 20.70%

CR = 501,321,667

La distribución de esta cartera quedaría:

hasta 100,000 = 200,528,667

hasta 500,000 = 125,330,417

arriba de 500,000 = 175,462,583

Podemos decir que al presentarse un incremento en el volumen de colocación, y sea necesario una cantidad mayor de recursos para financiar dicho incremento, y bajo el supuesto de que la tasa de colocación no cambia su margen financiero, este tenderá a bajar.

Por lo tanto el margen financiero aumentará si:

Existe un incremento en la tasa de colocación.

Disminuye la tasa pasiva de financiamientos.

Se incrementa el capital.

La combinación de lo anterior.

La presencia de un incremento en el margen financiero, llevará a requerir una cartera de equilibrio menor, así mismo el punto de equilibrio se localizará en un nivel de ingresos más bajo.

Es importante, al manejar un incremento en la tasa de colocación, considerar la elasticidad que tiene el arrendamiento financiero, pues éste es muy sensible a los incrementos.  

El análisis de punto de equilibrio está intimamente relacionado con el concepto de apalancamiento operativo (resulta de la existencia de gastos fijos en operación en el flujo de ingresos de la empresa, estos gastos no varían con las ventas y deben pagarse sin tener en cuenta el monto de los ingresos).  El punto de equilibrio permite que la empresa determine el nivel de operaciones que debe mantener para cubrir todos sus costos de operación y para evaluar la rentabilidad a diferentes niveles de ventas.

Puede analizarse desde dos puntos de vista, el método algebráico y el gráfico.

El punto de equilibrio es suceptible a un buen número de variables, específicamente: costos fijos de operación, precio de venta por unidad y el costo variable de operación por unidad.

El análisis del punto de equilibrio presenta debilidades debido a que no permite su aplicación generalizada a todos los productos de una empresa, sino uno por uno; además, se asume solo de forma lineal en la clasificación de los costos y es aplicable en el corto plazo.

2.4 Análisis del punto de equilibrio.

    El estudio de la utilidad de una empresa, se facilita por el procedimiento gráfico conocido con el nombre de gráfica del punto de equilibrio económico, que sirve como base para indicar cuantas unidades deben de venderse si una compañía opera sin perdidas. Los ingresos y costos totales, a diferentes volúmenes de ventas, pueden estimarse y gráficarse.

Ejemplo: Una empresa presenta los siguientes datos.

A) Calcule el CT.

B) Determine los ingresos totales, mediante la expresión IT =q x P. unit (P.unit =20).

    Otra forma de determinar el punto de equilibrio es mediante el procedimiento analítico, en el cual se requiere hacer estimaciones del costo fijo, variable y ganancias; fórmulas:

Punto de Equilibrio en unidades = Costo fijo total / precio – costo

    Cabe mencionar que la diferencia entre los ingresos y todos los costos variables se les llama margen de contribución.

Punto de Equilibrio en dólares = Costo Fijo Total / (1 – costo variable / precio de venta)

Observaciones:

    El objetivo de análisis del punto de equilibrio es el de encontrar el punto en el que el costo iguala a los beneficios.

    El análisis del punto de equilibrio es un modelo muy útil cuando se trata de un solo producto. Pero generalmente supone condiciones de certidumbre, lo cual limita su aplicación.

Supuestos.

1. Todos los costos y volúmenes son conocidos.

2. Las relaciones costo – volumen son lineales.

3. Toda la producción puede ser vendida.

Ventajas.

1. es simple y fácil de visualizar.

2. se enfoca sobre la rentabilidad.

3. usa una presentación tanto gráfica como algebraica.

En muchas ocasiones hemos escuchado que alguna empresa está trabajando en su punto de equilibrio o que es necesario vender determinada cantidad de unidades y que el valor de ventas deberá ser superior al punto de equilibrio; sin embargo creemos que este termino no es lo suficientemente claro o encierra información la cual únicamente los expertos financieros son capaces de descifrar. Sin embargo la realidad es otra, el punto de equilibrio es una herramienta financiera que permite determinar el momento en el cual las ventas cubrirán exactamente los costos, expresándose en valores, porcentaje y/o unidades, además muestra la magnitud de las utilidades o perdidas de la empresa cuando las ventas excedan o caen por debajo de este punto, de tal forma que este viene e ser un punto de referencia a partir del cual un incremento en los volúmenes de venta generará utilidades, pero también un decremento ocasionará perdidas, por tal razón se deberán analizar algunos aspectos importantes como son los costos fijos, costos variables y las ventas generadas. Para la determinación del punto de equilibrio debemos en primer lugar conocer los costos fijos y variables de la empresa; entendiendo por costos variables aquellos que cambian en proporción directa con los volúmenes de producción y ventas, por ejemplo: materias primas, mano de obra a destajo, comisiones, etc. Por costos fijos, aquellos que no cambian en proporción directa con las ventas y cuyo importe y recurrencia es prácticamente constante, como son la renta del local, los salarios, las depreciaciones, amortizaciones, etc. Además debemos conocer el precio de venta de él o los productos que fabrique o comercialice la empresa, así como el número de unidades producidas.

Al obtener el punto de equilibrio en valor, se considera la siguiente formula:

El resultado obtenido se interpreta como las ventas necesarias para que la empresa opere sin perdidas ni ganancias, si las ventas del negocio están por debajo de esta cantidad la empresa pierde y por arriba de la cifra mencionada son utilidades para la empresa.

Cuando se requiere obtener el punto de equilibrio en porcentaje, se manejan los mismos conceptos, pero el desarrollo de la formula es diferente:

El otro análisis del punto de equilibrio se refiere a las unidades, empleando para este análisis los costos variables, así como el Punto de Equilibrio obtenido en valores y las unidades totales producidas, empleando la siguiente formula:

Para que la empresa esté en un punto en donde no existan perdidas ni ganancias, se deberán vender 1,580 unidades, considerando que conforme aumenten las unidades vendidas, la utilidad se incrementará. El análisis que resulta del punto de equilibrio en sus modalidades, ayuda al empresario a la toma de decisiones en las tres diferentes vertientes sobre las que cotidianamente se tiene que resolver y revisar el avance de una empresa, al vigilar que los gastos no se excedan y las ventas no bajen de acuerdo a los parámetros establecidos.

El punto de equilibrio de la empresa se define como el nivel de ventas con el cual se cubren todos los costos de operación fijos y variables, es decir, el nivel en el cual las Utilidades antes de impuestos son iguales a cero.

El análisis de punto de equilibrio está íntimamente relacionado con el concepto de apalancamiento operativo (resulta de la existencia de gastos fijos en operación en el flujo de ingresos de la empresa, estos gastos no varían con las ventas y deben pagarse sin tener en cuenta el monto de los ingresos). El punto de equilibrio permite que la empresa determine el nivel de operaciones que debe mantener para cubrir todos sus costos de operación y para evaluar la rentabilidad a diferentes niveles de ventas.

Puede analizarse desde dos puntos de vista, el método algebráico y el gráfico.

El punto de equilibrio es susceptible a un buen número de variables, específicamente: costos fijos de operación, precio de venta por unidad y el costo variable de operación por unidad.

El análisis del punto de equilibrio presenta debilidades debido a que no permite su aplicación generalizada a todos los productos de una empresa, sino uno por uno; además, se asume solo de forma lineal en la clasificación de los costos y es aplicable en el corto plazo.

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Punto de supervivencia

El punto en que se cruzan las curvas de oferta y demanda,  se llama punto de equilibrio del mercado. Cuando el precio del mercado coincide con el del punto de equilibrio, la cantidad ofrecida y la cantidad demandada del bien es la misma. El precio correspondiente a ese punto es llamado precio de equilibrio. La cantidad que se ofrece y se demanda, en otras palabras, la cantidad del bien que se intercambia, es llamada cantidad de equilibrio.  

En ese punto,

• todo lo que se produce se vende

• todo lo que se demanda se puede adquirir

Cuando se desplaza alguna de las curvas por variaciones en los factores que determinan su posición, el punto de equilibrio se desplazará también, modificándose el precio y la cantidad de equilibrio. El precio de equilibrio aumenta como consecuencia de los desplazamientos a la derecha de la curva de demanda o los desplazamientos a la izquierda de la curva de oferta. 

Cuando los precios reales son superiores (o inferiores) al precio de equilibrio, el precio real tiende a bajar (o a subir).

Habrá una situación de equilibrio entre la oferta y la demanda cuando, a los precios de mercado, todos los consumidores puedan adquirir las cantidades que deseen y los oferentes consigan vender todas las existencias.

El precio y la cantidad de producto que se intercambiará realmente en el mercado queda determinado automáticamente como consecuencia de la forma de las curvas de oferta y demanda del producto. Si el precio es muy alto, los productores estarán ofreciendo mucho más producto del que demandan los consumidores por lo que se encontrarán con excedentes, cantidades que no pueden vender, por lo que reducirán sus producciones y bajarán los precios. Por el contrario, si el precio resulta ser demasiado bajo, las cantidades demandadas serán mayores que las ofrecidas por lo que se producirá escasez. Algunos consumidores estarán dispuestos a pagar más dinero por ese bien. El precio y la cantidad producida aumentarán. Veamos esos fenómenos en el ejemplo del mercado de trigo.

Si el precio fuese de 8 mil pesetas el quintal, los agricultores producirían 9 millones de quintales, los consumidores sólo demandarían 2 millones por lo que se acumularían unos excedentes de 7 (9 menos 2) millones de quintales. Sin duda ninguna el precio tenderá a bajar y en la temporada siguiente se habrá cultivado mucho menos trigo. En el caso opuesto, cuando el precio es de 2 mil pesetas el quintal, se habrían producido 5 millones de quintales mientras que la cantidad demandada es mucho mayor,  10 millones. Se produciría escasez, tendencia a subir los precios y a que los agricultores aumentasen su producción. En el caso de que el precio fuese de 3 mil pesetas, las cantidades ofrecidas y demandadas serían idénticas, tanto los productores como los consumidores estarían satisfechos y no habría ninguna razón para cambiar las cantidades producidas ni el precio. La figura muestra cómo el punto de equilibrio, E, se produce donde se cortan las curvas de oferta y demanda, es decir, en el punto en que se igualan precios y cantidades.

Conclusiones

Podemos apreciar, que resulta interesante el manejo de esta técnica en la determinación de niveles de ingreso, así como del volumen requerido, que satisfaga las expectativas de planeación consideradas en las arrendadoras financieras.

Utilizar la técnica del equilibrio en un modelo computacional permite realizar el análisis de sensibilidad en forma simple, ya que es posible involucrar diversas variables y manejar una gama de alternativas que permitan a la dirección de las arrendadoras financieras establecer estrategias con bastante oportunidad y valorar el efecto del volumen vs precio (tasa) en las utilidades.

En la toma de decisiones habrá que tener concordancia entre la misión de las arrendadoras financieras y los objetivos de penetración que se desea lograr, pues será necesario una reorientación al mercado, implementando estrategias comerciales y financieras con mayor creatividad, pues el mercado en su proceso de desarrollo, buscará servicios internacionales más competitivos

El punto de equilibrio de la empresa se define como el nivel de ventas con el cual se cubren todos los costos de operación fijos y variables, es decir, el nivel en el cual las Utilidades antes de impuestos son iguales a cero.

Bibliografía

• WWW.GOOGLE.COM

Autor:

Valladares Tamesaig

Boconó, Mayo de 2.004