Movimiento ondulatorio (página 2)

Partes: 1, 2

3.2. Función de onda (Cont.)
y (m)
x(m)
0
(Gp:) +A
(Gp:) – A

Foco
Propagación de la onda a la velocidad v
P
x
Número de ondas
Podemos concluir que el estado de vibración de un punto cualquiera P del medio nos viene dado por la ecuación:
Si no hubiésemos considerado nula la fase inicial
Esta ecuación es la ecuación del movimiento ondulatorio o función de onda, que nos permite calcular para un instante t el valor de la elongación y de cualquier punto del medio x.
Número de ondas k: representa el número de longitudes de ondas que caben en 2p metros. En el S.I. se mide en m-1
Si la propagación es en el sentido negativo del eje X
Ponemos ? dentro del paréntesis:

La ecuación del movimiento ondulatorio o la función de onda se puede expresar de diversas maneras:
En función de ? y k
En función deT y ?
En función de T y ?
En función de f y ?
3.2. Función de onda (Cont2.)
En función de f y ?

3.2. Función de onda (Cont3.)
Elegir una forma u otra depende de las condiciones iniciales del movimiento.
Como:
La ecuación del movimiento ondulatorio o la función de onda se puede expresar también en función del coseno:
Por último, la función de onda que describe la propagación de una onda en el sentido positivo del eje X, también se puede expresar como:
encontrándonos primero el término espacial k · x y en segundo lugar el término temporal ? · t , lo que también será determinado por las condiciones iniciales del movimiento.

 
Tabla resumen de las magnitudes características de las ondas

Ejercicio 13 de la página 124
Datos: ? = 20 cm = 0,20 m; f = 1750 Hz
La velocidad de propagación en función de la longitud de onda y de la frecuencia f ,es:

Ejercicio 15 de la página 128
Datos: y = 0,03 ·sen ( 3,5 t – 2,2 x) en unidades S.I.
a) Comparando la ecuación que nos dan, con la ecuación general obtenemos los siguientes datos :
y = A ·sen ( ? t – k x + fo )
La amplitud A = 0,03 m
La pulsación ? = 3,5 rad·s –1
El número de ondas k = 2,2 m –1
La fase inicial fo = 0 rad
Como :
Cálculo de la longitud de onda ?
despejamos la longitud de onda:
b) Cálculo del periodo T:
Como:
despejamos el periodo:
c) Cálculo de la velocidad de propagación:
Se propaga hacia la derecha
La velocidad de propagación la podemos calcular mediante la expresión:

Cont.
y = 0,03 ·sen ( 3,5 t – 2,2 x) en unidades S.I.
A = 0,03 m
? = 3,5 rad·s –1
k = 2,2 m –1
También hemos podido calcular la velocidad de propagación a partir de la pulsación ? y del número de ondas k
d) Cálculo de la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda:
Nos piden ahora la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda, que es distinta de la velocidad de propagación de la onda, que hemos calculado en el apartado anterior.
La expresión general de la velocidad de vibración la obtenemos derivando respecto al tiempo la función de onda:
vy = A · ?· cos (? t – k x + fo)
Sustituyendo en ella A, ? , k y fo tendremos la ecuación de la velocidad de vibración de cualquier punto:
vy = 0,03 · 3,5 · cos (3,5 t – 2,2 x + 0)
El valor máximo que toma la velocidad de vibración es cuando en las expresiones anteriores el coseno vale la unidad:
Vy máxima = A · ? = 0,03 ·3,5 = 0,105 m/s
1
1

Ejercicio 19 de la página 128
Datos: eje X negativo; ? = 20 cm = 0,20 m; f = 25 Hz; A = 3 cm = 0,03 m;
a) La velocidad de propagación es:
b) La ecuación general de la onda es:
Necesitamos,por tanto, conocer la amplitud A, la pulsación ? , el número de ondas k y la fase inicial fo para obtener la ecuación que nos piden.
El signo entre ? t y k x es positivo porque se propaga en el sentido negativo del eje X
• La amplitud es un dato A= 0,03 m
También hemos podido utilizar estas otras fórmulas para calcular la velocidad
• La pulsación ? la calculamos a partir de la frecuencia:
• El número de ondas k lo calculamos a partir de la longitud de onda:
• La fase inicial f0 supondremos que vale 0, ya que no nos dan datos para calcularla.
Por tanto la ecuación que nos piden la obtenemos sustituyendo estos valores en la ecuación general:
y (x,t)= A ·sen (? t + k x + fo)
= 0,03 ·sen (50 p t + 10p x) en unidades S.I.

c) La ecuación general de la velocidad de vibración de las partículas es:
Ejercicio 19 de la página 128 (Cont.)
vy (x,t) = A · ?· cos (? t + k x + fo)
y la aceleración con la que vibran las partículas responde a la ecuación:
a (x,t) = –A · ?2 · sen (? t + k x + fo)
y como el valor máximo que puede tomar el seno o el coseno de un ángulo es 1, la velocidad y aceleración máximas serán:
vmáxima = ± A · ?
= 0,03 ·50 p
= ± 1,5 p m/s = ± 4,7 m/s
amáxima = ± A · ?2
= ± 0,03 ·(50 p)2
= ± 75 p2 m/s2 = ± 740 m/s2

El signo – nos indica que la onda se propaga en el sentido POSITIVO del eje X, hacia la derecha
La función de onda de una onda armónica en una cuerda es:
Determina:
Actividad 2:
a) En qué sentido se mueve la onda y con que velocidad.
El valor de la velocidad es:
b) La longitud de onda y la frecuencia.
Como :
despejamos la longitud de onda:
Como :
despejamos la frecuencia:
c) Las ecuaciones de la velocidad y la aceleración en función del tiempo para una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = 5 cm .
Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración son, en unidades del SI:
Para x= 5 cm = 0,05 m:

Actividad 3
Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con una velocidad de 8 m·s–1. Su periodo es de 0,5 s y su amplitud 0,3 m.
a) Escribir la ecuación de la onda, razonando cómo obtener el valor de cada una de los parámetros que intervienen en ella.
La ecuación general de una onda armónica que se propaga de derecha a izquierda es:
y (x,t) = elongación del punto x en el instante t
A = Amplitud
? = Pulsación
f0= Fase inicial
? Según los datos:
A = 0,3 m
k = Número de ondas
? Como nos dan el periodo: T = 0,5 s , podemos calcular la pulsación:
? A partir de la pulsación y la velocidad v = 8 m·s–1 podemos calcular el número de ondas k:
? Como no nos dicen nada acerca de la posición de la partícula-foco en el instante inicial, supondremos que la fase inicial es 0 rad:
? La ecuación que nos piden, en unidades SI,es:
b) Calcular la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 2 m en el instante t = 1 s.

Actividad (Cont.)
A partir de la ecuación de la elongación, derivando respecto del tiempo, podemos escribir la ecuación general de la velocidad de cualquier partícula de la cuerda, en unidades del SI:
La partícula de la cuerda situada en el punto x = 2 m en el instante t = 1 s, tendrá una velocidad que calcularemos a partir de la ecuación anterior, sustituyendo x por 2 y t por 1:
(Ejercicio propuesto en las PAU de Andalucía el curso 08-09)

La expresión matemática obtenida para la función de onda y (x,t) revela una importante propiedad: el movimiento ondulatorio armónico sigue una ley doblemente periódica.
Es decir, se trata de una función y de dos variables x y t, lo que significa que el valor de y depende tanto del tiempo t como de la posición x del medio que consideremos.
Periodicidad respecto a la posición
Para un instante determinado, la elongación y es una función sinusoidal de la posición x, cuyo periodo es la longitud de onda ?
Las partículas separadas por un número entero de longitudes de ondas : x , x + ? , x + 2? , x + 3? , x +4 ? , x + 5 ? , …. están en fase.
Si están separadas por un número impar de medias longitudes de ondas: x, x+ , x+ 3 ….. están en oposición de fase
(Gp:) y (m)
(Gp:) x(m)
(Gp:) 0
(Gp:) +A
(Gp:) – A
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?
(Gp:) ?

Doble periodicidad de la función de onda
y ( x , t) = y (x + n· ? , t)

Periodicidad respecto al tiempo
Para una posición fija, la elongación y es una función sinusoidal del tiempo t, cuyo periodo es T
(Gp:) y (m)
(Gp:) t(s)
(Gp:) 0
(Gp:) +A
(Gp:) – A
(Gp:) T
(Gp:) T
(Gp:) T
(Gp:) T

Los estados de vibración de una partícula para tiempos que difieren en un número entero de periodos: t , t + T , t + 2 T, t + 3 T ,…. están en fase.
Si los tiempos difieren un número impar de semiperiodos: t , t + , t + 3 están en oposición de fase
y ( x , t) = y (x , t + n · T )

Actividad 4
Tenemos la ecuación de una onda armónica:
x e y en cm
t en s
Determinar:
a) Dos partículas del medio que estén en concordancia de fase con la partícula que se encuentra en el punto x = 0,85 cm
Estarán en fase todas las partículas que distan de x=0,85 cm un número entero de longitudes de ondas.
Por tanto, tenemos que calcular la longitud de onda ? :
Como :
despejamos la longitud de onda:
Estarán en fase con la partícula situada en x = 0,85 cm las partículas situadas en:
x = 0,85 + 4 = 4,85 cm
; x = 0,85 + 2 ·4 = 8,85 cm
; en general : x = (0,85 + n ·4) cm
b) La elongación del punto x = 0,85 cm en el instante t = 0,5 s.
Sustituimos estos valores en la ecuación de la onda para obtener la elongación y :
c) Dos instantes posteriores en los que esta partícula tenga la misma elongación.

Actividad 4 (Cont.)
x e y en cm
t en s
La partícula situada en x = 0,85 cm tendrá la misma elongación en todos los instantes que difieran de 0, 5 s un número entero de periodos T.
Por tanto, tenemos que calcular el periodo T :
Como :
despejamos el periodo:
La partícula situada en x = 0,85 cm tendrá la misma elongación en los instantes
t = 0,5 + 0,79 = 1,29 s
; t = 0,5 + 2 · 0,79 = 2,08 s
; en general : t = (0,5 + n ·0,79) s
d) ¿Qué desfase existe entre los puntos x1 = 0,85 cm y x2 = 2,85 cm en cualquier instante.
Para x1 la fase en cualquier instante t vale:
Para x2 la fase en cualquier instante t vale:
El desfase o diferencia de fase es:
Sustituyendo por sus valores podemos calcular el desfase:
Estos puntos estarán siempre en oposición de fase

3.3. Energía de una onda armónica
Cuando una onda armónica se propaga por un medio, cada partícula del medio se ve sometida a un movimiento armónico simple MAS.
Como vimos en el tema anterior, cada partícula tiene energía mecánica, suma de la cinética ( que tiene por estar en movimiento) y la potencial elástica ( como consecuencia de estar sometida a una fuerza conservativa)
Si recordamos lo que vimos en el tema anterior:
Como:
Sustituyendo en la expresión de la energía mecánica:
La energía transmitida por una onda armónica es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud A y al cuadrado de la frecuencia f
A partir de la energía podemos, dividiendo por el tiempo ?t, calcular la potencia P de la onda:
En el S.I. se mide en vatios (W)

Intensidad de las ondas
Rayo (recta que indica la dirección de propagación de la onda)
?
?
Frentes de onda esféricos (conjunto de puntos que en un momento vibran en concordancia de fase)
R1
R2
Foco
En la figura se representa una onda que se propaga por el espacio con frentes de onda esféricos.
La dirección de propagación de la onda es perpendicular al frente de onda y su velocidad es la misma en todas las direcciones radiales.
En un instante determinado t la onda ha alcanzado todos los puntos de una esfera de radio R1
Con cierto retraso el movimiento ondulatorio va alcanzando otros frentes de onda de radio cada vez mayor, como R2 .
Las partículas del frente de onda van recibiendo la energía procedente del foco, que se reparte entre todas las partículas. A medida que aumenta el radio del frente de onda, es mayor el número de partículas e irá disminuyendo la energía que recibe cada una. Teniendo en cuenta esto, introducimos una nueva magnitud, la intensidad.
Llamamos intensidad I de una onda a la energía que atraviesa por unidad de tiempo una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
Matemáticamente, se expresa:
P = Potencia de la onda
S = Área de la superficie
Unidad en el S.I.
Porción del frente de onda
•

Intensidad de las ondas (Cont.)
•
?
?
Frentes de onda esféricos (conjunto de puntos que en un momento vibran en concordancia de fase)
R1
R2
Foco
Veamos como disminuye la intensidad de la onda a medida que nos vamos alejando del foco.
Fijémonos en las superficies esféricas de radio R1 y R2 en un instante.
La intensidad en cada superficie será:
ya que la energía que procede del foco es la misma para todas las superficies.
Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos:
La intensidad de un movimiento ondulatorio, cuyos frentes de ondas sean esféricos, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.
Como hemos visto que la energía E es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud A:
y la intensidad I es directamente proporcional a la energía E , podemos
poner que:
La amplitud de un movimiento ondulatorio, cuyos frentes de ondas sean esféricos, es inversamente proporcional a la distancia al foco.
y por tanto:

Rayos
Si los frentes de ondas son superficies planas, la intensidad y la amplitud de la onda no disminuyen con la distancia al foco; se mantienen constante pues la energía se propaga por superficies iguales.
Atenuación y absorción de las ondas
I0
I0
x = espesor del medio
Hemos visto que cuando la onda se aleja del foco, la energía propagada se distribuye en la superficie de los frentes de onda, cada vez con mayor número de partículas y en consecuencia cada partícula vibrará con menor energía. Este fenómeno se conoce con el nombre de atenuación de las ondas ( disminución natural de la energía).
En una dirección así veríamos a la onda:
(Gp:) A
(Gp:) x

Por otra parte, el rozamiento de las partículas del medio y otras causas, producen una absorción de energía, cuya magnitud depende de la naturaleza del medio por el que se propaga la onda.
I0
I < I0
ß = Coeficiente de absorción del medio. En el SI se mide en m–1 .
ß
La intensidad de la onda se mantiene constante.No hay absorción.
La intensidad de la onda disminuye. Hay absorción.
La intensidad de la onda disminuye exponencialmente con el espesor del medio, según la ecuación:

Actividad 5
Una partícula transmite energía al medio elástico,homogéneo , isótropo y no absorbente que le rodea a razón de 20 J cada 5 s de forma continua. La amplitud de la vibración es de 3 cm a una distancia de 10 cm del foco emisor. Calcular:
a) La amplitud del movimiento ondulatorio en un punto que dista 40 cm del foco.
Hemos visto que la amplitud es inversamente proporcional a la distancia:
b) La intensidad de la onda en dicho punto.
Por definición:
No es necesario expresar las distancias al foco en metros, pues se eliminan las unidades.
c) ¿A qué distancia, medida desde el foco, la intensidad de la onda es la mitad de la obtenida en el apartado anterior?
Hemos visto que la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

Actividad 6
Calcular la velocidad del sonido en el aire a 27 °C.
Datos: el coeficiente adiabático del aire ? = 1,4 ; la constante de los gases R = 8,314
la masa molar del aire M = 28,9
Como cualquier onda, la velocidad de propagación del sonido depende sólo de las características del medio por el que se propaga ( aire en este caso) y no de las de la fuente que lo emite.
Aplicamos la expresión que vimos en la diapositiva 8, expresando los datos en el S.I.:

Actividad 7
¿A qué temperatura la velocidad de propagación del sonido en el aire es de 340 m/s?
Datos: el coeficiente adiabático del aire ? = 1,4 ; la constante de los gases R = 8,314
la masa molar del aire :
A partir de la expresión anterior, despejamos la temperatura:

Actividad 8
Las ondas sonoras son audibles por el oído humano para frecuencias comprendidas entre 20 Hz y 20 000 Hz. Determinar las longitudes de ondas de los sonidos que oímos los humanos.
Dato: Tomar la velocidad del sonido en el aire : 340 m/s
Como cualquier onda, la velocidad de propagación de las ondas sonoras se relaciona con su longitud de onda y su frecuencia por la expresión:
Despejando podemos calcular la longitud de onda:
Para f = 20 Hz:
Para f = 20 Hz: