Lógica de proposiciones (página 2)

Partes: 1, 2

Lógica de proposiciones
Disyunción inclusiva (O)

La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p q p O q
=============
V V V
V F V
F V V
F F F

Lógica de proposiciones
Conjunción (Y)

Es una conectiva definida por:

p Y q = NO ( NO p O NO q )

Lógica de proposiciones
La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p q p Y q
=============
V V V
V F F
F V F
F F F

Lógica de proposiciones
Condicional (SI … ENTONCES)

Es una conectiva definida por:

p COND q = NO p O q

Lógica de proposiciones
La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.

p q p COND q
================
V V V
V F F
F V V
F F V

Lógica de proposiciones
Bicondicional (… SI Y SOLO SI …)

Es una conectiva definida por:

p BICOND q = ( ( p COND q ) Y ( Q COND p ) )

Lógica de proposiciones
La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

p q p BICOND q
==================
V V V
V F F
F V F
F F V

Lógica de proposiciones
Disyunción exclusiva (O … O)

Es una conectiva definida por:

p EXCL q = NO ( p BICOND q )

Lógica de proposiciones
La sentencia será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera.

p q p EXCL q
================
V V F
V F V
F V V
F F F

Lógica de proposiciones
Axiomas y reglas

Los axiomas para el cálculo proposicional son:

( p O p ) COND p
q COND ( p O q )
( p O q ) COND ( q O p )
( p COND q ) COND [ ( r O p ) COND ( r O q ) ]

Lógica de proposiciones
A partir de estos axiomas y aplicando las dos reglas de transformación siguientes se puede demostrar cualquier teorema:

Lógica de proposiciones
Regla de sustitución: el resultado de reemplazar cualquier variable en un teorema por una sentencia bien formada es un teorema.

Regla de separación: si S y ( S COND R ) son teoremas, entonces R es un teorema.

Lógica de proposiciones
Relativo a un criterio de validación, un sistema axiomático debe cumplir las siguientes propiedades:

Debe ser lógico o razonable: en el sentido de que todo teorema es una tautología.

Completo: toda sentencia bien formada v lida es un teorema y se debe poder demostrar a partir de los axiomas.

Lógica de proposiciones

Consistente: no se pueden demostrar como teoremas, sentencias bien formadas que no sean tautologías.

Deben ser independientes: ningún axioma debe ser derivable a partir de los otros.