Leyes del Álgebra de Boole
INTRODUCCION
Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta matemática adecuada para el análisis y diseño de su funcionamiento es el Álgebra de Boole.
El Álgebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que C.E. Shanon publicó un libro llamado "Análisis simbólico de circuitos con relés"
Leyes del Álgebra de Boole
Hoy en día, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicos puede realizarse con rapidez y eficacia.
Leyes del Álgebra de Boole
Definiciones básicas
Se comenzará el estudio del Álgebra de Boole introduciendo el concepto de clase.
Se define como clase el total de los elementos que cumplen las características definidas por un criterio de pertenencia.
En general, una subclase S de una clase dada C, es una clase cuyos elementos pertenecen a la clase C. A su vez, la clase C podría ser una subclase de una clase más amplia que contuviera todos los elementos de C juntos con otros elementos distintos. E inversamente, la clase S puede contener sus propias subclases.
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Una clase especialmente importante es la denominada clase de referencia o clase universal, que es aquella que comprende a todos los elementos bajo estudio.
Una vez definida la clase universal, se puede definir la clase complementaria de una clase cualquiera A perteneciente a la universal, como la clase que encierra a todos los elementos de la clase universal excepto aquellos que están contenidos en la clase A.
Finalmente, se definir la clase vacía como la clase complementaria de la clase universal. De acuerdo con la definición de clase universal, la clase vacía es aquella que no contiene ningún elemento.
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Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn constituyen un sistema para representar gráficamente las clases.
Sus reglas básicas son las siguientes:
La clase universal U se representa por un rectángulo.
Una clase cualquiera A, perteneciente a la clase universal, se representa mediante la superficie definida por una curva cerrada, dibujada en el interior del rectángulo.
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Un elemento e de la clase A se representa por un punto dibujado en el interior de la curva cerrada.
La clase complementaria A' de la clase A se representa por la superficie diferencia entre la de la clase universal U y la de la clase A.
La clase vacía no tiene representación por medio de los diagramas de Venn.
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La representación de varias clases pertenecientes a la misma clase universal se realiza de la misma forma, es decir, dibujando en el interior del rectángulo tantos círculos como clases distintas se deseen representar.
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Las clases que tienen elementos comunes se representan mediante círculos que se cortan entre sí. El área común define el subconjunto formado por los elementos comunes a ambas clases. Si dos clases no tienen ningún elemento en común, no habrá ningún punto de corte entre sus dos diagramas.
La representación de subclases de una clase dada se realiza dibujando círculos en el interior de la clase.
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OPERACIONES
En esta sección se definirán las operaciones básicas del Álgebra de Boole, describiéndose a continuación su aplicación a los circuitos lógicos.
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Unión o adición
La unión de dos clases A y B se define como la clase formada por todos los elementos de la clase A, todos los elementos de la clase B, y ningún otro elemento. La clase unión se representa mediante la simbología matemática:
A O B
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Intersección o producto
La intersección de dos clases A y B se define como la clase formada por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a las clases A y B. La clase intersección se puede representar mediante los símbolos:
A Y B
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Complementación
La clase complementaria de una dada ya ha sido definida. Las notaciones simbólicas empleadas para representar el complementario de A son: A' o bien NO A.
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