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Identidades trigonométricas
Identidades básicas.
Resolución de ecuaciones.
Identidad de suma y diferencia.
Identidades de múltiplo de un ángulo.
Suma de sinusoidal como una sinusoidal.
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Introducción
En las sesiones anteriores estudiamos las propiedades gráficas y geométricas de las funciones trigonométricas. Ahora estudiaremos los aspectos algebraicos de la trigonometría , es decir, simplificación, factorización de expresiones y resolución de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas denominadas ecuaciones trigonométricas.
Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene ________________________ que se cumplen para todos los valores de la variable.
¿Cuáles son las herramientas básicas en el álgebra de la trigonometría? _______________________
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Identidades pitagóricas
x
t
t
y
P(cos t, sen t)
El número real t siempre está colocado en el punto(cos t, sen t) sobre el círculo unitario.
1
4
Identidades pitagóricas
x
t
t
y
sen t
cos t
1
Se cumple que:
sen² t + cos² t = 1 (1)
Si dividimos (1) entre cos² t
tan² t + 1 = sec² t (2)
Si dividimos (1) entre sen² t
1 + cot² t = csc² t (3)
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Identidades trigonométricas básicas
Identidades recíprocas
Identidades cocientes
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Identidades trigonométricas básicas
Identidades de cofunciones
y las identidades par-impar
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Demostración de identidades
Estrategias generales:
1. La demostración empieza con la expresión en uno de los lados de la identidad.
2. La demostración termina con la expresión del otro lado de la identidad.
3. La demostración consiste en mostrar una sucesión de expresiones, cada una de las cuales pueda distinguirse fácilmente como equivalente a la que le preceda.
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Identidades de cálculo
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Resolución de ecuaciones
1. Determine todos los valores de x en el intervalo [0, 2?) para la ecuación:
2. Determine todas las soluciones de la ecuación trigonométrica:
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(Gp:) y
Identidades de suma y diferencia
x
(Gp:) v
B(cos v, sen v)
1
(Gp:) u
A(cos u, sen u)
(Gp:) ?
D(1, 0)
C(cos ?, sen ?)
Haciendo ? = u – v, además como d(A; B) = d(C; D)
(Gp:) x
(Gp:) 1
(Gp:) ?
(Gp:) y
(Gp:) C
(Gp:) D
COSENO
(Gp:) A
(Gp:) B
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Identidades de suma y diferencia
d(A; B) = d(C; D)
simplificando:
Como ? = u – v:
cos(u – v) = cosu cosv + senu senv
Luego demuestre:
cos(u + v) = cosu cosv – senu senv
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Identidades de suma y diferencia
SENO
Se parte del hecho que:
Luego demuestre:
sen(u – v) = senu cosv – cosu senv
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