13
(Gp:) B
(Gp:) A
(Gp:) C
CASO 3D
ecuación de onda
En un recinto rectangular y con las paredes rígidas los modos propios son:
en las paredes:
(ver la página siguiente)
14
?+??
?
p+?p
p
En el caso armónico (una sola frecuencia)
Segunda ley de Newton
para un elemento de fluido
Por tanto (ecuación de Euler):
Cuando las paredes son absolutamente rígidas, las condiciones frontera son:
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(Gp:) 0.95 m
(Gp:) 1.4 m
(Gp:) 1.65 m
16
Frecuencias calculadas teoricamente A= 1.65 B= 1.4 C=0.95 velocidad del sonido 340 m/s
http://www.hunecke.de/en/calculators/room-eigenmodes.html
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18
19
MODO
2·1·0
20
Modos axiales: MAS IMPORTANTESse forman por dos ondas – una pareja de ondas progresivas enfrentadas, que se propagan a lo largo de uno de los ejes X,Y o ZModos tangenciales :se forman por cuatro ondas – dos parejas de ondas progresivas enfrentadas, que se propagan en uno de las planos XOY, XOZ o YOZModos oblicuos :se forman por seis ondas – tres parejas de ondas progresivas enfrentadas, que se propagan a lo largo de uno de los ejes X,Y o Z
La caída de los modos axiales, tangenciales y oblicuos se produce a diferentes velocidades (oblicuos a máxima velocidad por reflexiones más numerosas).
axial tangencial oblicuo
(m, 0, 0) (m, n, 0) (m, n, q)
21
(Gp:) X
(Gp:) Y
(Gp:) Z
1 0 0
0 1 0
1 1 0
2 0 0
2 1 0
1 1 1
SYSNOISE
Mapas sonoros de las superficies de un recinto rectangular para sus primeros modos propios.
Color azul indica los planos nodales de la presión acústica
22
23
24
www.signal.uu.se/Courses/CourseDirs/AdaptSignTF/Acoustics.pdf
25
Proporciones óptimas entre las dimensiones de un recinto rectangular
Artículo de Trevor Cox http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.135.9872&rep=rep1&type=pdf
26
Modos propios de los recintos rectangulares
cuya altura es de 10 pies = 3.048 m.
otras dos dimensiones están de acuerdo con la tabla de la transparencia anterior
Hz
27
28
DENSIDAD MODAL
kx
k3,1
ky
Cada “nodo” de la rejilla es un modo.
Le corresponde su
celda (por encima de él a su derecha, si no contamos con los nodos en los ejes).
K – espacio
Area de una celda
Número N de los modos por debajo de “k” = número de los nodos en el primer cuadrante dentro del círculo con el radio k ?
29
30
kz
kx
k1,3,2
p/A
p/B
p/C
Modos axiales tangenciales oblicuos
ky
1 “nodo” de la rejilla =
1 Modo =
1 volumen
elemental
“K – espacio”
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Número de modos por cada banda de 50 hz
A=1.65 mB=1.4 mC=0.95 m
VOL= ABCSUP=2(AB+AC+BC)LONG= 4(A+B+C)
Modos: oblicuos tangenciales axiales
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Respuesta en frecuencia de un recinto rectangular, 8 x 5.6 x 4 m
Example (Vigran)
En un recinto con dimensiones 6.2 x 4.1 x 2.5 m ?N/?f para 100 Hz es igual a 0.361. Dentro de un tercio de octava con la frecuencia central 100 Hz tenemos ˜ 0.23·100·0.361 ˜ 8 modos. El primer término aporta 5 modos.
Subiendo la frecuencia el primer término se hace dominante. Dentro de la banda de 23 Hz centrada en 1000 Hz tendremos unos 500 modos (el primer término aporta 470 modos). Dentro de un tercio de octava centrada a 1000 hz tendremos unos 5000 modos.
ANCHO DE BANDA
3 dB
Frecuencia de Schroeder 1/4
39
R
m
q
x=0
F0ej?t
40
Frecuencia de Schroeder 2/4
(Gp:) t
(Gp:)
(Gp:) x(t)
f
|v|2 ~ potencia
??
RESONANCIA ?
OSCILACIÓN LIBRE:
Potencia =
cuando = R2
Potencia =
cuando = 2R2 es decir, cuando
excluimos q ?
Relación entre las respuestas en frecuencia y en tiempo
1 GRADO DE LIBERTAD
Potencia =
= desarrollada por la fuerza
= absorbida por el amortiguador
36
A partir de la definición de la densidad modal :
Según criterio de Schroeder,
en el ancho de banda ?fn de un modo entran TRES frecuencias propias:
expresamos la separación en frecuencia entre dos modos :
Expresamos ?fn por el tiempo de relajación t :
Pasamos del tiempo de relajación t al tiempo de reverberación T:
Frecuencia de Schroeder 2/4
Finalmente la Frecuencia de Schroeder es:
37
En las salas relativamente grandes estamos por encima de la “frecuencia de Schroeder” fs . Por ejemplo, un aula universitario, volumen = 10·10·3 = 300 m3, TR = 1 s, la “frecuencia de Schroeder” fs es relativamente baja:
Frecuencia de Schroeder 4/4
Por tanto las frecuencias de interés (por ejemplo, el espectro de la voz se sitúa por encima de 100 Hz) estarán por encima de la fs. Excitando una frecuencia, “se despiertan” varios modos a la vez. Estaremos en el espectro continuo donde la respuesta en frecuencia de la sala es mas plana .
En las salas pequeñas las frecuencias propias son altas ( f ~ c/L ) y la “frecuencia de Schroeder” fs es relativamente alta. Por tanto parte de las frecuencias de interés estarán por debajo de la fs, donde serán importantes modos individuales.
La excesiva separación entre los modos en esta parte del espectro debilitará las frecuencias entre los modos. La no planitud de la respuesta en frecuencia de la sala puede provocar las coloraciones del sonido (la transparencia siguiente).
CRITERIO DE BONELLO:El número de los modos propios en un tercio de octava tiene que ser superior o igual que en el tercio anterior.
38
100 Hz
frec
100 Hz
frec
fs
fs
Recinto pequeño
Recinto
grande
presión
presión
39
CÁLCULO
DEL CAMPO ACÚSTICO
DENTRO DE UN RECINTO
40
FUNCIÓN DE GREEN =
= solución de la ecuación de onda para una fuente puntual
(P.A.Nelson, S.L:Elloitt, Active Control of Sound)
x = punto de recepción (3D)
y = punto de emisión (3D)
En campo libre:
Entonces para cualquier fuente con la velocidad volumétrica continua distribuida por el espacio :
Para un conjunto de monopolos:
41
En un recinto rectangular tenemos modos propios que satisfacen la ecuación de onda sin fuentes:
Y también satisfacen las condiciones frontera en las paredes:
Sustituyendo en la ecuación de onda:
Los modos forman un conjunto completo de funciones “ortonormales” capaz de representar cualquier función como una combinación lineal de estos modos (igual que la Serie de Fourier). Por tanto podemos suponer que
y teniendo en cuenta la propiedad de los modos propios obtenemos:
42
Multiplicamos ambas partes de esta ecuación por e integramos por todo el volumen V con respecto a la variable x.
Por la “ortonormalidad” de los modos propios en la parte izquierda quedará sólo un sumando con n = m:
Si además pasamos de “k” a “?” y tendremos en cuenta la absorción de las paredes ( d = constante de amortiguamiento) finalmente llegamos a la presión acústica creada por una fuente puntual en un recinto rectangular con paredes rígidas para cualquier frecuencia
Por la la propiedad de la función delta en la parte derecha quedará sólo:
Asi obtenemos que:
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EJEMPLO
Recinto de laboratorio
LX=1.65
LY=1.4
LZ=0.95
fuente en (0.1, 0.2, 0.3)
d = 0.1
5 primeros modos
plano X/Y (Z=0.1)
Finalmente el fasor de la presión acústica originada por un monopolo con un tono puro dentro de un recinto es:
Suponemos que las paredes son absolutamente rígidas y que la absorción es pequeña.
44
Si no funciona la página anterior:
Abrir MCAD
/Herram/Anim/Repro/Menu_com/ Abrir/2013-14…AA_CF…
.anim_modos…CAMPO_anim/ Menu_com/Velocidad/min(abajo)/Repro
Cuando termina? utilizar control manual
45
T.VIGRAN
50
Aquí la atenuación está introducida con el tiempo de reverberación T
( en vez de la constante d ). En el cálculo aportaron 10 primeros modos propios.
51
TR = 1 s
Transformada Fourier de la función de transferencia (transp. anterior)
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