Interpolación de un Polinomio de Lagrange
Este método es una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo por diferencias divididas y nos permite determinar valores intermedios entre puntos
Se define de la siguiente forma:
Además…
Las funciones en términos de x pueden ser de primero o segundo orden, de la siguiente manera:
Obtención del polinomio de Lagrange de primer orden.
A partir del polinomio de Newton:
Se reformula como:
Obtención del polinomio de Lagrange
La ecuación anterior se sustituye en la formula de interpolación lineal:
Se agrupan términos semejantes:
Si utilizamos f1(x)
La versión lineal de primer orden es semejante a una interpolación lineal, por esto se observa un error relativo porcentual muy alto.
Ejemplo #1. Con un polinomio de interpolación de Lagrange de primer grado, evalúe ln 2
Ejemplo # 1
Gráfica #1
Si utilizamos f2(X)
Si la versión es de segundo orden, la aproximación tiene una forma cuadrática, lo cuál logra un error relativo mucho mas pequeño y cercano al valor verdadero.
Ejemplo #2. Con un polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado, evalué In 2
Ejemplo # 2
Gráfica #2
Gráfica #3
Se muestra un caso de segundo grado.
La suma de los términos es el único polinomio de segundo grado.
Gráfica #4
Interpolación de Lagrange empleando la computadora
Problema
Estimar la velocidad del paracaidista en T=10s
Graficas del problema anterior
Coeficientes de un polinomio de Interpolación
La importancia de esta interpolación lineal consiste en la posibilidad de obtener la representación explicita de polinomios interpoladores sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones que imponen las condiciones de interpolación.
Fórmula General
Este método nos proporciona un polinomio conveniente de la siguiente forma:
Ejemplo#3
Calcule los coeficientes de la parábola de la forma:
Solución
Observación
Debe observarse que el método anterior no es el método de interpolación más eficiente para determinar los coeficientes de un polinomio.
Los coeficientes suelen ser inexactos, en particular para n grandes.
En resumen…
Para determinar un punto intermedio, emplee la interpolación de Newton o de Lagrange.
Para determinar una ecuación de la forma general, limítese a polinomios de grado menor y verifique los resultados.