Se dice que algo es recursivo si se define en función de
sí mismo o a sí mismo. El caso es que las
definiciones recursivas aparecen con frecuencia en
matemáticas, e incluso en la vida real. Un ejemplo: basta
con apuntar una cámara al monitor que muestra la imagen
que muestra esa cámara. En matemáticas, tenemos
múltiples definiciones recursivas: – Números
naturales: (1) 1 es número natural. (2) el
siguiente número de un número natural es un
número natural – El factorial: n!, de un número
natural (incluido el 0): (1) si n = 0 entonces: 0! =
1 (2) si n > 0 entonces: n! = n · (n-1)!
Asimismo, puede definirse un programa en términos
recursivos, como una serie de pasos básicos, o paso base
(también conocido como condición de parada), y un
paso recursivo, donde vuelve a llamarse al programa. En un
computador, esta serie de pasos recursivos debe ser finita,
terminando con un paso base. Es decir, a cada paso recursivo se
reduce el número de pasos que hay que dar para terminar,
llegando un momento en el que no se verifica la condición
de paso a la recursividad. Ni el paso base ni el paso recursivo
son necesariamente únicos.
Por otra parte, la recursividad también puede ser
indirecta, si tenemos un procedimiento P que llama a otro Q y
éste a su vez llama a P. También en estos casos
debe haber una condición de parada. Existen ciertas
estructuras cuya definición es recursiva, tales como los
árboles, y los algoritmos que utilizan árboles
suelen ser en general recursivos. A continuación se expone
un ejemplo de programa que utiliza recursión indirecta, y
nos dice si un número es par o impar. Al igual que el
programa anterior, hay otro método mucho más
sencillo de determinar si un número es par o impar, basta
con determinar el resto de la división entre dos. x
Por ejemplo: si hacemos par(2) devuelve 1 (cierto). Si hacemos
impar(4) devuelve 0 (falso). /* declaración de funciones,
para evitar errores */ int par(int n); int impar(int n); int
par(int n){ if (n == 0) return 1; return impar(n-1); } int
impar(int n){ if (n == 0) return 0; return par(n-1); }
¿Qué pasa si se hace una llamada recursiva que no
termina? Cada llamada recursiva almacena los parámetros
que se pasaron al procedimiento, y otras variables necesarias
para el correcto funcionamiento del programa. Por lo tanto si se
produce una llamada recursiva infinita, esto es, que no termina
nunca, llega un momento en que no quedará memoria para
almacenar más datos, y en ese momento se abortará
la ejecución del programa. Para probar esto se puede
intentar hacer esta llamada en el programa factorial definido
anteriormente: factorial(-1);
¿Cuándo utilizar la recursión? Para empezar,
algunos lenguajes de programación no admiten el uso de
recursividad, como por ejemplo el ensamblador o el FORTRAN. Es
obvio que en ese caso se requerirá una solución no
recursiva (iterativa). Tampoco se debe utilizar cuando la
solución iterativa sea clara a simple vista. Sin embargo,
en otros casos, obtener una solución iterativa es mucho
más complicado que una solución recursiva, y es
entonces cuando se puede plantear la duda de si merece la pena
transformar la solución recursiva en otra iterativa.
Posteriormente se explicará como eliminar la
recursión, y se basa en almacenar en una pila los valores
de las variables locales que haya para un procedimiento en cada
llamada recursiva. Esto reduce la claridad del programa.
Aún así, hay que considerar que el compilador
transformará la solución recursiva en una
iterativa, utilizando una pila, para cuando compile al
código del computador.
Ejercicio La famosa sucesión de Fibonacci puede definirse
en términos de recurrencia de la siguiente manera: Fib(1)
= 1 ; Fib(0) = 0 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2); si n >= 2
¿Cuantas llamadas recursivas se producen para Fib(6)?.
Codificar un programa que calcule Fib(n) de forma recursiva.
Nota: no utilizar estructuras de datos, puesto que no queremos
almacenar los números de Fibonacci anteriores a n;
sí se permiten variables auxiliares.
Dados dos números a (número entero) y b
(número natural mayor o igual que cero) determinar a^b.
int potencia(int a, int b){ if (b == 0) return 1; else return a *
potencia(a, b-1); } La condición de parada se cumple
cuando el exponente es cero. Por ejemplo, la evaluación de
potencia(-2, 3) es: potencia(-2, 3) -> (-2) ·
potencia(-2, 2) -> (-2) · (-2) · potencia(-2, 1)
-> (-2) · (-2) · (-2) · potencia(-2, 0)
-> (-2) · (-2) · (-2) · 1
Dado un array constituido de números enteros y que
contiene N elementos siendo N >= 1, devolver la suma de todos
los elementos. int sumarray(int num[ ], int pos, int N){ if (pos
== N-1) return num[pos]; else return num[pos] + sumarray(num,
pos+1, N); }… int num[5] = {2,0,-1,1,3}; int N = 5;
printf("%dn",sumarray(num, 0, N));
Dado un array constituido de números enteros, devolver la
suma de todos los elementos. En este caso se desconoce el
número de elementos. En cualquier caso se garantiza que el
último elemento del array es -1, número que no
aparecerá en ninguna otra posición. int
sumarray(int num[], int pos){ if (num[pos] == -1) return 0; else
return num[pos] + sumarray(num, pos+1); } … int num[5] =
{2,4,1,-3,1}; printf("%dn",sumarray(num, 0));
Dado un array constituido de números enteros y que
contiene N elementos siendo N >= 1, devolver el elemento
mayor. int mayor(int num[], int pos){ int aux; if (pos == 0)
return num[pos]; else { aux = mayor(num, pos-1); if (num[pos]
> aux) return num[pos]; else return aux; } }… int num[5] =
{2,4,1,-3,-1}; int N = 5; printf("%dn", mayor(num, 4));
1) Dado un array constituido de números enteros y que
contiene N elementos siendo N >= 1, devolver el elemento
mayor. En este caso escribir un procedimiento, es decir, que el
elemento mayor devuelto sea una variable que se pasa por
referencia. 2) La función de Ackermann, siendo n y m
números naturales, se define de la siguiente manera:
Ackermann(0, n) = n + 1Ackermann(m, 0) = A(m-1, 1)Ackermann(m, n)
= A(m-1, A(m, n-1)) 3) Dado un array constituido de
números enteros y que contiene N elementos siendo N >=
1, escribir una función que devuelva la suma de todos los
elementos mayores que el último elemento del array. 4)
Dado un array constituido de números enteros y que
contiene N elementos siendo N >= 1, escribir una
función que devuelva cierto si la suma de la primera mitad
de los enteros del array es igual a la suma de la segunda mitad
de los enteros del array.
El Problema Fue presentado en 1883 por el matemático
francés Edouard Lucas (1842 – 1891). El problema
consistía en lo siguiente: hay que mover una torre,
compuesta de discos de diferentes tamaños, de una aguja a
otra. Sólo hay dos reglas: Sólo se puede mover un
disco a la vez No está permitido mover un disco encima de
otro más pequeño
Según Lucas el juego había sido rescatado por el
Profesor N. Claus de Siam. La leyenda contaba que en el templo de
Benarés, Dios colocó durante la creación 64
anillos en una aguja. Desde entonces los bramanes, durante
incontables generaciones, han estado moviendo los discos de
acuerdo con las reglas de arriba. Cuando hayan conseguido mover
todos los discos, el templo se derrumbará y el mundo se
desvanecerá.
La solución Para resolver esto, empezamos por supuesto con
algo más fácil y lo más fácil que hay
es una torre compuesta por un único anillo.
¿Cuántos movimientos necesitamos? Evidentemente uno
solo.
¿Y con 3 discos?
void hanoi(int n,int com, int aux, int fin){ if(n==1) printf("%c
-> %c",com,fin); else{ hanoi(n-1,com,fin,aux); printf("n%c
-> %cn",com,fin); hanoi(n-1,aux,com,fin); } }