Problemas de Electrónica Analógica

Problemas de ley de Prefijos, Ley de Ohm, Mallas y Thevening

1.1 Enuciados problemas

1.1.1 Problemas de prefijos

1.1.2 Enunciados problemas cálculo de cálculo de potencia y resistencias.

• 1. Averiguar la energía y su coste en pts consumida de una estufa de 1.2kW durante 3h, conectada a la red general, sabiendo que el coste es de 20pts/kWh

• 2. Calcula la resistencia y la corriente que circula de una bombilla de 60 W a la red

• 3. Calcular la resistencia de un conductor de aluminio de 200m de longitud y (1.8 mm

• 4. Una línea eléctrica de 25Km de longitud debe de tener 60( de resistencia, Sabiendo que el conductor es cobre, calcular el (

• 5. Nos vienen con la reparación de una "yogurtera" de 15W que esta estropeada, hay que cambiar la resistencia. Calcular la longitud de alambre de nicrom de 0.2mm( a usar.

1.1.3 Enunciados problemas de Ley de Ohm

1.1.4 Enunciados problemas de mallas y Thevening

4.- Halla la corriente que marca el amperímetro por el método de las mallas y por el equivalente Thevening

5. Calcula los siguientes determinantes :

1.2 Soluciones a los problemas

1.2.1 Soluciones a los problemas de cambio de prefijos

1.2.2 Soluciones a los problemas de cálculo de potencias y resistencias

1.2.3 Soluciones a los problemas de ley de Ohm

Pero la resistencia de 4.4k es el resultado de dos que están en paralelo, luego hay que descomponerlas

• 1. El paralelo de 10k y 6k son 10*6/10+6 = 3.75k que esta en serie con la de 5k y 2k formando en total una resistencia de 9.75k luego la corriente total es I= V/R = 12/9.75 = 1.11mA, luego ya podemos calcular las tensiones de cada una de ellas :

La resistencia de 3.75k es la composición de dos en paralelo con una tensión de 4.2V, luego podemos hallar las corriente por cada una de ellas :

1.2.4 Soluciones a los problemas de mallas y Thevening

1. Tomando las dos corrientes en sentido contrario a las agujas de reloj tenemos las siguientes ecuaciones :

10(I1-I2) + 5I1 = 10+7-20

1I2 +2I2 + 10(I2-I1) = 20-3

Quitando paréntesis:

10I1- 10I2 + 5I1 = -3

I2 + 2I2 + 10I2 – 10I1 = 17

Agrupando (hay que tener cuidado de dejar las I1 debajo de las I1 y las I2 debajo de las I2 para aplicar Cramer)

15I1 – 10I2 = -3

-10I1 + 13I2 = 17

Aplicamos Cramer para resolver este sistema de ecuaciones, aunque cualquier método serviría :

2. Tomando las dos corrientes en sentido contrario a las agujas de reloj tenemos las siguientes ecuaciones:

3(I1-I2) + 6(I1-I3) = 12

3(I2-I1) + 1I2 + 1.5I2 + 0.5I2 = 10-5

6(I3-I1) + 1I3 = 12-10

Quitando paréntesis y agrupando (hay que tener cuidado de dejar las I1 debajo de las I1 etc..para aplicar Cramer)

9I1 – 3I2 – 6I3 = 12

-3I1 + 6I3 +0 = 5

-6i1 + 0 + 7I3 = 2

Aplicamos Cramer para resolver este sistema de ecuaciones, aunque cualquier método serviría :

• 3. Para el equivalente Thevening primero hay que calcular la Resistencia Thevening que es cortocircuitando todas las fuentes de alimentación quedan dos resistencias en paralelo :

4.- Por el METODO DE LAS MALLAS

Tomando todas las corrientes en el sentido contrario a las agujas de reloj tenemos las ecuaciones :

6I1 + 3(I1-I2) = 5 – 30 – 10

7I2 + 2I2 + 3(I2-I1) = 30 – 8

Quitando paréntesis y agrupando:

9I1 – 3I2 = -35

-3I1 + 12I2 = 22

Resolviendo por Cramer :

La corriente I1 no sería necesario calcularla, luego la solución es 0.93mA

Por el METODO DE THEVENING

Calculando el equivalente Thevening de sólo éste circuito :

Para la resistencia Thevening cortocircuitamos las fuentes de alimentación :

Calculando 6k en paralelo con 3k = 2k en serie con la otra de 2k resulta Rth = 4K

Para los voltios Thevening calculamos la malla simple :

Tomando la corriente en el sentido contrario a las agujas del reloj:

I= V/R = (30-5+10)/(6+3) = 3.88mA

Luego la tensión Thevening se calcula según el dibujo de la figura, hay que tener en cuenta que en la resistencia de 2k no circula corriente, pues no pertenece a la malla anterior

Así pues Vth= 10.4V

El equivalente Thevenig queda pues según la siguiente figura

Luego según la ley de Ohm

I = V/R = 10.4/(7+4) = 0.93mA

La misma solución que en el método de Mallas

Problemas de condensadores y transformadores

2.1 Enunciados problemas

2.1.1 Problemas de condensadores.

1. Calcular la capacidad del condensador de la figura para que tarde en cargarse 45s. Vcc=30V R=200k. Calcular la intensidad máxima de carga

2. Cuando se cierra el interruptor del problema anterior calcular

• a) la constante de tiempo

• b) la diferencia de potencial en las bornes del condensador cuando ha transcurrido desde que se cerró el interruptor, un tiempo igual a 10seg, 20seg, 30seg y 45seg

• c) Haz la gráfica de carga del condensador con los resultados obtenidos.

• d) Cuanto tiempo tarda en cargarse

3. Calcular el tiempo que le costará cargarse a 10V

• 4. Supongamos que en el condensador del problema 1 ha sido cargado previamente con 30V,¿Cuánto tiempo tarda en cargarse?

• 5. Una vez cargado se descarga a través de una resistencia de 200k calcula el siguiente cuadro y haz la gráfica correspondiente a la descarga:

6.- Calcula la capacidad equivalente del circuito de la figura.

2.1.2 Enunciados problemas de transformadores

1. En un transformador 8:3 conectado a la red general, tiene en el secundario una bombilla de 60W. Calcular la corriente que circula en el primario.

2. Calcular el transformador que habría que utilizar para que conectándolo a la red general proporcione 6mA a la bombilla anterior.

3. En un transformador, la tensión en el primario es de 220V y en el secundario es de 22V con 3A. Calcula la relación de espiras y la corriente en el primario

4. En un transformador el nº de espiras en el primario es de 180 y en el secundario es de 45, si en el primario la red es 100V y 50Hz y en el secundario la carga es de 50W calcula v2 I1 I2

5. Calcula la relación de espiras de un transformador que conectado a la red general proporciona 2 A a una bombilla de 100W. Si en el primario el devanado tiene 150 vueltas. ¿Cuántas vueltas tiene el secundario?

2.2 Soluciones a los problemas

2.2.1 Soluciones problemas de condensadores

4.- Para calcular el tiempo de carga una vez cargado si aplicamos la fórmula anterior nos saldría infinito, la forma de calcularlo es calcular el tiempo que tardó en cargarse a 20V (t20) y como el tiempo total de carga t30 lo sabemos pues es t30 = T = 5RC = 45seg lo restamos al anterior y esa es la solución:

• 1 Lo primero es pasarlo todos a las mismas unidades : C2=6nF C3=5nF C4=8nF C5=50nF estos dos últimos al estar en paralelo 8+50 = 58nF y los demás el paralelo de 6nF con 58n sale 5.43n y éste con 5n sale 2.6nF que es el resultado.

2.2.2 Soluciónes a los problemas de transformadores

• 1. Si obtenemos la tensión en el secundario : v2 = (n2/n1) v1 = 3/8 220 = 82.5V

Con la potencia en secundario podemos obtener la corriente en el secundario

P2 = v2 i2 = > i2 = P2 / v2 = 60/82.5= 0.72A

Luego la corriente en el primario :

i1 = v2 i2 / v1 = 0.27A

También se podría haber hecho el problema directamente :

i1 = P2 / v1 = 0.27A

• 2. Si obtenemos la tensión en el secundario : v2 = P2/i2 = 60/6m= 1000V

Luego la relación de espiras

(n1/n2) = v1/v2= 220/100 = 0.22 es decir por cada vuelta del secundario hay 0.22 en el primario o también por cada vuelta en el primario hay 4.5 en el secundario

• 3. (n1/n2) = v1/v2= 220/22 = 10 es decir, por cada vuelta en el secundario hay 10 en el primario.

La corriente i1 = v2 i2 / v1 = 0.3A

• 4. Si obtenemos la tensión en el secundario : v2 = (n2/n1) v1 = 45/180 100 = 25V

Luego i2 = P2 / v2 = 50/25= 2A así pues i1 = v2 i2 / v1 = 0.5A

• 5. v2=P2/i2=100/2=50V luego (n1/n2) = v1/v2=4.4

n2=n1/4.4 = 150/4.4=34 vueltas

Problemas de corriente alterna

3.1 Enunciados de problemas

1.- Considerando la red general 220V 50Hz calcular:

• a) el periodo de la señal

• b) el valor máximo de la tensión (Vmax)

• c) el valor de la tensión para los siguientes valores de tiempo 1ms 2ms 5ms 8ms 10ms 12ms 15ms y 18ms (V instantanea )

• d) dibujar la forma de onda resultante de la señal senoidal en la figura del osciloscopio (canal A)

2.- Un generador de ca cuya fem tiene un valor eficaz de 100V, se conecta a una resitencia de 50( Hallar a) El valor máximo de tensión b)Los valores efizaz (Vef) y máximo de corriente

3.- Pasar a forma polar estos números complejos 5-3j –4-8j 8+j0 0-5j 3+5j

4.- Pasar a forma binómica estos números complejos 6(60º 8(-90º 7(115º 2(53º 3(270º 4(200º

5.- ¿Que resistencia ofrece al paso de una ca de 220V 50Hz una bobina cuyo coeficiente de autoinducción L vale 9.55mH? Calcula la intensidad eficaz que pasa

Calcular nuevamente la reactancia si la frecuencia de la señal sube a 2kHz.

6.- ¿Que resistencia ofrece al paso de una ca de 220V 50Hz un condensador de 80(F?

Calcula la intensidad eficaz que pasa

Calcular nuevamente la reactancia si la frecuencia de la señal sube a 2kHz

7.- Calcula la impedancia, la corriente, la ddp en cada componente y el desfase entre corriente y tensión del circuito de la figura. Halla la potencia aparente , activa y reactiva

Dibujar el vector impedancia, dibujar el osciloscopio y los voltímetros

8.- Calcula la impedancia, la corriente, la ddp en cada componente y el desfase entre corriente y tensión del circuito de la figura. Halla la potencia aparente , activa y reactiva

Dibujar el vector impedancia, dibujar el osciloscopio y los voltímetros

9.- Calcula los valores de los voltímetros

10.-Halla la frecuencia de resonancia del anterior circuito, y calcula los valores de los voltímetros a esa frecuencia

3.2 Soluciones a los problemas de corriente alterna

• 1. a) T = 1/f = 1/50 = 20mseg

• b) Vmax = Vef* (2 = 311 V

• c) Primero calculamos la velocidad angular w = 2(/T = 314 rad/seg

Ahora podemos usar la fórmula

V (t) = Vmax sen wt pero poniendo la calculadora en modo de RADIANES.

V (1 ms ) = 311 sen 314* 1m = 96.1V

V (2 ms ) = 311 sen 314* 2m = 182.7V

V (5 ms ) = 311 sen 314* 5m =311V5

V (8ms ) = 311 sen 314* 8m =183.1V

V (10 ms ) = 311 sen 314* 10m =0.5V

V(15ms)=311 sen 314* 15m =-182.3V

V(12ms)=311 sen 314* 12m =-311V

V(18ms)=311sen 314*18m = -182.3V

Si lo representamos en una gráfica sale según la figura

• d) En el osciloscopio tenemos que representar

El valor de los voltímetros se puede calcular según la figura, multiplicando los módulos y sumando las fases

El vector impedancia :

Para dibujar el osciloscopio :

Como son positivos, Se adelanta el canal B con respecto el A.

Para dibujarlo empieza con la forma de onda del canal A, empezando en el eje horizontal donde quieras, sólo tiene que cumplir que el ancho de la onda tiene que ser 20 mseg, en el dibujo puedes observar que el canal A se ha empezado de tal forma que los 20mseg acaban justo al final, esto se ha hecho para dejar hueco al canal B en la parte izquierda pues esta adelantado.

La potencia aparente P = VI = 220*5 = 1.1kW

La potencia activa Pr = VI cos (i = 220*5*cos 46.3 = 760W

La potencia reactiva Pr = VI sen (i = 220*5*sen 46.3 = 795W

• 5. Primero calculamos la impedancia :

Para dibujar el osciloscopio :

El canal B visualiza la tensión en el condensador 7V = 9.87Vmax = 1DIV y el desfase -62º se convierte en tiempo con una regla de 3 :

• 6. Primero calculamos la impedancia total

Los voltímetros se calcularán multiplicando cada corriente por su impedancia según la figura

Como se puede ver suman más de 20V que es el generador, esto se debe a que el argumento de la bobina y del condensador son opuestas, pero si se sumasen todas las tensiones vectorialmente, tendríamos los 20V del generador.

10. La frecuencia de resonancia es .

Los voltímetros se calcularán multiplicando cada corriente por su impedancia según la figura, como se puede ver la resistencia se queda con toda la tensión, las demás se anulan.

Problemas diodos y fuentes de alimentación

4.1 Enunciados de problemas

4.1.1 Problemas de diodos

1. Dibuja la señal del osciloscopio sabiendo que el generador proporciona una señal senoidal de 25Vmax y 50Hz. V1=5V, V2=10V (Canal A = 10V/div, Time Base=5mseg/div) D1 y D2 de Silicio ¿Por qué en la figura el generador marca 17.6V?

2. Dibuja la señal del osciloscopio sabiendo que el generador proporciona una señal triangular de 30Vmax y 50Hz. (Canal A = 10V/div, Time Base=5mseg/div) Diodos de Silicio ¿Por qué hay unas resistencias?

3. Dibuja la señal del osciloscopio sabiendo que el generador proporciona una señal triangular de 5Vmax y 50Hz. (Canal A = 2V/div, Time Base=5mseg/div. Zener de silicio. ¿Por qué el generador marca 3.53V y hay una resistencia de 1K?

4. Calcula la salida V1 y V2 rellenando la siguiente tabla.

Vcc=12V D37=3V y D42=2V

5 Calcula la salida del osciloscopio (los voltios de la fuente
son eficaces)

6.- Calcula la salida del circuito de la figura

4.1.2 Problemas fuentes de alimentación

La cargas previsibles son de 50K como mínimo. Se pide calcular

• a) La tensión que proporciona a la carga

• b) El rizado que proporciona

• c) Dibujarlo en la pantalla del osciloscopio Time/Base=5ms. Canal A=25V/Div

• d) Calcular el rizado pero cambiando el condensador a 200nF.

2.- Una fuente de alimentación conectado a la red de onda completa proporciona una tensión de continua de 140V a la salida de un condensador de 50(F. Calcula la relación de espiras del transformador.

3.- Calcular el condensador mínimo que tendría que tener una fuente de alimentación para que proporcione un rizado de 2Vef a cargas de 200mA. La fuente de alimentación es de doble onda y está conectada a la red 220V 50Hz

• a) Calcular el rizado del condensador

• b) Ver si la resistencia zener es buena en caso contrario elegir una Rz

• c) Dibujar las formas de onda del osciloscipio. Time=2m Canal A = 25V/Div

• d) ¿Como sería el dibujo si el osciloscopio estuviese conectado en la carga?

8.- Supongamos que en una fuente de alimentación como el de la figura anterior la red es 120V 60Hz, la y el zener de 4V5, 400mW y Izmin=2mA, la resistencia de carga es de 200(, y la señal del osciloscopio es la siguiente:

Calcula:

• a) El valor de la relación de espiras del transformador.

• b) El valor del condensador

• c) Una resistencia zener adecuada

9. Diseña una fuente de alimentación a la red general con un transformador 1:1/4 salida 6V, los zener 3W Izmin = 1mA y las cargas previsibles pueden llegar a 2W. Rizado eficaz del condensador 10%.

10.- Supongamos que compramos en España una fuente de alimentación que proporciona diferentes tensiones 1V, 3V, 4.5V, 6V, 9V, 10V 12V a la salida y 300mV de rizado eficaz, lo utilizamos para un walkman que tiene de carga 100( y necesita 7V.

• a) ¿Cuánto es el valor del condensador interior? (es de doble onda)

• b) ¿Cuáles son las relaciones de bobinado del transformador?

Ahora tenemos que viajar a América (red 125V 60Hz).

• c) ¿Podemos usar la fuente de alimentación o tendremos que comprar otra? ¿Qué medida habría que realizar?

• d) ¿Cuánto rizado tendremos? ¿Mayor o menor?

11.- Diseña una fuente de alimentación que se pueda conectar a la red general, la salida del filtro del condensador debe de tener 20V dc y un 10% de rizado eficaz. La etapa estabilizadora con un zener , 1W e Izmin = 0.8mA. La carga necesita 14V y 1.5mA

12.- Supongamos que en el problema anterior, en vez de un zener ponemos de etapa estabilizadora un 78XX, ¿Cuál cogerías? ¿Cómo lo diseñarías? ¿Qué rizado obtendrías?

13.- Diseña una fuente de alimentación variable para una carga 0.5A de 5V a 12V, y de rizado como máximo de 0.9mVpico a pico

14..- El circuito de la figura es el esquema interno de un integrado parecido al 78XX que podéis encontrar en el EWB como regulate.ewb, el osciloscopio presenta la pantalla de arriba cuando Canal A y B están en DC y 10V/div, y la de abajo cuando están a AC canal A 20V/div y Canal B 15mV/div

a) ¿A qué tipo de 78XX sería equivalente?

b ) ¿Cuánto es su Riple Rejection?

Manual de características técnicas del LM78XX :

Hay que destacar los siguientes valores técnicos para resolver los problemas :

2 Soluciones a los problemas

4.2.1 Soluciones a los problemas de diodos

1. Pues D1 empieza a conducir cuando la tensión es más baja que -5v y D2 cuando es más baja que -10V, luego D2 no se activa nunca.

2. El primer diodo empezará a conducir cuando la entrada sea >10V

El segundo diodo cuando sea >20V

3. D26 es un zener y empezará a actuar cuando la entrada sea >1V

D27 es un zener y empezará a actuar cuando la entrada sea 3V pero no se dispara nunca pues antes lo hace D26

4. La tabla queda de la siguiente manera :

5 La solución es que se corta a tensiones inferiores a 5V pues el zener conduce, y no pueden superarse tensiones superiores a 5+9.1=14.1V pues el zener limita la tensión

6.- La tabla queda de la siguiente manera

4..2.2 Soluciones a los problemas de fuentes de alimentación

5. Si vemos en el manual del 7812 el Riple Rejection (rechazo de rizado)

8 a) La salida podemos ver que Vmax = 2.5Div*5V/Div = 12.5Vmax = 88Vef luego n1/n2 = v1/v2 = 120/8.8 = 13.6

c) con una sencillas reglas de 3 tenemos

Con 220 tenemos 9

luego 125 tendremos x x=5.11V no sirve

Con 220 tenemos 10

luego 125 tendremos x x=5.68V no sirve

Con 220 tenemos 12

luego 125 tendremos x x=6.8V sí que podría servir A 12V

12. Con 14V el 7815 nó podemos utilizarlo pues sobrepasa, el 7812 sí luego el circuito sería el siguiente

13. Elegimos un 7805 (se pide desde 5V a 12V) luego como según los manuales 7.5(Vin(20 elegimos Vin=17V luego v2=17Vma = 12Vef

luego n1/n2 = v1/v2 =220/12=18.3 y que resista 1A como mínimo (en vez de pedir un transformador 18.3:1 es mejor pedir 220:12 que es lo normal)

14 a) Vout = 1.5Div * 10V/Div = 15V luego se trata de un 7815

b) Vrin = 1.8Div*20V/Div = 36V (Canal A)

Vrout = 1.5Div*25mV/Div=22.5mV (Canal B )

Luego RR = 20log Vrout/Vrin = 20log (36/22.5m) = 64dB

Problemas de Triac, Diac …

5.1 Enunciados problemas de Triac Diac …

5 Diseña un circuito con UJT que tenga una frecuencia de disparos de 4KHz, el UJT puede ser el del problema 4.1, y Vcc=40V

8 Ahora diseñar el circuito para que tenga una frecuencia de pulsos de 20kHz, con el mismo PUT y Vcc

9 Diseñar el circuito para que tenga una frecuencia de pulsos de 50kHz, con PUT Vv=0.8V ,Vcc=12V, R1=200K y R2=300K

10 Diseña un circuito controlador de potencia como el de la figura, suponiendo que el TRIAC Vp=400V Vv=1V DIAC Vp=40V Vv=1V RED=220V 50Hz, para controlar la conducción desde 10º hasta 160º

11 Calcula los ángulos de conducción del circuito de la figura suponiendo los mismos componentes que en 10 y R=2k P=50k y C=500nF

12 Calcula los ángulos de conducción del circuito de la figura suponiendo los mismos componentes que en 10 y R=100( P=10M y C=500nF

13 Diseña un circuito controlador de potencia como el de la figura, suponiendo que el TIRISTOR Vp=400V Vv=1V SHOCKLEY

Vp=80V Vv=1V RED=125V 60Hz, para controlar la conducción desde 40º hasta 140º

14 Calcula los ángulos de retraso del circuito de la figura suponiendo los mismos componentes y la misma red que en 13 y R=1K P=100K y C=100nF

15 Repetir el mismo problema pero C=2(

16 Suponiendo que en el circuito de la figura de 7 R1=20K, R2=30K Vcc=40V R=50K y C=500nF, calcula la frecuencia de pulsos de salida si el PUT tiene un Vv=1V

17 Ahora diseñar el circuito para que tenga una frecuencia
de pulsos de 20kHz, con el mismo PUT y Vcc

5.2 Soluciones a los problemas de Diacs, Triacs …

1 Como la rbb del UJT es mucho mayor que la Rb1+Rb2 exteriores, podemos usar la fórmula aproximada :

2Ahora no hay más remedio que utilizar la fórmula no aproximada de disparo del UJT :

Como se puede observar, la frecuencia sube si baja la tensión de disparo, pues el condensador tiene menos recorrido para cargarse.

3 En este caso podemos hacer exactamente que en 1 y sale Vp=5.5V T=5.54seg f=0.18Hz

7 La tensión de pico de un PUT obedece a la siguiente fórmula :

Vp = Vg+0.5 como en la puerta esta conectado un divisor de tensión con dos resistencias, la tensión en la puerta es

8 Ya que nos dan libertad de elección en las resistencias del divisor de tensión R1 y R2, lo más fácil es elegirlas iguales, de esta forma la tensión el la puerta es la mitad de la tensión de alimentación.

Por ejemplo

Como también nos dan libertad de elección en R y C, elegimos uno de los dos, por ejemplo R=1k, luego despejando C de la fórmula de carga en continua :

9 No nos dan libertad de elección en las resistencias del divisor de tensión R1 y R2, luego hay que calcular el valor de tensión en el divisor

10 Antes hay que asegurarse que el Triac no se disparará él solo, efectivamente Vp=400V>Vmax=311V. En caso contrario, el problema no tiene solución. Una vez hecha la comprobación, normalizamos la tensión de disparo del Diac : Vp/Vred = 40/220 = 0.18.

Observando el ábaco para el ángulo de conducción mayor (sin potenciómetro).

11 Normalizamos la tensión de disparo del Diac : Vp/Vred = 40/220 = 0.18.

12 En este caso, si actuamos igual que el problema 11 nos resulta

Estos valores tan exagerados del potenciómetro (muy grande) y de la resistencia (muy pequeña) demuestran que prácticamente el circuito regula la carga desde el apagado total, hasta el encendido total.

13 Antes hay que asegurarse que el Tiristor no se disparará él solo, efectivamente Vp=400V>Vmax=176V. En caso contrario, el problema no tiene solución. Una vez hecha la comprobación, normalizamos la tensión de disparo del Sockley : Vp/Vred = 80/125 = 0.64.

La única diferencia de este problema con respecto a otro hecho con un Triac y un Diac es que éste último funciona en los dos semiciclos.

14 Normalizamos la tensión de disparo del Shockley :

Estos valores tan exagerados del potenciómetro (muy grande) y de la resistencia (muy pequeña) demuestran que prácticamente el circuito regula la carga desde el apagado total, hasta el encendido total.

15 En este caso tenemos

Es decir, desde mitad encendido, hasta el total apagado.

5.3 Fórmulas de la carga del condensador

5.3.1 Fórmula carga del condensador en continua

5.3.2 Ábaco de la carga del condensador en alterna

Ampliación del diagrama anterior :