Equilibrio Traslacional Suma de las fuerzas vale cero El objeto
viaja a V = cte o se encuentra en reposo
Equilibrio Rotacional Suma de los torque vale cero El objeto se
mueve girando sobre algún eje con vel. ang. = cte, o no se
encuentra girando
Tipos de Equilibrio E. Estable E. Inestable E. Marginal
Si el cuerpo no está en equilibrio Suma de las fuerzas
vale m*a M es la masa del objeto, y a es la aceleración
resultante. Suma de los torques vale I*a I es el momento de
Inercia del objeto, y a es la aceleración angular
resultante. Además T = r x F
Momento de Inercia de un cuerpo Es una magnitud que da cuenta
como es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema
de partículas alrededor de uno de sus puntos. Es
análogo a la masa de un cuerpo. Representa la inercia de
un objeto a rotar.
Para un sistema de partículas se define como la suma de
los productos entre las masas de las partículas que
componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada
partícula a al eje de giro escogido.
Matemáticamente se expresa como:
Note que si: I = ? mi * ri ² Entonces si se tiene
sólo una partícula: I = m*r² El momento de
inercia depende de la distancia entre el objeto y el eje de giro.
m
Ejercicio ejemplo: Se tiene tres partículas de masas
iguales m= 0,5 (Kg), cada una tres metros de la otra respecto del
origen de un plano cartesiano (ver figura). a) Calcular el
momento de inercia de la esfera 1 respecto del eje Y. b) Calcular
el momento de inercia del sistema respecto del eje Y.
Momento de Inercia para un sólido rígido. Se
determina sumando los momentos de inercia de todas las
partículas que forman el cuerpo. Algunos valores para
cuerpos rígidos típicos.
Ejercicio Calcule el momento de inercia para: a) Una barra de
largo 50 cm y masa 5 Kg que gira sobre un eje que: i) pasa por su
centro ii) pasa pos su extremo b) Un cilindro de radio 10 cm y
alto 20 cm, cuya masa es de 800 grs. si gira sobre n eje central:
i) // a su altura ii) // a su diámetro c) Una esfera que
gira sobre su diámetro, de masa 2,5 Kg y diámetro
25 cm. d) Un cascaron esférico de masa 1000 grs y radio 50
cm que gira sobre su diámetro.
Momento angular El momento angular (cantidad vectorial) es
conocido como la “Cantidad de movimiento que lleva un
cuerpo cuando está girando”. Análogo a
cantidad de movimiento lineal. Matemáticamente es: L = I *
? donde I es el momento de inercia y ? es la vel. ang.
Momento angular y Torque si diferenciamos esta última
ecuación: ?L = I * ?? Y luego dividimos por ?t, tenemos
que: ?L/ ?t = I * a Entonces llegamos a: Torque = ?L / ?t
Ejercicio Calcule el momento angular de los objetos del ejercicio
anterior si cada uno lleva vel. ang = 4 rd/seg
Momento Angular y Lineal Como T = r x F y: T = ?L / ?t ?L = r x F
* ?t pero F = m * ?v / ?t ?L = r x m * ?v Ahora, m * ?v = ?p
entonces: ?L = r x ?p Sin diferencias: L = r x p es la
relación entre las cantidades de movimiento lineal y
angular para un cuerpo que gira respecto de un eje.
Ejercicio Se tiene una esfera de masa 3,5 Kg que gira en torno a
un eje a 50 cm. Cada vuelta demora 7 seg. Calcule la cantidad de
movimiento lineal de la esfera Calcule el momento de inercia de
la esfera Calcule la cantidad de movimiento angular de la
esfera
Cambio en el Momento de Inercia Como vimos antes, I = ?
mi*ri² entonces depende de la distancia a la cual gira el
cuerpo. Si trabajamos con un sólido rígido
también dependerá de la distancia a la cual gira el
sólido. Podemos cambiar el momento de inercia, o calcular
el momento de inercia si cambia el eje de giro.
Teorema de los Ejes Paralelos(o teorema de Steiner) Dice que si
un cuerpo de masa M que posee momento de inercia Icm respecto de
su centro de masa y gira en torno a un eje a una distancia d del
centro de masa del sólido rígido, entonces su nuevo
momento de Inercia I´ calculado respecto de el nuevo eje de
giro es: I´ = Icm + M*d²
Ejemplo Se sabe que para una barra de masa M y largo L que gira
en torno a aun eje que pasa por su centro de masa y paralelo al
diámetro, su I = ML² 12 Si consideramos que la barra
ahora gira en torno a uno de sus extremos, la distancia entre el
nuevo eje de giro y su centro de masa es d=L/2
Ejemplo Entonces I´ = Icm + M*d² como d=L/2 y Icm =
ML² 12 I´ = ML² + ML² 12 4 Sacando factor
común: I´ = ML² + 3ML² => I´ =
4ML² => I´ = ML² 12 12 3 Que es el valor dado
por tabla
Ejercicio Calcule el valor del momento de inercia de una
superficie plana de ancho w y largo l si gira en torno a un eje
paralelo al lado w, y cuya masa es M. Calcule el momento de
inercia de un cilindro de radio R que gira en torno a un eje
paralelo a su altura h, y cuya masa es M. Calcule el momento de
inercia de una esfera de radio R y masa M que gira en torno a un
eje tangente a su superficie. Calcule el momento de inercia de un
cascarón esférico de radio R y masa M que gira en
torno a un eje tangente a su superficie.
El péndulo simple También llamado péndulo
matemático. Es una situación ideal, en la que un
cuerpo de forma esférica, y cuya masa es m, pende de un
hilo ideal (de masa despreciable – m = 0 – e
inextensible) cuyo largo es L, en las cercanías de la
superficie terrestre (g = acel. grav.)
El péndulo simple consideremos que giramos el
péndulo un ángulo a menor a 10°, y lo soltamos
provocando un movimiento de rotación. El periodo del
movimiento T se define como el tiempo que demora un cuerpo en
completar una oscilación, y esta se da cuando el objeto se
encuentra en la misma posición y viajando con la misma
velocidad. a
El péndulo simple Si a es pequeño, se cumple que:
Note que el periodo de oscilación es independiente de la
masa que cuelga. a
Experimento: Medición de g Con el péndulo simple,
es posible encontrar cuanto vale la aceleración de
gravedad en las cercanías de la superficie terrestre en
esta zona (Viña del Mar). De la ecuación anterior,
podemos despejar g: Para determinar el valor de g es necesario
montar un péndulo simple y tomar medidas del largo y del
periodo de oscilación, luego reemplazar en la
ecuación de arriba y encontrar g.
Experimento: Medición de g Procedimiento: Para un
ángulo fijo, y largos L distintos del hilo, tome 10
mediciones de el tiempo t que demora en completar n oscilaciones.
t/n es el periodo T de cada oscilación. Construya una
tabla t, n, T, L Calcule el valor de g para cada toma de datos,
según la expresión encontrada. Encuentre el valor
promedio de g que obtuvo.
Ejemplo.
Cálculo de Error Porcentual Si para una variable dada se
experimenta tomando datos y encontrando experimentalmente un
valor promedio, existe un porcentaje de error, típico de
cualquier medición, que puede obtenerse a partir del valor
teórico estándar. Según la
ecuación:
Ejemplo. Para el valor de g obtenido es 9,657 (m/s²) El
valor teórico de g es 9,81 (m/s²) el porcentaje de
error es: Un error del orden del 3% se considera aceptable.