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Los gradientes



    Introducción

    Debido a la inflación, se observa que casi todos
    los renglones de la economía van aumentando de precios, por
    esta razón, es necesario elaborar modelos matemáticos
    que ajustándose a los índices de inflación puedan
    compensar los efectos erosionantes en el dinero, a través
    del tiempo, entre los modelos matemáticos que pueden suplir
    esta necesidad están los gradientes.

    DEFINICION

    Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las
    siguientes condiciones:

    • 1. Todos los pagos cumplen con una ley de
      formación

    • 2. Los pagos se efectúan a iguales
      intervalos de tiempo

    • 3. Todos los pagos se trasladan al principio o
      al final a la misma tasa de interés.

    • 4. El número de pagos es igual al
      número de períodos.

    La ley de formación, de la que habla la primera
    condición, puede ser de varias clases, sin embargo, las
    más utilizadas son: la que corresponde al gradiente lineal o
    aritmético y la que corresponde al gradiente
    geométrico.

    Las anualidades, vienen a ser un caso particular de los
    gradientes, en el cual, el crecimiento es cero, lo que hace que
    todos los pagos sean de igual valor, por tal motivo el manejo de
    los gradientes es similar al manejo de las
    anualidades.

    Las otras tres leyes son las mismas de las
    anualidades.

    GRADIENTE ARITMETICO

    En el gradiente aritmético cada pago es igual al
    anterior, más una constante L; si esta constante es
    positiva, el gradiente será creciente; si la constante es
    negativa, el gradiente será decreciente. Obviamente, si L =
    0 todos los pagos son iguales y la serie se convierte en una
    anualidad.

    Como en un gradiente todos los pagos son de diferente
    valor, será necesario distinguir un pago de otro y por eso
    al primer pago lo representaremos por R1; el segundo pago por R2
    y así sucesivamente, el último pago lo representaremos
    por Rn.

    De acuerdo a la definición de gradiente lineal se
    tendrá:

    R2=R1+L

    R3=R2+L = R1+2L

    R4=R3+L = R1+3L

    . . . .

    . . . .

    Rn=Rn-1+L = R1+(n-1)L

    De los anterior se deduce que la fórmula del
    último término será:

    Rn=R1+(n-1)L

    Ejemplo 1

    Hacer la gráfica de un gradiente aritmético de
    6 pagos con primera cuota de $100 y a) crecimiento de $25 y b)
    decreciente en $25.

    Solución

    Monografias.coma)-

    b)-

    Monografias.com

    Obsérvese en la figura b) que, en el período
    5, el pago es cero y que, en el período 6, el valor del pago
    viene a ser – $25, lo cual se representa colocándolo como
    positivo pero al otro lado de la línea de tiempo.

    Monografias.comFORMULA
    DEL VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO

    En igual forma como se hizo con las anualidades,
    planteamos la ecuación de valor, trasladando cada uno de los
    pagos a la fecha focal, usando la tasa efectiva i;
    entonces:

    VP=R(1+i)-1+(R+L)(1+i)-2+(R+2L)(1+i)-3+……+[(R+(n-1)L](1+i)-n

    Si eliminamos los paréntesis donde se encuentra R y
    escribimos primero los términos que contienen R y,
    después, los términos que contienen L,
    tenemos

    Monografias.com

    VP=R(1+i)-1+R(1+i)-2+R(1+i)-3+……+R(1+i)-n +
    L(1+i)-2 + 2L(1+i)-3 +….+ (n-1)L(1+i)-n

    Se observa que los términos que contienen R son los
    mismos de la ecuación de valor de una anualidad ordinaria en
    valor presente, y si además, factorizamos L de los
    términos restantes se tiene:

    VP=Ran( i +
    L[(1+i)-2+2(1+i)-3+3(1+i)-4+……(n-1)(1+i)-n]
    (*)

    Supongamos que W es igual a la serie que está
    dentro del paréntesis angular, en consecuencia:

    W=(1+i)-2+2(1+i)-3+3(1+i)-4+……(n-1)(1+i)-n

    Si multiplicamos la ecuación anterior por (1 + i)
    tenemos:

    W(1+i)=(1+i)-1+2(1+i)-2+3(1+i)-3+……(n-1)(1+i)-(n+1)

    Si substraemos W(1+i) – W resulta:

    W(1+i) –
    W=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1)
    -(n-1)(1+i)-n

    Simplificando:

    W
    i=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1)
    +(1+i)-n+n(1+i)-n

    W i= an( i -n(1+i)-n

    Monografias.com

    Si reemplazamos W en (*) tenemos:

    Monografias.com

    En la fórmula anterior figura R sin indicar
    cuál de todas las cuotas es pero, en la deducción de la
    fórmula hemos trabajado con base en que R es el primer pago.
    En consecuencia cuando en cualquier fórmula aparezca R sin
    indicar cuál es, deberá asumirse que se trata de la
    primera cuota.

    Ejemplo 2

    Hallar el valor presente con interés al 5% de la
    siguiente serie:

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    Solución:

    En la gráfica se observan varias cosas:

    • a) El gradiente tiene un crecimiento de $200;
      entonces L = 200

    • b) El primer pago es $800; entonces R =
      800

    • c) El número de pagos es 6; entonces
      n=6

    Reemplazando en la fórmula se tiene:

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    Ejemplo 3

    Hallar el valor presente de la siguiente serie con tasa
    del 5%

    GRAFICO

    Monografias.com

    Solución:

    Primera forma: podemos considerar que el gradiente se
    inicia en el período 2; entonces su primer pago será de
    $800 (el que está en 3); los otros pagos de $800 ubicados en
    1 y 2 forman una anualidad:

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    X=$7342

    Segunda forma: podemos suponer que el gradiente empieza
    en el punto 3; así, su primer pago será de $1.000, y
    tendrá 5 períodos.

    Monografias.com

    X=$7342

    Fórmula del valor final del
    gradiente aritmético

    Para hallar el valor final, basta tomar el valor
    presente y multiplicarlo por (1+i)n , así:

    VF=VP(1+i)n

    Haciendo las operaciones respectivas y simplificando se
    concluye que:

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    Observación: nuevamente hacemos énfasis en que
    R representa a la primera cuota del gradiente:

    Ejemplo 4

    Hallar el monto de la siguiente gráfica; suponga
    una tasa del 15%

    Observación: los 2 últimos valores son
    negativos

    Monografias.com

    Solución: n = 8, L = -100, R = 500

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    AMORTIZACION CON CUOTA CRECIENTE

    Debido a las altas tasas de inflación, en muchos
    países se ha impuesto la moda de utilizar una cuota
    creciente en los sistemas de amortización, lo que ha
    impulsado el desarrollo de nuevas técnicas.

    Actualmente, los sistemas de amortización más
    utilizados son los que usan una cuota creciente.

    Ejemplo 5

    Amortizar la suma de $100.000, en 4 pagos, suponiendo
    una tasa del 8% y;

    • a. Crecimiento lineal de la cuota de $
      12.000

    • b. Decrecimiento lineal de la cuota de
      $12.000

    Solución:

    Monografias.coma.

    Monografias.com

    De donde se obtiene que R1 = $13.344.56

    Las demás cuotas se pueden calcular con la
    fórmula del último término del gradiente lineal o
    aritmético Rn = R1 + (n-1)L

    R2 = 13344.56 + 12000=25344.56

    R3 = 13344.56 + 2 x 12000=37344.56

    R4 = 13344.56 + 3 x 12000=49344.56

    Con los datos anteriores podemos elaborar la tabla en la
    misma forma como se trabajó con anualidades.

    PER.

    SALDO DEUDA

    INTERESES

    PAGO

    AMORTIZACION

    0

    100.000.00

    1

    94.655.44

    8.000.00

    13.344.56

    5.344.56

    2

    76.883.31

    7.572.43

    25.344.56

    17.772.13

    3

    45.689.41

    6.150.66

    37.344.56

    31.193.90

    4

    0.00

    3.655.15

    49.344.56

    45.689.41

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    Monografias.com

    De donde se obtiene que R1= $47039.50

    PER.

    SALDO DEUDA

    INTERESES

    PAGO

    AMORTIZACION

    0

    100.000.00

    1

    60.960.40

    8.000.00

    47.039.60

    39.039.60

    2

    30.797.63

    4.876.83

    35.039.60

    30.162.77

    3

    10.221.84

    2.463.81

    23.039.60

    20.575.79

    4

    0.00

    817.76

    11.039.60

    10.221.84

    Gradiente aritmetico
    infinito

    Monografias.com

    Igual que en las anualidades, solo tiene sentido el
    valor presente de un gradiente infinito. Su principal
    aplicación es el cálculo del costo del capital, tema
    que se discutirá en un capítulo posterior.

    Monografias.com

    El planteamiento de la ecuación de valor
    será:

    Monografias.comMonografias.com

    Monografias.comPero

    Monografias.com

    Monografias.comTambién

    Además

    Monografias.com

    Aplicando la regla de L'opital tenemos:

    Monografias.comFinal se
    tiene:

    Ejemplo 6.

    Calcular el valor presente de una serie infinita de
    pagos que crecen en $10, si el primer pago vale $200 y la tasa es
    del 3%.

    Solución:

    Monografias.com

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    Esto significa que si colocamos $17.777.78 al 3%
    efectivo, podremos pagar $200 al final del primer período,
    $210 al final del segundo período, $220 al final del tercer
    período t así sucesivamente.

    GRADIENTE GEOMETRICO

    Un gradiente geométrico es una serie de pagos, en
    la cual cada pago es igual al anterior, multiplicado por una
    constante que representaremos por 1 + G. Si G es positivo el
    gradiente será creciente. Si G es negativo el gradiente
    será decreciente y, si G = 0 el gradiente se convierte en
    una anualidad.

    En un gradiente geométrico, el primer pago
    será: R1

    El segundo pago R2=R1(1+G)

    El tercer pago R3=R2(1+G)=R1(1+G)2

    ………………………..

    ………………………..

    El último pago Rn=Rn-1(1+G)=R1(1+G)n-1

    Monografias.comEntonces:

    Fórmula del valor presente
    del gradiente geométrico

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    El planteo de la ecuación de valor
    será:

    VP=R(1+i)-1+R(1+G)(1+i)-2+R(1+g)(1+i)-3+……+(1+G)n-1(1+i)-n

    Si multiplicamos la ecuación anterior, por
    (1+G)(1+i)-1 , tenemos:

    VP(1+G)(1+i)-1=R(1+G)(1+i)-2+R(1+G)2(1+i)-3+R(1+G)3(1+i)-4
    +…+R(1+G)n(1+i)-n-1

    Sustrayendo la primera ecuación de la segunda,
    tenemos:

    VP(1+G)(1+i)-1-VP=R(1+G)n(1+i)-n-1-R(1+i)-1

    Factorizando, se tiene:

    VP[(1+G)(1+i)-1-1]=R(1+i)-1[(1+G)n(1+i)-n-1]=R[(1+G)n(1+i)-n-1]/(1+i)

    Monografias.com

    Y finalmente se llega a:

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    Cuando G = i, se presenta una indeterminada, que puede
    ser removida usando la regla de L'opital y derivando con respecto
    a i:

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    Por tanto podemos concluir VP es

    Monografias.comMonografias.com

    Fórmula del valor final del
    gradiente geométrico

    Si deseamos calcular el valor final, basta multiplicar a
    VP por (1+i)n y así tenemos:

    Monografias.com

    Monografias.comTambién

    Monografias.comMonografias.com

    Ejemplo 7

    Hallar el valor presente de 10 pagos anuales, si el
    primer pago es de $5.000 y de pago subsiguiente crece un 20%.
    Suponga una tasa del 20%.

    Solución:

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    Monografias.com

    Monografias.comComo
    G=i=20% se tiene que:

    Ejemplo 8

    Hallar el valor presente de 15 pagos que crecen un 25%,
    si el primer pago es de $800 y suponiendo una tasa del
    20%

    Solución

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    Ejemplo 9.

    Elaborar una tabla para amortizar la suma de $100.000 en
    4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y:

    • a) crecimiento geométrico de la cuota en
      10%

    • b) decrecimiento geométrico de la cuota en
      -10%

    Solución

    Monografias.com

    Monografias.com

    De donde R1 = $26.261.47

    R2 = $26.261.47 (1+0.1) = $28.887.61

    R3 = $26.261.47 (1+0.1)2 = $31.776.38

    R4 = $26.261.47 (1+0.1)3 = $34.954.01

    PER.

    SALDO DEUDA

    INTERESES

    PAGO

    AMORTIZACION

    0

    100.000.00

    1

    81.738.53

    8.000.00

    26.261.47

    18.261.47

    2

    59.390.00

    6.539.08

    28.887.61

    22.348.53

    3

    32.364.82

    4.751.20

    31.776.38

    27.025.18

    4

    0.00

    2.589.19

    34.954.01

    32.364.82

    • b) 

    De donde se obtiene que:

    De donde R1 = $34.766.02

    R2 = $34.766.02 (1+0.1) = $31.289.42

    R3 = $34.766.02 (1+0.1)2 =$28.160.48

    R4 = $34.766.02 (1+0.1)3 =$25.344.43

    PER.

    SALDO DEUDA

    INTERESES

    PAGO

    AMORTIZACION

    0

    100.000.00

    1

    73.233.98

    8.000.00

    34.766.02

    26.766.02

    2

    47.803.28

    5.858.72

    31.289.42

    25.430.70

    3

    23.467.06

    3.824.26

    28.160.48

    24.336.22

    4

    0.00

    1.877.37

    25.344.43

    23.467.06

    Ejemplo 10.

    Cuánto debe crecer linealmente una serie de 8
    pagos, efectuados al final de cada período y cuyo primer
    pago es de $600 para que, puesta en valor presente, sea
    equivalente a una serie de 10 pagos que crecen
    geométricamente en un 25% y cuyo primer pago es de $100?
    Suponga una tasa del 3% efectivo para el período.

    Solución:

    Hagamos la suposición que el gradiente lineal es
    creciente.

    Monografias.com

    Monografias.com

    Debemos igualar el valor de las dos series y despejar
    L

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    De donde se obtiene L = -$64.58, lo que significa que el
    gradiente es el decreciente como se muestra en la
    gráfica.

    Monografias.com

    Ejemplo 11

    Se hacen depósitos trimestrales crecientes en un
    5%, en una cuenta que paga el 5.25% efectivo trimestral, con el
    fin de tener disponibles $500.000 el primero de enero de 1991. Si
    el primer depósito se hace el primero de abril de 1988 y el
    último el primero de julio de 1990, determinar el valor del
    primer depósito.

    Solución:

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    Despejando se obtiene que R=$28784.88 como primera
    cuota

    GRADIENTE GEOMETRICO INFINITO

    Una de las aplicaciones que tiene este tipo de
    gradientes está en el análisis sobre emisión de
    acciones. Solo tiene sentido el análisis del valor
    presente.

    Monografias.com

    Monografias.comSi G >
    i entonces la expresión

    Es mayor que 1 y la expresión no tendrá limite
    cuando n((

    Si G < i entonces la expresión

    Porque el valor de la cantidad entre el paréntesis
    será menor de 1 de lo anterior se deduce que:

    Cuando G = 1 la formula del valor presente
    es:

    Significa que no hay limite cuando G = i

    Ejemplo 12

    Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos
    que crecen un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el
    primer pago es $300.

     

    Significa que, si colocamos $3.000 al 20% podremos hacer
    infinito número de retiros crecientes, en un 10%, con un
    primer retiro de $300.

     

     

    Autor:

    Briceño, Francisco

    Delgado, Erika

    López, Roberto

    PUERTO ORDAZ, JULIO DE
    2006

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