Investigación operativa, modelo de Markov

¿Qué
es?

Se conoce como modelo de Markov o cadena de Markov a un
tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la
probabilidad de que ocurra un evento depende del evento
inmediatamente anterior. Podemos decir que esta técnica
posee numerosas aplicaciones en los negocios, entre ellas el
análisis de participación de mercados,
pronósticos de deudas incobrables o también para
determinar si una máquina se descompondrá en el
futuro.

• Nomenclatura

• Suposiciones Del Modelo De
  Markov

Las suposiciones del Modelo del Markov son las
siguientes:

• a) La suma de las filas de la matriz d3e
  transición puede ser igual a uno y su forma general
  está presentado por:

• b) Cada elemento de la matriz de
  transición debe ser no negativo y su forma general
  está presentado por:

Según Render las suposiciones del Modelo del
Markov son las siguientes:

• a) Existe un número limitado o finito de
  estados posibles.

• b) La probabilidad de que los estados cambien
  permanece igual a lo largo del tiempo.

• c) Se puede predecir cualquier estado futuro a
  partir del estado anterior y de la matriz de probabilidades
  se transición.

• d) El tamaño y constitución del
  sistema (por ejemplo, el número total de fabricantes y
  clientes) no cambian durante el análisis. (Render,
  2006)

El modelo de Markov tiene la propiedad de que las
probabilidades que describen las formas en que el proceso
evolucionara en el futuro dependen solo del estado actual en que
se encuentra el proceso y, por lo tanto, son independientes de
los eventos que ocurrieron en el pasado. Muchos procesos se
ajustan a esta descripción, por lo que las cadenas de
Markov constituyen una clase de modelo probabilístico de
gran importancia.

Los procesos estocásticos son de interés
para describir el comportamiento de un sistema en
operación durante algunos periodos.

¿Para
qué se utiliza?

Una de las principales utilidades que tiene el modelo de
Markov es establecer las posibilidades de cualquier evento futuro
conociendo los eventos pasados. Esto puede y afecta las
decisiones que podríamos tomar basándonos en la
incertidumbre que provocan poseer varios eventos futuros y todos
tienen su grado de probabilidad de que sucedan.

Otro de los factores que altera la toma de decisiones es
cuando estos posibles eventos futuros se ven alterados con el
paso del tiempo, para evitar este acontecimiento existe este
modelo el cual tiene la propiedad particular de que las
probabilidades que describen la forma en que el proceso
evolucionara en el futuro solo dependerán del estado
actual en que se encuentra el proceso y por lo tanto son
independientes de los eventos ocurridos en el pasado.

Esta dependencia del evento anterior distingue a las
cadenas de Márkov de las series de eventos independientes,
como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios,
las cadenas de Márkov se utilizan para analizar los
patrones de compra de los deudores morosos, para planear las
necesidades del personal y para analizar el reemplazo de
equipo. 

¿QUÉ TIPO ES?

El Modelo de Markov es un tipo de modelo
probabilístico que se usa para predecir la
evolución y el comportamiento a corto y a largo plazo de
determinados sistemas.

Cadenas de
Markov

Las cadenas de Markov son unas herramientas para
analizar el comportamiento y el gobierno de determinados tipos de
procesos estocásticos, esto es, procesos que evolucionan
de forma no determinística a lo largo del tiempo en torno
a un conjunto de estados.

Una cadena de Markov, por lo tanto, representa un
sistema de cambiar su estado a lo largo del tiempo, siendo cada
cambio una transición del sistema. Dichos cambios no
están predeterminados, aunque sí lo está la
probabilidad del próximo estado en función de los
estados anteriores, probabilidad que es constante a lo largo del
tiempo (sistema homogéneo en el tiempo). Eventualmente, en
una transición, el nuevo estado puede ser el mismo que el
anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las
probabilidades de transición actuando adecuadamente sobre
el sistema (decisión).

• Matriz de
  Transición

Al trabajar con cadenas de Markov, a menudo es
útil pensar la sucesión de ensayos como
experimentos efectuados en cierto sistema físico, cada
resultado dejando a este sistema en cierto estado.

• Diagrama de
  transición

El diagrama de transición de estados (DTE) de una
cadena de Markov es un grafo dirigido cuyos nodos son los estados
de la cadena de Markov y cuyos arcos se etiquetan con la
probabilidad de transición entre los estados que unen. Si
dicha probabilidad es nula, no se pone arco.

• Propiedades:

• a)  La suma de las probabilidades de los
  estados debe ser igual a 1.

• b)  La matriz de transición debe ser
  cuadrada.

• c)  Las probabilidades de transición
  deben estar entre 0 y 1

• Clasificación de Estados en
  una Cadena de Markov

Es evidente que las probabilidades de transición
asociadas a los estados juegan un papel importante en el estudio
de las cadenas de Markov. Para describir con más detalle
las propiedades de una cadena de Markov es necesario presentar
algunos conceptos y definiciones que se refieren a estos
estados.

En general:

• a) Cualquier estado se comunica consigo mismo
  porque

• b) Si el estado i se comunica con el
  estado j, entonces el estado j se comunica con
  el estado i.

• c) Si el estado i se comunica con el
  estado j y el estado j se comunica con el
  estado k, entonces el estado i se comunica con
  el estado k.

Un conjunto de estados S en una cadena de Markov
cerrado (constituyen una clase de la cadena) sin
ningún estado fuera de S es alcanzable desde un estado en
S.

• Un estado i es absorbente si
  pii=1

• Un estado i
  es transitorio si hay un estado j
  alcanzable desde i, pero el estado i no es
  alcanzable desde j.

• Un estado es recurrente si no es
  transitorio.

• Un estado i es periódico con
  periodo k>1 si k es el menor número
  tal que todas las trayectorias que parten del estado i
  y regresan al estado i tienen una longitud
  múltiplo de k.

• Si un estado recurrente no es periódico
  es aperiódico.

• Si todos los estados de una cadena son recurrentes,
  aperiódicos y se comunican entre sí, la cadena
  es ergódica.

• Cadenas Irreducibles

Una cadena de Markov se dice irreducible si se
cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes
entre sí):

• Cadenas Positivo-Recurrentes

Una cadena de Markov se
dice positivo-recurrente si todos sus estados son
positivo-recurrentes.

Si la cadena es además irreducible es posible
demostrar que existe un único vector de probabilidad
invariante y está dado por:

• Cadenas Regulares

Una cadena de Markov se dice regular 
(también primitiva o ergódica) si
existe alguna potencia positiva de la matriz de transición
cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que
cero.

Cuando el espacio de estados E es
finito, si P denota la matriz de
transición de la cadena se tiene que:

Dónde:

• W = Una matriz con todos sus renglones
  iguales a un mismo vector de probabilidad w, que
  resulta ser el vector de probabilidad invariante de la
  cadena.

En el caso de cadenas regulares, éste vector
invariante es único.

• Cadena de Markov de Tiempo
  Continuo

Esta suposición es adecuada para muchos
problemas, pero existen ciertos casos (como en algunos modelos de
líneas de espera) en los que se requiere un
parámetro ( llamado "t") de tiempo continuo, debido
a que la evolución del proceso se observa de manera
continua a través del tiempo.

• Propiedades a Largo Plazo de las
  Cadenas de Markov

• Probabilidades de estado estable

Las se
llaman probabilidades de estado estable de la cadena de Markov.
El término probabilidad de estado estable significa que la
probabilidad de encontrar el proceso en cierto estado, digamos
j, después de un número grande de
transiciones tiende al valor j, y es independiente de la
distribución de probabilidad inicial definida para los
estados. Es importante observar que la probabilidad de estado
estable no significa que el proceso se establezca en un estado.
Por el contrario, el proceso continúa haciendo
transiciones de un estado a otro y en cualquier paso n la
probabilidad de transición del estado i al estado
j es todavía Pij.

• Interpretación intuitiva de las
  probabilidades de estado estable.

• La probabilidad de que una transición
  determinada deje el estado j es igual a la
  probabilidad de que una transición determinada entre
  al estado j.

• La probabilidad de que una transición
  determinada deje el estado

• La probabilidad de que una transición
  determinada entre al estado

• En el estado estable el flujo de probabilidad hacia
  cada estado debe ser igual al flujo de probabilidad que sale
  de cada estado es decir son las probabilidades de
  equilibrio.

• Tiempos de Primera
  Pasada

Con frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones
en términos de probabilidades sobre el número de
transiciones que hace el proceso de ir al estado i al
estado j por primera vez. Este lapso se llama tiempo de
primera pasada.

Cuando j=i, este tiempo de primera pasada es
justo el número de transiciones hasta que el proceso
regrese al estado inicial i. En este caso el tiempo de
primera pasada se llama tiempo de recurrencia para el
estado i.

• Estados Absorbentes

El estado k se llama estado absorbente si
de manera que una
vez la cadena llega al estado de k permanece ahí
para siempre.

Si k es un estado absorbente y el comienzo en el
estado i, la probabilidad de llegar en algún
momento a k se llama probabilidad de
absorción al estado k, dado que el sistema
comenzó en el estado i.

Si se tienen dos o más estados absorbentes en una
cadena de Markov y es evidente que el proceso será
absorbido en uno de estos estados, es deseable encontrar estas
probabilidades de absorción. Dichas probabilidades pueden
obtenerse con solo resolver un sistema de ecuaciones lineales que
considera todas las posibilidades para la primera
transición y después dada la primera
transición, considera la probabilidad condicional de
absorción al estado k.

Teoremas de
Markov

Teorema 1.- Si T es una matriz de probabilidades
regular, entonces hay un único vector de probabilidades t
tal que tT = t. Además, para cualquier vector de
probabilidades p, el vector de probabilidades pT^n se acerca
más a t al crecer n. El vector fijo t se llama la
distribución estacionaria de la cadena de Markov cuya
matriz de transición es T. Además, al ir creciendo
n, cada renglón de T^n tiende al vector fijo
t.

Teorema 2.- (Ecuaciones de Chapman-
Kolmogorov)

Teorema 3.- Para determinar si un estado es
persistente (recurrente) o no (transitorio), se verifican las
siguientes relaciones:

Teorema 4.- Sea i un estado persistente
(recurrente), entonces:

Teorema 5.- Supongamos que i ? j, es decir
están intercomunicados; dentro de cada clase de
equivalencia todos los estados son del mismo tipo,
entonces:

Teorema 6.- (Teorema de descomposición de
las Cadenas de Markov) El espacio de estados S de una cadena de
Markov X, tiene la siguiente partición
única:

Así, o la cadena siempre toma valores en el
conjunto de estados transitorios o acaba en un conjunto cerrado
persistente de estados donde permanecerá por
siempre.

Teorema 7.- Si es finito, todos los estados no pueden ser
transitorios, siendo todos los estados persistentes no
nulos.

Teorema 8.-

Teorema 9.-

Teorema 10.-

Supongamos que tenemos una cadena finita. Veamos el
procedimiento que vamos a seguir para calcular la matriz
límite de una cadena de Markov:

1. Identificar los conjuntos cerrados e irreducibles, es
decir, las distintas clases de estados persistentes.

2. Los restantes son los transitorios.

3. Estudiar la periodicidad de cada clase cerrada por
separado.

Teorema 11.- Dada una cadena de Markov
irreducible, consideramos el sistema:

Todos los estados serían recurrentes no nulos si
y sólo si existe solución única de este
sistema.

Teorema 12.- Si el sistema del teorema 10 no
tuviese solución tenemos en siguiente teorema:

Aplicaciones del
modelo de Markov

El modelo de Markov se aplica en el área de
finanzas y economía en problemas como:

• Calificación de bonos

• Predicción del precio de acciones

• Negociación de activos derivados

• Predicción de quiebras

• Análisis del riesgo en la concesión de
  créditos

• Detección de oportunidades de arbitraje en
  los mercados financieros

• Estudio y predicción de índices
  económicos

• Instrumentos financieros infravalorados o
  sobrevalorados

• Cobertura de posiciones

• Optimización de carteras, etc.

Por ello el modelo Markoviano aplicado a estas
áreas es una gran herramienta muy potente para el
análisis de mercados financieros, con proyecciones al
futuro.

En el área del personal de la empresa el
método Markoviano nos ayuda a saber cuál es la
probabilidad de que una persona según su edad ocupe un
determinado puesto de trabajo.

El método de las cadenas de Markov consiste en
emplear la información probabilística en el
análisis de tendencias con el fin de predecir sus
resultados.

Tienen diversas aplicaciones en los negocios, la
sociología, las ciencias físicas y la
biología. Por ejemplo en los negocios, las cadenas de
Markov son útiles para el análisis de los datos
referentes a la satisfacción de un cliente con un producto
y para el efecto de la publicidad del producto, así como
predecir qué sector del mercado el producto dominara
finalmente.

• EJERCICIOS RESUELTOS

• 1. EJERCICIO

La Empresa de compra y venta de automóviles
"Carlos Larrea" después de haber recogido datos durante
varios años. Desea saber ¿Qué marca de
vehículo preferirán este año? Sus clientes
más frecuentes, tomando en cuenta la siguiente
tabla.

PASO 1:

Después de analizar el ejercicio se procede a
realizar la matriz de transición, pasando los valores dela
tabla de la siguiente manera.

DONDE:

• P = Representa probabilidad

• C1 = Cliente uno

• C2 = Cliente dos

• F = Ford

• Ch = Chevrolet

Es decir que la matriz de transición quiere decir
lo siguiente:

• Pc1F= 0,3 (La probabilidad de que el cliente uno
  compré un vehículo de marca Ford es del
  0,3)

• Pc2F= 0,6(La probabilidad de que el cliente dos
  compré un vehículo de marca Ford es del
  0,6)

• Pc1CH= 0,7 (La probabilidad de que el cliente uno
  compré un vehículo de marca Chevrolet es del
  0,7)

• Pc2CH= 0,4 (La probabilidad de que el cliente dos
  compré un vehículo de marca Chevrolet es del
  0,4)

PASO 2:

Después de haber analizado la matriz de
transición el siguiente paso es realizar el diagrama de
transición.

Como hay dos clientes y dos marcas de vehículos
se traza dos círculos.

El diagrama de transición es una
representación gráfica de la matriz de
transición, es decir lo escrito pasa a ser representado en
forma gráfica.

PASO 3:

Por ultimo después de realizar el diagrama de
transición se realiza las probabilidades de estado de
sistema.

Para una matriz de transición de 2×2 se plantean
las siguientes ecuaciones:

ECUACIONES

Remplazamos las ecuaciones con los valores de la matriz
de transición y los valores que no se conoce se deben
despejar la ecuación.

Luego podemos escoger cualquiera de las 2 primeras
ecuaciones para reemplazar lo que recién se despejo de la
ecuación 3, en este caso escogeremos la ecuación
número 1.

RESPUESTA

La probabilidad de que el cliente uno adquiera un
vehículo de marca FORD es del 50% al igual que el cliente
numero dos tiene una probabilidad del 50% de adquirir un
vehículo de marca CHEVROLET.

Ejercicio

La empresa jurídica "ROMERO S.A" emplea tres
tipos de abogados: subalternos, superiores y socios durante
cierto año 10% de los subalternos ascienden a superiores y
aun 10% se les pide que abandonen la empresa.

Durante un año cualquiera 5% de los superiores
asciende a socios y un 13% se les pide su renuncia. Los abogados
subalternos deben ascender a superiores antes de ser socios. Los
abogados que no se desempeñan adecuadamente jamás
descienden de su categoría, permanecen en su nivel o se
les pide que renuncien.

• a) Cuál es la probabilidad de que un
  abogado subalterno llegue a socio.

• b) Cuál es la probabilidad de que un
  abogado subalterno llegue a renunciar.

• c) Cuál es la probabilidad de que un
  superior se convierta en socio.

• d) Cuál es la probabilidad de que un
  superior renuncie.

PASO 1:

Según la teoría primero identificamos la
matriz Absorbente y no absorbente.

PASO 2:

Luego de haber identificado la matriz absorbente y no
absorbente se procede a restar la matriz de identidad con la
matriz no absorbente de la siguiente manera.

PASO 3:

Luego se procede a calcular la matriz inversa de la
matriz fundamental.

PASO 4:

Para obtener la repuesta multiplicamos la Inversa de la
Matriz Fundamental con los datos de la matriz principal (Matriz
absorbente).

RESPUESTA:

• La probabilidad de que un abogado subalterno llegue
  a ser socio es del 14%.

• La probabilidad de que un abogado subalterno llegue
  a renunciar es del 86%.

• La probabilidad de que un superior llegue a ser
  socio es del 28%.

• La probabilidad de que un superior llegue a
  renunciar es del 72%.

• 2. EJERCICIO

En Ecuador existen 3 operadores principales de
telefonía móvil como lo son Claro, CNT y Movistar
(estados).Los porcentajes actuales que tiene cada operador en el
mercado actual son para Claro 0.4 para CNT 0.25 y para Movistar
0.35. (Estado inicial). Se tiene la siguiente información
un usuario actualmente de Claro tiene una probabilidad de
permanecer en Claro de 0.60, de pasar a CNT 0.2 y de pasarse a
Movistar de 0.2; si en la actualidad el usuario es cliente de CNT
tiene una probabilidad de mantenerse en CNT del 0.5 de que esta
persona se cambie a Claro 0.3 y que se pase a Movistar de 0.2; si
el usuario es cliente en la actualidad de Movistar la
probabilidad que permanezca en Movistar es de 0.4 de que se
cambie a Claro de 0.3 y a CNT de 0.3.

• Hallar la probabilidad de que un usuario se
  permanezca en la misma operadora.

PASO 1:

Partiendo de esta información podemos elaborar la
matriz de transición.

PASO 2:

Se procede a realizar el diagrama de
transición.

PASO 3:

La suma de las probabilidades de cada estado en este
caso operador deben ser iguales a 1

Po= (0.4 + 0.25 + 0.35) =
1

PASO 4:

Ahora procedemos a encontrar los estados en los
siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la
matriz de transición por el estado inicial y así
sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente
anterior.

RESPUESTA:

• La probabilidad de que un usuario permanezca en la
  operadora Claro es de 43%

• La probabilidad de que un usuario se permanezca en
  la operadora CNT es de 32%

• La probabilidad de que un usuario se permanezca en
  la operadora Movistar es de 25%

• 3. EJERCICIO

Suponga que en el mercado se consiguen 3 tipos de
gaseosas colas que son: coca cola, Pepsi Cola y Big cola cuando
una persona ha comprado coca cola existe una probabilidad de que
la siga consumiendo del 75%, un 15% de que compre Pepsi Cola y un
10% de que compre Big Cola; cuando el comprador actualmente
consume Pepsi existe una probabilidad de que la siga comprando de
60%, un 25% que compre coca cola y un 15% Big cola; si en la
actualidad consuma Big Cola la probabilidad de que la siga
consumiendo es del 50%, un 30% que compre Coca Cola y 205 Pepsi
Cola.

En la actualidad cada marca Coca Cola, Pepsi y Big cola
tienen los siguientes porcentajes de participación en el
mercado respectivamente (60% 30% 10%)

• Elaborar la matriz de transición

• Hallar la probabilidad que tiene cada marca en el
  periodo 5

PASO 1:

Partiendo de esta información podemos elaborar la
matriz de transición.

PASO 2:

Ahora procedemos a encontrar los estados en los
siguientes pasos o tiempos, esto se realiza multiplicando la
matriz de transición por el estado inicial y así
sucesivamente pero multiplicando por el estado inmediatamente
anterior.

Nota: Estos ejercicios se pueden realizar en
Excel utilizando la función de multiplicar
matrices.

PASO 3:

Luego se procede a calcular las siguientes
ecuaciones.

Entonces

Despejo X en (7)

RESPUESTA:

• La probabilidad de que una persona siga consumiendo
  Coca Cola es del 20%.

• La probabilidad de que una persona siga consumiendo
  Pepsi es del 28%.

• La probabilidad de que una persona siga consumiendo
  Big Cola es del 52%.

• 4. EJERCICIO

Almacenes Mary Carmen, Charleston y Patrick han
investigado la fidelidad de sus clientes y han encontrado los
siguientes datos:

• Mary Carmen

• Charleston

• Patrick

Hallar el estado estable (L)

Según los resultados se pudo observar que el
almacén que tiene mayor porcentaje de fidelidad de sus
clientes es el Almacén Patrick con un 51.6%, seguido del
Almacén Charleston con un 28.2% y finalmente el
Almacén Mary Carmen con un 20%.

6. EJERCICIO

La empresa PRODELTA S.A. ha decidido lanzar al mercado
un nuevo producto pero requiere conocer cuál será
el monto porcentual en utilidades para el siguiente mes, debido a
que necesita realizar inversiones acorde a las ganancias
posibles. Determinando que si las ventas de este mes son altas la
probabilidad de aumentar la utilidad para el siguiente mes es de
85%, si las ventas de este mes fueren bajas, la probabilidad de
que la utilidad aumente para el siguiente mes es de 55%, es una
cadena de Markov donde los estados posibles son los
siguientes

Para la resolución del presente ejercicio vamos a
seguir los siguientes pasos.

PASO 1

Estado 0 = Las ventas del producto
aumentan

Estado 1 = las ventas del producto
disminuyen

PASO 2

PASO 3

PASO 4

Interpretación:

En la Empresa Prodelta S.A. en el lanzamiento del
producto tiene la probabilidad de obtener una utilidad positiva
de 79% y una pérdida de 21% en caso de que en el mes
presente se obtenga utilidad, en caso contrario si la empresa
tuviere una utilidad negativa el producto tiene la posibilidad de
dar utilidad para el mes posterior de 71% y una probabilidad de
tener perdida de 29%.

7. EJERCICIO

Teorema 1

Ejemplo

Dado la siguiente matriz regular, encontrar el vector
fijo por el teorema para matrices regulares

Solución:

PASO 1:

PASO 2: Igualamos a cero:

PASO 3: Hacemos reducción por renglones
obtenemos, sucesivamente:

PASO 4: Comprobación

8. EJERCICIO

El problema del jardinero tiene un total de 8
políticas estacionarias, como se muestra en la siguiente
tabla y con respecto a esa información calcule
cuánto es el ingreso que produce la política
2.

PASO 1:

PASO 2: Los cálculos de las probabilidades
estacionarias se llevan a cabo con las ecuaciones

PASO 3:

SOLUCIÓN: La política 2 produce el
mayor ingreso anual esperado. La política de largo plazo
óptima requiere aplicar fertilizante sin importar el
estado del sistema.

9. EJERCICIO

Teorema 8

10. EJERCICIO

Teorema 10

Sea P una cadena de Markov donde

Se observa que,

Calculamos R (matriz potencia):

De Acuerdo a lo anterior reemplazamos en la matriz
potencial y esta nos quedaría así:

Entonces formamos la matriz F:

La matriz límite es de la forma,

Como resultado tenemos que:

Ejercicios
propuestos

• 1. EJERCICIO

Un agente comercial de la empresa Plasticaucho realiza
su trabajo en tres ciudades, Quito, Guayaquil y Cuenca. Para
evitar desplazamientos innecesarios está todo el
día en la misma ciudad y allí pernocta,
desplazándose a otra ciudad el día siguiente, si no
tiene trabajo. Después de estar trabajando un día
en Cuenca, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella
al día siguiente es de 0.4, la de tener que viajar a
Guayaquil es de 0.4 y la de tener que ir a Quito es de 0.2. Si el
viajante duerme un día en Guayaquil, con probabilidad de
un 20% tendrá que seguir en la misma ciudad al día
siguiente, en el 60% de los casos viajará a Cuenca,
mientras que irá a Quito con una probabilidad de 0.2. Por
último, si el agente comercial trabaja todo el día
en Quito, permanecerá en esa misma ciudad, al día
siguiente, con una probabilidad de 0.1, irá a Guayaquil
con una probabilidad de 0.3 y a Cuenca con una probabilidad de
0.6.

• a) ¿Cuáles son los porcentajes de
  días en los que el agente comercial está en
  cada una de las tres ciudades?

• b) Si hoy el viajante está en Cuenca,
  ¿Cuál es la probabilidad de que también
  tenga que trabajar en Cuenca al cabo de cuatro
  días?

RESPUESTAS

• El porcentaje de que el agente esté en Quito
  es 18.18 %, en Guayaquil= 31.82 % y en Cuenca= 50
  %.

• La probabilidad de que esté en Cuenca y tenga
  que quedarse ahí al cabo de 4 días es
  aproximadamente es de 0.5008

• 2. EJERCICIO

En Quero hay tres supermercados (S. ROSITA, S. Loren"s y
S. CACHITO), existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El
1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S. ROSITA, 1/3 al
S. LOREN"S y un 5/12 al S. CACHITO de un total de 10 000
personas. Cada mes el S. ROSITA retiene al 90 % de sus clientes y
pierde el 10 % que se va al S. LOREN"S. Se averiguó que el
S. LOREN"S sólo retiene el 5 % y pierde el 85 % que va al
S. ROSITA y el resto se va al S. CACHITO, el S. CACHITO retiene
sólo el 40 %, pierde el 50 % que va al S. ROSITA y el 10 %
va al S. LOREN"S.

• a) Establecer la matriz de
  Transición.

• b) ¿Cuál es la proporción
  de clientes para los supermercados el 1 de
  noviembre?

RESPUESTA

• El mercado S. ROSITA después de dos meses
  tendrá una clientela del 81.55 %, el S. LOREN"S
  tendrá el 9.58 % y el S. CACHITO el 8.83 % del total
  de clientes.

• 3. EJERCICIO

La empresa DELTEX Industrial fabrica cobijas para las
que hay 3 proveedores a internacionales de materia prima de
polipropileno, nylon y poliéster. La empresa elabora el
producto con cada una de las materias primas después de un
proceso de producción.

Suponiendo que una cobija es elaborado con
polipropileno, realizar una cadena Markov para determinar una
probabilidad de que se fabrique con el producto de Nylon en los
próximos dos procesos de producción.

RESPUESTA:

La probabilidad que se fabrique el producto con Nylon es
del 0.62%

• 4. EJERCICIO

La Constructora Alvarado Ortiz ha ganado un contrato
para construir una carretera que vaya desde Pelileo a
Baños. Esta carretera ayudará a estudiar los
efectos de la explosión volcánica de 1949. La
compañía ha determinado que el polvo
volcánico obstruirá los filtros de las
máquinas con mucha rapidez y provocará que los
camiones dejen de funcionar. Los filtros se revisan todos los
días y se clasifican como recién limpiados,
parcialmente obstruidos o totalmente obstruidos. Experiencias
anteriores han demostrado que un filtro que se acaba de limpiar
tiene una probabilidad de 0.1 de permanecer limpio, una
probabilidad de 0.8 de quedar parcialmente obstruido y una
probabilidad de 0.1 de quedar totalmente obstruido. Un filtro que
ya está parcialmente obstruido tiene una probabilidad de
0.5 de permanecer en el mismo estado y una probabilidad de 0.5 de
quedar totalmente obstruido. Para poder utilizar un camión
que tiene un filtro totalmente obstruido éste se debe
limpiar primero.

• a) Elabore una matriz de transición para
  este problema.

• b) Si un camión deja de operar, esto le
  cuesta a la compañía $100 por el tiempo perdido
  y $20 para limpiar el filtro. ¿Cuánto le
  costará a la compañía seguir una
  política de no limpiar filtros sino hasta que se
  detengan los camiones?

RESPUESTA

Le costará a la compañía $30.852
seguir la política de no limpiar filtros sino hasta que se
detengan los camiones.

• 5. EJERCICIO

El ascensor del Consejo Provincial de Tungurahua con
planta baja y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El
piso en el que finaliza el viaje del ascensor sigue una cadena de
Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten de la
planta baja se dirigen a cada uno de los otros dos pisos,
mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo
el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si
un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en la
planta baja. Se pide:

• Calcular la matriz de probabilidades de
  transición de la cadena.

• Dibujar el grafo asociado.

• ¿Cuál es la probabilidad de que, a
  largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres
  pisos?

RESPUESTA

La probabilidad de que se encuentre en la planta baja es
0.47, en el piso 1 es de 0.2352 y en el piso 2 es de
0.2941.

• 6. EJERCICIO

Los consumidores de café de las cafeterías
de la ciudad de Ambato usan tres marcas SI CAFÉ,
CAFÉ PRES 2, BUEN DÍA. En marzo del 2013 se hizo
una encuesta en la que se entrevistó a las 8450 personas
que compran café y los resultados fueron:

• a) Si las compras se hacen mensualmente,
  ¿Cuál será la distribución del
  mercado de café en las cafeterías de la ciudad
  de Ambato en el mes de junio?

• b) A la larga, ¿Cómo se
  distribuirán los clientes de café?

RESPUESTA

A la larga, la distribución del mercado
será: la marca SÍ CAFÉ tendrá el 23.8
% del mercado, CAFÉ PRES 2 tendrá el 47.61 % y
CAFÉ BUEN DÍA tendrá el 28.57 %.

• 7. EJERCICIO