• • • • • • 3 Objetivo Esta
presentación pretende mostrar porqué motivos, el
hombre tuvo necesidad de crear nuevos tipos de
“números”. No necesariamente se sigue el
devenir histórico. El orden adoptado es el que se supone
mas conveniente desde el punto de vista didáctico. Nuestro
enfoque clásico es el de realizar operaciones
aritméticas en orden creciente de dificultad: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y
radicación, con los conjuntos numéricos conocidos.
En la medida que se planteen operaciones aritméticas
imposibles, se introducirán nuevos conjuntos
numéricos para hacerlas posibles. Se justifica así
la ampliación del campo numérico correspondiente.
Comenzaremos con los números naturales y la suma.
Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • • 4 Números naturales
Aceptamos que todos conocemos los números aprendidos al
comienzo de nuestra escuela primaria, a los que llamamos:
“Números Naturales” 1; 2; 3; . . . 105; 106;
107; . . .999; . . .1.689; . . . 27.546;. . . 3. 475.628; . . .
547.890.132; . . . Esta serie numérica se considera
infinita porque no existe un último valor. Los
números naturales son los que usamos habitualmente, cuando
se trata de contar los elementos de un conjunto cualquiera. Vamos
a suponer, a partir de ahora, que no conocemos ningún otro
tipo de número. Ampliación de los Campos
Numéricos
• • 5 Suma ó Adición Con los
números Naturales podemos hacer, sin ningún
impedimento, la primera operación aritmética
directa: la Suma En efecto, siempre el resultado de una suma de
números naturales, es también otro número
natural: 15 + 24 = 39 314 + 568 = 882 43215 + 63298 = 106513
1234567 + 4567891 = 5802458 . . . etc. etc. No hay en esto
ninguna dificultad. Ampliación de los Campos
Numéricos
• • • • 6 Resta o Diferencia. La
operación aritmética siguiente, inversa de la suma,
es la Resta. Es posible entre números naturales, solo
cuando el minuendo es mayor que el sustraendo: 28 – 17 = 11
714 – 93 = 621 86512 – 5724 = 80788 . . . Etc. Pero
si se pretende hacer una resta en la que el minuendo sea menor
que el sustraendo, comprobamos que no existe solución
dentro de los números naturales. 7 – 11 = ? 56
– 64 = ? 590 – 720 = ? Para hacer posible estas
operaciones, se convino en hacer las restas “al
derecho” y colocar adelante del resultado un signo menos (
– ) : 7 – 11 = – 4 56 – 64 = – 8 590 – 720 = –
130 Ampliación de los Campos Numéricos
• • • 7 Se crearon así los “
Números Negativos “, otro conjunto infinito, que
junto con los Números Naturales, permitieron resolver la
resta en casi todos los casos. Faltaba aún dar
solución a las restas en las que el minuendo y el
sustraendo fuesen iguales: 45 – 45 = ? 112 – 112 = ?
1150 – 1150 = ? Para esto se introdujo el cero ( 0 ), que
juntamente con los números naturales y los negativos,
permitieron dar solución a la resta en cualquier
circunstancia: 45 – 45 = 0 112 – 112 = 0 1150 –
1150 = 0 Ampliación de los Campos Numéricos
8 Naturales (N) Cero (0) Enteros (Z) Negativos Algunos autores
suelen llamar a los números naturales “enteros
positivos”. Si también se incluye el
“0”, el conjunto a veces se nombra como “ no
negativos” Ampliación de los Campos
Numéricos
• • • • • • • • 9
Consideraciones generales A esta altura de la presentación
es necesario destacar que: El signo menos ( – ) señala
tanto la operación aritmética “resta”,
como el carácter de un número como negativo. Debe
quedar claro que ambos significados son realmente distintos, si
bien pueden tener algunos puntos de contacto (que nos lleven a
error). En efecto, una cosa es plantear la operación resta
y otra diferente es señalar un número como
negativo. Se puede considerar al número entero como
formado por un número natural al que se le antepone un
signo: Números positivos: Números negativos: El
número cero ( 0 ): +1; +2;+3;. . .+114; . . .+5632; . .
.etc. -1; -2; -3; . . .-169; . . . -2478; . . .etc. no tiene
signo Al número natural, independiente del signo, se le
llama “valor absoluto” . Se definen además
como “números opuestos” a aquellos que tienen
igual valor absoluto y signos contrarios: 8 y -8; -112 y 112; 920
y -920 Por convención los números positivos o
naturales se escriben habitualmente, sin el signo + .
Ampliación de los Campos Numéricos
• • • : 10 Consideraciones generales Para aclarar
conceptos se recuerdan las reglas para supresión de
paréntesis: Si están precedidos por el signo + ,
los paréntesis pueden suprimirse directamente y se dejan
sin variar los signos de los términos interiores. Si en
cambio antecede al paréntesis el signo – , al suprimirlos
deben cambiarse todos los signos de los términos
contenidos. Se recuerdan asimismo las reglas prácticas
para sumar números enteros: Para sumar dos enteros del
mismo signo, se deja ese signo y se suman los valores absolutos:
(+27) + (+9) = 27 + 9 = 36 (-27) + (-9) = -27 – 9 = -36
Para sumar dos enteros de diferente signo, se restan, en valor
absoluto, el menor del mayor de ellos y se coloca el signo del
mayor: (-27) + (+9) = -27 + 9 = -18 (27) + (-9) = 27 – 9 = 18 La
regla práctica para restar números enteros es
suprimir paréntesis y luego operar en forma normal, como
se indica en los ejemplos siguientes: +27 – (+9) = 27
– 9 = 18; -27 – (-9) = -27 + 9 = -18; +27 –
(-9) = 27 + 9 = 36; -27 – (+9) = -27 – 9 = -36;
Ampliación de los Campos Numéricos +63 –
(+80) = 63 – 80 = -17 -63 – (-80) = -63 + 80 = 17 +63
– (-80) = 63 + 80 = 143 -63 – (+80) = -63 – 80
= -143
• • • 11 Consideraciones generales Recordemos que
se llama “Suma Algebraica” a una sucesión de
sumas y restas, por ejemplo: 17 + 25 – 38 – (12 + 5) + (22
– 15) + 45 = Una forma de resolverla es: 1º) Suprimir
todos los paréntesis de acuerdo con las reglas 2º)
Sumar todos los términos positivos 3º) Sumar todos
los términos negativos 4º) Operar con los resultados
de acuerdo con las reglas vistas. 17 + 25 – 38 – 12
– 5 + 22 – 15 + 45 = (17 + 25 + 22 + 45) – (38
+ 12 + 5 + 15) = 109 – 70 = 39 Otro ejemplo: (100 –
250) – (-25 – 8) – 30 + 10 = 100 – 250 +
25 + 8 – 30 + 10 = (100 + 25 + 8 + 10) – (250 + 30) =
143 – 280 = -137 Ampliación de los Campos
Numéricos
• • • y • • 12 Multiplicación
ó Producto. Con los Números Enteros siempre es
posible efectuar, sin dificultades, la siguiente operación
aritmética directa: la Multiplicación A lo sumo se
debe introducir la adecuada regla de los signos: Recordemos que
(+) . (+) = (+) ; (-) . (-) = (+) (+) . (-) = (-) 9 . 7 = 63 -9 .
-7 = 63 -9 . 7 = -63 9 . -7 = -63 125 . 48 = 6000 -125 . -48 =
6000 -125 . 48 = -6000 125 . -48 = -6000 Además, siempre,
cualquier número multiplicado por cero es cero: 28 . 0 = 0
1589 . 0 = 0 Z.0=0 Tampoco hay en esta operación directa,
ninguna dificultad. Ampliación de los Campos
Numéricos
• • • • 13 División ó Cociente.
La operación aritmética siguiente, inversa de la
multiplicación, es la División. Ella solo es
posible entre números enteros, cuando el resultado es un
cociente exacto. En efecto: 20 / 4 = 5 63 / 9 = 7 -120 / 4 = -30
porque porque porque 5 . 4 = 20 7 . 9 = 63 -30 . 4 = -120 . . .
etc. . .etc. Recordemos que la “regla de los signos”
es la misma que para el producto. Pero para algunas divisiones no
hay un cociente exacto, por ejemplo: 20 / 3 ? 6 porque 6 . 3 = 18
? 20 y además: 20 / 3 ? 7 porque 7 . 3 = 21 ? 20 Como
vemos no existe un número entero que satisfaga el cociente
20 / 3 Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • • 14 Podrían darse
infinitos casos, como el planteado, de cocientes que no tienen
resultado en el campo de los números enteros. Para hacer
posible estas operaciones, se convino en dejar el cociente
indicado y darle la categoría de número. Así
la división planteada 20 / 3 = 20/3 , pasa a tener
solución con esta nueva ampliación de los campos
numéricos. El cociente imposible entre enteros: 20
dividido 3, tiene ahora solución con la fracción
20/3 , que puede leerse como : veinte tercios Se crearon
así los” Números Fraccionarios”, otro
conjunto infinito, que junto con los Números Enteros,
permiten resolver el cociente en casi todos los casos. En general
entonces, el número fraccionario (o simplemente
fracción), tendrá la forma a/b, en donde tanto
“a” como “b” son números enteros
cualesquiera, tanto naturales positivos, como negativos.
Ampliación de los Campos Numéricos
15 Enteros (Z) Fraccionarios (F) Racionales (Q) Se debe aclarar
que el nombre de “racionales”, proviene del concepto
matemático de la palabra “razón” como
sinónimo de “relación” ;
“división” o “cociente y no tiene nada
que ver con la facultad de razonar, discutir o juzgar.
Ampliación de los Campos Numéricos
16 • En la fracción a/b, el entero “a”
(superior), se denomina “numerador” y el
“b” (inferior), se llama “denominador”.
“a” puede también valer cero. En ese caso la
fracción vale cero con cualquier denominador: 0/b = 0
• En cambio el denominador de la fracción, “ b
” nunca puede valer “ 0 ”. • En efecto, si
por ejemplo el número entero 48 se quisiera dividir por
“0” y el resultado fuese un número cualquiera
“ k “, se tendría: 48 / 0 = k . •
Entonces por definición debería ser k . 0 = 48 , lo
cual es un absurdo. Como la demostración se puede repetir
para cualquier número, puede decirse que queda
absolutamente excluída la división por
“0”. Esta última afirmación, debe ser
tenida muy en cuenta. Ampliación de los Campos
Numéricos
• • • 17 Consideraciones Generales Las fracciones
ordinarias a/b pueden ser: propias, impropias, cuando a < b ,
o sea que a/b < 1. Ej. 3/5; 2/3; 11/15; -5/9; etc. cuando a
> b , o sea que a/b > 1 . Ej. 7/3; 9/13; 7/2; -15/17; etc.
aparentes, cuando parecen ser fracciones, pero en realidad son
enteros, pues el cociente a/b es inmediato. Ej. 2/2; 10/2; 7/7;
15/5; etc. Se denominan fracciones decimales a aquellas de la
forma a/b, cuyo denominador es, en todos los casos, la unidad
seguida de ceros: 10; 100; 1000; 10000; . . .etc., siendo
nombradas respectivamente como: décimos;
centésimos; milésimos; diezmilésimos; . .
.etc. Por convención, para escribir una fracción
decimal, se anota el numerador. Luego contando a partir de la
derecha y hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga el
denominador, se coloca la coma decimal que la separa de la parte
entera. Ejemplos: 2/10 = 0,2 2/100 = 0,02 2/1000 = 0,002 2/10000
= 0,0002 25/10 = 2,5 25/100 = 0,25 25/1000 = 0,025 25/10000 =
0.0025 425/10 = 42,5 425/100 = 4,25 425/1000 = 0,425 425/10000 =
0,0425 5284/10 = 528,4 5284/100 = 52,84 5284/1000 = 5,284
5284/10000 = 0,5284 Ampliación de los Campos
Numéricos
18 • Ejemplos de números fraccionarios son: 1/2; 2/3;
¾; -5/8; -12/63; 17/-3; -27/5; 1/-7 . . .etc. • Como
se dijo, tanto el numerador como el denominador, pueden ser
cualquier entero positivo o negativo, pero por convención
se le adjudica a la fracción el signo que resulta de
aplicar la “regla de los signos”, ya vista. •
Señalemos que: cualquier número entero puede
escribirse en la forma de fracción, simplemente colocando
como denominador la unidad: 9 = 9/1; -14 = -14/1; 29 = 29/1; 742
= 742/1 . . . etc. • De lo anterior debe quedar claro que un
número racional es de la forma a/b , siendo a y b
números enteros cualesquiera y con la única
condición de que debe ser b ? 0 . • Los enteros
positivos y los negativos, quedan incluídos en los
racionales con la fracción a/1 . El cero también se
expresa en forma racional como 0/b = 0 . Ampliación de los
Campos Numéricos
19 ————-Unidades de millón: 10^6 = 1 000 000
—————-centenas de mil: 10^5 = 100 000
—————decenas de mil : 10^4 = 10 000 ————-
unidades de mil : 10^3 = 1 000 ——————– centenas :
10^2 = 100 ——————– decenas : 10^1 = 10
—————— unidades : 10^0 = 1 6. 7 4 8. 5 2 3 , 6 3 5 .
2 4 8 Décimos : 10^(-1) = 0,1————-
Centésimos : 10^(-2) = 0,01————- Milésimos:
10^(-3) = 0,001————— Diezmilésimos: 10^(-4) =
0,000 1—————- Cienmilésimos: 10^(-5) = 0,000
01—————– Millonésimos: 10^(-6) = 0,000
001—————– Sistema Decimal de Posición ( base 10
) Ampliación de los Campos Numéricos
• 20 Consideraciones Generales • Destacamos que las
fracciones decimales, escritas en la forma vista, constituyen los
tan comunes y familiares Números Decimales No debe
interpretarse lo anterior como que los números decimales
son una nueva ampliación numérica. Simplemente
consisten en una forma cómoda y convencional de escribir
los números racionales. • Todo número racional
puede expresarse como un número decimal. Para ello basta
con dividir el numerador por el denominador en la forma conocida,
ya sea en forma manual o usando una calculadora. • Al hacer
las operaciones, se obtienen dos tipos de resultados decimales
diferentes. • En algunos casos la conversión resulta
en un número que tiene una cantidad limitada (o finita) de
cifras decimales. Estos se llaman decimales finitos: ½ =
0,5 ¼ = 0,25 3/10 = 0.3 11/4 = 2,75 27/100 = 0,27 5/2 =
2,5 -1/32 = -0,03125 -3/4 = -0,75 3/8 = 0,375 53/16 = 3,3125 9/64
= 0,140625 -7/35 = -0,2 Ampliación de los Campos
Numéricos
21 Consideraciones Generales • En otros casos el resultado
de la división tiene la parte decimal formada por
infinitas cifras, pero a partir de cierto lugar, un grupo de
ellas, llamado período, se repite en forma indefinida y en
el mismo orden. Se los conoce como decimales infinitos
periódicos ( o simplemente decimales periódicos).
El período se suele indicar con una barra: 1/3 =
0,33333333. . . ( período de una cifra: 3) = 0,3 37/11 =
3,36363636. . . (período de dos cifras: 36) = 3,36 9/7 =
1,285714285714. . .( período de seis cifras: 285714) =
1,285714 8/15 = 0,53333333. . . (un decimal no periódico y
el período de una cifra: 3) = 0,53 805/990 = 0,813131313.
. .(un decimal no periódico y un período de dos
cifras: 13) = 0,813 8248866/990 = 82,57123123. . .(dos cifras
enteras, dos decim. no periód. y período de tres
cifras:123) Existen reglas simples y claras para pasar de un
decimal periódico a una fracción ordinaria. •
Se puede demostrar en forma rigurosa, que la expresión
decimal de todo número fraccionario es o bien un decimal
finito o sino un decimal infinito periódico. •
Recíprocamente, puede demostrarse que, todo decimal finito
o todo decimal infinito periódico, es necesariamente la
expresión de un número racional. Ampliación
de los Campos Numéricos
• • • • 22 Potenciación ó
Potencia. Por Definición, la Potencia
“enésima” de un número “ a
“ (base), es otro número “ b “, que
resulta de multiplicar “a” por sí mismo, un
número “n” de veces. an = a . a . a . . . ( n
veces ) = b base exponente potencia Con los números
racionales siempre es posible efectuar sin dificultades la
tercera operación directa: la potenciación A lo
sumo hay que tener en cuenta las propiedades y reglas que se
estudian en el álgebra básica, respecto de la forma
de operar en todos los casos: Potencia de base fraccionaria:
Potencia de exponente “ 0 “: Potencia de exponente
negativo: Potencia de exponente 1/n : Potencia de exponente
fraccionario: (a/b) n = a n / b n a 0 = 1 para todo a a (-n) = 1
/ a n a (1/n) = nv a a (m/n) = n v (am) Como vemos, esta
operación directa, no presenta ninguna imposibilidad
numérica. Ampliación de los Campos
Numéricos
• “ “ “ “ • • •
• 23 Radicación ó Raíz. La
operación inversa de la potenciación o potencia, es
la radicación o raíz. Si a n = b , significa que la
raíz enésima de b es a : a = nv b , siendo el
índice “n” cualquier número natural
(entero positivo) y el radicando “b” un número
racional. v 25 = 5 y también v 25 = -5 porque 5 2 = 25 y
-5 2 = 25 v 81 = 9 3v27 = 3 v 81 = -9 solamente 9 2 = 81 y -9 2 =
81 3 3 = 27 4v625 = 5 y también 4v625 = -5 5 4 = 625 y -5
4 =625 Las raíces de índice par tienen dos
soluciones en el campo racional, mientras que las de
índice impar solo tienen un resultado. Si el índice
de una raíz es 2, la raíz se llama cuadrada, si el
índice es 3 cúbica, si el índice es 4
cuarta, etc. Nos referiremos por comodidad solo a las
raíces cuadradas, pero los razonamientos valen para
cualquier índice. Las raíces de números que
son cuadrados perfectos son por supuesto, números
racionales. Pero las raíces cuadradas de números
que no son cuadrados perfectos se puede demostrar que no son
racionales. Ampliación de los Campos
Numéricos
.. pero 24 • En efecto, si intentáramos hallar la ,v2
por aproximaciones sucesivas, utilizando números
decimales, podríamos comprobar que por mas que agreguemos
cifras decimales de orden superior, no encontraríamos un
valor tal que multiplicado por sí mismo, de por resultado
exactamente 2. Así se obtendrían sucesivamente
valores por debajo y por encima de 2: 1,41 2 = 1,9881 1,414 2 =
1,999396 1,4142 2 = 1,99996164 ……………. 1,414213562 2 =
1,999999999 1,415 2 = 2,002225 1,4143 2 = 2,00024449 1,41422 2 =
2.000018208 ……………….. 1,414213563 2 = 2,000000002 Se
podría seguir agregando decimales, (y así se hizo
históricamente), independientemente de lo tedioso que
resulte, jamás se encontrará el número
decimal buscado. Lo que sí se obtiene es un número
decimal infinito, en el que no se detecta la aparición de
un período o grupo de cifras que se repita. Anteriormente
hemos afirmado y demostrado que un número racional
únicamente puede expresarse como un decimal finito o un
decimal infinito periódico. • En consecuencia debe
quedar claro que un número decimal infinito y no
periódico no es un número racional.
Ampliación de los Campos Numéricos
v 2 25 • Podrían darse infinitos casos como el
analizado, de raíces que no tienen resultado racional.
v23; v85; v113; 3v83; -v415; -v5348; 4v29; . . . etc. • Para
hacer factible estas operaciones, se convino en dejar el radical
indicado y darle la categoría de número: = v2 , que
como no es racional se lo llamó número irracional.
• Hay que señalar que se debe a los antiguos griegos
(400 años A.C), una demostración analítica
por “reducción al absurdo”, que prueba, sin
lugar a dudas que: v 2 no es de la forma a/b • Omitimos la
demostración por claridad, aún que ella
avalaría el hecho experimental, que antes presentamos con
números decimales. • Se conocen otros números,
que si bien no se obtienen como resultado de intentar encontrar
una solución a una raíz genérica, poseen
sí infinitos decimales no periódicos. Ejemplos de
estos pueden ser el conocido número pi = 3,141592654. . .,
de la geometría y el número e = 2,718281828. . .,
base de los logaritmos naturales También ellos se
consideran números irracionales. Ampliación de los
Campos Numéricos
26 Racionales (Q) Reales (R) Irracionales (I) El nombre de
“Números Reales” es solo de origen
histórico y no debe interpretarse, como “los
únicos con existencia verdadera”. Ampliación
de los Campos Numéricos
• • • • • 27 Consideraciones Generales
• Al plantear las distintas variantes numéricas en la
radicación, se omitió deliberadamente, considerar
la posibilidad de tener un índice par y a la vez el
radicando negativo. Tal combinación no tiene
solución en el campo de los números reales. En
efecto, si consideramos la v (-4), el resultado no puede ser 2
porque 2 ^ 2 = 4; tampoco será -2 por cuanto (-2) ^ 2 = 4
( también positivo ). • Planteamos algunas
raíces imposibles en el campo real y utilizamos conocidas
reglas del algebra v-4 = v -1 . 4 = v -1 . v 4 = v-1 . 2 v-25 = v
-1 . 25 = v -1 . v25 = v-1 . 5 v-81 = v -1 . 81 = v -1 . v81 =
v-1 . 9 . . .etc.etc. . . En las expresiones anteriores, hemos
partido de infinitas indeterminaciones, pero llegamos en todos
los casos a una única indeterminación : v -1 Se
designa a la expresión v -1 , con la letra “ i
“ , tal que: i 2 = -1 . Este signo se llama unidad
imaginaria. Como consecuencia, los resultados anteriores son
respectivamente: i2; i5; i 9 ; . . .etc…etc. . .llamados
números Imaginarios Ampliación de los Campos
Numéricos
28 Reales (R) Complejos (C) Imaginarios El término
Imaginario, es un nombre histórico poco afortunado, que ha
permanecido desde sus orígenes. Por otra parte, todos los
números introducidos, tanto los negativos, como los
fraccionarios y los irracionales, exigen ser
“imaginados”. Ampliación de los Campos
Numéricos
• • • • • • 29 Consideraciones
Generales Sabemos que todo número positivo tiene dos
raíces cuadradas. Con la convención adoptada puede
demostrarse que la raíz cuadrada de un negativo no es
excepción: v -n = i vn y v -n = -i vn ; llamándose
a la positiva, raíz cuadrada principal. El número
Complejo se considera como la asociación de un real y un
imaginario, formado por un par ordenado a ; b , donde a es la
parte real y b es la parte imaginaria. Como tanto a como b,
tienen sus respectivos signos, se acostumbra usar como
separación entre a y b el signo de este último:
así en general se anotará: a + bi (también
se usa a + ib). Un real tiene la parte imaginaria nula: a + 0i.
En un imaginario vale cero la parte real: 0 + bi . Las
operaciones aritméticas con números complejos se
definen de manera tal que no contradigan la operatoria conocida.
No obstante no se profundizan estos temas pues
corresponderían a un estudio mas profundo. Para finalizar,
se puede afirmar que no hay ninguna exigencia matemática
que haya hecho necesaria una nueva ampliación de los
campos numéricos, mas allá de los Números
Complejos. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • 30 Resumen Los números
naturales permiten hacer sumas sin dificultad. La resta, primera
operación inversa, resulta imposible en algunos casos.
Para hacerla posible se introdujo el cero y los números
negativos. Naturales. cero y negativos. conforman el conjunto de
los números enteros. Los enteros no ofrecen dificultad
para efectuar productos. El cociente, segunda operación
inversa, carece de sentido en muchas circunstancias. .Las
imposibilidades planteadas se resuelven definiendo los
números fraccionarios. Enteros y fraccionarios. originan
el nuevo conjunto de los números racionales. Con los
racionales y algunas reglas algebraicas, se pueden realizar
potenciaciones. La radicación, operación inversa,
presenta también imposibilidades. Estas se solucionan con
la introducción de los números irracionales. .
Racionales e irracionales. forman conjuntamente los
números reales. Pero la radicación real es
imposible, cuando la raíz es de índice par y el
radicando es negativo. Para satisfacer la imposibilidad
planteada, se crearon los números imaginarios. Reales e
imaginarios. completan el último escalón. formando
los números compleios.. • Veamos el esquema general
siguiente: Ampliación de los Campos Numéricos
44 Ampliación de los campos numéricos –
Esquema general Naturales (N) Negativos (-N) Cero (0) Suma y
Resta son operaciones Enteras. Resta imposible Enteros (Z)
Fraccionarios(F) Suma, Resta, Producto y Cociente son operaciones
Racionales. División Imposible Racionales (Q) Irracionales
(I) Raíz Imposible Reales (R) Imaginarios Raíz par
de Si agregamos Potencia y Radicación, tenemos operaciones
Reales. Complejos (C) Negativo No existen mas ampliaciones
Ampliación de los Campos Numéricos