Tasa de interés de rendimiento

Introducción

La tasa interna de retorno, también conocida con
otros nombres como lo son La tasa de rendimiento (TR), Tasa
interna de rendimiento (TIR), retorno sobre la inversión
(RSI) e índice de rentabilidad (IR), sólo por
mencionar algunos, es la tasa a pagar sobre el saldo no pagado
del dinero obtenido en préstamo o la tasa ganada sobre el
saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago
final iguala el saldo exactamente a cero con el interés
considerado. La tasa de interés de retorno se calcula
mediante una ecuación en función del valor presente
y/o valor anual, las cuales deben tomarse algunas precauciones
para no cometer errores en el cálculo. Así mismo
hay un número máximo de posibles tasas de
interés para una serie de flujos de efectivo
específica. También se calcula una tasa de
rendimiento compuesta utilizando una tasa de inversión
determinada. Así como también una tasa de
interés nominal y efectiva para una inversión de
bonos.

El proceso de
toma de decisiones económicas

Supóngase que una persona posee una cantidad
razonable de dinero, al cual se considera como la riqueza de esta
persona, y no sabe exactamente qué hacer con su
capital.

Tiene varias opciones: la primera opción es
gastarlo, consumiendo cualquier bien o servicio; la segunda
opción es invertirlo para especular, tal como comprar oro,
adquirir acciones en la bolsa de valores, etc.; la tercera
opción es invertir en la instalación o
adquisición de una empresa productora de algún
artículo.

Si decide invertir, su decisión estará
basada en que, al dejar de consumir en el presente, podrá
consumir más en el futuro. Su decisión es no
consumir hoy, con la certeza de consumir más en el futuro,
y esto lo podrá realizar si su riqueza es mayor, en
términos reales, en el futuro que en el presente. Toda la
teoría de la utilidad y la teoría de juegos de
Newman y Morgersten aceptan esta conducta económica como
"racional". Al inversionista siempre le interesará
maximizar su riqueza o su ganancia en el futuro.

Así, la primera regla para tomar decisiones de
inversión, como individuo y como empresa, es que siempre
se buscará la mayor ganancia o maximizar la riqueza de los
accionistas.

En términos de ganancia, esto significa que se
debe invertir en todos los proyectos de inversión de los
cuales se obtenga un rendimiento superior al mínimo
vigente en el mercado. ¿Cuál es el rendimiento
mínimo del mercado? Existe una referencia muy clara para
esta determinación. En cualquier país, el gobierno
emite deuda a diferentes plazos. Por ejemplo, en Estados Unidos,
el gobierno emite Billetes de Tesoro (T-bills) con
vencimiento de un año; también emite Notas del
Tesoro (T-notes) con vencimiento de dos a cinco
años y Bonos del Tesoro (T-bonds), con
vencimiento de entre 20 y 30 años entre otros.

Si al momento de analizar un proyecto un inversionista
determina que el rendimiento esperado es menor que el que
obtendría al invertir en cualquiera de los instrumentos de
inversión gubernamentales vigentes en el país,
según el plazo de su inversión, entonces
sería mejor invertir con el gobierno, pues ésta es
una inversión de riesgo cero. Obtener una tasa de
ganancias mayor implica incrementar la riqueza del inversionista.
Para tomar la decisión de inversión correcta
sólo es necesario determinar todos los flujos de efectivo
que se esperan del proyecto, así como los ingresos y
costos. También es preciso seleccionar adecuadamente la
tasa de rendimiento que se desea ganar, que debe ser superior a
la tasa mínima vigente en el mercado, ya que se considera
sin riesgo. Cualquier otra forma de inversión, ya sea
especulativa o en la industria, implica un riesgo que puede ser
muy elevado.

La tasa
mínima aceptable de rendimiento (TMAR)

Antes de tomar cualquier decisión, todo
inversionista, ya sea persona física, empresa, gobierno, o
cualquier otro, tiene el objetivo de obtener un beneficio por el
desembolso que va a realizar.

Se ha partido del hecho de que todo inversionista
deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse
para hacer sus inversiones. La tasa de referencia es la base de
la comparación y el cálculo en las evaluaciones
económicas que haga. Si no se obtiene cuando menos esa
tasa de rendimiento, se rechazará la
inversión.

Todo inversionista espera que su dinero crezca en
términos reales. Como en todos los países hay
inflación, aunque su valor sea pequeño, crecer en
ténninos reales significa ganar un rendimiento superior a
la inflación, ya que si se gana un rendimiento igual a la
inflación el dinero no crece, sino que mantiene su poder
adquisitivo. Es ésta la razón por la cual no debe
tomarse como referencia la tasa de rendimiento que ofrecen los
bancos, pues es bien sabido que la tasa bancaria de
rendimiento es siempre menor a la inflación. Si los bancos
ofrecieran una tasa igualo mayor a la inflación
implicaría que, o no ganan nada o que transfieren sus
ganancias al ahorrador, haciéndolo rico y descapitalizando
al propio banco, lo cual nunca va a suceder.

Por lo tanto, la TMAR se puede definir como:

TMAR = tasa de inflación + premio al
riesgo

El premio al riesgo significa el verdadero
crecimiento del dinero, y se le llama así porque el
inversionista siempre arriesga su dinero (siempre que no invierta
en el banco) y por arriesgarlo merece una ganancia adicional
sobre la inflación. Como el premio es por arriesgar,
significa que a mayor riesgo se merece una mayor
ganancia.

Métodos de
análisis

El método de análisis que se utilice para
tomar la decisión de inversión debe tener varias
características deseables: ser capaz de seleccionar la
mejor opción de entre un conjunto de opciones mutuamente
exclusivas, entendiéndose como tal al hecho de tener
n alternativas de inversión y, al tomar una de
ellas, las demás quedan eliminadas
automáticamente.

El mejor método de análisis también
debe tomar en cuenta todos los flujos de efectivo que genere los
proyectos (positivos y negativos) y no sólo algunos de
ellos. Por último, tiene que ser consistente en los
supuestos teóricos que le dieron origen.

Periodo de
recuperación

Supóngase los siguientes flujos de efectivo de
dos alternativas mutuamente exclusivas.

El periodo de planeación y
análisis es de seis años (tabla 3.1):

Tabla 3.1

El periodo de recuperación de una
inversión es el número de años que
tomará el proyecto para recuperar la inversión
inicial. Según este método debería
seleccionarse A, puesto que en dos años se
recupera la inversión inicial; en tanto que B
tomaría 3.5 años. La deficiencia más
evidente del método es que no está tomando en
cuenta todos los flujos de efectivo del proyecto. Si se observan
los flujos de efectivo de los seis años, claramente
B es superior a A, independientemente de que en
el análisis se considere una TMAR.

Entonces cabe la pregunta ¿por qué no se
toma A sólo por tres años, se desecha y
entonces se toma B o cualquier otro proyecto?. Si se
requiere de un proyecto productivo vigente seis años y se
tomara A sólo por tres años,
¿qué proyecto se tomaría para los
últimos tres años?, ¿el proyecto B
o cualquier otro? En realidad, al momento de tomar la
decisión en el tiempo cero no se tienen bases para esta
determinación. Recuérdese que la decisión
debe tomarse en ese momento y debe ser una decisión con
vigencia de seis años. Por lo tanto, el método de
periodo de recuperación se desecha como método de
análisis porque no toma en cuenta todos los flujos de
efectivo del proyecto, que es una característica deseable
de un buen método de análisis para tomar
decisiones.

El valor presente
neto (VPN o VP)

Definicion1:

El valor presente simplemente significa traer
del futuro al presente cantidades monetarias a su valor
equivalente. En términos formales de evaluación
económica, cuando se trasladan cantidades del presente al
futuro se dice que se utiliza una tasa de interés, pero
cuando se trasladan cantidades del futuro al presente, como en el
cálculo del VPN, se dice que se utiliza una tasa de
descuento; por ello, a los flujos de efectivo ya trasladados
al presente se les llamaflujos descontados.

EJEMPLO 3.1 Supóngase que se ha hecho cierto
estudio que tomó en cuenta la posibilidad de invertir en
una industria metalmecánica. Se calculó una
inversión inicial de $1 000 con la posibilidad de obtener
las ganancias de fin de año que se muestran en la
gráfica 3.1.

Grafica 3.1

La pregunta que se hacen los inversionistas es,
¿conviene invertir en este proyecto dado las expectativas
de ganancia e inversión? Para responder a esta pregunta se
puede utilizar el VPN como criterio de selección.¿
Para calcularlo, sólo traslade los flujos de los
años futuros al tiempo presente y réstese la
inversión inicial que ya está en tiempo presente.
Los flujos se descuentan a una tasaque corresponde a la TMAR, de
acuerdo con la siguiente fórmula:

En donde:

FNEn = flujo neto de efectivo del año n,
que corresponde a la ganancia neta después de impuestos en
el año n.

p = inversión inicial en el año
cero.

i = tasa de referencia que corresponde a la
TMAR.

Como ya se mencionó, el inversionista fija la
TMAR con base en el riesgo que, él mismo considera, que
tiene la inversión que pretende realizar. El
análisis de riesgo puede ser cualitativo, es decir, que el
inversionista lo determina a partir de su experiencia, o bien,
puede ser cuantitativo. Como quiera que sea, supóngase que
hay seis diferentes inversionistas que desean poner su capital en
la industria metalmecánica del ejemplo 3.1. Cada uno tiene
una percepción del riesgo muy diferente, es decir, han
asignado una TMAR distinta a la inversión y, por lo tanto,
cada uno de ellos obtuvo un VPN diferente. En la tabla 3.2 se
muestran los resultados:

Tabla 3.2

La primera pregunta es: ¿cuál de todos los
inversionistas ganará más? Si se observa la forma
en que está calculado el VPN, el resultado está
expresado en dinero. El inversionista 1 podría decir que
el resultado que obtuvo es equivalente a que él
invierta $1 000, gane 5% cada año durante cinco
años (que es el horizonte de análisis) y que
además el banco o sitio donde invirtió le diera
$538.62 al momento de hacer la inversión. El inversionista
4 diría que a pesar de que su resultado es equivalente a
ganar 20% sobre su inversión cada año, durante
cinco años, al momento de invertir sólo le
darían $18.76 extra. Por último, los inversionistas
5 y 6 dirían que en vez de ganar, ellos perderían,
dado el resultado obtenido en su VPN.

Obsérvese que se utilizó la
expresión su resultado es equivalente a,
y lo cierto es que todos están ganando lo mismo. Entonces,
¿qué interpretación debe darse a los VPN
obtenidos?

El VPN, tal y como se calcula, simplemente indica si el
inversionista está ganando un aproximado del porcentaje de
ganancia que él mismo fijó como mínimo
aceptable. Esto significa que para los inversionistas 1, 2,
3 Y4, que solicitaron una ganancia de al menos 20% para aceptar
invertir, el proyecto del ejemplo 3.1 definitivamente ofrece un
rendimiento superior a 20%. En el caso de los inversionistas 5 y
6, no es que pierdan si invierten, sino que la
interpretación es que el proyecto no proporcionará
la ganancia que ellos están solicitando como mínima
para realizar la inversión, es decir, el proyecto no rinde
25% y menos 30%. Por tal razón, los criterios para tomar
una decisión con el VPN son:

• Si VPN > 0, es conveniente aceptar la
  inversión, ya que se estaría ganando más
  del rendimiento solicitado.

• Si VPN < 0, se debe rechazar la inversión
  porque no se estaría ganando el rendimiento
  mínimo solicitado.

Grafica 3.2

Otra manera de visualizar el cálculo del valor de
VP: Para determinar la tasa de rendimiento en una serie de flujo
de efectivo se utiliza la ecuación TR con relaciones de VP
o VA. El valor presente de los costos o desembolsos VPD se iguala
al valor presente de los ingresos o recaudación
VPR. En forma equivalente, ambos pueden restarse e
igualarse a cero. Es decir, se resuelve para i usando.

VPD= VPR

0= -VPD + VPR

El enfoque de valor anual utiliza los valores VA en la
misma forma para resolver i.(las mismas ecuaciones
anteriores)

El valor de i que hace que estas ecuaciones
numéricas sean correctas se llama i*, Es la
raíz de la relación TR. Para determinar si la serie
de flujo de efectivo de la alternativa es viable, compare
i* con la TMAR establecida.

Si i* =TMAR, acepte la alternativa
como económicamente viable.

Si i* < TMAR, la alternativa no es
económicamente viable.

Hay dos formas para determinar i* una vez que
se ha establecido la relación VP: la solución
manual a través del método de ensayo y error, y la
solución por computadora. La segunda es más
rápida aunque la primera ayuda a entender la manera en que
funcionan los cálculos TR.

i* utilizando ensayo y error manual. El
procedimiento general de emplear una ecuación basada en VP
es el siguiente:

1. Trace un diagrama de flujo de efectivo.

2. Formule la ecuación de la tasa de rendimiento
en la forma de la ecuación.

3. Seleccione valores de i mediante ensayo y
error hasta que esté equilibrada la
ecuación.

Al utilizar el método de ensayo y error para
determinar i*, es conveniente que en el paso 3 se
acerque bastante a la respuesta correcta en el primer ensayo. Si
se combinan los flujos de efectivo, de tal manera que el ingreso
y los desembolsos pueden representarse por un solo
factor como PIF o PIA, es posible buscar
la tasa de interés

(En las tablas que aparecen al final del libro de Ing.
Económica de Tarquín) correspondiente al valor de
ese factor para n años. El problema, entonces, es
combinar los flujos de efectivo en el formato de uno solo de los
factores, lo cual se realiza con el siguiente
procedimiento:

1. Convierta todos los desembolsos en
cantidades ya sea únicas (P o F) o
cantidades uniformes (A), al ignorarse el valor del
dinero en el tiempo. Por ejemplo, si se desea convertir un valor
A en un valor F, simplemente multiplique por
A el número de años n. El esquema
elegido para el movimiento de los flujos de efectivo
debería ser aquel que minimiza el error causado por
ignorar el valor del dinero en el tiempo. Es decir, si la
mayoría de los flujos de efectivo son una A y
sólo una pequeña cantidad es F, la
F se debe convertir en una A en lugar de
hacerlo al revés.

2. Convierta todos los ingresos en valores únicos
o uniformes.

3. Después de haber combinado los desembolsos y
los ingresos, de manera que se aplique el formato P/F,
P/A o A/F, se deben utilizar las tablas de
interés para encontrar la tasa de interés
aproximada a la cual se satisface el valor P/F, P/A o
A/F. La tasa obtenida es una buena cifra aproximada para
el primer ensayo.

Es importante reconocer que la tasa de rendimiento
obtenida en esta forma es tan sólo una
estimación de la tasa de rendimiento real, ya que
ignora el valor del dinero en el tiempo.

La tasa interna
de rendimiento (TIR)

La ganancia anual que tiene cada inversionista se puede
expresar como una tasa de rendimiento o de ganancia anual llamada
tasa interna de rendimiento. En la gráfica 3.2 se
observa que, dado que la tasa de interés, que en este caso
es la TMAR, es fijada por el inversionista, conforme ésta
aumenta el VPN se vuelve más pequeño, hasta que en
determinado valor se convierte en cero, y es precisamente en ese
punto donde se encuentra la TIR.

Definición I

TIR es la tasa de descuento que hace el VPN =
O.

Ecuación 3.3

Al igualar el VPN a cero, la única
incógnita que queda es la i. Esta tasa se obtiene
por iteración o de manera gráfica. Obsérvese
de la gráfica 3.2 quela curva cruza el eje horizontal a un
valor aproximado a 21 %. El valor de la TIR para el ejemplo 3.1
es exactamente 20.76006331%.

Definición 2

TIR es la tasa de descuento que hace que la suma de los
flujos descontados sea igual a la inversión
inicial.

Ecuación 3.4

Aunque esta definición es un simple despeje de
P de la fórmula 3.4, lo que establece es que la
tasa de ganancia que genera la inversión es aquella que
iguala, a su valor equivalente, las suma de las ganancias a la
inversión que les dio origen.

Definición 3

La TIR es la tasa de interés que iguala el valor
futuro de la inversión con la suma de los valores futuros
equivalente de las ganancias, comparando el dinero al final del
periodo de análisis.

Ecuación 3.5

En esta definición se aprovecha la facultad que
tiene el dinero para ser comparado en forma válida con su
valor equivalente y en el mismo instante de tiempo, lo cual
significa que si en la ecuación 3.5 se sustituye
i = 0.2076006331, casi se cumplirá la igualdad.
El casi se debe a que todavía es posible agregar
más dígitos al resultado para hacer que la igualdad
se cumpla directamente.

Cuando el VPN = O en realidad no significa que se gane o
que se pierda, ocurre todo lo contrario. Cuando el VPN = O se
está teniendo una ganancia equivalente a la que tuvieron
los seis inversionistas del ejemplo 3.1, es decir, si se
invierten $1 000 es lo mismo tener una ganancia anual de
20.76006331 % cada año durante cinco años, que
ganar 5% sobre la inversión cada año más
$538.32 al momento de hacer la inversión. Como la TMAR es
fijada por el inversionista y se supone que 20.76% fue
determinado por el inversionista, entonces cuando el VPN = O se
debe aceptar el proyecto, ya que se estaría ganando
exactamente la TMAR, por eso se le llama tasa mínima
aceptable. Por lo tanto, el criterio para tomar decisiones
utilizando el VPN consiste en aceptar la inversión cuando
VPN;:: O.

Por otro lado, mientras el VPN cumpla esta
condición de ser mayor o al menos igual a cero, se sabe
que se estará ganando más, o al menos la tasa que
se fijó como mínima aceptable. De esta manera, el
criterio para tomar decisiones con la TIR es el
siguiente:

Si TMAR = TIR es recomendable aceptar la
inversión

Si TMAR < TIR es preciso rechazar la
inversión

Dicho de forma simple, si el rendimiento que genera el
proyecto por sí mismo es mayor, o al menos igual a la tasa
de ganancia que está solicitando el inversionista, se debe
invertir; en caso contrario, es decir, cuando el proyecto no
genera ni siquiera el mínimo de ganancia que se
está solicitando, entonces se deberá rechazar la
inversión.

De esto se deduce que el punto crítico al tomar
decisiones de inversión no es el cálculo en
sí mismo, sino la correcta determinación de la
TMAR. De acuerdo con el ejemplo 3.1, incluso al invertir en una
misma empresa, un inversionista puede percibir menor riesgo si
conoce el ramo y ya tiene cierta experiencia produciendo y
comercializando productos similares; en tanto, el mismo proyecto
puede parecer muy riesgoso para un inversionista que por primera
vez incursiona en tal sector del mercado. Por lo tanto, cada
inversionista podría asignar una TMAR muy distinta.
Asimismo, con respecto a los flujos de efectivo del ejemplo,
suponiendo que fueran reales, son sólo expectativas de
ganancia y nada garantiza que se va a obtener exactamente la
cantidad determinada y en el periodo establecido. Por ello, otro
aspecto muy importante de la toma de decisiones es la forma en
que se realizan las estimaciones de ganancia para el futuro de la
inversión.

La ganancia esperada, ya sea que se exprese como VPN o
como TIR, se obtendrá sólo si la inversión y
la operación de las instalaciones se realizan exactamente
como se planearon. También es necesario que los
métodos de planeación sean los adecuados en el tipo
y la forma de aplicarse. No obstante, los valores de VPN y TIR
siguen siendo sólo una expectativa de ganancia.

Definición 4 (interpretación de una
tasa de rendimiento).

Desde la perspectiva de una persona que ha recibido un
dinero en préstamo, la tasa de interés se aplica al
saldo no pagado, de manera que la cantidad prestada y el
interés total se pagan en su totalidad con el
último pago del préstamo. Desde la perspectiva de
quien otorga el préstamo, existe un saldo no
recuperado en cada periodo de tiempo. La tasa de
interés es el rendimiento sobre este saldo no recuperado,
de manera que la cantidad total prestada y el interés se
recuperan en forma exacta con el último pago. La tasa
de rendimiento define ambas situaciones.

Tasa de rendimiento (TR) es la tasa pagada sobre el
saldo no pagado del dinero obtenido en préstamo, o la tasa
ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de
forma que el pago o entrada final iguala el saldo exactamente a
cero con el interés considerado.

La tasa de rendimiento está expresada como un
porcentaje por periodo, por ejemplo i = 10% anual.
Ésta se expresa como un porcentaje positivo; no se
considera el hecho de que el interés pagado sobre un
préstamo sea en realidad una tasa de rendimiento negativa
desde la perspectiva del prestatario. El valor numérico de
i puede oscilar en un rango entre -100% hasta el
infinito, es decir, -100% < i < En términos
de una inversión, un rendimiento de i = – 100%
significa que se ha perdido la cantidad completa. La
definición anterior no establece que la tasa de
rendimiento sea sobre la cantidad inicial de la inversión,
sino más bien sobre el saldo no recuperado, el
cual varía con cada periodo de tiempo.

Desventajas en el
uso de la TIR como método de
análisis

a) Por la forma en que se calculan, tanto la
TIR como el VPN suponen implícitamente que todas las
ganancias anuales (los FNE) se reinvierten totalmente en la
propia empresa, lo cual es falso. Esta práctica
podría darse en algunos años, pero no en todos. En
un año cualquiera en que se repartan dividendos, una
práctica común en las empresas, ya no es posible
alcanzar la TIR predicha en el cálculo. Precisamente, el
nombre de tasa interna de rendimiento viene de la
consideración de que es un rendimiento generado
sólo por la reinversión interna de todas las
ganancias que se hace en la empresa.

b) La fórmula para calcular la TIR es un
polinomio de grado n. La obtención de las
raíces de cualquier polinomio está regida por la
regla de los signos de Descartes que dice: "Un polinomio puede
tener tantas raíces como cambios de signo tenga el
polinomio." Como el cálculo de la TIR es, de hecho, la
obtención de la raíz del polinomio planteado,
significa que si éste tiene dos cambios de signo, se
pueden obtener hasta dos raíces, lo cual equivale a
obtener dos TIR que no tienen interpretación
económica. Por lo general, sólo existe un cambio de
signo, la inversión inicial con signo negativo y los
demás miembros del polinomio son positivos, pero
interpretados como ganancias iguales. Si en cualquier
práctica empresarial, durante un año dado, en vez
de obtener ganancias hay pérdidas o una inversión
adicional que hace que los costos superen a las ganancias, se
producirá un segundo signo negativo. Cuando se presenta
esta situación, por ejemplo, en el año tres, la
ecuación de cálculo aparecería
como:

En la cual, con estos tres cambios de signo se puede
producir una triple raíz y, por lo tanto, una doble TIR.
Cuando se dan este tipo de casos, el método de la TIR no
es útil para tomar decisiones.

c) Al decidir la inversión en un solo proyecto,
los métodos de VPN y TIR siempre arrojan el mismo
resultado. Pero cuando se comparan dos o más proyectos
pueden resultar decisiones contrarias. En estos casos es
preferible utilizar el VPN para tomar la decisión, debido
a la desventaja que presenta la TIR, como se mostrará en
el siguiente apartado.

Situaciones donde
la TIR y el VPN conducen a decisiones
contrarias

Ejemplo 3.2 Una persona tiene dos alternativas de
inversión, ambas de $15000. Sin embargo, la primera ofrece
un pago de $5500 al final a cada uno de los próximos
cuatro años; por otra parte, la segunda alternativa ofrece
un pago único de $27500 al final de los cuatro
años. Si la TMAR = 15%, decida cuál alternativa
debe seleccionarse (tabla 3.3).

Tabla 3.3

Solución. Como no se pide un método
de análisis específico, se utilizan ambos
métodos de análisis para las dos
alternativas:

VPNA = -15000 + 5500(P/A,
15%,4) = $702.5

VPNB = -15000 + 27400(P/F, 15%,4)
= $724.5 Seleccione B

TIRA = 15000 +
5500(P/A,'i, 4) TIRA = 17.29% Seleccione
A

TIRB = 15000 + 27500(P/F,
i, 4) TIRA = 16.36%

Los métodos VPN y TIR nos dan resultados
¡distintos! No se olvide que de dos alternativas, hay que
elegir aquella con mayor ganancia en cualquier sentido, es decir,
se elige la de mayor VPN o la de mayor TIR. La explicación
para este resultado tan extraño es que se utilizan tres
tasas distintas para descontar los flujos: 15, 16.36 y 17.4%; por
esta razón, los resultados de traerlos a valor presente
son contrarios a lo esperado. Obsérvese que en la
alternativa A hay una serie de flujos que se reinvierten
en su totalidad año con año. En cambio, en la
alternativa B no hay una situación similar de
reinversión debido a que la ganancia es una sola cantidad
al final del horizonte de análisis.

La suposición implícita de la TIR es que
todas las ganancias se pueden reinvertir al valor de la TIR, ya
que todos los flujos de efectivo del proyecto se descuentan a esa
tasa. No existe una base real para suponer que en el proyecto
A, todas las ganancias de cada año se reinviertan
a una tasa de 17.29%. En el proyecto B ni siquiera
existe una oportunidad de reinversión, dado que toda la
ganancia del proyecto se presenta hasta el periodo cuatro, que es
el último año del proyecto. Por lo tanto, la TIR no
cumple con la característica deseable de un método
para tomar decisiones de inversión, tampoco es posible
seleccionar la mejor alternativa dentro de un conjunto de ellas.
Para obtener un resultado un resultado válido en su
totalidad, se debe utilizar una sola tasa de descuento para
analizar dos o más alternativas a la vez. En este caso, la
única tasa que funciona es la TMAR, ya que es una tasa de
referencia. Así, cuando se descuentan los flujos a tasas
diferentes a ésta, el resultado puede ser tan
contradictorio como el obtenido en el ejemplo.

De lo anterior se concluye que, en situaciones donde se
eligen dos o más opciones, el método de la TIR no
es aplicable debido a que descuenta los flujos a tasas distintas
a la de referencia. El único método válido
en estos casos es el VPN. Por lo tanto, en el ejemplo 3.2
elíjase la alternativa B. Debe enfatizarse que,
cuando se analiza una sola alternativa, las decisiones tomadas
bajo el criterio de VPN y TIR son absolutamente
congruentes.

En resumen y para simplificar el contenido se puede
decir que la evaluación económica para cualquier
tipo de inversiones existen dos métodos básicos que
son el VPN y la TIR. En su utilización, se cuenta con una
tasa de referencia llamada tasa mínima aceptable de
rendimiento.

Los criterios de decisión al usar estos
métodos son:

Análisis de una sola
alternativa

Precauciones
cuando usa el método TR

El método de tasa de rendimiento, por lo general,
se utiliza en contextos de ingeniería y negocios para
evaluar un proyecto, como se analiza en este capítulo, y
para seleccionar una alternativa entre dos o más. Cuando
se aplica correctamente, la técnica de la TR siempre
resultará en una buena decisión, de hecho, la misma
que con un análisis VP o VA (o VF).

Sin embargo, existen algunas suposiciones y dificultades
con el análisis de TR que deben considerarse cuando se
calcula i* y al interpretar su significado en el mundo
real para un proyecto específico.

• Múltiples valores de i*. Dependiendo
  de la secuencia del flujo de efectivo neto de desembolsos e
  ingresos, pueden existir más de una raíz real
  para la ecuación TR, lo cual resulta en más de
  un valor i*. Tal dificultad se examina en la
  siguiente sección.

• Reinversión a la tasa i*. Los
  métodos VP y VA suponen que cualquier inversión
  positiva neta (es decir, flujos de efectivo positivos netos
  una vez que se considera el valor del dinero en el tiempo) se
  reinvierte a la TMAR. Pero el método TR supone
  reinversión a la tasa i*. Cuando i*
  no está cerca de la TMAR (por ejemplo, cuando
  i* es sustancialmente mayor que la TMAR), se trata
  de una suposición irreal. En tales casos, el valor
  i* no es una buena base para la toma de decisiones.
  Aunque con mayor contenido computacional que VP o VA a la
  TMAR, existe un procedimiento para emplear el método
  TR y obtener aun un valor único de
  i*.

• Procedimiento especial para múltiples
  alternativas. Utilizar correctamente el método
  TR, para elegir entre dos o más alternativas
  mutuamente excluyentes, requiere un procedimiento de
  análisis significativamente diferente del que se
  usó en VP y VA. En el capítulo 8 se explica tal
  procedimiento.

Los métodos de valor anual o valor presente a una
TMAR establecida deberían usarse en vez del
método TR. Sin embargo, existe cierta ventaja con el
método TR, pues los valores de tasa de rendimiento se
citan muy frecuentemente. Y es fácil comparar el
rendimiento de un proyecto propuesto con el de un proyecto en
marcha. Cuando se trabaja con dos o más opciones, y cuando
es importante conocer el valor exacto de i*, un buen
enfoque es determinar VP o VA a la TMAR, y luego realizar un
seguimiento con la i';' específica para la
alternativa elegida.

Valores
múltiples de la tasa de rendimiento

En las series de flujo de efectivo presentadas hasta
ahora, los signos algebraicos en los flujos de efectivo
netos sólo cambian una vez, generalmente de menos en
el año 0 a más en algún momento durante la
serie, lo cual se conoce como serie de flujo efectivo
convencional (o simple). Sin embargo, para muchas
series, los flujos de efectivo netos cambian entre positivo y
negativo de un año al siguiente, de manera que existe
más de un cambio de signo. A tal serie se le llama no
convencional (no simple). Como se muestra en la tabla 7.3,
cada serie de signos positivos o negativos puede tener una
longitud de uno o más. Cuando hay más de un cambio
del signo en el flujo de efectivo neto, es posible que haya
valores múltiples de i* en el rango de menos 100%
a más infinito. Existen dos pruebas que se realizan en
secuencia sobre las series no convencionales, para determinar si
existen sólo uno o múltiples valores de i*
que sean números reales. La primera prueba es la regla
de los signos (de Descartes), la cual establece que el
número total de raíces reales siempre es menor o
igual al número de cambios de signos en la serie. Dicha
regla se deriva del hecho que para encontrar i* es un
polinomio de grado n. (Es posible que valores
imaginarios o el infinito también satisfagan la
ecuación.)

La segunda y más discriminante prueba determina
si existe un valor real positivo de i*. Ésta es
la prueba del signo del flujo de efectivo acumulado,
también conocida como criterio de Norstrom. En
ella se establece que sólo un cambio de signo en la serie
de flujos de efectivo acumulados que comienzan
negativamente, indica que existe una raíz positiva
para la relación polinomial. Para efectuar esta prueba,
determine la serie

SI = flujos de efectivo acumulados hasta el periodo
t

Observe el signo de S0 y cuente los cambios de signo en
la serie S0, s1……Sn. Sólo si S<0 y el
signo cambia una vez en la serie, existe un único
número real positivo i*. Con los resultados de
estas dos pruebas, la relación TR se resuelve o para un
valor único i* o para múltiples valores de
i*, usando ensayo y error a mano, o por computadora con
la función TIR que incorpora la opción
"estimado".

Tasa de rendimiento compuesta:
eliminación de valores
múltiples

Cualquier método que tome en consideración
el valor del dinero en el tiempo es útil para calcular una
tasa de equilibrio. Como VP, VA o VF. La tasa de interés
obtenida a partir de tales cálculos se conoce como tasa
interna de rendimiento (TIR). Los fondos que permanecen sin
recuperar están aún dentro de la inversión,
de ahí el nombre de tasa interna de rendimiento.
Los términos generales, tasa de rendimiento y tasa de
interés, implican en general la tasa interna de
rendimiento.

El concepto de saldo no recuperado adquiere importancia
cuando se generan (se arrojan) flujos de efectivo netos positivos
antes del final de un proyecto. Un flujo de efectivo neto
positivo, una vez generado, se libera como fondo externo al
proyecto, y no se considera más en el cálculo
de la tasa interna de rendimiento.

Tales flujos de efectivo netos positivos pueden
ocasionar una secuencia de flujo de efectivo no convencional y
valores múltiples de i*. Sin embargo, existe un
método para considerar explícitamente estos fondos,
como se plantea más adelante. Adicionalmente, se elimina
el dilema de raíces múltiples de i*. se
debe Determinar la tasa de rendimiento para el flujo de
efectivo estimado cuando existen múltiples valores
i* indicados por las reglas de los signos tanto del
flujo de efectivo como del flujo de efectivo acumulado, y que los
flujos de efectivo positivos netos del proyecto ganarán a
una tasa establecida que es diferente de cualquier valor
i* múltiple.

Si no es necesaria la tasa de rendimiento exacta para el
flujo de efectivo estimado de un proyecto, resulta mucho
más simple, e igualmente correcto, utilizar un
análisis VP o VAa la TMAR para determinar si el proyecto
es financieramente viable.

La tasa de ganancias utilizada para los fondos liberados
se llama la tasa de reinversión, o tasa
externa de rendimiento y se simboliza por c. Dicha tasa,
establecida por fuera del flujo de efectivo estimado (externa al
proyecto) que se está evaluando, depende de la tasa
disponible en el mercado para inversiones. Por definición;
La tasa de rendimiento compuesta i' es la tasa de
rendimiento única para un proyecto que supone que los
flujos de efectivo netos positivos, que representan dinero no
requerido inmediatamente por el proyecto, se reinvierten a la
tasa de reinversión c.

El término compuesto se utiliza
aquí para describir dicha tasa de rendimiento porque
ésta se obtiene utilizando otra tasa de interés, a
saber, la tasa e de reinversión. Si e
resulta ser igual a cualquier otro de los valores i*,
entonces la tasa compuesta * será igual a ese
valor de i*. La TRC se conoce también como
rendimiento sobre el capital invertido (RCI). Una vez
que se determina la única, se compara con la TMAR para
decidir sobre la viabilidad financiera del proyecto.

El procedimiento correcto para determinar se denomina
procedimiento de inversión neta. La
técnica permite encontrar el valor futuro de la cantidad
de inversión neta en un año al futuro. Calcule el
valor F+ de la inversión neta del proyecto en el
año t a partir de Ft_" utilizando el
factor para un año a la tasa de reinversión c, si
la inversión neta anterior Ft_, es positiva
(dinero extra generado por el proyecto), o a la tasa TRC
i' si Fi.; es negativa (el proyecto
utilizó todos los fondos disponibles).
Matemáticamente, para cada año t
establezca la relación:

El procedimiento para encontrar i' se resume de
la siguiente manera:

1) Elabore un diagrama de flujo de efectivo de la serie
de flujo de efectivo neto original.

2) Desarrolle la serie de inversiones netas y el valor
c.

El resultado es la expresión Fn en
términos de i',

3) Defina Fn = O y encuentre el valor
i' que satisface la ecuación.

Relaciones entre e, i' e
i*;

Conclusiones

La tasa de rendimiento, o tasa de interés, es un
término de uso muy común entendido casi por todos.
Sin embargo, la mayoría de la gente puede tener gran
dificultad para calcular correctamente una tasa de rendimiento
para todas las secuencias de un flujo de efectivo. Para algunos
tipos de series es posible más de una posibilidad de TR.
La tasa interna de retorno también es conocida como la
tasa de rentabilidad producto de la reinversión de los
flujos netos de efectivo dentro de la operación propia del
negocio y se expresa en porcentaje. También es conocida
como Tasa crítica de rentabilidad cuando se compara con la
tasa mínima de rendimiento requerida (tasa de descuento)
para un proyecto de inversión
específico.

La evaluación de los proyectos de
inversión cuando se hace con base en la Tasa Interna de
Retorno, toman como referencia la tasa de descuento. Si la Tasa
Interna de Retorno es mayor que la tasa de descuento, el proyecto
se debe aceptar pues estima un rendimiento mayor al mínimo
requerido, siempre y cuando se reinviertan los flujos netos de
efectivo. Por el contrario, si la Tasa Interna de Retorno es
menor que la tasa de descuento, el proyecto se debe rechazar pues
estima un rendimiento menor al mínimo requerido

Bibliografía

TARQUIN, Anthony. Ingeniería
Económica. 6ª ed. México: Mcgraw-Hill
Interamericana, 2006.

Baca Urbina, Gabriel. Fundamentos de
Ingeniería Económica. 2da ed. México:
Macgraw Hill, 2001