3a Reunión Académica de Profesores de Matemáticas en Aguascalientes
Organizada por
La Asociación Matemática en Aguascalientes A. C.
Delegación Estatal de la Asociación Nacional
de Profesores de Matemáticas
30 de enero de 2016
PROGRAMACIÓN LINEAL EN EL DINERO, LA COMIDA Y EL AMOR
Autor M. I. David Gómez Salas
Objetivo: Contribuir a desarrollar la habilidad de representar los problemas de la vida
real, mediante un sistema de ecuaciones que permita analizar y obtener soluciones al
problema de la vida real.
En este caso se presenta como ejemplo el uso de la programación lineal en la solución
y análisis de algunos problemas de la vida cotidiana y/o profesional. Se formulan tres
tipos de problemas que pueden presentarse en la vida real, como sistemas de
programación lineal. Una vez alcanzado este propósito se obtienen las soluciones
aplicando algún programa de computo de los que existen en el mercado. Un programa
de fácil acceso es el comando Solver de Excel.
Ejemplos:
1.- Maximizar la ganancias de las inversiones
2,- Minimizar costos de las comidas
3.- Maximizar la felicidad en una relación de amor
1- MAXIMIZAR LAS GANANCIAS EN LAS INVERSIONES
Se tienen 400 millones para invertir en 4 opciones. Unas inversiones se pueden hacer en el
presente y otras a futuro.
Opciones:
1.- Por cada peso devuelve 2.75 pesos, 2 años después
2.- Por cada peso devuelve 3.20 pesos, 3 años después
3.- Por cada peso devuelve 3.30 pesos, 3 años después. Disponible al inicio del año 2.
4.- Por cada peso devuelve 2.25 pesos, 1 año después. Disponible al inicio del año 4.
Sea:
Xij.- El dinero invertido en la opción i en el año j
Yj.- El dinero no invertido en el año j
Representación gráfica de inicio (depósito) y fin de la inversión(retiro):
El objetivo es Maximizar
z = 2.75X11+2.75X12+2.75X13+3.2X21+3.2X22+3.3X32+2.25X44
Restricciones:
X11 + x21 + Y1 = 400 …………………………………………Año 1
X12 + X22 + X32 + Y2 = Y1 …………………………………………Año 2
X13 + Y3 = Y2 + 2.75X11……………………………Año 3
X44 + Y4 = Y3 + 2.75X12+3.2X21………………..Año 4
X11 + x21 + Y1
X12 + X22 + X32 – Y1 + Y2
X13 – 2.75X11 – Y2+ Y3
X44 – 2.75X12 – 3.2X21- Y3+ Y4
= 400
= 0
= 0
= 0
PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL
Ejemplo de planeación de inversiones
Monto invertido en la inversión tipo i, en el año j
x11 x12 x13 x21 x22 x32 x44 y1 y2 y3 y4 SP
Año1
1
1
1
0 = 400
Año2
1
1 1
-1 1
0 =
0
Año3
–
2.75
1
-1 1
0 =
0
Año4
–
2.75
–
3.2
1
-1 1
0 =
0
Tasa
2.75 2.75 2.75 3.2 3.2 3.3 2.25
0
Coeficiente de xij
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Valor de la función objetivo
PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL
Ejemplo de planeación de inversiones
Monto invertido en la inversión tipo i, en el año j
x11 x12 x13 x21 x22 x32 x44 y1 y2 y3 y4
SP
Año1
1
1
1
400 = 400
Año2
1
1 1
-1 1
0 =
0
Año3
–
2.75
1
-1 1
0 =
0
Año4
–
2.75
–
3.2
1
-1 1
0 =
0
Tasa
2.75 2.75 2.75 3.2 3.2 3.3 2.25
4160
Coeficiente de xij
0
0
0
400
0
0
1280 0
0
0
0
Valor de la función objetivo
Z = 400×2.75 +1280×2.25 = 1280+2880 = 4160
INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL
Celda objetivo
Celda
Nombre Igual
$M$10 Tasa SP 4160
Celda
Celdas
cambiantes
Nombre
Igual
Límite
Celda
inferior objetivo
Límite Celda
superior objetivo
$B$11
$C$11
$D$11
$E$11
$F$11
$G$11
$H$11
$I$11
$J$11
$K$11
$L$11
x11
x12
x13
x21
x22
x32
x44
y1
y2
y3
y4
0
0
0
400
0
0
1280
0
0
0
0
0
0
0
400
0
0
1280
0
0
0
0
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
0
0
0
400
0
0
1280
0
0
0
0
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
4160
2- EJEMPLO DE LA DIETA
La naranja cuesta 4 pesos/kilo y tiene 12 gramos de vitamina C y un gramo de vitamina A
La uva cuesta 60 pesos/kilo y tiene 0 gramos de vitamina C y 26 gramos de vitamina A
La zanahoria cuesta 12 pesos/kilo y tiene 3 gramos de vitamina C y 10 gramos de vitamina A
La lechuga cuesta 4 pesos/kilo y tiene 2 gramos de vitamina C y 4 gramos de vitamina A
Se desea preparar una ensalada para 10 personas que contenga en total cuando menos 10
gramos de vitamina C y 12 gramos de vitamina A.
x1 = Kilos de naranja
x2 = Kilos de uva
x3 = Kilos de zanahoria
x4 = Kilos de lechuga
Minimizar costos
Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4
Restricciones:
12×1 + 0x2 + 3×3 + 2×4
x1 + 26×2 + 10×3 + 4×4
= 10
= 12
x1 x2 x3
x4
x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0
PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL
Ejemplo: El problema de la dieta
Naranja Uva Zanahoria Lechuga
Suma
producto
Vitamina A
12.00 0.00 3.00
2.00
0
=
10.00
=
12.00
0
0.00
Vitamina C
Costos
Solución
1.00 26.00
4.00 60.00
0.00
0.00
10.00
12.00
0.00
4.00
4.00
0.00
Valor de la función objetivo
PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL
Ejemplo: El problema de la dieta
Naranja Uva Zanahoria Lechuga
Suma
x1 x2 x3
Vitamina A 12.00 0.00 3.00
x4
2.00
producto
10
=
10.00
=
12.00
12
13.04
Vitamina C 1.00 26.00
Costos 4.00 60.00
Solución
0.35
0.00
10.00
12.00
0.00
4.00
4.00
2.91
Valor de la función objetivo
INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL
Celda objetivo (Mínimo)
Celda
Nombre
Valor
original
Valor
final
0.000
13.043
$F$6 Costos
Celdas cambiantes
Celda
Nombre
Valor
original
Valor
final
$B$7
Solución
x1
0.00
0.35
$C$7
Solución
x2
0.00
0.00
$D$7
Solución
x3
0.00
0.00
$E$7
Solución
x4
0.00
2.91
2A- LAS VITAMINAS SOLUBLES (DUAL DEL PROBLEMA DE LA DIETA)
Un laboratorio farmacéutico desea determinar el precio máximo a que podría vender la
vitamina C y vitamina A, solubles. El dueño del restaurante desea que no sea más caro que
comprar las frutas como fuente de vitaminas y que le resulte más simple agregar las 10
gramos de vitamina C y 12 gramos de vitamina A; al agua para 10 personas.
El laboratorio sabe que:
La naranja cuesta 4 pesos/kilo y tiene 12 gramos de vitamina C y un gramo de vitamina A
La uva cuesta 60 pesos/kilo y tiene 0 gramos de vitamina C y 26 gramos de vitamina A
La zanahoria cuesta 12 pesos/kilo y tiene 3 gramos de vitamina C y 10 gramos de vitamina A
La lechuga cuesta 4 pesos/kilo y tiene 2 gramos de vitamina C y 4 gramos de vitamina A
xC = Precio de la vitamina C en $/g
xA = Precio de la vitamina A en $/g
Maximizar precios de venta
Z2 = 10xc + 12xA
Restricciones para que no prefieran comprar naranja, uva, zanahoria o lechuga :
12xC + xA
=
4
0xC + 26xA
3xC + 10xA
= 60
= 12
2xC + 4xA
=
4
xC = 0; xA = 04
PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL
El problema de las vitaminas solubles
=
=
=
=
4.00
60.00
12.00
4.00
Suma de
productos
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Vitamina
Vitamina
C
A
Xc Xa
Naranja 12.00 1.00
Uva 0.00 26.00
Zanahoria 3.00 10.00
Lechuga 2.00 4.00
Requerimientos
10.00 12.00
$/g
0.00
0.00
Valor de la función
objetivo
PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL
El problema de las vitaminas solubles
=
=
=
=
4.00
60.00
12.00
4.00
Suma de
productos
4.00
22.61
9.48
4.00
13.04
Vitamina
Vitamina
C
A
Xc Xa
Naranja 12.00 1.00
Uva 0.00 26.00
Zanahoria 3.00 10.00
Lechuga 2.00 4.00
Requerimientos
10.00 12.00
$/g
0.26
0.87
Valor de la función
objetivo
INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL
Celda objetivo (Máximo)
Celda
Nombre
Valor original
Valor final
0.00
13.04
$D$10 Requerimientos Suma de productos
Celdas cambiantes
Nombre
Celda
$B$11 $/g Xc
$C$11 $/g Xa
Valor original
0.00
0.00
Valor final
0.26
0.87
Restricciones
Celda
Nombre
Valor de la
celda
Fórmula
Estado Divergencia
$D$6
Naranja Suma de productos
4.00
$D$6< =$F$6
Obligatorio
0
$D$7
$D$8
Uva Suma de productos
Zanahoria Suma de productos
22.61
9.48
$D$7< =$F$7
$D$8< =$F$8
Opcional 37.39130435
Opcional 2.52173913
$D$9
Lechuga Suma de productos
4.00
$D$9< =$F$9
Obligatorio
0
Primal:
Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4
Z1 = 4(0.35) + 0x2 + 0x3 + 4(2.91)
Z1 = 1.4 + 11.64
Z1 = 13.04
Minimizar costos
Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4
Restricciones:
12×1 + 0x2 + 3×3 + 2×4
= 10
x1 + 26×2 + 10×3 + 4×4
= 12
x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0
Dual:
Z2 = 10xc + 12xA
Z2 = 10(0.26) + 12(0.87)
Z2 = 2.6 + 10.44
Z2 = 13.04
Maximizar precios de venta
Z2 = 10xc + 12xA
Restricciones:
12xC + xA
=
4
0xC + 26xA
= 60
3xC + 10xA
= 12
2xC + 4xA
=
4
xC = 0; xA = 04
3 – LA FELICIDAD DE PEPE
Pepe desea maximizar la felicidad mensual que le producen los abrazos y besos de Marisol,
realizando el menor esfuerzo. En una escala de calificación de cero a cinco. Pepe califica con 3
unidades de felicidad un abrazo y con 5 unidades de felicidad un beso.
1.- Marisol premia a Pepe con abrazo o beso de acuerdo los méritos siguientes:
— 1 visita a casa + 3 acompañamientos a la Escuela = Un abrazo.
— 2 acompañamientos al Centro Comercial + 2 acompañamientos a la Escuela = Un beso.
2.- El padre de Marisol solo permite que en un mes Pepe la visite a su casa un máximo de 4 veces;
la acompañe al Centro Comercial un máximo de 12 veces; y la acompañe a la escuela un máximo de
18 veces.
3.- Un acompañamiento a la Escuela solo se puede contabilizar para el abrazo o para el beso, no
para ambos.
4.- Cada mes la contabilidad se inicia a partir de cero. No se conservan saldos del mes anterior.
Preguntas, con la menor pérdida de energía:
¿Cual es el máximo de unidades de felicidad puede obtener Pepe, al mes? ¿Cuántas veces debe
visitarla a su casa? ¿Cuántas veces debe acompañarla al centro comercial? ¿Cuántas veces debe
acompañarla a la escuela? ¿Cuántos abrazos y besos recibirá Pepe?
Sea
x1 el número de abrazos
x2 el numero de besos
El objetivo es Maximizar
z = 3×1 +5×2
Sujeto a la restricciones siguientes:
x1 + 0x2 =
4 ….. Casa
0x1 + 2×2 = 12 ….. Centro Comercial
3×1 + 2×2 = 18 ….. Escuela
PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL
Ejemplo: La felicidad de Pepe
Abrazos(x1) Besos(x2) Sumaproducto
1.00 0.00 0.00
0.00 2.00 0.00
3.00 2.00 0.00
= 4.00
= 12.00
= 18.00
Casa
C. Comercial
Escuela
Unidades de
0.00
felicidad
Renglón para
solución
3.00
0.00
5.00
0.00
SOLUCIÓN OBTENIDA EN SOLVER DE EXCEL
Ejemplo: La felicidad de Pepe
Abrazos(x1) Besos(x2) Sumaproducto
Casa
C. Comercial
Escuela
1.00 0.00
0.00 2.00
3.00 2.00
2.00
12.00
18.00
= 4.00
= 12.00
= 18.00
Unidades de
36.00
felicidad
Solución
3.00
2.00
5.00
6.00
Visitas a casa = 2
Acompañamientos al Centro Comercial = 12
Acompañamientos a la Escuela = 18
Abrazos = 2
Besos = 6
Felicidad = 36 unidades de felicidad
RESULTADOS DE EXCEL
Celda objetivo (Máximo)
Celda
Nombre
Valor
original
Valor final
$D$9
Unidades de felicidad
Sumaproducto
0.00
36.00
Celdas cambiantes
Celda
Nombre
Valor
original
Valor final
0.00
0.00
2.00
6.00
$B$10 Solución Abrazos(x1)
$C$10 Solución Besos(x2)
Restricciones
Celda
Nombre
Valor de la
celda Fórmula Estado Divergencia
$D$6 Casa Sumaproducto
2.00 $D$6< =$F$6 Opcional 2
$D$7 C. Comercial Sumaproducto
$D$8 Escuela Sumaproducto
12.00 $D$7< =$F$7 Obligatorio
18.00 $D$8< =$F$8 Obligatorio
0
0
3A- EL SEGUNDO AMOR
Tiempo después Marisol tiene nuevo novio, Juan y la visitará a su casa 4 veces, la acompañará al
centro comercial 12 veces y la acompañará a la escuela 18 veces. En su relación con Pepe, Marisol
no determinó cuanto le costaba, en unidades de felicidad, cada visita a su casa, acompañamiento al
centro comercial y acompañamiento a la escuela. Supo que para Pepe un abrazo equivalía a 3
unidades de felicidad; y un beso equivalía a 5 unidades de felicidad. Marisol desea conocer cuanta
felicidad produce cada visita a su casa, acompañamiento al centro comercial y al acompañamiento a
la escuela. En el fondo Marisol sigue amando a Pepe, por eso desea darle lo menos posible de amor
a Juan, pero que Juan reciba igual o un poco más de felicidad que la que recibió Pepe.
Sean:
x1 Unidades de felicidad por visita a casa
x2 Unidades de felicidad por acompañamiento al Centro comercial
x3 Unidades de felicidad por acompañamiento a la Escuela
El objetivo es Minimizar
z = 4×1 +12×2+ 18 x3
Sujeto a la restricciones siguientes:
x1 + 0x2 + 3×3
0x1 + 2×2 + 2×3
= 3 ….. Abrazo
= 5 ….. Beso
PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL
Ejemplo: El segundo amor
x1
Casa, C Comercial,
x2
Escuela,
x3 Sumaproducto
Abrazo
Beso
1 0 3
0 2 2
0.00
0.00
= 3
= 5
Frecuencia
mensual
4
12
18
0.00
Renglón para
solución
0.00
0.00
0.00
SOLUCIÓN EN SOLVER DE EXCEL
Ejemplo: El segundo amor
Casa,
x1
C Comercial,
x2
Escuela,
x3 Sumaproducto
Abrazo
Beso
1 0 3
0 2 2
3.00
5.00
= 3
= 5
Frecuencia
36.00
mensual
Solución
4
0.00
12
1.50
18
1.00
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