descubiertospor el Doctro en Ciencias M. Eusebio Corazao. (Homenaje de sus hijos
Laura de Rocha y Julio Corazao) Cuzco 1932. (Obra facilitada al autor por los nietos del sabio ingenieros:
Richard y Jorge Corazao Giesecke en diciembre del 2006).
Artículo “A la Memoria de un Sabio Cusqueño” Por Gustavo Núñez del Prado Tió Revista Universitaria del Cusco,
2do. Semestre 1947.
“El Científico Calqueño Eusebio Corazao”. Dr. Alcides F. Estrada Cusco 1987
“UN DESCUBRIMIENTO GEOMÉTRICO”
(De “EL SOL” Nros. 448 y 460, Cusco, noviembre de 1905)
NUEVO TEOREMA DE GEOMETRÍA.
1º .- “Todo polígono regular es medio proporcional entre el círculo inscripto en él y su círculo
isoperímetro”.
DEMOSTRACIÓN
Halladas Las áreas respectivas, se verá que forman la proporción enunciada.
En efecto sea P (Fig. 1) un polígono regular de n lados; sea C el círculo inscripto en él y C’ su círculo
isoperímetro.
Vamos a probar que C : P = P : C’
En efecto sea
uno de los lados del polígono regular P, su apotema r, que es también el radio del
2
(n r)
2
, es decir, la mitad del producto de su
círculo inscripto C.
Según esto el área del círculo C es como se sabe
El área del polígono P cuyo perímetro es n mide
perímetro n
por su apotema r.
n r
Se tiene así: P =
2
pr :
n r n r n r2
pr2 ?
El perímetro n
del polígono P ha de ser circunferencia del círculo C’ y por tanto el radio de este será
n
2p
es decir, a su circunferencia partido por 2p y puesto que el área de todo círculo es igual a p
multiplicado por el cuadrado de su radio, el círculo C’, será:
2
? 2p ? 4p2 4p
Ahora se ve que existe la proporción:
2
2 2
= :
2 2 4p
Pues el producto de los extremos que es:
=
?n2 2
? 4p
?
?
?
n2 2r2
4
Es igual al de los medios que es:
2 2
× =
2 2 4
Luego: C : P = P : C’, que es lo que nos proponíamos probar.
2º Este teorema segundo, que no es sino un corolario de otros muy conocidos, lo enunció sólo con el
fin de apoyar el tercero que va a continuación:
La razón de un círculo a un polígono regular de n lados que le circunscribe es constante.
Sea C y C’ (Fig. 2) dos círculos; P y P’ dos polígonos regulares circunscritos del mismo número n de
lados existe la proporción
C : P = C’ : P’
Su demostración es tan sencilla que parece excusado ponerla.
3º.- Generalización del teorema primero. “La razón de un polígono regular de n lados a su círculo
isoperímetro, es la misma que la de cualquier círculo al polígono regular que le circunscribe también
de n lados.
Demostración
En efecto, según el teorema primero y conservando las mismas notaciones tenemos:
C : P = P : C’
Ahora, en lugar de C : P, se puede poner c : p, es decir la razón de un círculo cualquiera c al polígono
regular p del mismo número de n lados que el polígono P, y resultará:
P : C’ = c : p, conforme al teorema.
4º.- En los teoremas primero y tercero dado el polígono regular de n lados, se ha considerado su
círculo isoperímetro; recíprocamente, dado un círculo se puede considerar el polígono regular de n
lados, que le sea isoperímetro; entonces resulta lo siguiente:
“La razón de un polígono regular de n lados isoperímetro a un círculo dado, es la misma que la
relación de otro círculo cualquiera a su polígono circunscrito también de n lados”.
DEMOSTRACIÓN
En el fondo es el mismo teorema tercero: si se quiere se puede repetir la demostración.
UN EJEMPLO.
Así la razón de un cuadrado o hexágono regular isoperímetro a un círculo dado, es la misma que la
relación de este círculo al cuadrado o hexágono regular que le circunscribe.
IMPORTANCIA DEL TEOREMA.
Se funda este en una idea original, la relación de los círculos con los polígonos regulares
circunscriptos, punto que aún no ha sido desarrollado; es un campo abierto a investigaciones
profundas.
Se comprende fácilmente que el teorema se presta a desarrollos al cual más variados; para dar una
ligera noción de ellos, fijémonos en lo más sencillo tomando el ejemplo concreto de la relación de un
círculo, cuyo radio sirve de unidad al cuadrado (Fig. 3) que le circunscribe.
=
n a2
En este caso, el área del círculo es p (radios cuadrados) el perímetro del cuadrado circunscrito es de
8 (radios) y su área de 4 (radios cuadrados)
El área del Círculo isoperímetro al cuadrado será, según el teorema, el cuarto término de la
proporción:
16
p :4 = 4:
p
16
Hallemos ahora la relación del área del círculo isoperímetro al número p y tendremos
p2
Relación desconocida cuyo valor hallaríamos sólo numéricamente, de una manera aproximada.
Si, pues, por alguna combinación feliz se pudiera construir geométricamente la expresión
16
p2
,
entonces quedaría hallado el círculo isoperímetro al cuadrado de perímetro 8, es decir, conseguida la
rectificación de una circunferencia.
Igual resultado se podría esperar si se consiguiese la desaparición, en la relación,
16
p2
del divisor
2
mediante ésta a la determinación del círculo isoperímetro y consiguiendo la rectificación de su
circunferencia.
CONCLUSIÓN
Si la rectificación de la circunferencia del círculo no es un problema que está fuera del límite de los
alcances del entendimiento humano, como hasta el presente parece serlo; si algún día admitiese
solución posible, no temo afirmar que esta tendría, por base, el teorema que llevo expuesto.
II
Bajo este tema he publicado en el número 448 de este acreditado diario (El Sol) una proposición,
relativa a las relaciones de los círculos con los polígonos regulares, que los circunscribe, y ¿no se
podía esperar otro teorema análogo, comparando los círculos con los polígonos regulares inscritos
en ellos?
Es lo que efectivamente sucede, he aquí su resultado:
1º.- “Todo polígono regular de n lados es medio proporcional entre el círculo circunscrito a él y un
segundo círculo, cuya circunferencia es la cuarta proporcional a las tres rectas, radio del círculo dado,
perímetro del polígono regular y apotema de éste”.
DEMOSTRACIÓN
Halladas las áreas respectivas, se verá que forman la proporción enunciada.
En efecto, consideremos un círculo C (Fig. 2), cuyo radio sirva de unidad y un polígono regular P de n
lados inscripto en él. Queremos hallar el cuarto término de la proporción.
C:P=P:X
El área del círculo C es p unidades cuadradas.
Y del polígono P es
n a
2
Llamando
a uno de sus lados y a su apotema.
Luego tendremos la proporción:
n a n a
2 2
: X
p :
El cuarto término X es
2 2
4p
Que ha de ser área de un círculo C’: hallemos su radio y su circunferencia.
Partiendo de la fórmula conocida, del área de un círculo,
A=pR2, tendremos que:
R2 =
2 2
4pp2
, Por tanto
n a
2p
R =
, luego la circunferencia de C’ es
n a
2p
Se ve, pues, que el cuarto término de X de la proporción C : P = P : X, es un círculo que tiene por
circunferencian a .
Mas, n a es evidentemente el cuarto término de la proporción:
1: n
=a : n a
Es decir la cuarta proporcional a las tres rectas 1, radio del círculo C, n
perímetro del polígono P y a
su apotema conforme al teorema.
2º Transformación de los dos teoremas del presente y del ya publicado bajo el número 1º.
Dado un círculo C, imaginemos dos polígonos regulares de n lados, uno circunscrito al círculo C y
otro inscrito en él.
Del centro de los dos polígonos tracemos radios a sus n vértices; resultarán n triángulos iguales que
llamaremos “Triángulo en el Centro”
En el polígono circunscrito tendremos la siguiente relación:
“El círculo dado es a su triángulo en el centro como éste es a un segundo círculo, cuya circunferencia
es el lado del polígono regular circunscrito”.
Sea C (Fig. 4) un círculo dado; P su polígono regular circunscrito; T uno de sus triángulos en el
centro;
(0.1)
un lado del polígono regular P, y C’ el círculo cuya circunferencia es
Debemos tener
C : T = T : C’
DEMOSTRACIÓN
Completamente análoga a la anterior.
3º.- En el polígono regular inscrito tendremos esta otra relación.
“El círculo es a un triángulo en el centro, como éste es a un segundo círculo, cuya circunferencia es la
cuarta proporcional a las tres rectas; radio del círculo dado, lado del polígono regular inscripto y
apotema de éste”.
Sea C (Fig. 5) un círculo dado; P un polígono regular inscripto en él;
uno de sus lados; a su
apotema; T uno de los triángulos en el centro y C’ un segundo círculo; cuya circunferencia sea la
cuarta proporcional a las tres rectas, radio del círculo C; lado
del polígono P y apotema a; es decir
que exista la proporción:
C : T = T : C’
DEMOSTRACIÓN
Completamente análogo a la precedente del número 1º.
4º.- En el fondo, estos dos teoremas últimos son los mismos que el precedente del número 1º y del ya
publicado también bajo el número 1º, pero bajo esta forma, prestaría, me parece, mejores servicios.
En efecto si multiplicamos por n los términos medios de las dos proporciones anteriores resultarán nT
y nT, es decir, las áreas de los polígonos P y P’ circunscritos e inscritos, que son medio
proporcionales, entre los círculos, como ya se ha enunciado.
Cusco, noviembre 20 de 1905.
M. Eusebio Corazao
Doctor en Ciencias.
P
c’
c
c’
c
c
c’
c’
P
c
r
Fig 2
P
c
1
C
P
P
Fig 1
Fig 3
Fig 4
Fig 5
T
T
a
FUENTES: “EL CIENTIFICO CALQUEÑO EUSEBIO CORAZAO”
POR EL DR. ALCIDES F. ESTRADA
CUSCO – 1987. PAG. 43; Y LA REVISTA UNIVERSITARIA 2DO. SEMESTRE 1932
r x pr =p
3.- COMENTARIO DEL DOCTOR FEDERICO VILLAREAL
UN DESCUBRIMIENTO GEOMÉTRICO
(De la “Revista de ciencias” de Lima – Año IX, N. 2, 1906)
Con este título se ha publicado en el Cuzco, en el periódico El Sol del
18 de noviembre y 2 de diciembre del año pasado dos artículos por el
doctor en ciencias M. Eusebio Corazao, profesor del Colegio Nacional
de Ciencias y de la Universidad de esa ciudad, ese descubrimiento
consiste, según el citado profesor, en un nuevo teorema de Geometría,
que lo enuncia así:
“Todo polígono regular es medio proporcional entre el círculo inscripto
en él y su círculo isoperímetro”, después de la demostración deduce
en su primer artículo una serie de consecuencias y, en el segundo
obtiene otras, partiendo del polígono regular inscripto, concluyendo
así: “Si la rectificación de la circunferencia del círculo no es un
problema que está fuera del límite de los alcances del entendimiento
humano, como hasta el presente parece serlo; si algún día admitiese
solución posible, no temo afirmar que esta tendría por base, el teorema que llevo expuesto”.
Halagador es para los que nos dedicamos a las investigaciones matemáticas encontrar de
cuando en cuando algo notable, fruto de los desvelos de los que se dedican a la ciencia
pura, que cultivan por sí misma y no con el exclusivo objeto de arrancar provecho material a
sus aplicaciones, y que atendiendo únicamente a esto descuidan ingratamente las fuentes
inagotables del saber, porque no palpan el beneficio inmediato.
El teorema mencionado es exacto y aún más general, porque no es necesario que el
polígono sea regular basta que sea circunscriptible a un círculo, en efecto: si en una
circunferencia, se toman los puntos que se quieran y se trazan las respectivas tangentes,
estas formarán un polígono circunscripto, que solo es regular, cuando los puntos tomados
son equidistantes. En el caso general, el área del polígono se mide por la mitad del perímetro
por el radio y el cuadrado de esta expresión multiplicada y dividida por el número Pi, se
descompone en dos factores: uno el área del círculo inscripto, otro del área del círculo
isoperímetro al polígono.
Llamando p el perímetro del polígono circunscripto a un círculo de radio r tenemos para el
cuadrado del área.
1 2 2 2 p2
4 4p
El primer factor del segundo miembro es el área en función del radio r del círculo inscripto al
polígono y el segundo factor es el área en función de la circunferencia p del círculo
isoperímetro al polígono de perímetro p.
Tal es el teorema que ha indicado el señor Corazao.
La teoría general de las figuras isoperímetras no ha sido estudiada todavía para formar un
tratado especial correspondiente únicamente a sus propiedades, que parecen ser
muchísimas y muy interesantes, ya que una parte de la teoría de ellas, fue tratada en primer
lugar por Santiago Bernoulli y ocasionó una gran discusión con su hermano Juan y después
de los famosos desarrollos dados por Euler, originó el cálculo de las variaciones descubierto
por Lagrange; en seguida se han obtenido multitud de teoremas entre los que citaremos los
siguientes, que son elementales.
La figuras isoperímetras aumentan el área que encierran a medida que se regularizan, sea
igualando alguno de sus lados, sea igualando sus ángulos, sea aumentando el número de
lados, sea igualando la distancia de estos a un punto. Por ejemplo, al área del triángulo
escaleno es menor que el área del triángulo isósceles isoperímetro y el área de éste es
menor que la del triángulo equilátero isoperímetro. El triángulo tiene menor área que el
cuadrilátero isoperímetro, este es menor en área que el pentágono isoperímetro y así
Haciendo x = p, y multiplicando por i =
– p
sucesivamente va aumentando el área de las figuras isoperímetras a medida que crece el
número de lados. En los cuadriláteros tiene mayor área el isoperímetro de lados
respectivamente iguales pero inscriptible en el círculo y el paralelógramo es menor que el
rectángulo isoperímetro, el rombo mayor que el paralelógramo de iguales ángulos e
isoperímetro; pero el cuadrado tiene mayor área que el rectángulo y que el rombo
isoperímetro. Finalmente los polígonos isoperímetros formados con los mismos lados, es
mayor el inscriptible; el que tiene lados iguales mayor que el isoperímetro de lados
desiguales; el polígono regular mayor que el isoperímetro de lados iguales, pero de ángulos
desiguales, por último, el círculo es el que tiene mayor área de todos los polígonos
isoperímetros.
Volviendo al teorema enunciado por el doctor Corazao, se tienen dos círculos, el inscripto y
el isoperímetro y cada uno de ellos ha sido empleado por los matemáticos para buscar la
razón de la circunferencia al diámetro; en efecto, 1º Tomando un polígono circunscripto de
perímetro conocido se va calculando el perímetro de los polígonos de doble, cuádruplo,
óctuplo……lados circunscriptos al mismo círculo que les sirve de límite mínimo y de esa
manera se llega a calcular el valor de esta circunferencia cuyo radio es la apotema conocido
de los polígonos. 2º Tomando un polígono de perímetro conocido se van calculando los
radios y apotemas de los polígonos isoperímetros de doble, cuádruplo, óctuplo…lados
acercándose al círculo isoperímetro que les sirve de límite máximo, de esa manera se llega a
calcular el radio cuya circunferencia es el perímetro del polígono conocido.
A pesar de estos métodos conocidos en que el polígono isoperímetro de doble número de
lados tiene por apotema la media aritmética del apotema y radio del polígono anterior, y tiene
por radio la media geométrica, entre el nuevo apotema y el radio primitivo; es decir, que
llamando A el apotema, R el radio de un polígono regular, se tiene para el polígono
isoperímetro de doble número de lados el apotema a por la fórmula:
2 a = A +R
y para el nuevo radio r la fórmula:
1
2
r2 = aR =
R (A + R);
Sin embargo, de usar los polígonos isoperímetros en todos los trabajos elementales de
Geometría, no hemos visto que ninguno se haya fijado que esos polígonos isoperímetros
eran medias proporcionales entre el círculo isoperímetro que es una constante y el círculo
inscrito que va creciendo, que es una variable, pues solamente se había observado que la
diferencia entre los radios y apotemas iba disminuyendo y que llegarían a ser iguales para el
círculo isoperímetro obteniendo de esa manera el radio de una circunferencia de magnitud
conocida.
Al terminar indicaremos, que la razón de la circunferencia al diámetro, calculada hasta 800
cifras decimales, está demostrado que es un número irracional de segundo orden; es decir,
que no es la raíz de ninguna ecuación numérica de coeficientes enteros, como sucede para
la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado o los lados del cuadrado y triángulo
inscriptos, respecto del número pi solamente se le ha expresado por series verdaderamente
notables, pero nunca por una fórmula finita real, sino usando las imaginarias, como la debida
a Euler, en que la unidad imaginaria elevada a la unidad imaginaria es igual al número e
elevado a menos medio pi.
En efecto, tomando el signo general, que expresa algebraicamente la dirección geométrica,
tenemos:
exi = cos x + i. Sen x
1
2
-1, resulta:
(
1
2
e
-1
=
-1)
(*)
Tomando los logaritmos:
? x x x7 ?
= 2?x + + + +…?
? ?
p p ?
?
= ?cos + i. Sen ? ;
como i = -1; cos
= 0 y sen
– p
p = -2 -1 . log -1
Pero tenemos en general:
3 5
3 5 7
Log
1+ x
1+ x
Haciendo pues:
= -1
1+ x
1+ x
sacamos que x =
-1 luego:
? 1 1 1 1 ?
? 3 5 7 9 ?
y por consiguiente:
? 1 1 1 1 1 1 ?
? 3 5 7 9 11 13 ?
Fórmula conocida del valor de p.
Hemos entrado en estos detalles, para hacer notar los inmensos trabajos sobre este asunto y
que no hemos visto entre ellos el teorema que señala el doctor Corazao.
Federico Villareal.
1
2
(*) Nota: en el texto debía decir: haciendo x =
p y elevando ambos miembros de la
ecuación a la potencia i . En tal caso el proceso es el que sigue:
e(
i
xi)i
= (cos x + i. Sen x)
e
p
2
? 2 2?
i
i2
2
p p
2 2
= 1 entonces:
(
1
2
e
-1
-1)
= ii =
(Nota aclaratoria de J.A.G.S.)
p p
4.- INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA DE CORAZAO:
DESARROLLADO POR EL AUTOR INGº. JULIO A. GUTIÉRREZ SAMANEZ Y PUBLICADO EN
CUSCO 2003)
TRIBUTO AL MAESTRO CORAZAO
7.1.- RELACIÓN ENTRE LOS TEOREMAS DE CORAZAO Y EL PROBLEMA DE LA
RECTIFICACION DE LA CIRCUNFE-RENCIA.
En la relación de un círculo de r = 1 y el cuadrado que le circunscribe tenemos los datos
siguientes:
Circulo Inscrito
Polígono
Círculo Isoperímetro
Radio =
Área =
Perímetro =
Lado
Área
Perímetro
Apotema
= 2
= 4
= 8
= 1
Área =
Perímetro =
Radio =
Fig. 2.7
Según el teorema del Dr. Corazao, el área del círculo isoperímetro del cuadrado, será, el
cuarto termino de la proporción:
p : 4 = 4: ? ; =
4 ?
El cuarto término será =
16
p
=
4×4
p
Que es el valor del área del círculo isoperímetro al polígono (cuadrado) lo que se prueba del
modo siguiente:
Perímetro = 8 = 2p riso
r iso = 4/p
2
2
2
entonces , es decir se cumple que: “El área del polígono es medio proporcional entre el
4
p
círculo isoperímetro y su círculo inscrito”. (Teorema de Corazao).
HALLANDO ESA “COMBINACIÓN GEOMÉTRICA FELIZ”
QUE BUSCABA CORAZAO.
Dividiendo entre p la proporción anterior, el Dr. Corazao halló el número 16/p2que es la relación
del área del círculo isoperímetro al número p, e intuyó que, de construirse geométricamente
esta expresión, “por alguna combinación feliz”…“quedaría hallado el círculo isoperímetro
al cuadrado (de perímetro 8) es decir, conseguida la rectificación de una circunferencia”.
Así:
: = :
p p p p 2
4 16
: 2
1:
4
p
=
:
:
Relación de proporcionalidad que enunciamos como un nuevo Teorema:
Teorema: “El radio de un círculo isoperímetro de un cuadrado (4/p), es medio
proporcional entre la unidad y el cuadrado de dicho radio del circulo isoperímetro o la
relación entre el área del círculo isoperímetro (16/p) al área del círculo inscrito al
polígono (cuadrado) (p)”.
Para generalizar el teorema para cualquier cuadrado se multiplicara por el valor del apotema
y la relación quedara así:
ap :
4 ap 16 ap
p p2
=
4 ap
p
Aplicando nuestro método grafico basado en el Teorema de la altura del triángulo rectángulo
que es media proporcional entre las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa y
teniendo el valor aproximado de p podemos encontrar gráficamente los valores de 16/p y
16/p2 en las Figs. 2.8 y 2.9 con estos valores dibujamos la Fig. 2.10, trazando la función
Y=4/p X, en el punto (p,4), automáticamente, aún sin saber los valores numéricos, la imagen
de X=1 en Y será 4/p y la imagen de X=4/p en Y será, obviamente, 16/p2:
Fig. 2.8
1
Fig. 2.9
1
1:
4 16
p p2
=
4
p
16
p
p : 4 = 4 :
p
p
p
= = 2 =1.621
p(riso)2 p(4/p)2
2 ( ins)
p
1
5
4
3
2
6
0
2
3
4
5
1
4
4
16
16
Y
X
Y=
4
X
Fig. 2.10
Al construir este gráfico muestro descubierta la “combinación feliz” que buscaba el Doctor
Corazao hace cien años; por esta razón he convenido en llamar a su valor:
número de Corazao =
16
p2
= 1.621 que analíticamente resulta de las siguientes relaciones:
16
Área del círculo isoperímetro del cuadrado
Área del círculo inscrito en el cuadrado Isoperímetro.
16
p p
Área del círculo isoperímetro
Área del círculo inscrito
= = = (1.2732)2 =1.621
p(rins)2 p(1)
El numero de Corazao relaciona los cuadrados de los radios isoperímetro e inscrito.
La relación incógnita del Dr. Eusebio Corazao (16/p: p = 16/p2) es, como vimos, la razón
entre el área del círculo isoperímetro del polígono (cuadrado en este caso) al área del círculo
inscrito al polígono y es igual al cuadrado del radio del círculo isoperímetro, pues es la razón
entre los cuadrados de los radios del círculo isoperímetro y el círculo inscrito.
2
16
(radioiso)
r
=
2
Sacando la raíz cuadrada tenemos la expresión:
rins
riso =
4
p
Generalizando, riso = K rins ; donde k es el inverso de la constante de proporcionalidad que he
llamado de Gutiérrez Samanez (Nº de G.S.), que es diferente para cada polígono.
En el caso del cuadrado, si el radio inscrito = 1, entonces:
K =
4
p
y la ecuación es:
riso =
4
p
rins.
X
Expresando en coordenadas cartesianas será:Y =
4
p
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