?F ?F
-1-
EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS
Glosario de conceptos:
1. Equilibrio.
“Si la resultante de todas las fuerzas que actúan
sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en
equilibrio”.
2. Ecuaciones de equilibrio:
x ? 0 y ? 0
3. Primera condición de equilibrio:
“Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula
es cero, la partícula permanecerá en reposo (si
originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad
constante en línea recta (si originalmente estaba en
movimiento)”.
4. Diagrama de cuerpo libre:
“Un gran número de problemas que tratan de
estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al
equilibrio de una partícula. Esto se hace escogiendo una
partícula significativa y dibujando un diagrama separado
que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre
ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo
libre.”
Los ejercicios que resolveremos a continuación
estarán referidos a partículas y/o cuerpos que se
encuentren en reposo.
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ejercicio 1 :
Determinar la magnitud que debe poseer la
F2 = 10 N
Solución :
Existen varios procedimientos que nos permiten llegar a la solución. Sin
embargo, utilizaremos uno que consideramos puede ser utilizado en
cualquier tipo de problemas de equilibrio con la finalidad de que el
estudiante se familiarice con éste y se le facilite el enfoque y solución de
problemas con mayor grado de dificultad.
Como se indicó anteriormente : Si la resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en
equilibrio”.
Luego, el problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del
sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los
ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas
(?Fx = 0 y ?Fy = 0).
Estudiando la fuerza F1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
30º
30º
fuerza F3 para que el siguiente sistema esté en equilibrio :
F1 = 10 N
F3
10 N
F1y
30º
F1x
F1x = (cos 30º)(F1) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+)
F1y = (sen 30º)(F1) = (0,5)(10) = 5 N (hacia arriba)(+)
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-2-
F2x = (cos 30º)(F2) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+)
F2y = (sen 30º)(F2) = (0,5)(10) = 5 N (hacia abajo)(-)
Estudiando la fuerza F3 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Como estos son los valores desconocidos, lo incluimos en la tabla como
incógnitas :
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
SFx = 0
+ 8,66 + 8,66 – F3x = 0
;
17,32 – F3x = 0
;
17,32 = F3x
SFy = 0
+ 5 – 5 – F3y = 0
;
0 – F3y = 0
;
F3y = 0
La solución gráfica será :
Ejercicio 2 :
si la masa de la caja es de 10 kg.
El peso de la caja será W = m.g = (10)(9,81) = 98,10 N
30º
10 N
F2y
Estudiando la fuerza F2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
F2x
30º
F2 = 10 N
Determine la tensión en las cuerdas ab y ad,
30º
F1 = 10 N
F3 = 17,32 N
c
Solución :
Se construye el diagrama de cuerpo libre :
b
a
d
30º
W
Tb
Td
30º
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-3-
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
“Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
?Fy = 0).
Estudiando la tensión Tb ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Tbx = (cos 30º)(Tb) = (0,866)(Tb) = 0,866 Tb (hacia la derecha)(+)
Tby = (sen 30º)(Tb) = (0,5)(Tb) = 0,5 Tb (hacia arriba)(+)
Estudiando la tensión Td ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su
componente en X será igual a su magnitud (Td = Tdx)
Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy)
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
SFx = 0
+ 0,866 Tb – Tdx = 0
;
0,866 Tb = Tdx
SFy = 0
+ 0,5 Tb – 98,1 = 0
;
0,5 Tb = 98,1
Tb =
;
Tb = 196,20 N
Este valor lo puedo introducir en la ecuación que me quedó indicada en
la sumatoria de fuerzas horizontales (0,866 Tb = Tdx) y obtendré el
valor de la tensión en “d”.
0,866 Tb = Tdx
;
(0,866)(196,20) = Tdx ;
169,91 = Tdx
Como Tdx = Td
;
Td = 169,91 N
La solución gráfica será :
30º
W = 98,10 N
Tb = 196,20 N
Td = 169,91 N
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-4-
Calcule la fuerza “F” para que la pesa esté en
Se construye el diagrama de cuerpo libre :
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
“Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
?Fy = 0).
Estudiando la tensión Ta ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Tax = (cos 53º)(Ta) = (0,6018)(Ta) = 0,6018 Ta (hacia la izquierda)(-)
Tay = (sen 53º)(Ta) = (0,7986)(Ta) = 0,7986 Ta (hacia arriba)(+)
Estudiando la Fuerza F ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su
componente en X será igual a su magnitud (F = Fx)
Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy = 80 N)
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
SFx = 0
– 0,6018 Ta + Fx = 0
;
Fx = 0,6018 Ta
SFy = 0
+ 0,7986 Ta – 80 = 0
;
0,7986 Ta = 80
Ta =
;
Ta = 100,18 N
53º
W = 80 N
El valor del ángulo que se forma entre “Ta” y el eje X se calcula tomando
en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triangulo rectángulo
es igual a 180º; luego : 180 – 90 – 37 = 53.
F
Ta
Ejercicio 3 :
equilibrio :
a
Solución :
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-5-
Este valor lo puedo introducir en la ecuación que me quedó indicada en
la sumatoria de fuerzas horizontales (Fx = 0,6018 Ta) y obtendré el
valor de la componente en X de la fuerza F.
Fx = 0,6018 Ta
;
Fx = (0,6018)(100,18)
;
Fx = 60,29
;
F = 60,29 N
Ejercicio 4 : Si W = 40 N en la situación de equilibrio de la
figura adjunta, determine T1 y T2.
53º
W = 80 N
F = 60,29 N
Como Fx = F
La solución gráfica será :
Ta = 100,18 N
60º
W = 40 N
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
“Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
?Fy = 0).
Estudiando la tensión T1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
T1x = (cos 60º)(T1) = (0,5)(T1) = 0,5 T1 (hacia la izquierda)(-)
T1y = (sen 60º)(T1) = (0,866)(T1) = 0,866 T1 (hacia arriba)(+)
T2
Solución :
Se construye el diagrama de cuerpo libre :
T1
70º
20º
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-6-
Estudiando la tensión T2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
T2x = (cos 20º)(T2) = (0,9397)(T2) = 0,9397 T2 (hacia la derecha)(+)
T2y = (sen 20º)(T2) = (0,3420)(T2) = 0,3420 T2 (hacia abajo)(-)
Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy = 40 N)
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
SFx = 0
– 0,5 T1 + 0,9397 T2 = 0
;
0,9397 T2 = 0,5 T1
SFy = 0
+ 0,866 T1 – 0,3420 T2 – 40 = 0
;
0,866 T1 – 0,3420 T2 = 40
Con las dos ecuaciones obtenidas anteriormente se puede construir un
sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas y calcular los valores de
“T1” y “T2”.
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Utilizando el método de sustitución:
Si
0,9397 T2 = 0,5 T1
;
;
T1 = 1,88 T2
Introduciendo este valor en la segunda ecuación :
0,866 T1 – 0,3420 T2 = 40
Tendremos (0,866)(1,88 T2) – 0,3420 T2 = 40
1,628 T2 – 0,3420 T2 = 40
;
1,286 T2 = 40
:
T2 = 31,10 N
Como T1 = 1,88 T2
;
T1 = 1,88 (31,1)
;
T1 = 58,47 N
60º
W = 40 N
T2 = 31,1 N
La solución gráfica será :
T1 = 58,47 N
70º
20º
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-7-
Ejercicio 5 : En la figura siguiente, las poleas no presentan
fuerza de fricción y el sistema cuelga en equilibrio. ¿Cuáles son los
valores de los pesos W1 y W2 ?.
Solución :
La primera consideración que debemos hacer en este tipo de problemas
es recordar que cuando en las poleas no existe fricción o la misma es
despreciable, la tensión en las cuerdas es la misma a ambos lados de
ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la
siguiente manera :
W1x = (sen 50º)(W1) = (0,766)(W1) = 0,766 W1 (hacia la izquierda)(-)
W1y = (cos 50º)(W1) = (0,6428)(W1) = 0,6428 W1 (hacia arriba)(+)
Estudiando la tensión W2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
componente en Y será igual a su magnitud (W2 = W2y)
Estudiando la tensión W3 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
W3x = (sen 35º)(W3) = (0,5736)(200) = 114,72 N (hacia la derecha)(+)
W3y = (cos 35º)(W3) = (0,8192)(200) = 163,83 N (hacia arriba)(+)
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
SFx = 0
– 0,766 W1 + 114,72 = 0
;
114,72 = 0,766 W1
;
W1 =
W1 = 150 N
SFy = 0
+ 0,6428 W1 – W2y + 163,83 = 0
Como ya conocemos el valor de W1, lo podemos introducir en la
ecuación :
(0,6428)(150) – W2y + 163,83 = 0
;
96,42 – W2y + 163,83 = 0
260,25 – W2y = 0
;
W2y = 260,25
W2
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
“Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
?Fy = 0).
Estudiando la tensión W1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
W3 = 200 N
W1
50º 35º
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-8-
;
W2 = 260 N
Como W2 = W2y
La solución gráfica será :
W3 = 200 N
W1 = 150 N
50º 35º
W2 = 260 N
Ejercicio 6 : Calcular el ángulo ? y la tensión en la cuerda W
para que haya equilibrio sabiendo que M = 300 N y Q = 400 N :
Q
Solución :
La primera consideración que debemos hacer en este tipo de problemas
es recordar que cuando en las poleas no existe fricción o la misma es
despreciable, la tensión en las cuerdas es la misma a ambos lados de
ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la
siguiente manera :
?
M = 300 N
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en
sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e
“Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y
?Fy = 0).
Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Wx = (sen ?)(W) (hacia la izquierda)(-)
Wy = (cos ?)(W) (hacia arriba)(+)
Estudiando la Fuerza M ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su
componente en Y será igual a su magnitud (My = M = 300 N)
Estudiando la tensión V ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los
ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su
componente en X será igual a su magnitud (Vx = V = 400 N = Q)
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas
dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las
fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo.
V = Q = 400 N
Se construye el diagrama de cuerpo libre :
W
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
-9-
SFx = 0
– (W)(sen ?) + 400 = 0
;
(W)(sen ?) = 400
SFy = 0
+ (W)(cos ?) – 300 = 0
;
(W)(cos ?) = 300
El ángulo se puede calcular con la tangente:
tg ?
=
?
= Arctg
= 53º
(W)(sen ?) = 400
;
W =
;
W =
(W)(cos ?) = 300
Igualando estos dos valores de W :
=
;
=
?
V = Q = 400 N
Wx = 400 N
M = 300 N
La magnitud de W se calcula como la raíz cuadrada de la suma de
los componentes al cuadrado (teorema de Pitágoras) :
= 500 N
Con estos valores puedo graficar el equilibrio, faltando solamente
calcular el ángulo (como lo hicimos en la guía de FUERZA
RESULTANTE).
W
Wy = 300 N
?
M = 300 N
V = Q = 400 N
W.cos ?
W.sen ?
Otra manera de enfocarlo pudo ser :
W
53º
M = 300 N
V = Q = 400 N
Por relación trigonométrica 1,33 = tg ? ; luego ? = 53º
La solución gráfica será :
W = 500 N