“
21
.
+
+
+ +
= 360º .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
1. En la figura, hallar “ ”
Rpta.
2. Hallar “x”
Rpta.
Geometría 1º
3. Se tiene los ángulos consecutivos
A0B , B0C
y C0D, m?A0C =
60º y m?BOD = 40º, m? B0D =
80º. Hallar m? B0C.
Rpta.
4. En la figura, hallar “ ”
Rpta.
5. En lafiguramostrada,hallar“ ”
Rpta.
“
Geometría 1º
NIVEL II
6. En la figura mostrada:
= 3x – 10º
= 2x + 5º
Hallar el complemento de “ ”
Rpta.
7. En la figura mostrada
es bisectriz del ángulo A0B
es bisectriz del ángulo B0C
m?A0C = 72º. Hallar m?x0y
Rpta.
8. En la figura, hallar el valor de
“ ”
= x + 5º
= x + 20º
= 4x + 10º
= 100º – x
Rpta.
9. En la figura, m?A0D = 90º.
Hallar el valor de “x”
Rpta.
NIVEL III
10. Hallar el suplemento del
complemento de 20º
Rpta.
11. Hallar el complemento de un
ángulo que mide el doble de 16º.
Rpta.
12. Hallar el suplemento de la mitad
de un ángulo que mide 66º.
Rpta.
es igual a 4 ;
13. El suplemento de
hallar “ ”
Rpta.
14. El complemento de “ ” más el
suplemento de “ ” es igual a
170º.
Hallar “ ”
Rpta.
22
“
Geometría 1º
23
Por ejemplo :
Convertir :
a)
60'
2
22º
1 º
2
22º
45 º
2
22º30'
45 º
2
22º 30'
45 º
2
b)
60'
4
4º
1º
4
4º
17 º
4
4º 15' 4º15'
17 º
4
=
5º4'48''
127 º
25
15. Si el suplemento de “x” es igual
a “2x”
Hallar “x”
Rpta.
Sabias que :
? 1º
? 1’
? 1º
> 60’
> 60’’
> 3600’’
60’
2(60’)
12’
“
Geometría 1º
24
16. Calcular :
27 º
2
17. Calcular
18. Calcular
35 º
2
125º
4
19. Calcular
127 º
8
20. Calcular
85 º
4
21. Indicar verdadero ó falso
según corresponda:
a. El ángulo tiene dos lados
(
)
b. El ángulo tiene dos bisectrices
( )
c. El ángulo esta formado por
dos semirrectas. ( )
d. Todos los ángulos están
medidos en grados
sexagesimales ( )
e. El ángulo agudo es mayor
que 90º ( )
22. Indicar verdadero ó falso
según el ángulo.
a.
b.
La unidad del ángulo es el
grado sexagesimal (1º)
( )
El minuto sexagesimal es (1’)
( )
c.
El segundo sexagesimal es
(1’’) ( )
d.
e.
Un grado (1º) ; equivale a 60
minutos sexagesimales (60’’)
( )
Un minuto (1’) equivale a 60
segundos sexagesimales
(60’’)
(
)
23. Indicar verdadero o falso,
según corresponda:
a.
El ángulo agudo es menor que
90º;
b.
c.
pero mayor que 0º ( )
El ángulo obtuso es mayor que
90º; ( )
pero menor que 180º
El ángulo recto mide 180º ( )
d.
El ángulo llano mide 90º (
)
e.
El ángulo de revolución ó
de una vuelta mide 360º
(
)
24. Relacionar las
alternativas:
a) Ángulo Agudo
b) Ángulo Obtuso
c) Ángulo Recto
d) Ángulo de una vuelta
siguientes
( )
180º
( )
27º
( )
360º
( )
90º
e) Ángulo Llano
( )
150º
Geometría 1º
25
“
25. Calcular : CCC(23º)
26. Calcular : SSSSS(142º)
PROBLEMAS PARA LA CASA
NIVEL I
1. En la figura, hallar “ ”
C) 10º
A) 12º
D) 15º
B) 20º
E) 16º
2. Hallar “x”
C) 100º
A) 90º
D) 110º
B) 80º
E) 120º
3. Se
tienen
los
ángulos
consecutivos
A0B ,
B0C
y
C0D.m?A0C
= 50º, m?B0D =
30º. y m?A0D = 70º
C) 15º
Hallar m
A) 5º
D) 20º
B0C
B) 10º
E) 25º
4. En la figura, hallar “ ”
C) 90º
A) 70º
D) 100º
B) 80º
E) 60º
“
Geometría 1º
26
5. En la figura, m
A0D = 100º.
Hallar el valor de “x”
C) 10º
A) 15º
D) 15º
B) 12º
E) 16º
NIVEL II
6. En la figura que se muestra,
hallar “x”
A) 10º
B) 15º
C) 20º
D) 25º
E) 30º
7. En la figura mostrada
= 4x – 15º
;
=x – 5
C) 32º
A) 52º
D) 22º
B) 42º
E) 12º
8. Hallar
el
complemento
del
complemento del complemento
de 50º
C) 60º
A) 40º
D) 80º
B) 50º
E) 30º
9. El suplemento de un ángulo es
5
y el
complemento
del
mismo ángulo es .
¿Cuál es ese ángulo?
B) 22º30'
D) 23º30'
A) 20º
C) 23º
E) 24º
10. Hallar
el
suplemento
del
complemento de 40º
C) 140º
A) 120º
D) 110º
B) 130º
E) 90º
NIVEL III
11. Calcular “ ” en grados y
minutos.
º=
37 º
4
12. Calcular “ ” en grados y
minutos.
105º
º=
8
“
Geometría 1º
27
“
Geometría 1º
28
TRIÁNGULOS I – PROPIEDADES BASICAS
Es un polígono que tiene tres lados
CLASIFICACIÓN
Según la Medida de sus Lados
Según la Medida de sus Ángulos
PROPIEDADES BÁSICAS
1. La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180º.
.
+
+ = 180º .
Geometría 1º
29
“
2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre igual a la suma de los ángulos
interiores
no adyacentes a él.
.
=
+
.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
1. Hallar
en:
Rpta.
2. Hallar “x”:
Rpta.
3. Hallar :
Rpta.
4. Calcular “x”
Rpta.
5. Hallar “x” su BD es bisectriz
“
Geometría 1º
30
7. Hallar “x”
Rpta.
8. Hallar “x” en
Rpta.
9. En la figura, hallar “x”
Rpta.
10. Determinar “x”
Rpta.
NIVEL III
11. Calcular “x”, si AB = BC = CD
Rpta.
12. Determinar “x”. Si AB = BC,
BP = BQ
Rpta.
50
°
Rpta.
NIVEL II
6. Del gráfico calcular “x”
x
x
30
°
“
Geometría 1º
31
13. Hallar “ ”
Rpta.
14. Hallar la suma de los ángulos
A, B , C , D
y E .
15. Hallar “ ” en:
Rpta.
Rpta.
“
Geometría 1º
32
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar “ ” en:
C) 14º
A) 12º
D) 15º
B) 13º
E) 16º
2. Hallar “x” en:
C) 30º
A) 10º
D) 40º
B) 20º
E) 50º
3. Hallar
en:
C) 20º
A) 10º
D) 40º
B) 30º
E) 5º
4. Hallar “ ” si: QS es una
bisectriz
C) 38º
A) 30º
D) 25º
B) 40º
E) 20º
5. Hallar “x” en:
A) 70º
B) 80º
C) 90º
D) 60º
E) 100º
“
Geometría 1º
33
6. Hallar “x” en:
C) 30º
A) 10º
D) 40º
B) 20º
E) 50º
7. Hallar “x” en:
C) 11º
A) 15º
D) 10º
B) 12º
E) 14º
8. En la figura, hallar “x”
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 60º
E) 70º
9. En la figura, hallar “x”
C) 30º
A) 15º
D) 60º
B) 50º
E) 40º
10. Hallar el valor de “x”
C) 40º
A) 10º
D) 20º
B) 30º
E) 60º
“
34
Bernhard Riemann ( 1826 – 1866), matemático alemán
que elaboró un sistema de Geometría que contribuyó al
desarrollo de la Física teórica moderna.
Nació en Breselenz y estudió en las universidades de
Gotinga y Berlín. Su tesis doctoral Foundations for
a
General Theory of Functions of a Complex Variable (Fundamentos
para una teoría general de funciones de variables complejas),
presentaba en 1851, ontituyó una extraordinaria aportación a
la teoría de funciones. Desde 1857 hasta su muerte fue
profesor de matemáticas en la Universidda de Gotinga.
La importancia de la Geometría de Riemann radica en el
uso y extensión de la Geometría Euclídea y de la Geometría
de superficies, que conduce a muchas Geometrías
diferenciales generalizadas. El efecto más importante
de estas investigaciones fue que logró una aplicación
geométrica para algunas abstracciones del análisis
de tensores, que conducía a algunos de los conceptos que
utilizó más tarde Albert Einstein al desarrollar su teoría
de la relatividad. La Geometría de Riemann también
es necesaria para tratar la electricidad y el magnetismo en
la estructura de la relatividad general.
Geometría 1º
“
Geometría 1º
35
¿SABÍAS QUÉ…
EN LA CARRERA PROFESIONAL DE
INGENIERÍA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
El ingeniero de sistemas tiene como función principal
elaborar soluciones sobre la base de elementos tecnológicos
(hardware, software y de comunicación); estas soluciones
pueden
corresponder
a
construcción,
adaptación
y/o
implantación de dichos elementos integrados para satisfacer las
necesidades de las empresas, en todos sus niveles de gestión
(operativa, táctica y estratégica).
“
Geometría 1º
36
ÍNDICE
II
BIMESTRE
CAPÍTULO
V.
VI.
TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS
NOTABLES……………………………………..37
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ……….51
VII. CUADRILÁTEROS I –
PROPIEDADES BÁSICAS …………………..59
MISELANEA I ………………………………….74
MISELANEA II………………………………….77
REFORZAMIENTO DE ANGULOS …………79
“
37
TRIANGULO II: LINEAS Y PUNTOS NOTABLES
ALTURA
Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado
opuesto o a su prolongación.
Ortocentro (H)
Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.
H: Ortocentro.
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO.
ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.
ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.
SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.
MEDIANA
Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho
vértice.
Baricentro (G)
Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo.
G: Baricentro
Geometría 1º
“
Geometría 1º
38
???
AG
CG
2GN
2GS
? TEOREMA?
BG 2GM
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO.
DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A2.
EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.
ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
DE LA REGIÓN TRIANGULAR.
BISECTRIZ
Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual
medida.
Incentro (I)
Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un
triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.
EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.
EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.
Excentro (E)
Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz
interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita
“
Geometría 1º
39
E: Encentro relativo de
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS.
LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL
TRIÁNGULO.
MEDIATRIZ
Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma
perpendicular.
: Mediatriz de
Circuncentro (O)
Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo.
C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita
“
Geometría 1º
40
PARA RECORDAR.
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.
EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.
ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.
ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.
SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.
Propiedad:
Si: “0” es circuncentro
. x=2
.
CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de
su prolongación.
Geometría 1º
41
“
Cevacentro (C)
Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.
PARA RECORDAR:
TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.
OBSERVACIONES:
– PARA UBICAR UN PUNTO
NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR
–
DOS LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.
EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS
CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA
LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.
–
EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO
EL
ORTOCENTRO,
BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.
–
EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES,
EL ORTOCENTRO,
BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE
ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.
“
Geometría 1º
42
1.
PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES
Ángulo formado por dos
bisectrices interiores.
a
2
90
. x
.
2.
Ángulo formado por dos
bisectrices exteriores.
a
2
90
. x
.
3.
Ángulo formado por una
bisectriz interior y una bisectriz
exterior.
a
2
. x
.
4.
a
2
45
. x
.
“
Geometría 1º
43
5.
a b
2
. x
.
6.
a b
2
. x
.
7.
2
. x
.
“
Geometría 1º
44
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
1. Hallar “x” si BM es bisectriz
Rpta.
2. Hallar “a”
Rpta.
3. Hallar “x”
4. Hallar “x” si
AMes bisectriz
Rpta.
5. Hallar “x”:
Rpta.
A
interior del
B
C
30
º
ABC
M
130
º
x
a-1
5
3
x
3
3
60º
.
Rpta.
“
45
NIVEL II
6. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
7. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
8. Hallar el valor de “x”
Rpta.
Geometría 1º
9. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
10. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
“
Geometría 1º
46
NIVEL III
11. Hallar el valor de “x”
Rpta.
12. Hallar el valor de “x”
Rpta.
13. Hallar de “x” en
14. Hallar “x”
Rpta.
15. Hallar “x”, si BH es bisectriz
Rpta.
Rpta
“
Geometría 1º
47
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar “x”
C) 30º
A) 10º
D) 40º
B) 20º
E) 50º
2. Hallar “x” en
C) 20º
A) 40º
D) 10º
B) 30º
E) 15º
3. Hallar “x”, si BF es bisectriz
C) 17º
A) 10º
D) 20º
B) 15º
E) 30º
4. Hallar “x” si BM es bisectriz
A) 30º
B) 35º
C) 36º
D) 40º
E) 20º
5. Hallar AM si BM es mediana
C) 3
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
6. Hallar el valor de “x” si G es el
baricentro
“
Geometría 1º
48
C) 3
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
7. Hallar “x” en la siguiente figura
A) 30º
B) 40º
C) 60º
D) 70º
E) 45º
8. Hallar el valor de “x” en
A) 60º
B) 90º
C) 120º
D) 140º E) N.A.
9. Hallar “x”
C) 100º
A) 80º
D) 110º
B) 90º
E) 120º
10. Hallar “x”
C) 90º
A) 30º
D) 70º
B) 60º
E) 120º
“
Geometría 1º
49
Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del
gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema.
Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho
más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo
de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la
Música.
“
Geometría 1º
50
SABÍAS QUÉ…
LA CARRERA PROFESIONAL DE
ODONTOLOGÍA
El odontólogo trata las afecciones y enfermedades buco–
dentales y conexas. Desarrolla acciones de carácter integral,
de diagnóstico, prevención, promoción,
tratamiento,
recuperación, rehabilitación y administración de salud del
sistema estomatognático, tanto a nivel individual como de la
comunidad.
Ámbito de Trabajo:
Sector salud, servicios de sanidad, hospitales militares –
policiales, clínicas, policlínicos, servicios odontológicos,
centros educativos, seguros, empresas industriales,
consultorios particulares e instituciones odontológicas.
“
Geometría 1º
51
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres
ángulos congruentes respectivamente.
OBSERVACIÓN:
EN UN PROBLEMA
ABC = PQR
DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS
TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO
TRES ELEMENTOS IGUALES, DE LOS CUALES UNO DE ELLOS
DEBE SER UN LADO.
CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS
1. Caso (L.A.L.)
2. Caso (A.L.A.)
“
Geometría 1º
52
3. CASO (L.L.L.)
4. Caso (L.L.A.)
: Opuesto al mayor lado
PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. De la Bisectriz
Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.
.
PA PB
0A 0B
.
2. De la Mediatriz
Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los
extremos de dicho segmento.
. PA = PB .
3. De la Base Media de un Triángulo
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al
tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.
“
Geometría 1º
53
Si:
//
Si: M y N son puntos medios
. BN = NC .
AC
2
. MN
.
4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa
La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la
hipotenusa.
AC
2
. BM
.
“
Geometría 1º
54
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
1. Hallar “a + b” en
Rpta.
2. Hallar el valor del ángulo” ” en
Rpta.
3. Hallar “x” en
Rpta.
4. Hallar el valor de “x”
Rpta.
5. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
NIVEL II
6. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
7. Hallar el valor del ángulo “x”
Rpta.
x
40
39
25
39
25
40
74
37
º
69
50
º
30
º
x
“
55
8. Calcular “x”
Rpta.
10. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
NIVEL III
11. Hallar el valor de “
” en:
Rpta.
Geometría 1º
12. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
13. Hallar el valor de “x” en
Rpta.
a
a
b
40
60
x
b
Rpta.
9. Hallar el valor de “x” en
2
x
7
Rpta.
14. Hallar el valor de “x” en
x
80
40
Rpta.
15. Hallar el valor de “x”
8
8
5
5
20
x
x
70
“
Geometría 1º
56
1. Hallar “P + Q” en:
C) 34
A) 24
D) 44
B) 14
E) 54
2. Hallar “x” en:
C) 50º
A) 30º
D) 35º
B) 60º
E) 40º
3. Hallar el valor de “x + y” en
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
PROBLEMAS PARA LA CASA
4. Hallar el valor de “x” en
C) 8
A) 6
D) 9
B) 7
E) 10
5. Hallar el valor del ángulo “x” en
C) 80º
A) 50º
D) 70º
B) 30º
E) 90º
6. Hallar el valor de “x” en
A) 20º
B) 160º
C) 80º
D) 60º
E) NA
20
x
“
Geometría 1º
57
7. Hallar el valor de “x” en
C) 30
A) 20
D) 40
B) 10
E) 15
8. Hallar el valor de “x” en
C) 14
A) 12
D) 15
B) 13
E) 16
9. Hallar el valor del ángulo “x” en
C) 13
A) 11
D) 14
B) 12
E) 15
10. Hallar el valor de “x” en
C) 15º
A) 10º
D) 13º
B) 20º
E) NA
6
5
a
b
7
5
a
b
“
Geometría 1º
58
Euclides
en
el
libro
más
famoso
de
la
Historia de las Matemáticas recoge gran parte
de
los
conocimientos
Pitagóricos
sobre
los
números
y
define
los
números
primos
y
compuestos
de
forma
geométrica:
un
número
entero
es
compuesto
cuando
tiene
divisores
distintos de él mismo y de la unidad, es decir
cuando
se
puede
dibujar
como
un
rectángulo
numérico.
“
Geometría 1º
59
CUADRILÁTEROS
DEFINICION.-
Es aquel polígono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un extremo común.
A
B
C
D
B1
B4
B3
1
2
B2
3
4
ELEMENTOS.-
1)
2)
3)
LADOS AB, BC, CD y DA
Son los segmentos rectilíneos que lo limitan. Los lados que no tiene vértice
común recibe el nombre de lados opuestos.
Ejm: AB y CD , son lados opuestos como BC y DA .
VERTICES: (A, B, C y D)
Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todo cuadrilátero, el
número de lados es igual al número de vértices.
ÁNGULOS INTERIORES ( 1, 2, 3 y 4)
Son los ángulos que se forman por dos lados consecutivos, la suma de
s interiores en un cuadrilátero es = 360°. Se cumple que:
1 + 2 + 3 + 4 = 360°
“
Geometría 1º
60
4)
5)
ÁNGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4)
Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del
lado consecutivo.
Los ángulos exteriores son adyacentes a los interiores.
La suma de sus ángulos exteriores en un cuadrilátero es igual a 360°
B1 + B2 + B3 + B4 = 360°
DIAGONALES AC y BD
Son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.
A
D
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
Por la forma de su contorno
Convexos.- Son aquellos cuadriláteros en los que cualquier recta secante,
determina 2 puntos de corte.
B
C
1
2
Cóncava.- Son aquellos cuadriláteros en los que existe al menos una secante
que determina más de dos puntos de corte.
1
4
3
2
“
Geometría 1º
61
A
C
m
m
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadriláteros se dividen en:
Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.
A. Trapezoides.- Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados opuestos,
ningún lado paralelo al otro paralelo.
a. Simétrico.- Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatriz de la
otra.
B
Propiedades:
Línea de Simetría
ˆ
BDC
ˆ
ADB
ˆ
ˆ
CD
BC; AD
DBC
AB
ABD
a
L : mediatriz
de BD
D
L
b. Asimétrico: Es aquel que no tiene ninguna simetría. También llamado
trapezoide irregular.
b
c
d
B. Trapecios.- Es el cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos denominados
bases.
B
C
H
l
m
N
m
D
M
l
A
BASES: BC ; AD
BC // MN // AD
//
“
Geometría 1º
62
B
b
B
A
D
C
MN: Mediana del trapecio. Es el segmento que une los puntos medios de los
lados no paralelos. Se le conoce también como “base media”.
CH:
Altura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS
a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.
a
b
b. Isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo iguales.
Se cumple
D
ˆ
B ; C
ˆ ˆ
A
ˆ
AD BC
BD AC
Las diagonales
– Los ángulos opuestos son suplementarios
+
= 180°
“
Geometría 1º
63
c. Rectángulo.- Es aquel trapecio donde uno sus lados no paralelos es
perpendicular a sus bases.
B
A
D
C
PROPIEDADES DEL TRAPECIO
a
m
b
a
n
b
C. PARALELOGRAMOS.- Son aquellos cuadriláteros que tienen sus lados
opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ángulos opuestos son
de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios.
Además sus diagonales se bisecan mutuamente.
Se cumple:
AB // DC y AD // BC
AD
BC ; AB
CD
OD
OC y BO
AO
CH: altura
+
= 180°
b a
2
b a
2
m
n
0
A
B
C
D
H
m
n
m
n
Geometría 1º
64
–
“
Los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a un mismo
lado son suplementarios.
C
ˆ
D ; A
ˆ ˆ
B
ˆ
ˆ
ˆ
180
180
B
D
ˆ
A
C
ˆ
a.
Romboide.- Es el paralelogramo propiamente dicho.
A
B
C
D
H
a
b
b
F a
b.
(BH ; BF: Alturas)
Rectángulo.- Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales
y rectos (equiángulo) y sus lados opuestos iguales dos a dos. Llamado
también, cuadrilongo.
A
B
C
D
Se cumple:
CD
BD ; AB
AC
90
D
ˆ
C
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
–
Las diagonales son iguales:
BC
AD
Geometría 1º
65
a
a
a
a
B
D
CB
CD
AB
AD
B
A
= 45°
CA
AB BD DC
c.
“
Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus
ángulos opuestos dos a dos. Es un paralelogramo equilátero.
A
–
d.
C
Las diagonales son perpendiculares entre si y bisectriz de sus ángulos.
Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y
sus cuatro ángulos iguales y rectos (es un paralelogramo equiángulo y
equilátero)
–
BC
C
D
Sus diagonales son iguales. AD
Geometría 1º
66
“
PROPIEDADES GENERALES
1. Ángulo formado por 2 bisectrices.
C
B
x°
D
A
2. ángulo formado por dos bisectrices interiores no consecutivos.
C
B
D
x°
A
3. cuadrilátero cóncavo.
A
C
B
D
x
2
x
2
x
x
ˆ
“
Geometría 1º
67
4.
a
b
x
5.
b
a
y
x
a b
2
x
b a
2
x
2
a
b
y
“
Geometría 1º
68
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
01)Del gráfico. Calcular “x” según
corresponda.
Rpta.:
02)Hallar la base menor de un
trapecio, sabiendo la diferencia
de la mediana y el segmento que
une los puntos medios de sus
diagonales es 40.
Rpta.:
03)Calcular “x”
Rpta.:
Rpta.
150º
Rpta.:
07)Calcular “x”.
x
x
130
º
120
x
80
40
153
120
x 12
Rpta.:
45
04)Hallar “x”
5x
8x
4x
3x
05)Calcular “x”.
2x
x
x
Rpta.:
NIVEL II
06)Calcular “x”
80º
120
º
x
x
“
:
08)ABCD: es un cuadrado APD y
CQD son triángulo equiláteros.
Calcular “x”.
A
B
C
D
x
P
Q
D
A
Rpta.:
09)Calcular EF, si ED = 4, CD = 7
y AD = 17 (CF = FB).
B
F
C
E
45°
Rpta.:
NIVEL III
10)Hallar la base menor de un
trapecio si la diferencia en la
mediana y el segmento que une
de las
los puntos medios
diagonales es igual a 10.
Rpta.:
11)Calcular la relación entre las
medidas de las bases de un
trapecio en la cual se cumple que
las diagonales trisecan a la
mediana.
Rpta.:
Geometría 1º
12)En un trapecio, la mediana mide
15 y el segmento que une los
puntos medios de las diagonales
mide 7. Calcular la medida de la
base mayor.
Rpta.:
13)Las bases de un trapecio
isósceles son proporcionales a
los números 5 y 7. Si la suma de
los lados no paralelos es 14 y su
perímetro es 38. Calcular la
longitud de la mediana.
Rpta.:
14)Si AD = 7 y CE = 5. Calcular
NK, sabiendo además que BN
es mediana y BN = MN.
N
A
D
C
B
E
M
K
ˆ
ˆ
Rpta.:
15)En un trapecio ABCD (BC :
base menor) la medida del
ángulo A = 60° y la medida del
ángulo D = 60º. Si BC = 4 y CD
= 6. Calcular la mediana del
trapecio.
Rpta.
69
“
Geometría 1º
70
01)Las bases y la
PROBLEMAS PARA LA CASA
mediana de un
66. Hallar la
trapecio suman
mediana.
b) 22
d) 44
a) 11
c) 33
e) 45
02)En un cuadrilátero ABCD los
lados AB, BC y CD tienen igual
medida. Si la medida del ángulo
ˆ
B
C
ˆ
70 y la medida del ángulo
60 . Calcular la medida del
ˆ
ángulo A .
a) 60
c) 85
b) 75
d) 80
ˆ ˆ
e) 100
03)En un trapecio isósceles ABCD
(BC //AD ) la medida del ángulo
A =la medida del ángulo D =
60°. Calcular la medida del
segmento que une los puntos
medios de las diagonales AC y
BD , si AB = 6.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 5
e) 7
04)Calcular “x”
a) 30°
c) 42°
b) 54°
d) 120°
e) NA°
05)Del gráfico BC = y CD = 12,
calcular “MN”.
M
N
B
A
D
C
120°C
b) 3
d) 7
a) 1
c) 5
e) NA
06)La mediana del trapecio
mostrado mide 10. Calcular AB.
B
A
D
C
45°
153
120
x 12
45
“
a) 10
c) 30
b) 20
d) 40
e) 50
07) Si ABCD es un cuadrado BPC y
CQD son triángulos equiláteros,
calcular “x”.
A
B
C
D
P
Q
x°
b) 65
d) 75
a) 60
c) 70
e) 80
08)En la figura calcular la medida
del ángulo “x” si ABCD es un
cuadrado y CDE es un triángulo
equilátero.
B
C
D
x
A
Geometría 1º
E
a) 75
c) 35
b) 65
d) 15
e) 45
09) En la figura ABCD es un
rectángulo: calcular la medida del
ángulo ABH, si la medida del
ángulo BOC = 130.
A
B
C
D
H
O
b) 25
d) 35
a) 20
c) 30
e) 40
10)Las diagonales de un rombo
miden 24 y 10 calcular su
perímetro.
a) 50
c) 52
b) 51
d) 53
e) 54
11)En la figura ABCD es un
cuadrado de lado 4 2 . Hallar
el perímetro del rombo AMCN.
Si BM = 1.
71
“
Geometría 1º
72
A
B
C
D
M
N
a) 10
c) 18
b) 16
d) 20
e) 22
12)En un rectángulo ABCD por un
punto “P” de la diagonal BD se
prolonga
CP hasta
un punto
medio
“M”
de
modo
que
PM PCy además BD=20 y BP
= 6. Hallar AM.
b) 6
d) 10
a) 4
c) 8
e) 12
a) 40º
b) 50º
d) 35º
c) 60º
e) NA
14)En
un
trapecio
ABCD
BC //AD , la medida del ángulo
BAD = 82, la medida del ángulo
ADC = 16. Calcular la longitud
BC = 6 y
de la mediana si
CD = 10.
b) 8
d) 10
a) 5
c) 9
e) 11
15)En un trapezoide ABCD la
diagonal BD es perpendicular al
lado AB y AB = BC = BD.
Calcular la medida del ángulo
ACD.
b) 35
d) 45
a) 30
c) 40
e) 50
13)Calcular “x”
x
40
º
60
º
“
Geometría 1º
73
c. 300? a.C.
Herófilo revoluciona la anatomía
El médico griego Herófilo es el primero en basar sus conclusiones anatómicas en la
disección del cuerpo humano. Reconoce el cerebro como centro del sistema
nervioso. Diferencia los nervios motores de los sensoriales y es el primero en
conocer que las arterias contienen sangre y no aire.
c. 300? a.C.
Euclides escribe Elementos de geometría
El matemático griego Euclides escribe Elementos de geometría, un extenso tratado
de matemáticas en 13 volúmenes, sobre geometría plana, proporciones en general,
propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio.
c. 300? a.C.
Zenón de Citio funda el estoicismo
Aproximadamente en el 300 a.C. el griego Zenón de Citio fundó la escuela filosófica
del estoicismo. Mantenía que los individuos deben vivir de acuerdo con las leyes de
la naturaleza.
c. 300? a.C. – d.C. c. 300
Periodo Yayoi
El periodo Jomon en Japón da paso al periodo Yayoi, una nueva cultura, que
comienza en Kyûshû, se va extendiendo lentamente hacia el este y se impone de
forma gradual. La cultura Yayoi es más avanzada, introduce el cultivo encharcado
del arroz, el tejido, utilitarias cerámicas cocidas a altas temperaturas y
herramientas de hierro.
Geometría 1º
74
“
MISCELÁNEA DE EJERCICIOS PROPUESTOS I
1. En una recta se toman los puntos
consecutivos P, Q y R, PR =32;
QR=8.
Hallar PQ
Rpta.
2. Hallar BC, si AC = 12; BD = 15,
AD= 20
Rpta.
3. Si: 3AB = 4BC = 6CD = 72, Hallar
AC
Rpta.
4. Si: AB = CD = 24; BC = DE = 20.
Hallar la longitud del segmento que
une los puntos medios de
y
Rpta.
“
Geometría 1º
75
5. Si: AC + BD = 48. Hallar AD
Rpta.
6. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C tal que AB –
BC = 14 y AB + BC = 32
Hallar AB
Rpta.
7. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C, siendo AC =
84. Calcule la longitud del segmento
cuyos extremos son los puntos
medios de
y
respectivamente
Rpta.
8. En una recta se ubican los puntos A,
AB CD
B, C y D tal que BC ,
4 3
siendoAD = 64.
Calcule BC.
Rpta.
“
Geometría 1º
76
9. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C tal que
AB = 4BC y AC = 15.Calcule: BC
Rpta.
y AC –
10. Si: M es punto medio de
CE = 64.
Hallar MC
Rpta.
11. Si: AB = 16, BC = 28.
Hallar BM, siendo M punto de
Rpta
.
y AB +
12. Si M es punto medio de
AC = 62.
Hallar AM
Rpta.
“
Geometría 1º
77
MISCELÁNEA DE EJERCICIOS PROPUESTOS II
1. En una recta se toman los puntos
consecutivos A, B y C; AC = 48,
BC= 25.
Hallar AB
F) 20
G) 21
H) 22
I) 23
J) 24
2. Hallar QR, si. PR = 20; QS = 24,
PS = 36
M) 10
K) 8
N) 11
L) 9
O) 12
3. Si: 2PQ = 4QR = 3RS = 120.
Hallar PS
P) 140 Q) 120 R) 130
S) 160 T) 150
4. Si: PQ = RS = 18; QR = ST = 14.
Hallar la longitud del segmento que
une los puntos medios de
y ST.
W)49
U) 44
X) 48
V) 46
Y) 47
5. Si: N es punto medio de PR y
PQ – QR = 56.
Hallar NQ
BB)
29
Z) 25
CC) 24
AA) 28
DD) 27
“
Geometría 1º
78
6. Si M es punto medio de LN y KL +
KN = 72.
Hallar KM
GG)
36
EE) 16
HH) 40
FF) 26
II)
50
7. Si N es punto medio de QR y además
PQ + PR = 86. Hallar PN
LL) 48
JJ) 13
MM) 86
KK)23
NN) 43
“
Geometría 1º
79
REFORZAMIENTO DE ANGULOS
1. Se tiene los ángulos consecutivos
A0B, B0C y C0D, m?A0C = 64º y
m?BOD = 26º, m? B0D = 78º.
Hallar m? B0C.
Rpta.
2. En la figura mostrada:
= 5x – 25º
= 4x + 25º
Hallar el complemento de “ ”
Rpta.
3. En la figura mostrada
es bisectriz del ángulo A0B
es bisectriz del ángulo B0C
m?A0C = 66º. Hallar m?x0y
Rpta.
4. En la figura, hallar el valor de “ ”
= 2x + 15º
= 3x + 20º
= 5x + 10º
= 45º – x
Rpta.
“
80
5. En la figura, m?A0D = 60º.
Hallar el valor de “x”
Rpta.
del
6. Hallar el suplemento
complemento de 60º
Rpta.
7. Hallar el complemento de un ángulo
que mide el doble de 18º.
Rpta.
8. Halar el suplemento de la mitad de un
ángulo que mide 48º.
Rpta.
Geometría 1º
es igual a 4 ;
9. El suplemento de
hallar “ ”
Rpta.
10. El complemento de “ ” más el
suplemento de “ ” es igual a 145º.
Hallar “ ”
Rpta.
11. Si el suplemento de “x” es igual a
“4x”
Hallar “x”
Rpta.
Geometría 1º
81
“
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En la figura, hallar “
3
5
”
H) 10º
F) 12º
I) 15º
G) 20º
J) 16º
2. Se tienen los ángulos consecutivos
A0B, B0C y C0D.m?A0C = 40º,
m?B0D = 58º. Y m?A0D = 84º.
Hallar m?B0C
M) 16º
K) 15º
N) 20º
L) 14º
O) 22º
3. En la figura mostrada
= 5x – 25º
=x – 5
R) 35º
P) 32º
S) 42º
Q) 42º
T) 52º
4. Hallar el complemento del
complemento del complemento de
42º
W)71º
U) 42º
X) 48º
V) 54º
Y) 24º
“
Geometría 1º
82
5. El suplemento de un ángulo es 7 y el
complemento del mismo ángulo es
2 .
¿Cuál es ese ángulo?
AA)
CC)
52º30'
53º30'
Z) 50º
BB)
DD)
53º
54º
6. Hallar
el
suplemento
del
complemento del complemento 28º
EE)
59º
FF)
60º
GG)
61º
HH)
62º
II) 28º
Geometría 1º
83
INDICE
III BIMESTRE
CAPÍTULO
VIII.CIRCUNFERENCIA – PROPIEDADES………………….84
IX.
X.
CIRCUNFERENCIA – ÁNGULOS …………….………….93
SEMEJANZA – PROPORCIONALIDAD ………………105
Geometría 1º
84
r
t
B
P: punto de tangencia
r : radio
T: recta tangente
r
P
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
LA CIRCUNFERENCIA – PROPIEDADES
Concepto: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistan de un
punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la circunferencia
se llama radio.
r
Líneas notables en lacircunferencia:
* Radio : r
* AB: CUERDA.-
Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuando pasa por el centro se
llama diámetro (cuerda máxima),
* t : RECTA TANGENTE.-
Es la recta que toca en un sólo punto a la circunferencia.
A
Teoremas Fundamentales
TEOREMA I
TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE
Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
t
Geometría 1º
85
B
r
A
r
0
P
AP = BP
r
A
C
b
a
c
B
a + b = c + 2r
TEOREMA II
TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES.
Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los
segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior son
congruentes.
TEOREMA III
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR 2
TANGENTES.
El segmento que une el vértice del ángulo formado por dos tangentes con el centro
de la circunferencia, es bisectriz del ángulo.
TEOREMA IV
TEORENA DE PONCELET
“ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es igual a la hipotenusa más el
doble del radio de la circunferencia inscrita.
Geometría 1º
86
a-c=b-d
D
b C
a
c
B
A
B
b
a
R
S
C
d
D
Q c
P
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
TEOREMA V
TEOREMA DE PITOT
“ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que 2 lados opuestos
suman igual que los otros 2”
a+c=b+d
A
TEOREMA VI
TEOREMA DE STEINER
Geometría 1º
87
NIVEL I
01)De las siguientes proposiciones
cuales son V o F
I.
II.
III.
Una cuerda es el segmento que
une dos puntos cualesquiera
de la circunferencia.
El radio es el segmento que
une el centro con un punto
cualquiera de la
circunferencia.
Una recta tangente es aquella
que tiene un punto en común
con la circunferencia.
AD =
A
D
Rpta.:
02)Si AB = 2CD y BC = 8,
16. Calcular CD.
B
C
Rpta.:
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CLASE
03)Si las bases de un trapecio isósceles
miden 16 y 36. Calcular la longitud
del radio de la circunferencia inscrita.
Rpta.:
04)El perímetro de un triángulo
rectángulo es 60 y el radio de la
circunferencia inscrita mide 4.
Calcular la longitud de la hipotenusa.
N
C
A
Rpta.:
05)Si M, N y P. Son puntos de tangencia
y AB = 7, BC = 8, AC = 9. Calcular
“BP”.
B
P
M
Rpta.:
Geometría 1º
88
A
D
NIVEL II
06)Si AB = 12. Calcular “r”.
B
r
2
3
Rpta.:
07)Un rectángulo con lados de 36 y48 se
divide por la diagonal en dos
triángulos. En cada uno de ellos esta
inscrita una circunferencia. La
distancia entre sus centros es:
C
A
1
x°
D
5-a
Rpta.:
08)En la figura calcular el perímetro del
triángulo ABC. Si “O” es centro.
B
E
F
Q
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
C
Rpta.:
09)Calcular la longitud de la hipotenusa
de un triángulo de perímetro 30, si el
radio de la circunferencia inscrita a
dicho triángulo mide 2.
Rpta.:
89
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
NIVEL III
10) En la figura R, T y S son puntos
de tangencia AB = 13, BC = 14 y
AC = 15. Calcular AS.
r
x
O
Rpta.:
11)Hallar “x”, si AB = 24 y r = 13.
A
B
Rpta.:
12)Calcular el perímetro del trapecio
mostrado.
2
8
Rpta.:
Geometría 1º
Geometría 1º
90
Si: R = 2 y r = 1
B
C
A
Q
P
R
r
a) 4 y 2 b) 6 y 4 c) 3 y 5
d) 6 y 10 e) 11 y 22
02)Del siguiente gráfico. Calcular “r”,
si AB = 7, BC = 4, CE = 3 y AD =
8
A
B
D
C
r
E
c) 3
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
03)En el gráfico. Calcular r1 + r2. Si
AB = 9 y AD = BC + CD
B
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CASA
A
01)Del gráfico. Hallar “PQ” y “PC”.
C
D
r1
r2
a) 2
b) 3
c) 4.5
d) 6
e) 7
04)Hallar x, si AB = 8, R = 5
A
B
c) 3
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
05)Calcular “x”, si PA = 7, R = 3
R
x
P
A
Q
O
a) 45°
d) 72°
b) 37° c) 60°
e) 30°
r
Geometría 1º
91
A
C
06)Hallar “r”, AB = 3, AC = 4
B
b) 2
d) 4
a) 1
c) 3
e) 5
07)En la figura calcular “x” si “O”, es
centro y AB = 1, BC = 8
C
B
R
O
A
a) 4 b) 5
c) 2 d) 3
e) 6
08)Calcular el área del círculo inscrito
en un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa mide 20 cm y la
diferencia de las medidas de los
catetos es 4 cm.
b) 6 cm2
d) 16 cm2
a) 4 cm2
c) 8 cm2
e) 32 cm2
A
C
09)En la figura AC – AB = 6m.
Calcular “PQ”
B
P
Q
b) 3m
d) 18m
a) 6m
c) 12m
e) 9m
10)En la figura M, N y P. Son puntos
de tangencia. Si AM = 12. Hallar
el perímetro del triángulo ABC.
M
B
N
C P
b) 24
d) 18
A
a) 12
c) 26
e) 30
11)En la figura: P, Q, R y S, son
puntos de tangencia. Si AB =
12, BC = 15 y CD = 5. Hallar
“AD“.
P
A
Q
R
C
B
D
S
b) 6
d) 10
a) 7
c) 8
e) 9
Geometría 1º
92
A
B
D
12)Hallar AB. Si BC = 4, CD = 10,
AD = 15
C
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
13)Si AB = 8. Calcular r.
B
r
53°
A
C
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
C
e) 5
14)Calcular “r”, AB = 5, BC = 12
B
r
A
b) 2
d) 4
a) 1
c) 3
e) 5
15)En la figura: AB + CD = 24 y BC +
AD = 40. Calcular “PQ”
Q
B
A
C
D
P
b) 14
d) 10
a) 16
c) 12
e) 8
radi
o
0 ra
ue
Geometría 1º
93
A
B
360°
r
Lc = 2
r
dio
O
B
O
m AOB=
cuerda
O
A
B
c
r
da
P
O
m APB=
2
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
CIRCUNFERENCIA – ÁNGULOS
DEFINICIONES PREVIAS
1.- Arcodecircunferencia.Sedenominaarco
auna parte dela circunferencia
comprendidaentredospuntosdeella. Dela
figura:
C
AB: Esel arco menor correspondientea
lacuerda AB.
ACB: Eselarcomayorcorrespondienteala
cuerdaAB.
2.-Medidadeunacircunferencia.Una
circunferenciasepuede medirtanto en
unidades angulares comoenunidades
lineales.
Enunidadesangulares.-Lamedidade una
circunferencia es 360°, nointeresacuantomide
elradio.
EnUnidadesLineales.-Es igual a2
por
el radio. A mayor radio,mayorlongitud.
TEOREMAS SOBRE LOS ÁNGULOS EN
LA CIRCUNFERENCIA
1)
ÁnguloCentral
A
2)
ÁnguloInscrito
Corolario I: Todoslosángulosinscritos enun
mismoarcotienenigualmedida.
e
cu
rda
cuerd
a
ente
Geometría 1º
94
r
A
B
AB : Diámetro
Q
A
O
m APQ=
2
O
O
Seca
nt
e
B
P
C
O
O
m PBC=
2
O
0
O
B
O
O
m AOB=
2
O
0
A
O
B
D
C
O
m AOC=
O
2
CorolarioII.-Todoánguloinscritoen una
semicircunferenciaes ángulorecto.
3)
ÁnguloSemi– Inscrito
Tang
P
O
4)
ÁnguloEx-inscrito
5)
ÁnguloInterior
A
6)
ÁnguloExterior
b
b
= 180
Geometría 1º
95
O
O
O
O
O
O
O
CASO PARTICULAR
TEOREMADELÁNGULO
CIRCUNSCRITO
Consecuencia
Soniguales
96
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
01) Enlasiguientefiguracalcular“ ”,sila
medidadel ángulo“A”,es iguala40° yla
C
A
B
40°
medidadel arco BC=100°
D
100°
B
A
Rpta.:
02) Del gráficosi: AM = MB;calcular“x”
M
C
T
x
Rpta.:
Geometría 1º
03) Delafiguramostrada.Hallar“x”
C
B
A
x
20°
Rpta.:
04) Si AB=110°,“O”esel centro.Hallar
“x”
x
O
D
A
B
C
Geometría 1º
97
Rpta.:
NIVEL II
05) Enlafigura AD=170°, BC=2AB.
Hallar“x”
D
A
C
O
B
x
Rpta.:
06) EnlafiguraOD=BC;lamedidadel
ángulo BAD,es20°.Calcular“x”
C
A
B
D
x
O
20°
Rpta.:
07)Calcular “ ”.
Rpta.:
08) Calcular“x”
A
B
x°
2x°
E
M
Rpta.:
Geometría 1º
98
09) Calcular“x”
30°
100°
x°
Rpta.:
10)Calcular “ ”.
Rpta.:
O
B
C
A
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
NIVEL III
11) Calcular“ ”.“T”es puntodetangencia y
“O”escentro.
D
T
32°
C
B
Rpta.:
12) Enel gráfico:lamedidadelarco
AB=100°.Calcular “ + ”
A
D
E
Geometría 1º
99
Rpta.:
13) “O”escentro, calcular“x”
20°
x°
Rpta.:
14) Enlafigura:Si
+ =100°.Calcular“x”
x°
2
Rpta.:
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
15) Enlafigurahallar“x”,si AB=BC;la
medidadel arcoAC =140°
B
C
A
D
x°
Rpta.:
16) Hallar“x”silamedidadelarcoBC=28°
B
22°
C
A
x°
Rpta.:
Geometría 1º
100
B
A
D
x°
E
86°.Hallar“x”
C
50°
Rpta.:
18) Lamedidadel arcoAEB=242° yla
medidadel ánguloABC =x
B
C
A
E
X
Rpta.:
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
19) Hallar“x”
17) Si,AB=BD;lamedidadelarco AE=
52°
x°
Rpta.:
20) ABy BC sondoscuerdas congruentesde
unacircunferencia.Calcularlamedidadel
arcoAB,silamedidadelángulo ABC =
48°.
Rpta.:
Geometría 1º
101
La figura de Pitágoras está envuelta
en un halo de leyenda, misticismo y
hasta de culto religioso. Y no es tan
extraño si pensamos que fue
contemporáneo de Buda, de Confucio
y de Lao-Tse (los fundadores de las
principales religiones orientales)
El término "matemática", al igual que el de
filosofía, se le debemos a él.
¿Cuáles son las principales aportaciones matemáticas
de la escuela pitagórica?…
La primera y quizás la más
importante el introducir la
necesidad de demostrar las
proposiciones matemáticas de
manera inmaterial
e
intelectual, al margen de su
sentido práctico. Los
pitagóricos dividieron el
saber científico en cuatro
ramas: la aritmética o ciencia
de los números – su lema era
"todo es número"
-,
la
geometría, la música y la
astronomía.
Geometría 1º
102
01)Hallar “x”
x°
36
60
a) 1
c) 132
b) 100
d) 64
e) 64
02)Hallar “x”
x°
6x
40°
b) 32
d) 128
a) 16
c) 64
e) 526
03)Hallar “x”
x°
40°
b) 60
d) 50
a) 30
c) 40
e) 70
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CASA
04)ABCD es un paralelogramo. Hallar
“x”
x°
53°
E
D
C
A
B
75°
a) 37°
d) 51°
b) 53° c) 60°
e) 52°
05)Si “O” es centro ATy AEson
tangentes.
x°
40°
E
A
O
T
a) 35°
d) 65°
b) 45° c) 55°
e) 75°
MNP =
x°
06)La medida del arco
210°
M
N
c) 50°
a) 30°
d) 80°
P
b) 60°
e) 90°
Geometría 1º
103
x°
P
N
M
07)La medida del arco TM = 100°
T
O
c) 30°
a) 10°
d) 40°
b) 20°
e) 50°
08)Hallar “x”
C
A
B
D
x°
50°
20°
E
c) 30°
a) 50°
d) 60°
b) 70°
e) 49°
09)ABCD: trapecio, la medida del arco
ABC = 160°
x°
C
D
B
A
O
b) 20°
d) 45°
a) 10°
c) 80°
e) 70°
? ??
10)Si L//AP; la medida de arco AT =
75°
x°
A
P
L
T
a) 500°
c) 218°
b) 400°
d) 200°
e) 100°
11)Hallar “x”
x°
A
B
200°
a) 10°
c) 30°
b) 20°
d) 40°
e) 50
Geometría 1º
104
12)Hallar “x”
x°
60°
b) 70°
d) 40°
a) 80°
c) 60°
e) 30
13)Hallar “x”
x°
B
C
C
120°
50
b) 40
d) 30
a) 25
c) 35
e) 45
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
14)Si “O” es centro: la medida del
ángulo AOB = 60°, EF = OC.
Calcular “x”.
x°
F
A
B
C
E
O
b) 15
d) 5
a) 10
c) 20
e) 30
15)Hallar “x”
x°
50°
50°
b) 40
d) 20
a) 80
c) 50
e) 70
Geometría 1º
105
A
B
E
F
C
G
D
H
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD
PROPORCIONALIDAD:
PRINCIPALESTEOREMAS:
1.TEOREMADELAS PARALELASEQUIDISTANTES
“Tres o más rectas paralelas yequidistantes determinan sobrecualquierrectasecante,
segmentoscongruentes”.
SiL1//L2//L3 //L4
A B BC CD
Entonces: EF FG GH
2.TEORIADETHALESDEMILETO.-
“Si tres o más rectas paralelassoncortadaspor2rectassecantes,los segmentos
determinadosenlaprimera secantesecantesonproporcionalesalos segmentos
determinadosenlasegunda secante”.
SiL1//L2//L3 //L4
Entonces
CD
GH
BC
FG
AB
EF
Tambiénpodríaser:
EF
FH
AC
CD
EG AB
;
GH BD
Geometría 1º
106
B
a
m
E
F
b
n
A
C
Casos Particulares
A) EnelTriángulo(EF//AC)
AB
CB
b
n
a
m
EB
EA
FB
BC
EB FB
;
BA FC
B)EnelTrapecio
Si PQ//BC// AD
Entonces
AB
DC
y
n
x
m
Geometría 1º
107
m
n
A
B
F
a
b
a = b
m n
a = m
b n
a
B
I: Incentro del
b
A
CI = a + b
IF c
I
F
c
ABC
a =b
m n
a =m
b n
A
C
B c
a
b
m
n
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
16. TEOREMADELABISECTRIZINTERIOR
“Entodotriángulo,losladoslaterales aunabisectrizsonproporcionalesalossegmentos
determinadosporlabisectrizdelladoopuesto”.
C
5. TEOREMADELABISECTRIZEXTERIOR
“Entodotriángulounabisectrizexteriordeterminasobrelaprolongacióndelladoopuesto,
segmentosproporcionales alosladoslaterales adichabisectriz”.
6. TEORÍADELINCENTRO
“Entodotriángulo,elincentrodivideacadabisectriz en2segmentosquesonproporcionales a
lasumadelaslongitudesdelosladoslaterales yalladodondecaelabisectriz”.
C
Geometría 1º
108
A
C
c
?
A
C
c
a
b
m
n
b
?
C
c
a
m
n
A
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
7. TEOREMADEMENELAO
“Entodotriánguloaltrazarunarectasecanteadosladosperonoparalelaaltercerlado,seforman
seissegmentosconsecutivos.Empezando.”
B
m
b
a
n
Prolongación
a.b.c = m.n.?
8. TEOREMADECEVA
“Entodotriánguloaltrazartres cevianas concurrentes,empezandoporcualquiervértice,se
cumpleque:El productodelaslongitudesdetressegmentosnoconsecutivos esigualal
productodelaslongitudes delosotros tres”.
B
a.b.c = m.n.?
8.TEOREMAPARACALCULARLALONGITUDDEUNABISECTRIZ
INTERIOR.
B
Geometría 1º
109
x
B
A c
a
b
m
n
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
9. TEOREMAPARACALCULARLALONGITUDDEUNABISECTRIZ
EXTERIOR.
C
Geometría 1º
110
NIVEL I
01) Hallar“x”,si L1 // L2 // L3
L1
L2
L3
P
Q
R
8
4
6
x
A
B
C
AC =10,
Rpta.:
02) Hallar“x”,si L1 // L2 // L3,
AB=4, DF =5
L1
L2
L3
x
A
B
C
D
E
F
Rpta.:
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CLASE
03) En lafiguraadjunta, AB y BC son
proporcionales a AF y FC. Hallar FC–
AF.
10
B
A
C
8
F
9
Rpta.:
04) En lafigura L1 // L2 // L3// L4.Hallar
GH, si EH=27
L4
L1
L2
L3
B
F
E
G
H
A
3
2
C
4
D
Rpta.
111
05) En lafiguramostrada L1 // L2 //
L3, si: EF–AB=3, AC =16 yDF =24.
Hallar“EF”
L1
L2
L3
A
B
C
D
E
F
Rpta.:
NIVEL II
06) Calcular“x”,si BD//AE
3x+2
5x
C
E
A
B
D
8
12
Rpta.:
Geometría 1º
BC =18,
07) Si L1 // L2 // L3, yAB = 6,
PQ=4 ySQ=2X+3
L1
L2
L3
A
B
C
P
Q
S
Rpta.:
08) En lafigura AB y BC son
proporcionales a AD y DC ,hallarAD
6
B
A
C
4
D
20
Rpta.:
Geometría 1º
112
C
E
A
09) En untriánguloABC setrazaala
bisectriz exteriorBE. Si AB =16,
AE =32,CE=8. Hallarx.
B
D
8
16
x
A
32
Rpta.:
10) En lafiguramostrada.Si AB =9, BC
=7, AC =8 y MN//AC.Hallar“MN”
B
N
M
C
Rpta.:
NIVEL III
11) Los catetos deuntriángulorectángulo
miden 6 y8.Calcularladistanciadel
baricentro alahipotenusa.
Rpta.:
12) En untrapecioisósceles ABCDdebases
BC y AD seinscribeuna
circunferenciatangentealos lados AB y
CDenM yN respectivamente. Calcular
MN,si BC =8 y AD =12
Rpta.:
13) En lafigurahallarCEsi AB =6, BC =
3 yAC =4
B
A
C
E
Rpta.:
113
14) En lafiguramostrada, hallar“x”
2b
x+2
2a
3a
b
x
Rpta.:
15) Hallar“x” L1// L2
A
Q
P
C
L1
L2
B
10
8
x
4
Rpta.:
Geometría 1º
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
16) En lafiguramostrada.Calcular “x”
b
b
x
x-3
5a
2a
Rpta.:
Geometría 1º
114
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) L1// L2// L3,sonparalelas. Hallar“x”
L1
L2
L3
2x+2
15
6
x
a)3
c)5
b)4
d)6
e)7
02) SieltriánguloABCdelafigura DE//AC
entonceseltriánguloes:
B
D
E
x+3
C
x-1
1
6
a)
5
A
Escaleno
b)
c)
Isósceles
Equilátero
d)
Rectángulo
e)
Obtusángulo
03) Si AD//BE//CF:AB=36, BC=6,DE=
4(x +1) y EF=10,hallarx
A
D
B
E
C
F
b)15
d)17
a)14
c)16
e)18
04) Enlafigura L1// L2// L3// L4.Si AB=3,
BC=4,MN=2x –2, NP=2x+2,PQ=
3x+1, CD= y;hallarx+ y
L4
L1
L2
L3
A
B
C
D
M
N
P
Q
b)15
d)13
a)10
c)12
e)14
05) EnlafiguraL1// L2// L3.BC=2AB yDF=
12.HallarDE
L1
L2
L3
A
B
C
D
E
F
c)3
a)1
d)4
b)2
e)5
6
Geometría 1º
115
06) Enlafigura, calcular“x”,si MN//AC
B
C
7-a
6-a
a+1
a
N
M
X
A
a)30
7
b)90
c)60
d)45
e)37
07) Enlafigura,semuestrandoscircunferencias.
Calcular“x”
2
4
x°
2,5
a)37
b)45
c)53
d)30
e)60
08) Enlafigura.Calcular“x”
B
A
C
D
x
18
c)6
a)3
d)8
b)5
e)10
09) Enlafigura,hallarelvalorde“x”
B
A
F
18
x
12
C
c)10
a)12
d)10
b)14
e)18
A
x
10) Del gráfico adjunto,calcular“x”
B
C
P
2p
3b
2b
x+2
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7
Geometría 1º
116
11) Calcular“x”,si L1// L2// L3.
L1
L2
L3
12
7
x+4
x-4
a)7
c)8
b)12
d)9
8
x
A
C
B
e)10
12) Enlafigura, calcular“x”
P
x+1
b)2
d)4
6
D
a)1
c)3
e)5
Geometría 1º
117
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
ÍNDICE
IV BIMESTRE
CAPÍTULO
XI.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS………………………..118
XII. RELACIONES MÉTRICAS ………………………………..126
XIII. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS …………………………………………134
Geometría 1º
118
A
C
a
c
b
B
A
C
c
a
b
N
L
m
N
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes.
Sidostriángulossonsemejantes,susladoshomólogossonproporcionales.
B
Si ? ABC ~ ?MNL?
k
M
b
n
a
m
c
?
k: Razón de semejanza.
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1er Caso: (A.A)
Dos ángulos congruentes
M
L
l
N
?ABC
?MNL
?
??
=
= =
Geometría 1º
119
A
C
c
b
B
q
n
M
Q
N
Entonces
?ABC ?MNQ
Si c q
b n
ym A m
M
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
2do Caso: (L.A.L.)
Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales.
3er Caso: (L.L.L.)
Tres lados proporcionales.
Entonces
?ABC ?MNL
A
C
c
a
b
B
l
n
M
L
N
m
l
?
??
Si a b c
?
m n ??
6
Geometría 1º
120
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CLASE
NIVEL I
01) Enlafigura, calcular“x”
4
x
Rpta.:
02) Del gráficohallar“x”
Rpta.:
C
A
D
E
18
03) DE//AC ,hallarDE
B
x
5
10
Rpta.:
04) AB//NL,hallarAM
B
A
10
x
4
N
M
L
6
Rpta.:
6
Geometría 1º
121
x
12
5
H
C
B
05) Hallar“BH”
A
F
8
x
H
E
F
P
Q
Rpta.:
NIVEL II
06) PQ//EH ,hallarEH
4
6
3
Rpta.:
07) TQ//AB,QC=2BQ.Hallar“TQ”
B
Q
A
C
T
x
H
A
P
6
10
Rpta.:
08) Hallar“PH”
F
T
6
Rpta.:
Geometría 1º
122
09)
N
Q;
L
R.HallarMNyNL
Q
P
15
L
N
M
R
18
12
30
Rpta.:
10)Del gráfico
PQ// AC ;
5BP=3AP; BQ=12; Calcular QC.
Rpta.:
NIVEL III
11) Enlasemicircunferenciamostrada,calcular
“R”
20
R
12
Rpta.:
12) Enlafigura, calcularAB,si BF=2 y
FC =7
A
F
B
C
Rpta.:
Geometría 1º
123
x
01) Hallar“x
3
a)2
b)4
c)6
d)8
e)10
02) Hallar“x”,sidostriángulossonsemejantes.
x
8
3
2
4
4
a)3
b)6
c)9
d)11
e)13
03) Dostriángulossonsemejantes;silarazón
desemejanzaes 2/3.Hallar“x”e“y”
x
4
15
a)6 y10 b)4 y8 c)10 y15
d)14 y7 e)8 y9
C
A
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CASA
04) EnuntriánguloABCsobreBCsetoma
unpunto“Q”talqueAB=6 yBC =9.
HallarBQ
B
5
Q
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
05) HallarPQ,siBP=2,PA=6,AC=12
B
C
P
Q
A
a)1
b)2 c)3
d)4 e)5
06) Losladosdeuntriángulo miden4;7;
10yelperímetrodeotrotriángulo
semejantealprimeroes147.hallarel
ladomenordelsegundotriángulo.
a)24
b)25
c)26
d)27
e)28
07) HallarAC,siAB=10,AD=4,DE=11
C
A
B
E
D
Geometría 1º
124
a)2
b)4
c)6
d)8
e)10
08) EncontrarDC,si AD=5, FD=4,BF=6
B
C
A
E
F
D
c)6
a)2
d)8
b)4
e)10
D
E
C
A
09) SiDB=7,AD=x,EC=3x.Hallar“x”
B
b)6,6
d)3,2
a)1,2
c)4,2
e)1
AC =10
A
10) CalcularPQ,siAB=6,BC=8,
B
C
P
Q
c)3
a)3,7
d)4
b)4,2
e)5
11) Encontrar“x”
B
x
1
C
c)3
D
b)2
e)5
A
3
a)1
d)4
12) Hallar“x”
3
2
5
x
c)
10
3
a)1
1
d)
4
b)2
5
e)
2
CE
13) CalcularAD,si AB=3,BE=5,
=15
C
B
D
A
a)11
c)13
E
b)12
d)14
e)15
Geometría 1º
125
c.
586 a.C.
Deportación a Babilonia del pueblo de Israel
En el 586 a.C., el rey babilónico Nabucodonosor II
expulsó a los judíos de Palestina. Fueron deportados a
Babilonia, donde permanecieron hasta el 538 a.C., en un
periodo que constituyó el primer episodio de la diáspora
judaica.
c. 586 a.C.
Destrucción de Jerusalén a manos de Nabucodonosor II
El rey Nabucodonosor, después de un asedio a la ciudad de Jerusalén de unos 16
meses, destruye la ciudad. Sedecías es capturado, llevado ante Nabucodonosor,
obligado a presenciar la ejecución de sus hijos y después cegado, para más tarde ser
enviado encadenado a Babilonia, donde estuvo encarcelado durante el resto de su
vida.
mayo 28, c. 585 a.C.
Tales predice un eclipse
El filósofo griego Tales de Mileto predice el eclipse total de Sol que tiene lugar el 28
de mayo del 585 a.C., por lo que se hace famoso también por sus conocimientos de
astronomía.
a = m. c b = n . c
Geometría 1º
126
2 2
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
RELACIONES MÉTRICAS
A) RELACIONES MÉTRICAS EN ELTRIÁNGULORECTÁNGULO
ElementosdeuntriánguloRectángulo.
a y b = Son las longitudes de los catetos BC y AC .
c
h
m
n
=
=
=
=
Es la longitud de la Hipotenusa AB
Es la altura relativa a la Hipotenusa.
Es la longitud de la proyección del cateto BC sobre la hipotenusa.
Es la longitud de la proyección del cateto AC sobre la hipotenusa.
– Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes
de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo.
TEOREMA 1
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección
por la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
TEOREMA2(TeoremadePitágoras)
“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
h =m.n
2 =
2 +
Geometría 1º
127
2
1 1 1
a b h2
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
TEOREMA 3
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al
producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma”.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 4
En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su
altura relativa.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 5
“En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a
la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
Geometría 1º
128
NIVEL I
01) Hallar“x”
B
x
4
12
A
C
Rpta.:
02) Hallar“x”
x
5
3
4
Rpta.:
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CLASE
03) Hallar“x”
x
3
4
2
Rpta.:
04) Hallar“x”
x
5
2
Rpta.:
Geometría 1º
129
05) Hallar“x”
5
10
x
Rpta.:
NIVEL II
06) Hallar“x”
x
5
4
6
Rpta.:
07) Hallar“x”
15
x
2x
Rpta.:
08) Calcular MN;siR=3r; r=1 y
AB=6
N
M
A
B
Rpta.:
Geometría 1º
130
09) Lafiguramuestraunaruedaapoyadaen
unladrillodealtura9,calcularel radio
delerueda.
15
Rpta.:
10) Enlafigura,sepidelaproyecciónde AB
sobrelarecta“L”
B
17
A
18
10
L
Rpta.:
e)
Geometría 1º
131
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Hallar“x”
x
5
12
c)
13
10
a)1
d)5
b)2
60
13
02) Hallar“x”
3
6
5
x
c)9
a)3
d)11
d)6
c)13
03) Hallar“x”
x
12
20
c)12,8
a)11
d)13
d)12
c)14
04) Hallar“x”
x
3x
9 10
a)5
b)6
c)7
d)9
e)11
05) Hallar“x”
x
x+7
x+6
c)5
a)3
d)6
b)4
e)9
6
Geometría 1º
132
06) Hallar“x”
x
3
c)
3 3
a)
d)
3
4 3
b)
e)
2 3
5 3
07) Hallar“x”
x
11
x+5
c)22
a)20
d)23
b)21
e)25
08) Hallar“x”
x+8
20
c)22
a)20
d)23
x
b)21
e)24
09) Hallar“x”
x
20
7
x+9
a)11
b)12
c)13
d)14
e)15
10) Lasdiagonalesdeunrombomide12cmy
16cmelladodelrombomide:
a)9
b)10
c)11
d)12
e)13
11) Hallar“H”,siAP=4,PC=9
B
A
C
H
P
c)6
a)4
d)7
b)5
e)8
Geometría 1º
133
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
12) CalcularlaalturaBHdeltriángulorectángulo
ABC.SiAB=6 yBC=8
B
A
C
H
c)2,8
a)8,4
d)2,4
b)4,8
e)4,7
13) CalcularlaalturadeltrapecioABCD(BC//
AD)circunscritoaunacircunferenciade
centro“O”.Si OC=15 yOD=20
c)23
a)22
d)26
b)25
e)24
14) Sielladodeun cuadradoinscritoenuna
circunferenciamide10.Hallarelperímetro
deltriánguloequiláteroinscritoenlamisma
circunferencia.
a) 15 6 b) 12 6 c)32
d)35
e)36
RETO DE LA SEMANA
15. Calcular “x”
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 9
135
135
A
D
B
C
4
2
2
4
x
c a + b2
134
< 90
o
2 2
2
> 90o
2 2
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
1)
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Los triángulos que no son rectángulos, son oblicuángulos, luego un triángulo
oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo.
2)
COMORECONOCERSIUNTRIÁNGULOESACUTÁNGULOUOBTUSÁNGULO
Se aplican las siguientes propiedades:
– Es Acutángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo siempre es
MENOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.
NOTA: Todos los ángulos del triángulo son menores que 90.
– Es Obtusángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo obtuso siempre
es MAYOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.
NOTA: Un ángulo de los tres ángulos del triángulo es mayor que 90.
Geometría 1º
Geometría 1º
135
3)
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO
En el triángulo es importante conocer la proyección de un lado sobre otro, para ello
siempre se traza una altura.
– En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo, la proyección de un lado
sobre otro esta contenido en este último.
En el triángulo obtusángulo: En el triángulo obtusángulo, para encontrar la proyección
de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se debe prolongar este
último.
Geometría 1º
136
4)
TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo Agudo es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre aquel”.
Si:
< 90º
TEOREMA 2
“En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre
aquel”
Si
> 90º
Geometría 1º
137
A
B
C
M
mc
A
B
x
P
a
b
M
c
5)
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
TEOREMA DE LA MEDIANA
“En todotriángulo lasumadelos cuadrados deloslados laterales aunamedianaesigual al doble
del cuadradodelamedianamás lamitad del cuadradodelladodondecaelamediana”.
Así en la figura:
“mC” ? es la mediana relativa al lado “c”.
Entonces:
2
2
c2
2
2m
b
a
2
C
c
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA
En todo triángulo, se cumple lo siguiente:
Si “x” es la proyección de la mediana CM , entonces:
C
Geometría 1º
138
x
7
NIVEL I
01) Hallar “x”
6
5
Rpta.:
02) Hallar “x”
x
4
6
3
Rpta.:
5
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CLASE
03) Hallar “x”
x
4
2
Rpta.:
04) Hallar “x”
6
x
12
10
Rpta.:
x
x
x
6
Geometría 1º
139
05) Hallar “x”
x
2
3
5
Rpta.:
NIVEL II
06) Hallar “x”
6
10
Rpta.:
NIVEL III
07) Hallar “x”
10
7
5
Rpta.:
08) Hallar “x”
2
2 3
3
Rpta.:
x
x
Geometría 1º
140
09) Hallar “x”
6
2
1
Rpta.:
10) Hallar “x”
10
3
8
Rpta.:
11) Hallar “x”
X
16
10
2 33
Rpta.:
12) Los lados de un triángulo miden 13, 14, 15
¿Cuánto mide la altura relativa al lado
medio?
Rpta.:
6
x
Geometría 1º
141
COLEGIO SANTÍSIMA CRUZ
“Con una visión hacia la Universidad”
San Miguel
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Hallar“x”
10
6
x
a)
61
b) 80 c)
30
11
d) 5
e)
191
2
02) BM es medianadel triángulo ABC,hallar
“x”
B
A
C
5
13
h
M
x
c)4,6
a)1,2
d)4,5
b)3,2
e)4,8
03) Hallar“x”
10
13
x
x
a) 5
b)
21 c)
48
c)
27
e)
23
04) Hallar“x”
x
11
12
16
a)2
b)4
c)6
d)10
e)8
05) Hallar“x”
x
13
7
8
c)1,5
a)3,5
d)4,5
b)2,5
e)6,5
06) Hallar“x”
13
3
12
a)
8
3
b)
4
5
c)
5
4
d)
3
2
e)
1
2
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