Geometría (página 2)

Partes: 1, 2, 3

1º
4
líneas se cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pues es
cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las
proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una
circunferencia es una elipse en el otro plano.
MODERNOS AVANCES

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los
matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando
por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos
sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de
Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de
espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la
geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un
espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea
perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera,
si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un
espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se
sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque
éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de
conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en
las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas
regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o
menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un
ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura
geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres,
cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien
conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro
dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco

“
Geometría 1º
5
puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco
tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro
vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo
XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

“
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Quién colocó la piedra angular de
la geometría científica?

Rpta.______________________

2. ¿Cómo contribuyó Euclides, en el
avance de la geometría?

Rpta.______________________

3. El libro de Euclides se denominó:

Rpta.______________________
los
4. ¿Quiénes introdujeron
problemas de construcción?
Rpta.______________________

5. ¿Quienes estudiaron a las curvas
conocidas como “cónicas”?

Rpta._______________________

6. ¿En qué contribuyó Arquímedes?

Rpta.______________________
la
7. ¿Quiénes desarrollaron
geometría no Euclídea?

Rpta.______________________
el
concepto
de
8. ¿Cuál es
geometría?
Rpta.______________________

Geometría 1º
9. Diga cuáles son los otros campos
de la geometría

Rpta.___________________

10. ¿En qué época la geometría tuvo
un letargo en su avance?

Rpta. ___________________

11. ¿Cuáles son los tres famosos
problemas de construcción que
datan de la época griega?
Rpta.____________________
12. ¿Quienes impulsaron los
modernos avances de la
geometría?

Rpta. ___________________

13. ¿Qué es la geometría
demostrativa?

Rpta.___________________
14. ¿Qué matemático, escribió el
“Discurso del Método”?

Rpta.____________________
15. ¿En qué se interesaban los
primeros geómetras?
Rpta._____________________

6

“
Geometría 1º
7
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Parte de la matemática que se ocupa de las
propiedades en su forma más elemental
B) Geometría
D) Física
A) Astronomía
C) Topología
E) Química
2. Uno de los campos de la geometría es:
B) Geografía
D) Astronomía
A) Topología
C) Meteorología
E) Geología
3. Colocó la piedra angular de la geometría
científica
A) Euclides
C) Arquímedes
B) Apolonio
D) Pitágoras
E) Descartes

4. La geometría demostrativa de los griegos se
ocupaba de:
A) Planos y Rectas
B) Ángulos
C) Puntos y Rectas
D) Curvas
E) Polígonos y círculos
5. Escribió el libro “Los Elementos”
A) Pitágoras
C) Descartes
B) Euclides
D) Gauss
E) Arquímedes

6. ¿Quiénes introdujeron los problemas de
construcción?

A) Los Persas
B) Los Egipcios
C) Los Griegos
D) Los Babilonios
E) Los Romanos
7. En que año se demostró la
cuadratura del círculo
A) 1772
C) 1552
B) 1662
D) 1882
E) 2003

8. Estudió a las “Cónicas”
A)
B)
C)
Nikolai Lobacheski
Arthur Cayley
Apolonio de Perga
D)
E)
Arquímedes
Euclides
9. ¿Quién publicó el libro “El
Discurso del Método”?
A)
B)
C)
D)
E)
Pitágoras
René Descartes
Apolonio de Perga
Euclides
Fiedrich Gauss
10. ¿Quién desarrolló la
geometría para espacios con
más de tres dimensiones?
A)
B)
C)
D)
E)
Arthur Cayley
János Bolyai
Euclides
Gauss
Arquímedes

“
Geometría 1º
8
ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA – SEGMENTOS

ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA

El Plano
Imagina una hoja de papel que se extiende indefinidamente en todas sus
direcciones. Esto te dará una idea de Plano.
El plano no tiene límite y solamente podemos representar una parte de él.
La recta es una línea que se extiende indefinidamente en ambos sentidos. Se
designa a veces por dos letras mayúsculas o por una sola letra (mayúscula o
minúscula).
La recta es un sub conjunto de plano, esto quiere decir que el plano contiene
infinitas rectas.
Notación:

: Se lee “recta AB”
: Se lee “recta L”
: Se lee recta “m”
El Punto
En el plano P se han trazado las rectas m y n las cuales se cortan en el punto
“A”, o sea la intersección de las dos rectas en el punto “A”. Luego:

“
9
Semirrecta
.
.
El punto A divide a la recta en dos partes, cada parte recibe el nombre de
semirrecta.
Rayo

: Rayo de Origen “O” y que pasa por “B”
: Rayo de Origen “O” y que pasa por “A”

A la unión de una semirrecta con un punto frontera se llama rayo. El punto
donde se inicia el rayo se llama origen.
Segmento

: Se lee “Segmento AB”
: Se lee “Segmento BA”

La parte de una recta comprendida entre dos puntos, incluyendo a dichos
puntos se llama segmento.
Un segmento se denota por letras mayúsculas que corresponden a sus
extremos, con una rayita superior. El segmento se diferencia de la recta, el rayo y
la semirrecta, por tener longitud.

SEGMENTOS
Medición o Comparación de Segmentos
La longitud de un segmento es la distancia que hay entre los dos puntos de
cada uno de sus extremos.

Ejemplo:
Al medir el segmento
con una regla graduada en centímetros
comprobamos que su medida es de 4 cm.
Operaciones con Segmentos
Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes.

Geometría 1º

“
Geometría 1º
10
Ejemplo:

Con respecto a la figura que se muestra, realizar las operaciones siguientes:
1) AM + MN – NB

Rpta. _ _ _ _ _ _

2) 2AM + 3MN
4)
2AM . NB
MN NB

Rpta. _ _ _ _ _ _
5) NB2 – AM2
Rpta. _ _ _ _ _ _
Rpta. _ _ _ _ _ _

3) AM . MN + MN . NB

Rpta. _ _ _ _ _ _

PROBLEMAS PARA LA CLASE

NIVEL I

1. En una recta se toman los puntos
consecutivos P, Q y R, PR =20; QR
= 4.
Hallar PQ

Rpta.

2. Si: M y N son puntos medios de
ó
.
Hallar: AB
Rpta.

3. Si: AC + AB = 32
Hallar BC
Rpta.

“
Geometría 1º
11
4. Hallar BC, si AC = 9; BD = 11, AD
= 15

Rpta.

5. Si: 2AB = 3BC = 7CD = 84, Hallar
AC

Rpta.
NIVEL II
6. Si: B y C son puntos medios de
y
.
Hallar AD
Rpta.

7. Si: AB = CD = 18; BC = DE = 16.
Hallar la longitud del segmento que
une los puntos medios de
y
Rpta.

8. Si: AC + BD = 36.
Hallar AD
Rpta.
9. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C tal que AB –
BC = 6 y AB + BC = 10
Hallar AB

Rpta.

NIVEL III

10. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C, siendo AC =
12. Calcule la longitud del segmento
cuyos extremos son los puntos
medios de
y
respectivamente
Rpta.
11. En una recta se ubican los puntos A,
B, C y D tal que
CD
2
BC
AB
3
,
siendo
AD = 12.
Calcule BC.

Rpta.
12. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C tal que AB =
2BC y AC = 6.
Calcule: BC

Rpta.
y AC –
13. Si: M es punto medio de
CE = 32.
Hallar MC
Rpta.

“
Geometría 1º
12
14. Si: AB = 10, BC = 18.
Hallar BM, siendo M punto de

Rpta.
y AB +
15. Si M es punto medio de
AC = 38.

Hallar AM

Rpta
PROBLEMAS PARA LA CASA

1. En una recta se toman los puntos
consecutivos A, B y C; AC = 30,
BC = 12.
Hallar AB
A) 16
B) 15
C) 14
D) 18
E) 20
2. Si P y Q son puntos medios de
y .
Hallar MR
C) 24
A) 12
D) 26
B) 20
E) 28
3. Si: PR + PQ = 64.
Hallar QR
A) 14
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
4. Hallar QR, si.
PR
=
18;
QS = 22, PS = 30
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
5. Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60.
Hallar PS
A) 41
B) 43
C) 47
D) 48
E) 60
6. Si: M y N son puntos medios de
y
Hallar PQ
A) 24
B) 36
C) 48
D) 46
E) 50

“
Geometría 1º
13
7. Si: PQ = RS = 14; QR = ST = 12.
Hallar la longitud del segmento
que une los puntos medios de
y ST.
A) 34
B) 36
C) 39
D) 38
E) 37
8. Si: N es punto medio de PR y PQ
– QR = 48.
Hallar NQ
A) 15
B) 28
C) 29
D) 34
E) 17
9. Si M es punto medio de Ln y KL
+ Kn = 40.
Hallar KM
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
10. Si N es punto medio de QR y
además PQ + PR = 30.
Hallar PN
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
E) 40
NADA HAY TAN CONTAGIOSO COMO
EL OPTIMISMO.
VIVIR CON UN
AMIGO OPTIMISTA ES ENCONTRAR
LA CLAVE DE LA FELICIDAD. EL
LLANTO DE LOS OTROS
SUELE
HACERNOS LLORAR; PERO LA RISA
DE LOS OTROS, INVARIABLEMENTE,
NOS HARÁ
IRREMISIBLEMENTE,
REÍR.
AMADO NERVO

“
Geometría 1º
14
¿SABÍAS QUÉ…

EN LA CARRERA PROFESIONAL

DE

ADMINISTRACIÓN
El Licenciado en Administración, organiza, promueve y desarrolla
empresas e instituciones que ofrecen bienes o servicios a los diferentes
mercados, hace uso de métodos e instrumentos científicos y tecnológicos
para optimizar el potencial humano, los recursos materiales,
tecnológicos, económicos, y financieros de las organizaciones para
mejorar la calidad, competitividad, eficacia y eficiencia. Gerencia,
asesora y presta consultoría a organizaciones. Realiza investigaciones
administrativas, formula y administra proyectos de inversión.

“
Geometría 1º
15
Cuenta
la
historia
que
Thales
de
Mileto,
el
gran
matemático griego, en uno de sus viajes se dirigió a
Egipto,
donde
quedó
maravillado
del
esplendor
y
grandeza de las pirámides y lejos de medir la altura de
una de ellas optó por un mejor camino, el cálculo, gracias
a la sombra que proyectaba esta gigantesca construcción,
la ayuda de un bastón que portaba y los conocimientos
de geometría que tenía, pudo lograr su ansiado objetivo.

“
Geometría 1º
16
ÁNGULOS
Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo.

DEFINICIÓN
Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.

ELEMENTOS
– Lados: Son los rayos
y
– Vértice: Es el origen común “B”

Notación:
En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central
corresponde al vértice.
Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la
letra del vértice.

ABC, ABC
El símbolo
se lee “ángulo”

“
Geometría 1º
17
MEDIDA DE UN ÁNGULO

Los ángulos se miden en grados sexagesimales.
Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador.
Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la
abertura.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
divide al ?A0B en dos ángulos.
A0P
y P0B que son congruentes por tener la misma medida “ ” luego.
es bisectriz de ?A0B

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

1.-Ángulo Nulo

Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º.
. mA0B = 0º .
2.-Ángulo Agudo
Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º.
. 0º < m?A0B < 90º .

“
Geometría 1º
18
3._Ángulo Recto
Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.
. m?A0B = 90º .
4.-Ángulo Obtuso
Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º.
. 90 < m?A0B < 180º .
5.-Ángulo Llano
Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones
opuestas)
. m?A0B = 180º .

6.-Ángulo de una Vuelta
Es el ángulo cuya medida es 360º

. m?A0B = 360º .

Geometría 1º
19
“

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos Consecutivos

Son los que tienen lados en común y el mismo vértice
Ángulo Opuestos por el Vértice

Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos (tienen la
misma medida)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS
MEDIDAS

Ángulos Complementarios
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.

“
Geometría 1º
20
.
+
= 90º .
Ángulos Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º
.
+
= 180º .
TEOREMAS FUNDAMENTALES

Teorema I
La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo
vértice y a un mismo lado de una recta es 180º
.
+
+
+
= 180º .
Teorema II
La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en
un plano es 360º.