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Una observación adicional respecto a la
diferenciación conceptual entre fracciones
y números racionales. El breve recorrido
histórico que trazamos al comienzo nos
marcaba dos etapas diferenciadas:la apari-
ción y aceptación de las fracciones como
elementos culturales necesarios para
representar y manejar situaciones de la
vida diaria, y el reconocimiento posterior
de estas expresiones de relaciones parte-
todo como números-medida a partir del
Renacimiento.
En el siglo XIX la
matemática experi-
mentó numerosos y
profundos cambios;
se buscó,entre otras
cosas, darles a los
números un funda-
mentoabstracto,que
no dependiera de referentes externos.Y
en este sentido, se requerían números de
la forma a/b, pero sin la referencia a mag-
nitudes medibles ni a la relación entre las
4.2. Otra vez los numeradores
y denominadores
Como sabemos, a/b es la forma en
la que se presenta el uso de los térmi-
nos numerador y denominador de una
fracción. Habitualmente suele decirse
que el denominador representa el nú-
mero de partes congruentes en que se
magnitudes de la parte y del todo de algo.
De ahí el recurso a la matemática pura,a la
teoría de conjuntos, a seguir un desarrollo
abstractoydesdeadentro(Ferreirós,1998).
Así se construyeron los números racionales
que, como se ve, tienen una naturaleza
distinta a la de las fracciones.
Digamos, finalmente, que los “números
o?ciales”que se manejan habitualmente en
esta matemática pura son los naturales (el
conjunto N),los enteros (positivos y nega-
tivos, el conjunto Z),
losracionales(elcon-
junto Q), los reales
(el conjunto R), los
complejos(elconjun-
to C) y los números
trans?nitos.Números
de?nidos,todos ellos,
no de una manera
intuitiva o descriptiva, sino axiomática, ma-
temáticamenteformal.Suestudioconstituye
una rama de la matemática conocida como
los Sistemas Numéricos (hay muchos libros
dividió la unidad, y que el numerador
denota el número de estas partes que
se toman en consideración en la frac-
ción. Y suele tenerse la impresión de
que ambos términos se estrenan en la
matemática cuando se llega al tema de
las fracciones. Pero ya sabemos que no
es así. Para darle un signi?cado más
dedicados a ellos, por si alguien se siente
picado por la curiosidad…).
En este contexto formal, las fracciones
no aparecen como uno de los sistemas
numéricos en el sentido contemporáneo
–axiomático– de la matemática.Pero por su
expresión numérica y la manera de hacer
operacionesconellas,sípuedenconsiderarse
no sólo como el antecedente histórico,sino
también como la fuente fenomenológica de
losnúmerosracionales,esdecir,comoobjetos
matemáticos que –sin estar de?nidos como
númerosracionales–sepresentanycompor-
tan como tales (Freudenthal,1983).
Por todo ello, su estudio –después de los
números naturales– resulta muy pertinente
y práctico, ya que sigue el patrón histórico
de desarrollo de los números en culturas
muy destacadas en las que, como hemos
visto,enseguidalasfraccionescompartieron
presencia y uso con los números naturales.
Y además, prepara el estudio posterior de
los números racionales.
profundo a ambos términos, vamos a
recoger las ideas que ya expusimos en
el Cuaderno nº 3.
Allí señalábamos que “la aparición
de los términos numerador y denomi-
nador en el discurso matemático no
debe reservarse al momento en que se
18
entraenelterrenodelasfracciones,sino
justamente desde que se mencionan
cantidades referidas a alguna entidad
particular”.
Porque, “¿qué significa numera-
dor? Lo que numera, lo que sirve para
numerar; en particular, cada término o
expresión que se utiliza para numerar.
Y denominador, lo que denomina o
sirve para denominar; y en particular,
cada término o expresión que se utiliza
para denominar”. Y puntualizábamos
que en el campo de la gramática, estas
expresiones correspondían a los ad-
jetivos numerales y a los sustantivos,
respectivamente.
“De esta forma, cada vez que en
nuestro hablar expresamos un adjetivo
numeralseguidodeunsustantivo,esta-
mos utilizando un binomio numerador-
denominador. Así, en la locución ‘tres
sillas’, tres es el numerador y sillas es el
denominador. Análogamente al hablar
de cinco centenas”.
En este contexto, ¿qué signi?cado
tienen el numerador y el denominador
de una fracción como 3/5? En su expre-
sión verbal, estamos hablando de “tres
quintos”. Claramente vemos que “tres”
–adjetivo numeral– responde a la idea
de numerador que apuntábamos antes;
hastaahoranohayningunanovedad.Lo
interesante está en la interpretación del
denominador:“quinto”debeversecomo
unsustantivo,comosillaen“tressillas”.
“Quinto”eselsustantivoquedesigna“la
quinta parte” de cualquier todo. Inicial-
mentepuedesermanejadodeesaforma,
comounsustantivo.Igualinterpretación
cabeconlosnúmerosqueaparecenenel
denominador de otras fracciones.
Es muy importante dotar de este
sentido a las fracciones, empezando
con las unitarias, es decir, con las que
tienen la unidad como numerador. Una
fracción como 1/5 puede verse como
una unidad, como un objeto-unidad
(similara“unasilla”),quepermiteaccio-
nes de conteo (un quinto, dos quintos,
tres quintos, etc.) y, posteriormente, de
suma y de resta (dos quintos más seis
quintos son ocho quintos). Así, 1/5
signi?ca que nos estamos re?riendo a
la unidad del objeto “quinta parte” de
algo (y aquí sintonizamos de nuevo
con babilonios y egipcios en cuanto
a la singularidad e importancia de las
fracciones unitarias…).
Porsuparte,lasfraccionesnounita-
rias pueden considerarse como expre-
siones que equivalen a “tantas veces la
unidad fraccionaria”. Por ejemplo, 3/5,
leído como “tres quintos”, indica que
estamos considerando “tres veces un
quinto”, de una forma similar a como la
expresión“tressillas”sepuedeentender
como “tres veces una silla”.
Nuestro len-
guajepopularpue-
de servirnos de
base para enten-
der y manejar las
fracciones de esta
forma. En efecto,
en este tipo de lenguaje solemos deno-
minar determinados objetos de la vida
diaria con expresiones fraccionarias.
Así, en Venezuela se designa como
“un cuartico” al envase de leche o de
jugo que contiene 1/4 de litro; como
“un tercio”, al que contiene 1/3 de litro
de cerveza; como “un quinto”, al que
contiene, aproximadamente, 1/5 de lo
mismo; como “un décimo”, al billete de
lotería que equivale a 1/10 de la serie…
(Y así, hay éstos y otros ejemplos en
cada uno de nuestros países). Y todo
el mundo entiende qué signi?ca tener
“cinco cuarticos” de leche en la nevera
o tomarse “tres tercios” de cerveza en
una?estaocomprardosdécimosparael
próximosorteodelotería…(ynohaypro-
blema con las fracciones impropias).
Nuestra conclusión parcial es que
ésta es una forma en que también
deberíamos manejar las fracciones
en el aula de clase, con el sentido y la
familiaridad con que lo hacemos en la
vida diaria. Una vez más, el lenguaje
nos sirve de vehículo entre el concepto
y su representación simbólica, a la que
puede dotar de sentido pleno…
19
¿Cuál de estas dos fracciones es ma-
yor:7/8 ó 7/9?
Un error frecuente consiste en leer cada
fracción como dos números y derivar de
ahí que, en nuestro ejemplo, 7/9 es mayor
que 7/8, ya que 7 y 9 son más que 7 y 8.
Pero si leemos 7/8 como “7 veces 1/8” y
7/9 como“7 veces 1/9”,nos damos cuenta
de que 7/8 es mayor que 7/9, ya que 1/9
signi?ca una porción entre las nueve en que
se dividió un todo y 1/8,una entre las ocho
en que se dividió el mismo todo: nos toca
más en 1/8 que en 1/9.Como se ve,no es
preciso hacer operaciones aritméticas para
responderaestetipodepreguntas(aunque
también se pueden efectuar para llegar a la
misma respuesta…).
5. ¿Para qué queremos tantos
sistemas de representación
de las fracciones?
He ahí una buena pregunta. Porque
habitualmente hemos considerado a la
matemática como un área de caminos
únicos, de representaciones únicas,
de procedimientos únicos, de maneras
únicas de resolver un problema… Y
ahora resulta que disponemos de hasta
siete sistemas de representación del
concepto de fracción.
5.1. ¡Qué bueno! Nos topamos
con la diversidad…
Ya lo dijimos en el Cuaderno nº 1:
buscamosconstruirunamatemáticaque
asumaygenerediversidad.Enparticular,
la “diversidad en los sistemas de repre-
sentación de un concepto es algo tan
importante que los autores estiman que
unapersonallegaadominarunconcepto
matemático sólo cuando es capaz de:
• identi?carlo en cualquiera de sus
posibles sistemas de representa-
ción;
• representarlo en todos ellos;
• saber pasarlo –“traducirlo”– de
cada sistema a todos los demás”
(Cuaderno nº 1).
Por consiguiente, en el tema de las
fracciones, debemos llegar a alcanzar
estas tres competencias:
• identi?car una fracción en cual-
quiera de sus siete posibles siste-
mas de representación;
• representarla en todos ellos;
• saber pasarla –“traducirla”– de
cada sistema a todos los demás;
loqueincluye,cuandoseaposible,
buscar “traducciones” dentro de
un mismo sistema.
Como vemos, tenemos una gran
tarea por delante. Tarea que debemos
realizar, nosotros y nuestros alumnos,
progresivamente. Porque no todos los
sistemas presentan las mismas exigen-
ciascognitivas.Porejemplo,ennuestro
medio, la competencia de representar
una fracción sobre la recta numérica
suele alcanzarse más tarde, en compa-
raciónconotrasrepresentaciones.Pero
esonosigni?caquesetengaquerenun-
ciar a ese sistema de representación,
sino que su inclusión en las competen-
cias a alcanzar será posterior.
Las dos primeras competencias
(identificar y representar fracciones
en cada uno de los sistemas de repre-
sentación) nos imponen como tarea
primordialconoceryfamiliarizarnoscon
talessistemas,utilizarlosconfrecuencia
y espontáneamente. La tercera compe-
tencia requiere el dominio de ciertos
procedimientos de “traducción”, que
presentamos a continuación.
5.2. Procedimientos
de traducción
entre los sistemas
de representación
Losresumimosenlasiguientetabla.
La mayoría de los procedimientos son
muy sencillos e intuitivos y de alguna
forma ya han sido tratados. Pero, como
veráel(la)lector(a),haydoscasossobre
los que se llama la atención –pasar del
sistemanuméricoaldecimal,yvicever-
sa–yqueserántratadosconmásdetalle
posteriormente.
20
Para pasar
del sistema
Numérico
Al sistema
Verbal
Procedimiento
Lectura de a/b
2/5
Ejemplo
dos quintos
Gráfico
Dividir una región en b partes congruentes
?
continuo
Gráfico
discreto
Decimal
y señalar a de ellas
Ídem,para un conjunto discreto
Dividir a entre b
•
?
2/5
?
•
0,4
Porcentual
Punto recta
0,4 (0,4 x
100)% = 40%
2/5
(Decimal x 100) % (Sólo cuando no haya
más de 2 decimales exactos)
Dividir el segmento unidad en b partes
congruentes y señalar el punto ?nal de las
primeras a de ellas
0
1
Decimal
Numérico
(Reglas de transformación)
0,4
4/10 = 2/5
Porcentual
(Decimal x 100) % (Sólo cuando no
haya más de 2 decimales exactos)
0,4 (0,4 x
100)% = 40%
Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas
Porcentual
Decimal
Numérico
Porcentaje :100 (dividir)
Porcentaje/100 (simpli?car)
40%
40%
40 :100 =
0,4
40/100 =
2/5
Punto recta
Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas
Numérico Numerador:medida del segmento que va
del 0 al punto.Denominador:medida
del segmento unidad (de 0 a 1)
Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas
Verbal
Numérico
Traducción directa desde la expresión
Gráfico
continuo
Gráfico
discreto
verbal o desde la grá?ca
Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas
La traducción de una fracción al
sistema verbal requiere saber cómo se
nombranlasfracciones.Elnumeradorse
lee como un número normal; en cuanto
al denominador, se le asignan los si-
guientes sustantivos, según el número
que aparece en él:
2
medio(s)
3
4
5
6
tercio(s)
cuarto(s)
quinto(s)
sexto(s)
7
8
9
10
séptimo(s)
octavo(s)
noveno(s)
décimo(s)
Si el denominador es mayor que 10,
se forma la palabra con el nombre del
número y el su?jo avo(s). Por ejemplo, la
fracción 7/11 se lee “siete onceavos” y
la fracción 1/20, “un veinteavo”.
Y ahora, unos ejercicios sencillos
de traducción entre sistemas de repre-
sentación:
•
b) Numérico: 2,05 = 100 = 20 41 (fracción impropia)
21
Representar la fracción 7/4 en los demás sistemas de representación.
a) Gráfico discreto (el número de• con respecto al total de objetos del conjunto):
• •
• • • •
?
Obsérvese que el primer recuadro representa la unidad (4/4) y el segundo,3/4.
c) Punto recta:
0
1
7/4
2
b) Gráfico continuo:
d) Decimal: 7 :4 = 1,75
e) Porcentual: (1,75 x 100) % = 175 %
f) Verbal: Siete cuartos
Representar la fracción 70% en los sistemas Decimal, Numérico, Punto recta, Grá?co
b) Numérico: 70 % = 70/100 = 7/10
continuo.
a) Decimal: 70 :100 = 0,7
c) Punto recta:
7/10
1
0
d) Gráfico continuo:
Representar la fracción 2,05 en los sistemas Porcentual, Numérico y Punto
recta.
a) Porcentual: (2,05 x 100) % = 205 %
5 1 1
c) Punto recta:
1/20
41/20
0
1
2
Esto y aquello,más la mitad de esto
y aquello, ¿qué porcentaje es de esto y
aquello?
Si a una cantidad (esto y aquello) se
le suma su mitad, en términos de re-
presentación decimal tenemos 1 + 0,5
(es decir,1,5).El problema consiste en
expresar esta cantidad en el sistema
porcentual:basta multiplicar por 100 y
llegamos a 150%.
205
2,05 = 2 + 0,05 = 2 +100= 2 + 20= 2 20(fracción mixta)
¿%…?
= 15 2 .Y también, 2,03 pasa a ser 2,03100 100
= 100 . Así,pues,la fracción generatriz de una
22
5.3. Del sistema de
representación numérico
al decimal
Elprocedimientogeneralquehemos
indicadoconsisteendividirnumerador
entre denominador (se recomienda uti-
lizar la calculadora) y anotar el cociente
contodossusdecimales.Porejemplo,la
fracción2/5llevaaladivisión2:5,cuyo
resultadoes0,4;enestesentido,puede
denominarse como un decimal exacto.
Pero la fracción 1/6 lleva a la división
1 : 6, cuyo resultado es 0,166666…,
cociente en el que la cifra decimal 6 no
cesa de aparecer.
Veamos otros ejemplos similares:
0,8333…
2/3
20/11
4/7
0,6666… 5/6
1,818181…
0,571428571428…
45/22 2,0454545…
13/36 0,36111…
Enlasexpresionesdecimalesanterio-
res encontramos tres tipos de elementos:
• la parte entera, antes de la coma;
• la(s) cifra(s) decimal(es) que se
repite(n)inde?nidamente:recibe(n)
elnombredeperíodo(porejemplo,
6 en 2/3, 571428 en 4/7, 45 en
45/22);
• la(s) cifra(s) ubicada(s) entre la
parte entera y la primera cifra del
período: recibe(n) el nombre de
anteperíodo(porejemplo,8en5/6,
0 en 45/22, 36 en 13/36).
Las representaciones decimales no
exactasquecarecendeanteperíodore-
cibenelnombrededecimalesperiódicos
puros,mientrasquelasquesípresentan
anteperíodo se denominan decimales
periódicos mixtos. Pueden representar-
se de la forma anterior (0,6666…, etc.)
o bien escribiendo el período una sola
vez con una especie de pequeño arco
superpuesto sobre la(s) cifra(s) que lo
compone(n).Aquíloharemoscolocando
lascifrasdelperíodoenescrituranegri-
ta cursiva;porejemplo:0,666… 0,6;
y 2,04545…
2,045.
5.Representelassiguientesfraccionesen
forma decimal: 7/9, 18/5, 12/11, 5/33,
1/14,13/15,26/99,5/101
Desde este punto de vista,debemos llegar
a distinguir las fracciones que dan una ex-
presión decimal exacta: son aquellas cuyos
denominadoressonnúmeros“compuestos”
por los factores primos 2 y 5;por ejemplo,
denominadores como 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20,
etc.Encambio,lasfraccionescuyosdenomi-
nadores tienen otros factores primos (3,7,
11…) generan expresiones decimales perió-
dicas. La razón de estos comportamientos
estriba en que sólo 2 y 5 son divisores de
10 (otra vuelta al Cuaderno nº 8…).
5.4. Del sistema de
representación decimal
al numérico
Ahoraafrontamoselproblemainver-
so; es decir, dada una fracción en forma
decimal, pasarla a la forma numérica
a/b. Este proceso de traducción suele
recibir el nombre de “hallar la fracción
generatriz del decimal dado”. Como
acabamos de ver, hay varios tipos de
decimales, por lo que analizaremos di-
versos casos en este proceso.
a) Decimal exacto: El procedimiento es
sencillo:se multiplica y divide el decimal por
la potencia 10n, donde n es el número de
cifras decimales.Así se obtiene una fracción
cuyo numerador pasa a ser entero y cuyo
denominador es la potencia 10n.
x 4 5
Por ejemplo:0,4 pasa a ser ( 0,4 1010) = 10= 2.
Análogamente, 7,5 pasa a ser (7,510 10) = 75
x
203
expresión decimal exacta tiene como nume-
rador la parte entera seguida de las cifras de-
cimales y como denominador la potencia 10n,
donde n es el número de cifras decimales.
b) Decimal periódico puro:Veamos cómo
se procede con el ejemplo 0,15:
Primero, observemos que es cierta esta
igualdad: 0,15 = 0,1515.Ahora multiplica-
x 10
23
mosydividimos0,1515por100,conloque
no se altera su valor, y se llega a: 0,1515 =
(0,1515 x 100)/100 = 15,15/100 = (15 +
0,15)/100.
Hasta ahora tenemos la igualdad: 0,15
= (15 + 0,15)/100. Multiplicando ambos
términos de la igualdad por 100 se tiene:
100 x 0,15 = 15 + 0,15. Si restamos 0,15
en ambos miembros de la igualdad, a la
izquierda tendremos (100 – 1) veces 0,15,
es decir, 99 veces 0,15. Y a la derecha,
quedará sólo 15. Es decir, pasaremos a
la igualdad: 99 x 0,15 = 15. Finalmente,
dividimos ambos miembros de la igualdad
entre 99, con lo que llegamos al resultado
?nal:0,15 = 15/99
Si se hubiera tratado de la expresión deci-
mal periódica pura 2,15, el proceso sería:
2,15 = 2 + 0,15 = 2 + 15/99 = 198/99 +
15/99 =213/99.Obsérvese que el numera-
dorpuededesglosarsecomounadiferencia:
213 = 215 – 2,es decir,como la diferencia
entre el número formado por la secuencia
“parte entera-período”, 215, menos la
parte entera,2.
Todoesteprocesopuedeparecertediosoy
complicado,pero se presenta para justi?car
la regla que rige la búsqueda de la fracción
generatriz en el caso de las expresiones
decimales periódicas puras: La fracción ge-
neratriz de una expresión decimal periódica
puratienecomonumeradorladiferenciaentre
el número formado por la secuencia “parte
entera-período”, menos la parte entera; y
como denominador,tantos nueves como cifras
tiene el período.
Por ejemplo, la fracción generatriz del
decimal 3,27 tiene como numerador: 327
– 3; y como denominador, 99. Se trata de
la fracción 324/99 (verifíquelo).
Análogamenteparaeldecimal 0,123;sunu-
merador es 123,y su denominador,999.Se
trata de la fracción 123/999 (verifíquelo).
c) Decimal periódico mixto: En este caso
vamos a obviar la construcción de la regla
que rige estos casos [dejamos a los lectores
su búsqueda en algún texto de matemáti-
ca…] y a exponerla directamente:La fracción
generatrizdeunaexpresióndecimalperiódica
mixta tiene como numerador la diferencia en-
treelnúmeroformadoporlasecuencia“parte
entera-anteperíodo-período”,menoselnúmero
formado por la secuencia“parte entera-ante-
período”;y como denominador,tantos nueves
comocifrastieneelperíodo,seguidosdetantos
ceros como cifras tiene el anteperíodo.
Vamosadaralgunosejemplosparamostrar
cómo se aplica la regla anterior: 2,315 se
desglosa así:parte entera:2;anteperíodo:3;
período:15.De modo que:2,315 = (2315
– 23)/990 = 2292/990 (verifíquelo).
Por su parte, 0,183 se desglosa así: parte
entera: 0; anteperíodo: 18; período: 3. De
modo que: 0,183 = (183 – 18)/900 =
165/900 (verifíquelo).
Finalmente, 3,12101 se desglosa así: parte
entera: 3; anteperíodo: 12; período: 101.
De modo que: 3,12101 = (312101 –
312)/99900 = 311789/99900 (verifíquelo).
6. Obtenga la fracción generatriz de
las siguientes expresiones decimales:
4,05 4,05
0,101
0,8
2,75 2,75
0,8
10,1
0,3
Veamosuncasocurioso:eldelafracción0,9
(una sucesión ilimitada de nueves después
delacoma…).Deacuerdoconloexpresado
anteriormente,su fracción generatriz es 0,9
= 9/9 = 1. De donde se sigue que 0,9 = 1.
¿Será cierto esto? Sí lo es; lo que ocurre
es que hemos descubierto otra manera
de representar la unidad como fracción
decimal: 0,9. [Acabamos de abrir una ven-
tana hacia una matemática más avanzada,
la que trabaja con expresiones in?nitas y
utiliza el concepto de límite para ello. No
vamos a entrar en este terreno, pero sí a
tomar nota del punto de partida desde el
que salimos…].
24
Un comentario ?nal al llegar a este
punto.Notodoeltrasiegodefracciones
entresusrepresentacionesnuméricasy
decimales,enambossentidos,tieneque
reducirse a estos ejercicios tan “técni-
cos” y “complejos”. También tenemos
que familiarizarnos con la equivalencia
de las fracciones y los decimales más
sencillos y frecuentes. Así como llega-
mosadominarlastablasdemultiplicar,
deberíamos manejar con soltura al
menos las siguientes equivalencias (en
ambos sentidos):
a) 1/2 equivale a 0,5; los múltiplos
decimales de 0,5 son fracciones
de denominador 2 (por ejemplo:
3,5 = 7 x 0,5 = 7 veces 0,5 =
7/2, etc.).
b) 1/4equivalea0,25;losmúltiplos
decimalesde0,25sonfracciones
de denominador 4 (0,75 = 3 x
0,25 = 3 veces 1/4 = 3/4, etc.).
c) 1/5 equivale a 0,2; los múltiplos
decimales de 0,2 son fracciones
de denominador 5 (1,8 = 9 x 0,2
= 9 veces 1/5 = 9/5, etc.); las
fraccionesdedenominador5son
múltiplosde0,2(porejemplo,4/5
= 4 veces 1/5 = 4 x 0,2 = 0,8).
d) 1/10equivalea0,1;losmúltiplos
decimales de 0,1 son fracciones
dedenominador10(0,9=9×0,1
= 9 veces 1/10 = 9/10, etc.).
e) 1/20 equivale a 0,05; los múlti-
plos decimales de 0,05 son frac-
3 7 18 9 2 5 3 20 8
ciones de denominador 20 (0,65
= 13 x 0,05 = 13 veces 1/20 =
13/20, etc.); las fracciones de
denominador 20 son múltiplos
de0,05(porejemplo,17/20 = 17
veces 1/20 = 17 x 0,05 = 0,85).
Tenemos que acostumbrarnos a
manejar de esta manera las fracciones
ylosdecimalesmásusualesysencillos,
y hacerlos así parte de nuestra vida, de
lasherramientasmentalesqueestánahí
siempre listas para su uso. Esta fami-
liaridad mental con las fracciones y los
decimalesdebesersiempreunobjetivo
de nuestro aprendizaje del tema.
Utilice la recomendación anterior para
calcularmentalmentelasexpresionesde-
cimalescorrespondientesalasfracciones
siguientes:5 , 20 , 10 , 4, 5 , 4 ,2 , 15 , 5
Asimismo,para calcular mentalmente las
fracciones numéricas correspondientes
a las expresiones decimales siguientes:
0,15; 1,2; 3,25; 1,5; 1,75; 2,6; 0,7;
7,5; 0,65
7. Resuelva los siguientes ejercicios
de conversión de fracciones entre
los sistemas de representación que
se indican:
a) 4/5 a decimal
b) 160% a fracción numérica
c) 2,5 a fracción numérica
d) 200% a decimal
e) 13/20 a porcentaje
f) 7 a porcentaje
g) 6/2 a decimal
h) 300% a fracción numérica
i) 6/2 a porcentaje
5.5. Fracciones equivalentes
Hasta ahora hemos hablado de la
traducción mutua entre los diversos
sistemas de representación de las frac-
ciones. Pero también apuntábamos la
posibilidad de traducción al interior de
cada sistema. Esto nos lleva a una pri-
merapregunta:¿Cuálessonlossistemas
de representación que aceptan este
proceso interno de traducción?
Una observación cuidadosa nos
permite responder que los sistemas de
representación que aceptan este pro-
ceso interno de traducción (en el que
una fracción cambia de representación
conservando su valor), son el numérico
–y, por consiguiente, el verbal–, el grá-
?codiscretoyelgrá?cocontinuo.Porel
contrario,esteprocesonotienesentido
en los sistemas decimal, porcentual, y
punto sobre la recta.
En los sistemas en los que se pro-
duce la traducción interna se habla,
entonces, de fracciones equivalentes.
El caso más conocido –aunque no el
único, como acabamos de ver– es el del
sistema numérico a/b. Vamos a anali-
5 10
y 2 5. De todas ellas puede llamarnos la
25
zar cómo en este sistema se generan
fracciones equivalentes a una dada y,
posteriormente, cómo se descubre si
dos fracciones son equivalentes.
Tomemosnuestroejemplodelafrac-
ción 2/5. Podemos obtener fracciones
equivalentes“ampli?cando”lafracción,
es decir, multiplicando numerador y
denominador por la misma cantidad
entera positiva (no por 0). Por ejemplo,
al multiplicar así por 2, llegamos a
4/10; ahora estamos diciendo que el
mismotodosehadivididoen10partes
congruentes, de las cuales estamos
considerando 4.
12 8 2
12 8 6
única que no puede simpli?carse más.
Y esto es así, porque dividimos 24 y 60
entre su máximo divisor común, que es
12, con lo cual los factores resultantes,
2 y 5, son números primos relativos,
primos entre sí (seguimos con el Cua-
derno nº 8…).
Cuandoelnumeradorydenominador
deunafracciónsonnúmerosprimosrela-
tivos,lafracciónsedenominairreducible.
Pues bien, las fracciones equivalentes a
unafracciónirreduciblesóloseconsiguen
para descubrir si dos fracciones son
equivalentes –valen lo mismo– el re-
cursomássencilloeseldepasarambas
al sistema decimal (otra vez la calcula-
dora…): si se obtiene el mismo número
decimal, son equivalentes. Otra vía de
hacerlo–comoyael(la)lector(a)lohabrá
intuido– es la de buscar una fracción
queseasimultáneamenteequivalentea
ambas;paralograrlo,lavíamássencilla
es la de calcular la fracción irreducible
de ambas: si coinciden, ambas fraccio-
nes son equivalentes.
8. Halle la fracción irreducible en cada
caso:
28/140 36/24 18/108 13/65
42/60 76/12 54/24 56/24
15/16
1
1
5 1
10
1
10
Obsérvese
que, sin embar-
go, esta fracción
tiene también
su lectura como
2/5, si se consi-
dera que el todo
se ha dividido en 5 “pares” (10 partes),
de los cuales estamos consideran-
do 2 (4 partes). Así se descubre la
equivalencia entre ambas fracciones.
Del mismo modo se consiguen otras
fracciones equivalentes: 6/15 (multi-
plicando por 3: ahora hay 5 “ternas”
de las cuales se toman 2), 14/35 (mul-
tiplicando por 7), etc. Como se ve, la
“clase” de fracciones equivalentes a
una dada tiene un número infinito de
fracciones.
1
5
1
1
5
1
10
1
5
Otro de los procedimientos para
obtener fracciones equivalentes a una
dada es el de “simpli?car” la fracción,
siesposible;estoes,dividirnumerador
y denominador por la misma cantidad
entera positiva (excluyendo el 1). Por
ejemplo, si tomamos 24/60, al dividir
así entre 2, llegamos a 12/30; al dividir
entre 3, a 8/20; al dividir entre 12, a
2/5. Todas estas fracciones (30, 20 , 5 )
son equivalentes a 24/60.
¿Cuántas fracciones equivalentes a
24/60puedenobtenerseporlavíadela
simpli?cación? Tantas como divisores
comunes –aparte del 1– tengan 24 y
60 (de vuelta al Cuaderno nº 8…). Estos
divisores comunes son {2, 3, 4, 6 y 12}.
Porconsiguiente,hay5fracciones equi-
valentesa24/60quepuedenobtenerse
por la vía de la simpli?cación: 30, 20, 15,
4
10
atención la fracción 2/5, porque es la
porlavíadelaampli?cación;enlosdemás
casosfuncionaestavíayladelasimpli?-
cación, que es siempre más corta.
Un caso particular de equivalencia por
ampli?cación es el que atañe a los números
naturales considerados como fracciones.
Así,1 puede representarse como 2, 3, 5…,es
decir,dein?nitasmanerascomofracción.Del
mismo modo,2 puede hacerlo como 2, 3, 14,
etc. Esta observación nos ayuda también a
familiarizarnos con las fracciones y,además,
será muy útil cuando operemos con ellas.
En cuanto a la segunda cuestión,
4 6 7
a) y b) 18 y c) y 5 40 52 33 200
d) 60 y 35 f) y 100 11
26
9. Determine si los siguientes pares
de fracciones son equivalentes:
54
27
5.6. Estimar el valor
de las fracciones
Volvemosdenuevoanuestrointento
por familiarizarnos con las fracciones,
ahora con el aporte de las fracciones
equivalentes. A este respecto, resulta
interesante la actividad de estimar el
valoraproximadodealgunasfracciones
quenopresentannúmeros“amigables”
en el numerador y en el denominador
(por ejemplo, 28, 17, 63, etc.). La idea es
la de acercarnos a fracciones más sen-
cillas–particularmentelasirreducibles–,
cuyo valor esté cerca del valor de las
fracciones dadas. Esta actividad recibe
elnombredeestimacióndelvalordelas
fracciones.
Esta actividad requiere desarrollar
las competencias de observación de
cada fracción y la familiaridad con las
fracciones más sencillas. Por ejemplo,
28/89 nos lleva a acercarnos a 30/90,
cuya fracción irreducible es 1/3
(simpli?cando entre 30); o también
a 27/90, cuya fracción irreducible es
3/10 (simpli?cando entre 9). Obsér-
vese que el decimal correspondiente
a 28/89 es –con sólo 4 cifras deci-
males– 0,3146; el correspondiente a
89 70 97
1/3 es 0,333…; y el correspondiente a
3/10 es 0,3. Como se ve, en estas dos
estimaciones estamos cerca del valor
de la fracción 28/89.
Análogamente,17/70puedeaproxi-
marsea20/70(esdecir,2/7),a14/70(es
decir, 1/5); a 17/68 (es decir, 1/4), etc.
Y 63/97 puede acercarse a 66/99 (es
decir, 2/3), a 65/100 (es decir, 13/20),
a64/96(esdecir,2/3nuevamente),etc.
Lo importante es saber manejarse con
soltura y familiaridad; y esta actitud
sólo puede ser producto de las ganas
de “acercarse” a las fracciones… y de la
ejercitación.
Estime el valor de las siguientes fraccio-
nes, aproximándolas a fracciones más
sencillas:
31/59 91/62 53/149 26/60
83/39 97/79 37/121 13/31
89/91
5.7. Y ahora sí, ¿para qué
tantos sistemas
de representación
de las fracciones?
Quizás ahora ya tenemos una bue-
na respuesta a la pregunta con la que
iniciábamosesteapartado.Lavariedad
de sistemas de representación no es
algo super?uo, ni mucho menos inútil.
Ya hemos visto algo de lo que se puede
sacar de esta variedad…
Enresumen,podemosdecirquenos
hemos sumergido en la diversidad ma-
temática; que nos ha ayudado a captar
mejor el concepto y signi?cado de las
fracciones;quenospermitefamiliarizar-
nosconellas;quelavariedadnosfacilita
la resolución de tareas con fracciones
al permitirnos optar por el sistema más
adecuado a cada tarea… Y en esta tó-
nica seguiremos cuando, en el próximo
Cuaderno, abordemos las actividades
de ordenar fracciones, operar con ellas
y resolver problemas.
6. Las fracciones
en nuestra vida
Familiarizarnosconlasfraccionesno
suponesolamenteacostumbrarnosasus
conversiones de un sistema de repre-
sentación a otro, o a sus equivalencias
dentro de un mismo sistema. También
supone saber “verlas” y “utilizarlas” en
nuestra vida. Una actividad destinada
a este ?n puede ser, por ejemplo, la de
tomar la altura de un mueble, indicar
unpuntoenél,y
estimarquéfrac-
ción representa
–respecto a la
altura total– la
distancia desde
labasedelmue-
blehastaelpun-
to indicado. El
ejercicio puede
llevarse a otros
, , 9 , 7 , 13,10, 2?
27
objetos cuya altura o longitud puede
medirse, a super?cies cuya área puede
calcularse, a volúmenes medibles, etc.
Todo es cuestión de imaginación…
Después de hecha la estimación deben
obtenerselasmedidascorrespondientes
con el ?n de evaluar la precisión de la
fracción estimada.
Unaactividadcomplementariapue-
de ser la inversa: tomar una dimensión
de un objeto, indicar una fracción, y
tratar de ubicar sobre el objeto la parte
de la dimensión correspondiente. Por
ejemplo, puede tomarse un diccionario
y solicitar que se abra en la página
que represente 1/4 ó 2/3… de todo el
libro, y luego veri?car la precisión de la
estimación.
Finalmente, también es posible es-
timar la magnitud del todo a partir de
la medida de una fracción estimada.
Por ejemplo, en el caso del dicciona-
rio, se puede abrir en determinada
página, tomar nota del número de
página indicado, observar el grueso
del libro cerrado y estimar la fracción
que sobre el total representa el grueso
de las páginas separadas, y a partir de
ahí estimar cuántas páginas puede
tener el libro. Un caso similar es el
de estimar el número de personas en
una cola a partir de estimar la fracción
que representa un número determi-
nado de sufridos ciudadanos (algo
hay que hacer para distraerse en una
cola…). En fin, trate de proponerse y
practicar con situaciones similares.
Lo importante es entender que las
fracciones están presentes en nuestra
vida y que es cuestión de saber verlas
y utilizarlas.
unidades,la fracción valdrá 0,5.¿Cuál
es la fracción original?
c) ¿Cuál es la cifra decimal que ocupa la
posición 2009 en el desarrollo decimal
de 4/101?
d) En cada una de las sucesiones
siguientes, averiguar el valor de la
fracción omitida:
7. La resolución
de problemas en el campo
de las fracciones
Vamos a plantear algunos proble-
mas que pueden referirse a la utili-
zación del concepto de fracción y de
sus diversas representaciones. Lo que
sugerimos a nuestros lectores es que,
una vez leído el enunciado de cada si-
tuación, intenten resolver el problema
por cuenta propia antes de revisar la
vía de solución que se presenta pos-
teriormente.
a) ¿Cuál de las siguientes fracciones se
acerca más a la unidad:
7 3 10 8 12 9 1
8 4
b) El denominador de una fracción
excedeen7unidadesalnumerador.Si
al denominador se le agregan otras 7
3 3 3
8 2 3 4
a) 1,1, 5,…,3, 11
b) …, 1,11,14,17
c) …, 5, 11, 23, 47
e) Con los dígitos del 1 al 9, utilizados
todos una sola vez y repartidos entre el
numeradoryeldenominador,formaruna
fracción equivalente a 1/2.
f) En una reunión, la mitad de los
invitados son hombres.De todos los
hombres presentes,40% son calvos;y
deestosúltimos,lamitadhablainglés.
Si sólo 4 calvos hablan inglés,¿cuántas
mujeres hay en la reunión?
g) Si el z % de v es 15, ¿cuál es el v
% de z?
Vamos,pues,areportaralgunasvías
desoluciónparapodercontrastarlascon
las que hemos podido obtener entre
todos.
3 5 9 17
1
2
?
¿
5
9
?
¿
28
a) Una forma sencilla de resolver el pro-
blema es “traducir” todas las fracciones a
su expresión decimal y anotar aquella cuyo
valorestémáspróximoalaunidad.Perosise
pre?ere trabajar con las expresiones dadas,
basta observar lo que le falta (o le sobra) a
cada fracción con respecto a 1:1/8,1/4,1/9,
1/7,1/13,1/10,1/2,respectivamente.De to-
das ellas,la menor es 1/13.Por consiguiente,
la fracción más cercana a 1 es 12/13.
b) Después de agregar otras 7 unidades al
denominador, éste es 14 unidades mayor
que el numerador.Si la fracción ahora vale
0,5(esdecir,1/2),esporqueeldenominador
eseldobledelnumerador. Porconsiguiente,
éste debe valer 14 y el denominador,28.La
fracción original es 14/21.
c)Laexpresióndecimalde4/101es0,0396.
Es decir, cada 4 posiciones se repite el
mismo grupo de cifras, en el mismo orden.
Para averiguar cuál es la cifra que ocupa la
posición2009,debemosobtenerelrestode
dividir 2009 entre 4, que es 1 (el cociente
de esta división, 502, signi?ca que hay 502
grupos completos de las cuatro cifras del
período). Así,pues,laposicióndecimal2009
está ocupada por la 1ª cifra del período,es
decir,por el 0.
d) a) Si se toman los valores 1 y 3 como
3/3 y 9/3,respectivamente,se observa que
los numeradores de esas fracciones se
incrementan de 2 en 2, mientras que los
denominadores permanecen iguales a 3.La
fracción omitida es,pues,7/3.
b) Los numeradores aumentan de 1 en 1,
y los denominadores de 3 en 3.La fracción
omitida debe ser,pues,0/5,es decir,0.
c) Aquí los patrones son un poco más
complejos, pero una observación atenta
nos lleva a inferir que cada numerador se
obtiene aumentando 1 al doble del nume-
rador anterior,y que cada denominador se
obtiene restando 1 al doble del denomina-
dor anterior. Así, pues, la fracción anterior
a 5/3 debe ser 2/2,es decir,1.
e) El método a seguir debe ser el de ensayo
y ajuste.He aquí una pista inicial:si se han de
utilizar las 9 cifras signi?cativas y el denomi-
nadorhadesereldobledelnumerador,éste
debe contar con 4 cifras, y el denominador
con 5. Además, la primera de estas cinco
debe ser el 1,y la primera de las del nume-
rador,mayorque5(¿porqué?).Porotrolado,
¿el 5 puede ?gurar en el numerador (¿por
qué?)?Apartirdeaquí,escuestióndeensayar
y ajustar. Una de las respuestas posibles es
.Pero hay otras.Intente hallarlas…
f)Consideremoselconjuntodeloshombres.
Que 40% de ellos sean calvos signi?ca que lo
sonlos2/5.Deellos,losquehablaninglésson
lamitad,esdecir1/5deloshombres.Peroesta
fracciónequivalea4hombres.Porlotanto,el
número total de hombres será 4 x 5 = 20.Y
20 es también el número de mujeres.
El problema también puede resolverse
por la vía grá?ca. Como nos hablan de los
2/5 de los hombres (40%),vamos a repre-
sentar el conjunto de los hombres como
un rectángulo dividido en 5 cuadrículas
congruentes:
Las dos primeras, por ejemplo, correspon-
deríanaloscalvos,yunadeellas(lamitad)a
los que hablan inglés.Pero el“valor”de esta
cuadrícula es 4, de donde se desprende el
valor de 20 para todo el conjunto.De aquí,
el número de mujeres,también 20.
g) La mejor manera de resolver el ejercicio
es presentando alguna situación numérica
que satisfaga el enunciado “el z % de v es
15”. Podemos pensar en v como 30 (el
doble de15),de donde se sigue quez debe
ser 50 (50%), ya que el 50% (la mitad) de
30 es 15.
Ahora hay que responder a la pregunta
¿cuál es el 30% de 50? Si el 10% es 5, el
30% es 15,el mismo valor.Si se ensaya con
otro valor de v (50, 60, 100…) y se halla el
correspondiente de z (30,25,15…),se verá
que la respuesta siempre es la misma:15.
7269
14538
29
8. Y ahora, otros ejercicios
“para la casa”…
13. Un
sastre
compró la mitad de 9 metros de tela
y utilizó 4 1/2 metros. ¿Cuánta tela
sobró?
10 9 4
10. La longitud del monstruo del lago
encantado es de 20 metros, más la
mitad de su propia longitud.¿Cuánto
mide de largo el monstruo?
Con los dígitos del 1 al 9, utilizados to-
dos una sola vez, formar (si es posible)
el numerador y el denominador de una
fracción equivalente a 1/3.Ídem,equiva-
lente a 1/4 y a 1/5.
11. En cada una de las sucesiones
siguientes, averiguar el valor de la
fracción omitida:
a) 11, 7, 7,…,
b) 1 2,12, 1 0, 14, 2,…,
12. La diferencia entre el 60% y el 45%
de un número es 30. ¿De qué número
se trata?
18 8 15 21 3
Referencias
bibliográ?cas
– Ferreirós, J. (1998). Introducción. En:
R. Dedekind, ¿Qué son y para qué sirven los
números? (pp. 5-75). Madrid: Alianza.
– Freudenthal, H. (1983). Didactical phe-
nomenology of mathematical structures.
Dordrecht: Reidel.
– Kline, M. (1992). El pensamiento ma-
temático de la Antigüedad a nuestros días,
Vol. I. Madrid: Alianza.
1 5 2 4 1 4 1 4 1
5 3 6 5 7 3 3 9
Respuestas de los ejercicios propuestos
1. Son iguales 2. 4 decimales 3.1 2; 110 ó 1 1; 2 1; 11 9; 612 ó 6 3 4. 3 ó 1 3
5. 0,7; 3,6; 1,09; 0,15; 0,0714285; 0,86; 0,26; 0,0495 6. 405/100 u 81/20;
401/99; 91/900; 8/10 ó 4/5; 248/90 ó 124/45; 11/4; 8/9; 91/9; 3/9 ó 1/3 7.
0,8; 160/100 u 8/5; 5/2; 2; 65%; 700%; 3; 3; 300% 8. 1; 2; 1; 1;10; 19 ó 6 1; 4 ó
15
b) cualquier otra fracción equivalente a 2/3 12. 200 13. Nada
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