ar esa relación
entre dos números naturales. Este es
el signi?cado cultural primigenio de la
fracción: la expresión numérica de la
relación entre una parte y el todo. Cual-
quier representación que se haga de la
fraccióndebeexpresaresarelaciónentre
ambosnúmerosnaturales(comolohace
la representación habitual, a/b, donde a
se re?ere a la parte y b al todo).
Esterequerimientocultural–“núme-
ros que representan fracciones”– apa-
rece plasmado en símbolos abstractos
ya desde las culturas babilónica y
egipcia; es decir, desde unos 3.000
años a.C. en adelante (Kline, 1992). Los
babilonios utilizaron fracciones cuyos
“denominadores” eran potencias de
60 [Recuérdese que 60 era la base de
su sistema de numeración: ver Cua-
derno nº 2] y con ellas representaban
las fracciones de la forma 1/n. Así, por
ejemplo, la inscripción igi 2 gál-bi 30’
se traduce en términos actuales como:
1/2 = 30/60. Análogamente, igi 8 gál-
bi 7 30’ se traduce como: 1/8 = 7/60 +
30/602, lo cual es cierto, ya que 7/60
+ 30/602 = 7/60 + 30/3600 = 7/60 +
1/120 = 14/120 + 1/120 = 15/120 =
2
1
2 1 1
“matemáticos” –y por consiguiente, a
las fracciones– un uso eminentemente
práctico, de aplicación a la vida diaria,
al comercio, a la arquitectura, a la as-
tronomía, etc. Pero no hubo entre ellos
una preocupación teórica acerca del
concepto de número, como sí la hubo
en la cultura griega. Vamos a asomar-
nos a ella.
Lospitagóricos(s.VIa.C.)considera-
ban como números solamente a los nú-
meros naturales.
Pensaban, ade-
más,quelanatu-
ralezasereducía
aestosnúmeros,
en el sentido de
que todo objeto
podíaexpresarse
con un número
(la medida de su
magnitud),ylasrelacionesentreobjetos
(entre sus magnitudes), siempre como
una relación entre números naturales.
Para lograr esta relación suponían
que siempre funcionaría el principio de
conmensurabilidad,esdecir,quedadas
dos magnitudes (por ejemplo, dos seg-
mentos), siempre era posible encontrar
unamagnitud(unsegmento)menorque
“encajara” un número exacto de veces
en cada una de las dos magnitudes
(los dos segmentos) relacionadas.
Es decir, dados los segmentos a
1/8. Como ejercicio, le sugerimos que
halle la “descomposición” de 1/27 a
partir de la inscripción ‘igi 27 gál-bi 2
13 20’ y veri?que su exactitud…
Por su parte, los egipcios también
utilizaronsímbolosacordesconsusiste-
madenumeraciónparadenotarlasfrac-
ciones. Así, las fracciones del tipo 1/n
(salvo 1/2 y 1/4) se representaban con
lanotacióncorrespondientedelnúmero
n y un óvalo o punto superpuesto al nú-
mero. Las demás fracciones (salvo 2/3,
queteníatambiénsusímboloparticular
de representación) se reducían a una
“suma” de las fracciones unitarias. Por
ejemplo y en nuestra notación actual, 5
= 3 + 15, expresión a la que llegaban de
la siguiente forma (tomando en cuenta
que 3 veces 1/15 es 1/5, y que 5 veces
1/15 es 1/3): 5 = 5 + 5 = (15 +15 + 15) +
( 15+15+15) = 15+ (15+15+ 15+ 15+15) =15+
1 2 1 1
al modo egipcio…).
Cabe destacar que
tanto babilonios como
egipcios dieron a
los conocimientos
8
y b, podía suceder que ni a encajara
un número exacto de veces en b, ni
viceversa. Pero entonces, siempre era
posibleencontrarunsegmentomenorc,
talqueestuvieracontenido“nveces”en
ay“mveces”enb,conloquelarelación
entre a y b podía denotarse mediante
la expresión n/m. Por ejemplo, si la
longituddeunsegmentoaera“unavez
y media” la de un segmento b, c sería
la mitad del segmento b, con lo cual b
contendría 2 “minisegmentos” c, y a, 3
“minisegmentos”c;así,larelaciónentre
a y b vendría dada por la relación 3/2,
es decir, “como 3 es a 2”.
Pero esta relación y su expresión
como aparente “cociente” de dos
números naturales no era conside-
rada como un nuevo número –una
fracción, la expresión de una relación
parte/todo–,sinocomounarazónentre
ambas magnitudes, es decir, como
la expresión numérica de la relación
entre ellas, sin que ambas estuvieran
necesariamente ligadas como un par
“parte/todo” (de hecho, en el ejemplo
anterior, los dos segmentos son inde-
pendientes). En la Aritmética de los
griegos no existieron, pues, las frac-
ciones como números al estilo de los
babilonios y egipcios.
La idea de que las fracciones eran
realmente números se consolidó a par-
tir del Renacimiento. “En 1585, Simon
Stevin da la idea de una solución que
imperarádurantetressiglos,alproponer
unanuevade?nición:númeroesaquello
mediante lo que se explica la magnitud
de alguna cosa” (Ferreirós, 1998, p. 8).
De?niciónqueNewtonclari?caen1707,
en su Arithmetica Universalis:
ENTENDEMOS POR
NÚMERO NO TANTO UNA
MULTITUD DE UNIDADES
CUANTO LA RAZÓN ENTRE
UNA CANTIDAD ABSTRACTA
CUALQUIERA Y OTRA DEL
MISMO GÉNERO QUE SE
TOMA POR UNIDAD.
(Citado en Ferreirós,
1998, p. 8).
Deestamanera,una
fraccióncomo2/3–que
inicialmentesólorepre-
sentabalarelaciónentre
la magnitud de la parte y la del todo del
queprocedía–seinterpretatambiéncomo
unnúmeroquemideel“númerodeveces
que la parte está contenida en el todo,
consideradoéstecomolaunidad”.Así,las
fracciones,comolosnúmerosnaturalesy
hastalospropiosnúmerosirracionales(las
raícescuadradas,porejemplo),seconvier-
ten en números-medida de magnitudes
comparadas con la unidad. Por consi-
guiente,todosellospuedenrepresentarse
como puntos de la recta numérica.
2. El concepto de fracción
y sus diversas formas
de representación
Después de esta breve introducción
histórica podemosplantear el concepto
de fracción como la expresión de la
relación entre una parte y el todo. Para
de?nirlo, necesitamos tres elementos:
1. Un todo, considerado como uni-
dad
2. Una partición de ese todo en b
partes congruentes (b > 0)
3. La referencia a un número a de
esas partes.
En Matemática, los conceptos re-
quierennecesariamentealgúnmodode
representaciónquehadeserpertinente,
es decir, que permita mostrar adecua-
damente y con cierta simplicidad el
conceptoysuspropiedades,asícomolas
posiblesoperacionesytransformaciones
alasquepuedesometerseposteriormen-
te. En este sentido, algunos conceptos
sonpolimorfos,esdecir,puedenadoptar
diversasformasderepresentación.Tales
el caso del concepto de fracción.
En efecto, existen varios campos o
sistemasderepresentaciónparaelcon-
ceptodefracción.Vamosapresentarlos
–tomandocomoreferenciauntodofrac-
cionadoen5partescongruentes,delas
queconsideramos2–y,posteriormente,
a describirlos:
9
1. Verbal: “los dos quintos de…”
2. Numérico: 2/5
3.Gráficocontinuo(númerodecua-
drículasrayadasconrespectoalnúmero
total de cuadrículas congruentes):
4. Gráfico discreto (número de •
con respecto al número total de obje-
tos):
•
?
?
?
•
5. Decimal: 0,40 (40 de las 100
centésimas que posee la unidad)
6. Punto sobre la recta numérica:
0
1/5
2/5 3/5
4/5
1
7. Porcentual: 40% (40 de cada
100 partes)
Los cuatro primeros sistemas res-
ponden más directamente a la relación
parte/todo,relación que,comosabemos
yhemosvistoenlasreferenciashistóri-
cas anteriores:
1.Puedeexpresarseverbalmente:la
mitad, los dos tercios, etc. (siste-
ma verbal).
2.Habitualmentenecesitaexplicitar
los dos números enteros que re-
?ejen la magnitud de la relación
entre la parte y el todo (sistema
numérico).
3.Puedereferirseamagnitudescon-
tinuas tales como la longitud de
un segmento, el área de una su-
per?cie,elvolumendeunsólido…
(sistema grá?co continuo).
4. O también a magnitudes discre-
tas,comoelnúmerodeobjetosde
un conjunto, la cantidad de dine-
ro… (sistema grá?co discreto).
Los sistemas de representación 5 y
6 (decimal y como punto sobre la recta
numérica) responden más bien a la idea
posterior y complementaria de fracción
como medida de magnitudes compara-
das con la unidad, de la que también se
habló anteriormente. Finalmente, todo
porcentaje(sistema7)puedeconsiderarse
en principio como una fracción de deno-
minador 100 –siempre que la cantidad
porcentualseaentera;porejemplo,37%–.
[Sinembargo,elusoquehabitualmentese
hacedelosporcentajesydesusaplicacio-
neslosubicatambiénenelterrenodelas
razones y proporciones (reglas de tres…),
como veremos en el Cuaderno 11].
Observe la representación de una fracción
en una calculadora cientí?ca… y compárela
con las anteriores. ¿Una nueva
forma de representación?
En lo que sigue analizaremos algu-
nas de las implicaciones inmediatas
que se derivan del concepto de frac-
ción; luego nos detendremos en el
sistema numérico de representación
a/b; y posteriormente, trataremos
de ver qué sentido tiene el hecho de
disponer de tantos sistemas de repre-
sentación y qué podemos hacer con
todos ellos.
3. Algunas consecuencias
inmediatas derivadas
del concepto de fracción
Anteriormente mencionamos tres
elementos necesarios para integrar el
concepto de fracción. Vamos a dete-
nernos en cada uno de ellos. Después
plantearemos algunos ejercicios que
pueden ser resueltos tomando en
cuenta directamente el concepto de
fracción.
3.1. El todo como unidad
Cada fracción en particular hace
referencia a un todo que se toma como
unidad, y que puede variar de una
situación a otra. Por eso, el todo es lo
primero que hay que precisar cuando
de fracciones se trata. Veamos estas
situaciones prácticas:
10
Alfredo y Rafael tienen dinero en el bolsillo. Alfredo gasta la quinta parte del suyo
y Rafael,la mitad de lo que tiene.¿Quién de los dos ha gastado más dinero?
Evidentemente, no podemos precisar la respuesta porque desconocemos las cantidades
de dinero que posee cada persona (los todos). Por ejemplo,Alfredo podía haber tenido
100 pesos (gastaría 20) y Rafael 30 (gastaría 15,menos queAlfredo).Pero también podría
ocurrir lo contrario o,incluso,que ambos gastaran lo mismo (por ejemplo,siAlfredo tuviera
50 pesos y Rafael 20:ambos gastarían 10 pesos).En principio,1/2 es mayor que 1/5,pero
sólo si ambas fracciones se re?eren al mismo todo.
Tres medios loros son loro y medio;pero,¿cuántos loros y medio son?
Está claro: 1 (1 loro y medio).Esta especie de acertijo hace alusión jus-
tamente a la posibilidad de manejar distintas unidades como referencia
del todo:medio loro (hay 3),1 loro (hay uno y medio),loro y medio (hay uno).
Enuna?estasereparteequitativamenteunpastelentre8niños.
Sara se lleva su parte a su casa y la comparte equitativamente
con sus dos hermanos.a) ¿Qué fracción del pastel trajo Sara
a su casa? b) ¿Qué parte de ese pedazo de pastel se comerá?
c) ¿Qué parte del pastel original se comerá?
a) Un octavo.El todo es el pastel original.
b) Un tercio.El todo es el pedazo que va a compartir con sus dos hermanos.
c) 1/24.El todo es el pastel original.
¿Cuántas docenas de huevos son 3 huevos? ¿Y cuántas
medias docenas? ¿Y cuántos pares de huevos son 7 huevos?
Si el todo es la docena de huevos,3 huevos son la cuarta parte (1/4) de una docena de
huevos.Ysieltodoeslamediadocenadehuevos,3huevossonlamitad(1/2)deunamedia
docena de huevos.Por su parte,7 huevos son 3 pares y medio (3 1/2) de huevos.
Volveremos sobre estas precisiones más adelante.
3.2. La partición de la unidad
Elsegundoelementonecesariopara
la de?nición de la fracción es la parti-
ción del todo en b partes congruentes
(b > 0).
¿Por qué el número de partes ha de ser mayor
que 0?
Porque no tiene sentido dividir algo en 0
partes, no se puede. Por consiguiente, no
puede haber fracciones de la forma a/0.
¿Se puede dividir un todo en una parte?
Sí. Dividir un todo en una parte signi?ca
que la parte es única y coincide con el
todo. Es decir, el todo se deja intacto. Por
consiguiente, sí puede haber fracciones de
la forma a/1.
Por otro lado, conviene insistir en
que las partes han de ser congruentes.
Estosigni?caquesilasmagnitudesson
continuas (longitudes, áreas, volúme-
nes,tiempos…),lasparteshandeserdel
mismo tamaño. Y que si son discretas,
han de contar con el mismo número de
elementos.
11
¿Qué fracción está representada por la cuadrícula rayada de la ?gura?
Pues,evidentemente,no es 1/5.Habrá que hacer otros cálculos para llegar a la respuesta.
Al repartir 36 juegos educativos entre 3 aulas de preescolar, se dejan, respectivamente,11, 11
y 14 juegos.¿Puede decirse que a cada aula le corresponde 1/3 del total de juegos?
No,ya que las tres partes no son congruentes.De haberse dejado 12 juegos en cada aula,
sí podría decirse que a cada una le correspondió 1/3 del total de los juegos.
3.3. Considerar algunas
de esas partes
Veamos algunas de las situaciones
que se pueden presentar (de paso
iremos dando respuesta a algunas de
las preguntas planteadas al inicio del
Cuaderno):
Tenemos un todo dividido en b partes. ¿Puedo no considerar ninguna de esas partes, es decir,
referirme a 0 partes?
Sí.Sería el caso,por ejemplo,de yo ser tomado en cuenta para el
reparto de un pastel y luego renunciar a la parte que me corres-
ponde:me estaría llevando 0 partes del pastel (0/b),es decir,nada,
0.Por consiguiente,0 es una fracción,que responde a la forma 0/b,
cualquiera que sea el valor de b > 0.
¿Un número natural a puede ser considerado como una fracción?
Acabamos de ver que 0 es una fracción.A?rmar que cualquier otro número natural, por
ejemplo el 3,también puede ser considerado como fracción exige establecer qué sentido
tiene 3 como fracción: signi?ca que el todo ha sido dividido en una parte –es decir, se
deja intacto– y que ahora considero 3 de esas partes, es decir, 3 todos, 3 unidades.Así, la
representación numérica más inmediata de 3 como fracción sería 3/1. Por consiguiente,
cualquier número natural a puede ser considerado como una fracción.
12
¿Existen fracciones negativas?
Evidentemente, no. El número de partes en que se divide el todo viene dado por un nú-
mero natural mayor que 0.Y el número de partes que se toman o consideran viene dado
también por cualquier número natural, incluido el 0. Nunca aparecen números negativos,
y tampoco es posible una relación negativa entre la parte y el todo. Por consiguiente, no
podemos hablar de fracciones negativas.
¿Existen fracciones de la forma a/b en las que a pueda ser igual o mayor que b?
La respuesta es a?rmativa en ambos casos. Si a = b, estamos hablando del número 1, ya
que la situación indica que el todo se divide en b partes,de las cuales consideramos todas;
es decir,estamos tomando el todo,la unidad.Si a > b,simplemente estamos indicando que
consideramos un número a de partes que es mayor que el número b de partes en que se
dividió el todo;lógicamente,esta fracción excede el valor del todo,de la unidad.
Laúltimasituaciónnosllevaahablar
de dos clases de fracciones: propias,
aquellas de la forma numérica a/b en
lasquea< b;eimpropias,aquellasdela
formaa/benlasquea>b.Vamosarefe-
rirnos con más detalle a estas últimas.
¿Cuál es el signi?cado de una frac-
ción como 7/4? De acuerdo con el pro-
ceso que lleva a su de?nición, hay un
todoqueinicialmentesehadivididoen
4 partes congruentes; posteriormente
consideramos7deesaspartes,esdecir,
tomamos 7 partes del tamaño 1/4 del
todo.Grá?camente,tenemosuntododi-
vidido en 4 cuadrículas congruentes:
3
La fracción 7/4 viene dada por la
parte rayada siguiente:
Evidentemente, 7/4 equivale a 4/4
más 3/4, es decir y como se observa en
la grá?ca, a 1 y 3/4: una unidad com-
pleta y 3/4 de otra. Cuando la fracción
impropia se expresa como un entero y
una fracción propia, recibe el nombre
de fracción mixta, es decir, “mezcla”
de un entero y de una fracción propia,
yserepresentacolocandojuntosambos
elementos: 1 4.
Conviene diferenciar la situación anterior
de esta otra:
A pesar de que ahora también considera-
mos 7 cuadrículas del mismo tamaño que
en el caso anterior, la situación nos está
hablando de un todo dividido en 8 partes
congruentes de las que estamos tomando
7:esta representación grá?ca corresponde
a la fracción numérica 7/8. De nuevo hay
que resaltar la importancia de de?nir el
todo en cada caso.
Unasituaciónenlaquepuedenpresentarse
fracciones impropias es la correspondiente
al reparto equitativo de objetos (más ob-
jetos que receptores), siempre que estos
objetos se “dejen” fraccionar. Por ejemplo,
si se reparten 8 balones entre 5 personas,
no podemos decir que a cada persona le
toquen 8/5 de balón, ya que estos objetos
son indivisibles; la situación se resuelve de
acuerdo al modelo de una división entera:
a cada persona le corresponde 1 balón
(cociente) y quedan 3 (resto) sin repartir.
Pero si se trata de, por ejemplo, 8 panes, sí
tiene sentido decir que a cada persona le
corresponden 8/5 de pan. Esta expresión,
resultado del reparto,signi?ca que cada pan
se ha dividido en 5 partes congruentes, 5
quintos,(obsérvese que el todo es un pan)
y que a cada persona le corresponden 8 de
esasquintaspartes,8“trozos”deltamañode
= 2 1 5
11 5
, 4, 9 , 12
13
3
1/5depancadauno.Enotraspalabras,como
si fuera 1 pan entero y 3/5 de otro pan.
Por otro lado, el proceso de pasar de
una expresión de fracción impropia a
una de fracción mixta es muy sencillo:
se efectúa la división del numerador
entre el denominador; el cociente da el
enterodelafracciónmixta;ylafracción
propia adicional tiene como numerador
elrestodeladivisiónycomodenomina-
dor, el divisor de la misma división.
Así, por ejemplo, para 11/5:
11
5
1 2
Elprocesoinversoseanalizaráalhablar
de la suma de fracciones, aunque puede
ser fácilmente deducido por loslectores.
Es de hacer notar que las fraccio-
nes mixtas suelen utilizarse con cierta
frecuencia en el habla de la vida diaria,
como por ejemplo, cuando alguien so-
licita 2 metros y medio de una tela o
unrefrescoquecontienelitro y medio,
o cuando uno habla de una película de
cine que dura hora y tres cuartos o
de un pitcher que ha estado lanzando
durante 7 entradas y dos tercios en
un juego de béisbol…
3. Escriba las fracciones mixtas corres-
pondientes a las fracciones impropias: 2,
15 9 100 76
10
3.4. Ejercicios de aplicación
directa del concepto
de fracción
Y ahora, algunas situaciones que
pueden ser resueltas directamente a
partir de las consideraciones previas
acerca del concepto de fracción:
Rosario y Maribel participan en dos ?estas diferentes,en las cuales se reparten equi-
tativamente sendos pasteles del mismo tamaño.Si el trozo recibido por Rosario es
menor que el recibido por Maribel,¿en cuál de las dos ?estas hubo más invitados?
Evidentemente, hubo más invitados en la ?esta en la que participó Rosario, porque si la
unidad es la misma, cuanto mayor es el número de partes, menor es el tamaño de cada
una,y viceversa.
4.Si la unidad se representa grá?camente mediante este rectángulo:
indique qué fracción está representada por la parte rayada:
Si la grá?ca
representa los 3/4 de cierta unidad,construya la unidad correspondiente.
14
Primero,debemos construir las 3 cuadrículas de tamaño 1/4 que llenan la grá?ca anterior:
Y a partir de aquí,completar la unidad (los 4/4) con 4 de esas cuadrículas:
El mismo ejercicio,si la grá?ca representa 1/4 de la unidad:
La grá?ca de la unidad puede ser ésta (pueden darse otras formas de agrupación de las12
cuadrículas congruentes):
De nuevo,el mismo ejercicio,si la grá?ca representa los 3/5 de la unidad:
Ahora la unidad se compondrá de 5 de las cuadrículas anteriores;por ejemplo:
Gra?que la fracción 3/2,si la unidad es:
? ? ? ? ? ?
Comolamitaddelaunidadvieneexpresada
por 3 cuadritos,y como 3/2 equivale a una
unidad y media,tendremos la grá?ca:
? ? ? ? ? ? ? ? ?
Gra?que la fracción 6/5,si la unidad es:
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
La fracción 6/5 equivale a la unidad más
1/5 de la misma (? ?), con lo que ten-
dremos:
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
Represente la unidad sobre la recta
numérica, a partir de la ubicación de
la fracción dada:
0
1/3
Si el punto indicado representa a la fracción
1/3,la unidad comprenderá 9 de los peque-
ños segmentos marcados,es decir:
0
1/3
2/3
1
15
El mismo ejercicio para la siguiente situación:
0
4/7
Se observa que la fracción 1/7 abarca dos de los pequeños segmentos marcados,de donde
se deduce que la unidad comprenderá 14 de tales segmentos:
0
1/7
4/7
1
Exprese ahora la unidad si la grá?ca representa sus 7/5 partes:
Primero debemos obtener la cuadrícula equivalente a 1/5 de la unidad.Para ello,dividimos
el rectángulo anterior en 7 partes congruentes y rayamos una de ellas:
Ahora construimos la unidad,equivalente a 5 de estas cuadrículas:
La grá?ca ?nal de la unidad es:
Represente la unidad sobre la recta numérica,a partir de la ubicación de la fracción dada:
0 12/5
La observación nos lleva a comprobar que cada fracción 1/5 abarca dos de los segmentos
pequeños marcados sobre la recta numérica, por lo que la unidad comprenderá 10 de
tales segmentos:
0
1/5
1
12/5
Exprese la unidad si la grá?ca repre-
senta la fracción 14 :
Obsérvese que hay justamente 14 elemen-
tos de la forma en la ?gura anterior,por
lo que ese elemento equivale a 1/3 de la
unidad considerada. Una representación
grá?ca de la unidad puede ser: .Ahora
3
3 3
puede veri?carse en la grá?ca inicial cómo
la fracción 14 equivale a la mixta 4 2 .
4. La representación numérica
de la fracción: a/b
Comovimosanteriormente,elsiste-
ma numérico de representación de una
fracciónadoptalaformaa/b.Aunqueya
hemosaludidoaella,inclusoenalgunos
ejercicios previos, vamos a detenernos
algo más, por cuanto es la de uso más
habitual y conviene establecer algunas
puntualizaciones al respecto.
4.1. Antes de seguir, ¿cuántos
signi?cados puede tener
una expresión del tipo a/b?
Esta llamada de atención es nece-
saria y oportuna, como veremos. Con lo
expresado hasta ahora, podemos reco-
nocerdossigni?cados:eldefracciónyel
derazón.Perotambiénhayotros.Vamos
a examinarlos con cuidado para que
no aceptemos como fracción cualquier
expresión numérica de la forma a/b.
16
1.a/bcomo fracción:Expresa la relación
entre los valores de una parte y del todo
del que proviene la parte.Por ejemplo,si en
un grupo hay 20 hombres y 30 mujeres, la
relación del número de hombres con res-
pecto al de todo el grupo es de 2/5,donde
el todo se ha tomado como 5 decenas de
personas, y la parte, como 2 decenas de
hombres.
2. a/b como razón: Expresa la relación
entre los valores de dos magnitudes cuales-
quiera,de la misma o diferente naturaleza.
Por ejemplo, la relación del número de
hombres con respecto al de mujeres (en
el caso anterior) es 2/3, es decir, el núme-
ro de hombres es al número de mujeres
como 2 es a 3; o también, por cada dos
hombres hay 3 mujeres. Aquí 2/3 no re-
presenta una fracción (no hay una relación
parte/todo),sino una razón.O también,en
un movimiento uniforme,la velocidad (en
km/h) de un vehículo que ha recorrido
350 km en 5 horas viene representada
por la razón 350/5 [Como veremos en el
Cuaderno 11,en un movimiento uniforme
las distancias recorridas son proporcionales
a los tiempos empleados; y desde esta
perspectiva, la velocidad representa la
razón de la proporcionalidad entre ambas
magnitudes].
3. a/b como división de dos cantida-
des enteras: Expresa justamente eso,una
división indicada (por ejemplo, un reparto
a efectuar), y la necesidad de calcular el
cociente (resultado del reparto). Por
ejemplo, 180/15 puede indicar la división
de 180 caramelos entre 15 niños, con el
?n de averiguar el número de caramelos
que corresponderá a cada niño. O bien,
simplemente, la forma de proceder para
establecer cuántas veces 15 está contenido
en 180.
4. a/b como número racional: Es un
elemento de un conjunto numérico abs-
tracto,denotado Q,que está formado por
clases de pares ordenados equivalentes de
números enteros (positivos y negativos)
cuyosegundoelementoes? 0.Porejemplo,
el número racional 2/5 es un represen-
tante de la clase de los in?nitos números
racionales equivalentes a 2/5: {4/10, 12/30,
(-2)/(-5),(-6)/(-15),14/35,…}.Un número
racional no hace referencia a la medida de
magnitudes que se relacionan como una
parte con un todo (caso de las fracciones)
o como dos magnitudes entre sí (caso de
lasrazones).Esalgoabstracto,sinreferentes,
propio de la matemática pura.Y puede ser
negativo, situación que no se da ni en las
fracciones ni en las razones.
A esta variedad de signi?cados del
símbolo a/b se le denomina polisemia
de a/b. La moraleja de este cuento está
clara: no todo lo que se representa en
la forma a/b es una fracción; por consi-
guiente,nohayqueconfundirlasconlas
razonesniconloscocientesdenúmeros
naturalesniconlosnúmerosracionales.
Conceptualmente, estos cuatro “obje-
tos”matemáticossondiferentes,apesar
de que pueden presentarse bajo la mis-
ma forma. No es, por tanto, la forma lo
quedistingueaestosconceptos,sinoel
análisisdelasituaciónenqueaparecen
en cada caso.
Pero hay algo más. Las fracciones
tampoco están obligadas a presentarse
siempre en la forma a/b. Ya vimos que
hay otros seis posibles sistemas de
representación. He aquí la riqueza y
la complejidad de las fracciones como
objeto de estudio.
3
4
PUES NO, NO TODO
LO QUE BRILLA ES
ORO, Y NO TODO LO
QUE SE PARECE A MÍ
ES UNA FRACCIÓN…
JE JÉ
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