Cuerpos platónicos truncados

Cuerpos Platónicos truncados Tetraedro truncado
Construcción Se construyen 4 hexágonos regulares y
4 triángulos equiláteros que tengan la medida b. b
a a=3.b ? b=a b b b 60° b 3 a b Tetraedro 1 Tetraedro
truncado

2 b h Fórmula para el área Se calcula el
área de un hexágono regular y un triangulo
equilátero. sen60°=h ? h=b.sen60° ? h=v3.b b
Atriángulo=b.v3.b=v3.b 2 b 4 Ahexágono=6.v3.b2 4 4
h 60° b sen60°=h ? h=b.sen60° ? h=v3.b b
Atriángulo=b.v3.b 4 Atriángulo=v3.b2 2 60°
Atetraedro truncado=4. 6.v3.b2+4. v3.b2=6.v3.b2+v3.b2 4 4 4
Atetraedro truncado=7. b2.v3. Fórmula para el volumen Se
calcula el volumen de la pirámide. ap h b x x 30° b 2
tan30°=2.x ? x=b.tan30° ? x=b.v3 ? x=v3.b b 2 2 3 6
ap=v3.b ? ap2=h2+x2 ? h2=ap2-x2 ? h2=(v3.b)2-(v3.b)2 ?
h2=3.b2-3.b2 ? h=v(2.b2) ? h=v6.b 2 2 6 4 36 3 3
Vpirámide=1.v3.b2.v6.b ? Vpirámide=v2.b3 3 4 3 12
Vtetraedro truncado=Vtetraedro-4.Vpiramide ? Vtetraedro
truncado=v2.a3-4.v2.b3 ? a=3.b 2 12 12

Vtetraedro truncado=27.v2.b3-4.v2.b3 12 12 Vtetraedro
truncado=23. b3.v2. 12 Hexaedro truncado Construcción Se
construyen 6 octógonos regulares y 8 triángulos
equiláteros que tengan la medida b. b a b x b x b2=x2+x2 ?
b2=2.x2 ? x=v2.b 2 a=b+2.x ? a=b+2.v2.b ? a=(1+v2).b 2 b= a .
(1+v2) Hexaedro a 3 Hexaedro truncado b

2 b b 2 2 2 2 2 2 2 Fórmula para el área Se calcula
el área de un octógono regular y un triangulo
equilátero. tan67,5°=2.h ? h=b.tan67,5° ?
h=(1+v2).b b 2 2 Atriángulo=b.(1+v2).b=(1+v2).b 4
Aoctógono=8.(1+v2).b2 4 h 67,5° 4
Aoctógono=2.(1+v2).b2 b 2 sen60°=h ? h=b.sen60° ?
h=v3.b h b Atriángulo=b.v3.b 4 2 60°
Atriángulo=v3.b2 4 Ahexaedro
truncado=6.2.(1+v2).b2+8.v3.b2 4 Ahexaedro truncado=2.
b2.(6+6.v2+v3) Fórmula para el volumen Se calcula el
volumen de la pirámide. ar h y b y 30° b 2 cos30°=
b ? y= ? y= 2.b ? y=v3.b 2.y 2.cos30° 2.v3 3 ar=v2.b ? ar =h
+y ? h =ar -y ? h =(v2.b)2-(v3.b)2 ? h2=2.b2-3.b2 ? h=v(1.b2) ?
h=v6.b 2 2 3 4 9 6 6 Vpirámide=1.v3.b2.v6.b ?
Vpirámide=v2.b3 3 4 6 24 Vhexaedro
truncado=Vhexaedro-8.Vpirámide ? Vhexaedro
truncado=a3-8.v2.b3 ? a=(1+v2).b 24 Vhexaedro
truncado=(1+v2)3.b3-v2.b3=(1+3.v2+3.2+2.v2).b3-v2.b3=(7+5.v2).b3-v2.b3=(7+14.v2).b3
3 3 3 3 4

Vhexaedro truncado=7. b3.(3+2.v2) 3 Octaedro truncado
Construcción Se construyen 8 hexágonos regulares y
6 cuadrados que tengan la medida b. b a b b b 60° b a=3.b ?
b=a 3 b a Octaedro 5 Octaedro truncado

2 Fórmula para el área Se calcula el área de
un hexágono regular y un cuadrado. sen60°=h ?
h=b.sen60° ? h=v3.b b Atriángulo=b.v3.b=v3.b 2 4
Ahexágono=6.v3.b2 4 b h 60° Acuadrado=b.b Acuadrado=b2
b Aoctaedro truncado=8.6.v3.b2+6.b2=12.v3.b2+6.b2 4 Aoctaedro
truncado=6. b2.(1+2.v3) Fórmula para el volumen Se calcula
el volumen de la pirámide. 4 h b b 2 y b 2 y b
y2=(b)2+(b)2=2.b2=b2 ? y=v2.b 2 2 4 2 2 b2=h2+y2 ? h2=b2-y2 ?
h2=b2-(v2.b)2 ? h2=b2-b2 ? h2=b2 ? h=v2.b 2 2 2 2
Vpirámide=1.b2.v2.b ? Vpirámide=v2.b3 3 2 6
Voctaedro truncado=Voctaedro-6.Vpirámide ? Voctaedro
truncado=v2.a3-6.v2.b3 ? a=3.b 6 3 6

x Voctaedro truncado=27.v2.b3-v2.b3=9.v2.b3-v2.b3 3 Voctaedro
truncado=8. b3.v2 Dodecaedro truncado Construcción Se
construyen 12 decágonos regulares y 20 triángulos
equiláteros que tengan la medida b. b a b 108° b
36° x x = b sen36° sen108° . ? x=b.sen36° ?
sen108° sen36°=sen2.18°=2.sen18°.cos18° ?
sen108°=sen(180°-108°)=sen72°=cos(90°-72°)=cos18°
? x=b.2.sen18°.cos18°=b.2.sen18° cos18°
cosn.t+i.senn.t=(cost+sent)n ? n=5 ^ t=18°
cos5.t+i.sen5.t=(cost+i.sent)5
(cost+i.sent)5=cos5t+5.cos4t.i.sent+10.cos3t.i2.sen2t+10.cos2t.i3.sen3t+5.cost.i4.sen4t+i5.sen5t=
cos5t+5.cos4t.i.sent-10.cos3t.sen2t-10.cos2t.i.sen3t+5.cost.sen4t+i.sen5t=
cost.(cos4t-10.cos2t.sen2t+5.sen4t)+i.sent.(5.cos4t-10.cos2t.sen2t+sen4t)=
cost.[cos4t-10.cos2t.(1-cos2t)+5.(1-cos2t)2]+i.sent.[5.(1-sen2t)2-10.(1-sen2t).sen2t+sen4t]=
cost.(cos4t-10.cos2t+10.cos4t+5-10.cos2t+5.cos4t)+i.sent.(5-10.sen2t+5.sen4t-
10.sen2t+10.sen4t+sen4t)=
cost.(16.cos4t-20.cos2t+5)+i.sent.(16.sen4t-20.sen2t+5)=
16.cos5t-20.cos3t+5.cost+i.(16.sen5t-20.sen3t+5.sent)=cos5.t+i.sen5.t
? cos5.t=16.cos5t-20.cos3t+5.cost ^
sen5.t=16.sen5t-20.sen3t+5.sent ? t=18°, cost=x ^ sent=y
7

cos90°=16.x5-20.x3+5.x=0 ^ sen90°=16.y5-20.y3+5.y=1
16.x4-20.x2+5=0 ^ 16.y5-20.y3+5.y-1=0 ?
(16.y5-20.y3+5.y-1):(y-1)=16.y4+16.y3-4.y2-4.y+1 ?
16.y4+16.y3-4.y2-4.y+1=0
16.y4+16.y3+4.y2-8.y2-4.y+1=(4.y2)2+2.4.y2.2.y+(2.y)2-2.(4.y2+2.y)+1=(4.y2+2.y)2-2.(4.y2+2.y).1+12=
[(4.y2+2.y)-1]2=0 ? 4.y2+2.y-1=0 ?
y1-2-3-4=-2±v(4+16)=-2±v20=-2±2.v5=-1±v5
? 8 8 8 4 sen18°=-1+v5 4 x=b.2.(-1+v5)=b.(-1+v5) 4 2
a=b+2.x=b+2.b.(-1+v5)=b.(1-1+v5)=b.v5 ? b= a =a.v5. 2 v5 5 b a
Dodecaedro Dodecaedro truncado Fórmula para el área
Se calcula el área de un decágono regular y un
triangulo equilátero. tan72°=2.h ?
h=b.tan72°=b.sen72° h 72° b 2 8 b 2
2.cos72°
<b