Circuito RL simple El objetivo es obtener la respuesta de un
circuito resistor-inductor libre de fuentes; es decir, la
respuesta natural. La respuesta natural de un circuito depende
únicamente del almacenamiento interno de energía
del circuito, y no de fuentes externas. Por ejemplo el circuito
anterior, cuando el interruptor esta cerrado el inductor conduce
una corriente constante y equivale a un corto circuito. Por lo
tanto iL(0 ) =Vo R1 Cuando el interruptor se abre es cuando se da
la respuesta natural del circuito por el hecho de que a partir de
ese momento la fuente no tiene ninguna repercusión en el
desarrollo del circuito y es cuando se ve el efecto de la
energía almacenada en el circuito.
diL R ; i Ahora para el circuito; después de simplificar
el circuito y planteando LKV para t =0 L diL dt +RiL =0 + iL =0
dt L Esta última es una ecuación diferencial de
primer orden con coeficientes constantes y su forma general es:
dx +ax =0 dt Donde: a = R L x =iL En ingeniería
Eléctrica a esta ecuación se le conoce como
ecuación sin fuentes Para determinar la variable
dependiente contamos cos tres métodos básicos:
Separación de variables Solución exponencial
supuesta Operadores diferenciales en función del
tiempo
x dx x dt Vo Estos métodos no son los únicos pero
si los que simplifican mas el desarrollo de estas ecuaciones.
Separación de variables Empezando con la ecuación
general dx +ax =0 dt Y reacomodando dx = ax dt dx = a dt E
integrando ? = a ? ln x = at +k Donde k es una constante de
integración que se determinara con las condiciones
iníciales de i y por comodidad para resolver la
ecuación se pone k como iL(0 ) = =Io R ; k =ln Io ln iL =
at +ln Io ln iL ln Io = at
L at ln iL Io = at i =e Io iL =Ioe iL =Ioe at at Rt / L
Solución exponencial dx +ax =0 dt Solución
supuesta: x = Aest d ( Aest ) +aAest =0 dt sAest +aAest =0 (s +a)
Aest =0 Para que se cumpla la ecuación se tiene que (s +a)
=0 ya que de otra manera el término Aest tendría
que ser igual a 0, que es la solución trivial, y se
obtendría x =0 para todo tiempo; por lo tanto: s = a De la
solución propuesta x = Aest , tenemos que x = Ae
R R Vo Vo Retomando di +R i =0 dt L Para la solución: i
=Aest di =sAest dt sAest + Aest =0 L Aplicando la ecuación
s a =0 s + =0 L ; s = R L i = Ae Rt / L donde A corresponde a las
condiciones iníciales; por lo que, para inductores A=i(0)
. A = R1 Por lo tanto, obtendremos i = e R1 Rt / L De lo anterior
podemos concluir que ambos métodos llegan a la misma
ecuación, y que la elección de uno u otro, en
circuitos RL simple dependerá del criterio personal.
at t t Respuesta de un circuito RL El circuito RL se puede
describirse con la ecuación dx +ax =0 dt con
solución; x =Ae Pero esta solución tan bien se
puede escribir de la forma: x = Ae t Siendo: t = 1 a La constante
t se llama constante de tiempo del circuito con unidades en
segundos. También se puede ver que: t = L R Si se grafica
la solución del circuito se ve que tendrá una
grafica exponencial decreciente donde tendrá los valores e
t para t =nt como se muestra en la figura.
L Se ve en la figura que la respuesta del circuito estará
en funciona de la magnitud R y que después de t =5t la
respuesta es menor del 1% de su valor inicial, donde podemos
decir que a alcanzado su valor final. Como la respuesta es breve
y transitoria se le suele llamar “respuesta
transitoria” La respuesta transitoria es una respuesta
temporal que desaparece con el tiempo. Bibliografía: Hayt
– Kemmerly Análisis de Circuitos en
Ingeniería Quinta Edición, McGraw Hill Dorf /
Svoboda Circuitos Eléctricos Tercera Edición,
Alfaomega Grupo Editor Dennos G. Zill Ecuaciones Diferenciales
Sexta Edición, Thomson Editores