Análisis de Fourier (página 6)

Partes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Como w0T=2p

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.

Ejercicio: Calcular los coeficientes Fn para la siguiente función de periodo 2p.
A partir de los coeficientes an,bn
Directamente de la integral
(Gp:) -6
(Gp:) -4
(Gp:) -2
(Gp:) 0
(Gp:) 2
(Gp:) 4
(Gp:) 6
(Gp:) -0.2
(Gp:) 0
(Gp:) 0.2
(Gp:) 0.4
(Gp:) 0.6
(Gp:) 0.8
(Gp:) 1
(Gp:) Senoidal rectificada de media onda
(Gp:) t
(Gp:) f(t)

Espectros de Frecuencia Discreta
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).

A la gráfica del ángulo de fase fn de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t).

Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular w=nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.

Espectros de Frecuencia Discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada:

Se encontró que

Por lo tanto,
(Gp:) 1
(Gp:) f(t)
(Gp:) t
(Gp:) . . . -T/2 0 T/2 T . . .
(Gp:) -1

Espectros de Frecuencia Discreta

El eje horizontal es el eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0).
(Gp:) -30
(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 30
(Gp:) 0
(Gp:) 0.1
(Gp:) 0.2
(Gp:) 0.3
(Gp:) 0.4
(Gp:) 0.5
(Gp:) 0.6
(Gp:) 0.7
(Gp:) Espectro de Amplitud de f(t)
(Gp:) n
(Gp:) ?Cn ?

(Gp:) Frecuencia negativa (?)

(Gp:) Frecuencia

Espectros de Frecuencia Discreta
Ejercicio. Dibujar el espectro de amplitud para la función senoidal rectificada de ½ onda.

Potencia y Teorema de Parseval
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por

Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.

Potencia y Teorema de Parseval
El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos Fn de Fourier de la función periódica f(t):

Potencia y Teorema de Parseval
Ejemplo. Calcular la potencia de la función f(t):

Solución.
Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo
(Gp:) 1
(Gp:) f(t)
(Gp:) t
(Gp:) . . . -T/2 0 T/2 T . . .
(Gp:) -1

Potencia y Teorema de Parseval
La serie numérica obtenida converge a

Por lo tanto,

De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t).

Se puede extender el concepto de series de Fourier a funciones no periódicas de la siguiente forma:

De la Serie a la Transformada de Fourier
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
(Gp:) 1
(Gp:) f(t)
(Gp:) t
(Gp:) . . . -T -T/2 0 T/2 T . . .
(Gp:) p
(Gp:) -p/2 p/2

De la Serie a la Transformada de Fourier
Para este ejemplo los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier son:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos graficando Fn contra w=nw0.

De la Serie a la Transformada de Fourier
Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2

De la Serie a la Transformada de Fourier
Si el periodo del tren de pulsos aumenta:
(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) p=1, T=2
(Gp:) t
(Gp:) f(t)

t
(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) p=1, T=5
(Gp:) f(t)

(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) p=1, T=10
(Gp:) t
(Gp:) f(t)

(Gp:) -20
(Gp:) -10
(Gp:) 0
(Gp:) 10
(Gp:) 20
(Gp:) 0
(Gp:) 0.5
(Gp:) 1
(Gp:) 1.5
(Gp:) p=1, T=20
(Gp:) t
(Gp:) f(t)