´ ´ ´ Universidad de La Habana Facultad de
Matematica y Computacion Departamento de Matematica ´
´ ´ ´ ´ DE LAS FUNCIONES ´ Tesis
presentada en opcion al grado de Licenciado en Matematica Autor:
Rolby Milian Perez Tutor: Dra. Rita Roldan Inguanzo Ciudad de La
Habana 2008
RESUMEN En el presente trabajo se estudia el problema de la
dualidad del espacio de las funciones de p-variaci´on
acotada (Vp, p > 1), de?nidas sobre R y con valores en C,
considerando su estructura de ´algebra de Banach
conmutativa y unitaria. Se prue- ba que Vp es un ´algebra
semisimple y se obtiene un teorema de representaci´on que
conduce a la exposici´on de algunos resultados sobre el
espacio de ideales. ABSTRACT In this paper it had studied the
problem of the duality of the space of functions of p-bounded
variation (Vp, p > 1), with domain R and values in C. It had
considered the structure of conmutative Banach Algebra with
unitary element. Here will be proved that it‘s a semisimple
algebra and be presented a representation theorem that conduce to
the explanation of some ones results about the ideals space.
III
˜ ˜ ´ En la Enciclopedia de la
Matem´atica (ver [12]), se declara al An´alisis
Funcional como la parte del An´alisis Matem´atico
moderno, cuyo objetivo principal es el estudio de las funciones y
= f(x), cuyas variables (o al menos una de ellas) var´ian
en un espacio de dimensi´on in?nita. Tal estudio se divide
en tres partes: (i) Determinaci´on y estudio de los
espacios in?nitos. (ii) Estudio de las funcionales. (iii) Estudio
de los operadores. De esta manera, para describir de manera
compacta la historia del An´alisis Fun- cional, conviene
enfatizar en la evoluci´on de dos conceptos: teor´ia
espectral y du- alidad. Respondiendo a los intereses de este
estudio, se describe a continuaci´on de modo breve el
desarrollo del concepto de dualidad. El problema de la dualidad
de espacios de funciones data de los or´igenes del problema
de momentos en la Teor´ia de las Probabilidades. La
relaci´on de este problema con la Teor´ia de las
Probabilidades fue senalada por el matem´atico ruso
Tschebyche? (1821-1894), quien comenz´o sus estudios en
este sentido alrededor del ano 1855. Tschebyche? consider´o
las integrales +8 f(x)xndx, (n = 1,2…), -8 donde f es una
funci´on no negativa. Estos son los momentos de la
distribuci´on en (-8,+8) de la funci´on de densidad
f. N´otese que a´un no se de?nen los momentos en
t´erminos de una integral de Stieltjes. Este tipo de
integrales fueron introducidas por Stieltjes (1856-1894) en 1894,
cuando trabajaba con fracciones continuas. Para este momento
Tschebyche? hab´ia resuelto el problema, considerando
integrales en la forma anterior para x ? [0,1]. Sin embargo, es
con los trabajos de Hadamard (1865-1963) y de Riesz (1880-1956),
donde se evidencia que el problema de momen- tos puede ser
formulado como el problema de la existencia, en un espacio
lineal, de una funcional lineal, que toma determinados valores
para una sucesi´on dada de elementos del espacio. Tomando
estos elementos como fn(x) = xn, se obtiene el problema de
momentos. Una generalizaci´on de este problema conduce a la
teor´ia de 2
dualidad en espacios de Banach. Respecto a la
representaci´on de funcionales lineales continuos, se puede
mencionar a Hadamard (ver [17]), quien ataca el problema de
representar los funcionales lineales y continuos sobre C[a,b]
(para ´el la continuidad de un funcional U signi?ca que
U(fn) tiende a U(f) cuando fn tiende a f uniformemente). Hadamard
selecciona una funci´on ?ja F tal que si para todo f ?
C[a,b] se tiene b a f(x) = l´im n uniformemente en x,
entonces U(f) = l´im n f(t)F(n(t – x))dt b a f(t)Fn(t)dt,
´ ´ U(f) = donde Fn(t) = U[nF(n(t – x))]. De esta
manera, la elecci´on de F es arbitraria. En 1904, Frechet
(1878-1973) presenta una nueva demostraci´on del teorema de
Hadamard y comienza a investigar problemas similares sustituyendo
a C[a,b] por otros espacios de funciones. Tan pronto como
comenz´o el estudio del espacio de Hilbert, Frechet y Riesz
independientemente demuestran que para toda funcional lineal f
continua sobre l2 existe un unico elemento x0 ? l2 tal que f(x) =
x,x0 para toda x ? l2. Tal resultado se conoce como Teorema de
Riesz-Frechet o Teorema de Representaci´on de Riesz (ver,
por ejemplo, [7]). En 1909, Riesz obtiene el Teorema de
representaci´on de funcionales de?nidas y continuas sobre
C[a,b] con la topolog´ia de la convergencia uniforme,
logrando as´iuna mejora considerable del Teorema de
Hadamard, al liberarse de la arbitrariedad de la sucesi´on
Fn. Ello se logra a trav´es de las integrales de Stieltjes.
Riesz demuestra (ver, por ejemplo, [9]) que toda funcional lineal
continua U : C[a,b] ? R puede ser escrita de modo unico como b
f(x)da(x), a donde a(x) es una funci´on de variaci´on
acotada en [a,b]. Para ´el, una funci´on de
variaci´on acotada es la diferencia de dos funciones
mon´otonas no decrecientes. De esta forma se puede
identi?car al espacio dual de C[a,b] con el espacio de las fun-
ciones de variaci´on acotada. Este teorema signi?c´o
un gran avance en las ideas de dualidad, ya que como las
funciones de variaci´on acotada pueden ser discontinuas
s´olo en un conjunto numerable de puntos, resulta imposible
identi?car a las fun- cionales lineales co
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