el área de la región sombreada?
En la figura anterior, DHJIKF es un
hexágono regular de centro A. Si la
longitud de la circunferencia circunscrita
es 12p , entonces ¿Cuál es el área del
cuadrilátero AFKI?
En la figura anterior, L es el centro del
cuadrado ORPQ de 64cm de perímetro, T
es el punto medio de PQ y U es el punto
medio de QT .
¿Cuánto mide el segmento UL? ¿Cuál es
el área del ?UPL?
En la figura anterior, ?ABC es un
triángulo equilátero de centro E, F es el
punto medio de BC y AF mide 9cm.
Calcule el perímetro del ?ACE.
Suponga que en la figura anterior la recta
EC es tangente en C a la circunferencia
de centro A, AF =6cm y m?AEC = 45º
. Hallar la longitud del arco menor FC.
Hallar el á rea del sector circular limitado
por AF , AC y el arco FC. Hallar el área
de la región sombreada.
En un circulo de 20cm de diámetro ¿A
que distancia se encuentra del centro toda
cuerda de 16cm?
En la figura anterior, AB = AC =10 y
CF ? AB. Si AE = 6, entonces ¿Cuál es
la medida de EF ?
D
C
En la figura anterior, el cuadrilátero
ABCD es un rectángulo, C y D son los
centros de las circunferencias tangentes a
B
A
C
B
entonces ¿Cuál es el área destacada con
negro?
A
15cm
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54
Suponga que A es el centro de la
circunferencia y D-A-E, AB es la
bisectriz del ?CAE, el arco menor DC
mide 120º y la longitud del arco menor
BC es 2p cm. Hallar la medida de la
cuerda CE . Hallar el área del sector
circular determinado por el arco menor
BE. Hallar el área del segmento circular
determinado por el arco menor CD.
Si A, B y C son puntos de la
circunferencia de centro O tales que las
medias de los arcos menores AB, AC y
CB están dadas por x, 3x y 5x,
entonces ¿Cuál es la medida del ?ABC?
Si cada uno de los ángulos internos de un
polígono regular mide 168º, entonces
¿Cuántas diagonales se pueden trazar
desde cada vértice?
¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo
radio mide 10 2cm?
¿Cuánto mide la apotema en un triángulo
equiángulo de 90cm de perímetro?
¿Cuál es el área de un triángulo
equilátero cuya altura es igual a 6?
¿Cuál es el semiperímetro de un polígono
regular en el cual se pueden trazar un
total de 35 diagonales, si cada lado mide
6cm?
¿Cuál es la medida del lado de un
cuadrado inscrito en una circunferencia
cuya longitud es 100cm? ¿Cuánto mide
cada lado de un nonágono regular de
10cm de apotema?
En la figura anterior, el cuadrilátero
ECFD es un rombo de 16cm de lado y E
es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es
el área de dicho cuadrilátero?
Si la altura de un prisma mide 15cm y la
base es un triángulo equilátero de área
25 3cm2, entonces ¿Cuál es el área total
del prisma?
En un cubo está inscrito una esfera de
1200p de superficie. ¿Cuál es la medida
de la arista de ese cubo?
En un cilindro circular recto el volumen
es p cm3y el área de la base es p cm2
¿Qué se puede asegurar con respecto a la
medida de la altura de ese cilindro?
En la figura anterior, el área de la
circunferencia menor es 64p y el
diámetro de la circunferencia mayor mide
20cm. Si la recta MN es tangente a
ambas circunferencias y AB = 38,25,
calcule la medida de MN ?
Considere una pirámide recta cuya base
es un hexágono regular en el cual la
circunferencia inscrita tiene 15cm de
radio. Si el volumen de la pirámide es
1800 3 encuentre el área lateral.
55
De acuerdo con los datos de la figura
anterior. Si O es el centro de la
circunferencia
OA=12
,OD ?OA,
OD ? BC y m?AOB=60º, entonces
¿Cuál es el área de la región destacada
con negro?
De acuerdo con los datos de la figura
anterior, en la cual C es el punto de
tangencia de la recta CH y la
circunferencia y m?FCD =50º ,
entonces ¿Cuál es la medida del ?DCH
?
De acuerdo con los datos de la figura
anterior, si
PQ
es tangente a la
circunferencia de centro O en P, PQ es
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paralela a AB y PB =6, entonces ¿Cuál
es la medida de AB ?
De acuerdo con la figura anterior, en la
que se muestra una circunferencia de
centro A, si la longitud del arco menor
CB es 5p , entonces ¿Cuál es la medida
de la cuerda CE ?
Considere dos puntos P y Q de una
circunferencia de centro O y radio r, tales
que PQ = OP. Si M es el punto medio de
QP , entonces ¿Cuál es la medida de
OM ?
De acuerdo con los datos de la figura
adjunta, en la cual el arco menor AE
mide 130º y que AE =CE , entonces
¿Cuánto mide el ?CAV ?
Si los perímetros de dos polígonos
regulares de igual cantidad de lados están
en relación 5:7 y el área del menor es
35 2 , entonces ¿Cuál es el área del
mayor?
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56
El volumen de un cilindro circular recto
es 54p y la medida de la altura es 6. Si
el radio de la base se triplica y se
mantiene la misma altura, entonces ¿Cuál
es el volumen resultante?
Considere dos circunferencias de centros
P y Q que se intersecan en dos puntos A
y B. Si PQ = 24cm y AQ =13cm,
entonces ¿Cuál es el área del
cuadrilátero BPAQ?
Considere dos circunferencias
concéntricas que determinan una corona
circular de 2cmde ancho y 20 cm2 de
área. ¿Cuál es el diámetro de la
circunferencia menor?
¿Cuántos vértices tiene un polígono
regular de 170 diagonales?
¿Cuál es el número de lados de un
polígono regular en el cual el radio mide
el doble de la apotema?
En la figura adjunta anteriormente, N es
el centro de ambas circunferencias. U y
V son los puntos medios de NT y NU ,
respectivamente, entonces ¿Cuál es el
perímetro del pentágono regular
VWXYZ, en función del segmento TP ?
En un hexágono regular el área es x cm2
y el perímetro es x cm, entonces ¿Cuál
es la medida del lado de dicho hexágono?
La diagonal de un cubo mide 12 2cm,
entonces ¿Cuánto mide la diagonal de
cada cara del cubo?
En la figura anterior, el cuadrilátero
PQRS y ?ABC (equilátero) son
polígonos regulares inscritos en la
circunferencia de centro O. Si el
perímetro del triángulo es 18cm,
entonces ¿Cuál es el área del cuadrado?
Calcule el área de la región sombreada
anteriormente, si se sabe que A y E son
los centros de las circunferencias,
m?DHC =30º y AE = 2cm
En la figura adjunta M y K son puntos de
la superficie esférica. J es el centro de la
esfera y de la base del cono circular recto
de vértice M. El volumen de la esfera es
de 36p cm3. Calcule el volumen y el
área lateral del cono.
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56
TRIGONOMETRÍA
sen x
1+ cos x
cot x +
p
9p
57
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1. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en radianes que
corresponde a la medida dada en grados.
382º
568º
497º
395º
141º
-512º
116º
350º
342º
-167º
420º
-653º
-469º
-165º
395º
-294º
150º
-197º
-101º
90º
45º
30º
60º
180º
2. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en grados
correspondiente a la medida en radianes.
4p
11
7p
10
7p
8
–
2
-3p
p
3
p
2
10p
3
3p
2
–
–
5
p
6
5p
–
3p
5
4p
11
–
6p
7
7p
9
9p
7
8p
9
14p
30p
7
p
9p
5p
5p
3p
4p
10p
58
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3. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en grados)
positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única.
319º
-177º
388º
-700º
339º
-197º
-434º
-489º
204º
152º
643º
-14º
226º
-112º
125º
3º
45º
90º
135º
270º
180º
360º
500º
400º
4. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en radianes)
positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única.
p
2
–
3
2
p
2
–
6p
7
–
5p
7
3p
4
5p
8
4
5
3p
2
4p
5
–
–
4p
7
3p
4
–
p
3
20p
7
19p
7
11p
13
21p
8
7p
7
2
–
997p
= cscx
= seca
= sin2 u
sec u
= cot? + csc?
+
= 2csct
= sin 2 x·sec2 x·csc2 x
cos x
59
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5. Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle los ángulos de referencia para cada
uno de los ángulos dados, además dibuje su lado terminal en el plano cartesiano.
-952º
-471º
-328º
880º
718º
-610º
194º
-201º
-155º
-803º
472º
-814º
-679º
673º
992º
-124º
-650º
7º
-399º
280º
752º
956º
587p
180
–
180
98p
45
139p
30
–
283p
90
188p
45
–
61p
36
17p
36
481p
180
337p
180
6. Compruebe cada una de las siguientes identidades trigonométricas.
1
tana
sina cot 2a
cosa
=
cota ·seca ·sina =1
sec2 x – tan 2 x =1
1+secx
sin x + tan x
sec2a ·cota
csca
1
2
tand ·cos2d – tan(90º-d)·sin 2d = 0
sin 2 x·cot 2 x + cos x·tan 2 x =1
2cot 2 ß + cot4 ß = csc4 ß -1
sec2 u -1
2
sin?
1-cos?
1+ cost sint
sint 1+cost
=1
+
cosa
seca
sina
csca
=1+sin?
(1-sin e)(1+ tan e)=1
(1+sin x)(1-sin x)=
= cosx + cot x
= sin x·tan x
=1+ tan x
= cot x +sec2 x – tan 2 x
= tan 2 x
cot x +1
= sin2 x
sec x
= tan x
=
+
= 2secx
1+ tan x
1+ tan x
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= secß + tanß
1+sinß
cosß
cota ·seca = csca
cos2?
1-sin?
2 2
1
sec2 x
sinv
cscv
=1-cos2 v
cscx -cosx·cotx = sin x
1-cos2 x
cosx
sin x + cosx
cosx
secx -cosx = tanx·sinx
1+ tan x
tan x
cosx + tanx·sinx = secx
=1- 2sin 2 x
1- tan 2 x
2
= sin x
secx
cot x + tan x
csc2 x
2
= cot 2 x
1+sin x
cosx
secx + tan x =
=1
+
cot2 x
csc2 x
tan2 x
sec2 x
sin x(cscx -sin x)= cos2 x
tan 2 x -sin 2 x = tan 2 x·sin 2 x
secx -cosx = sinx·tanx
1+ cscx
secx
cosx(tanx +cotx)= cscx
sinx·secx = tanx
tan 2 x +1
2
sec2 x -1
2
sin x + tan x
1+ cosx
sin x -cosx tan x -1
sin x + cosx tan x +1
1+sin x cosx
cosx 1+sin x
=1+ tan x
sin x + cosx
cosx
= sin 2 f
sec f ·sin f
tan f ·cot f
= 2cscx
1+ cosx
sin x
+
sin x
1+ cosx
cosx = secx – tanx·sinx
sec4 x – tan 4 x
1+ 2tan 2 x
7. Simplifique cada una de las siguientes expresiones trigonométricas.
60
secx·cot x·cos(90º-x)
1+
+
–
cos2 x +
+
+ cot x
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61
tan2 x·cos2 x·sec2(90º-x)
sinx·tan(90º-x)
2
tan x·sec x·cos 2 x
1
tan x
cot x·
·cos2(90º-x)
(
)
cot 2 x1+ tan 2 x
tan 2 x·csc2 x·cot 2 x·sin 2 x
sin x·secx -cotx
sin x·cot 2 x
cosx
secx
cscx
sin x
cosx
+
sin 2 x + cos 2 x + tan 2 x
cosx cscx
tan x cot x
csc2-1
cot x
sec x·csc x·cot x
1
csc2 x
tan x·cos x
sin x·cosx·tan x
secx·cscx·cot x
tan 2 x +1
cot 2 x +1
sin x +sin x·cosx
1+ cosx
cot x
tan x
tan x + cot x
cscx
cos x + cos x·tan 2 x
sin x·tan x·csc2 x -sin x·tan x
sinx +cosx·cotx
sin x
secx
+
sin x·tan x
cscx
sin 2 x·cosx + cos3 x -cosx +sin x
cosx
cosx·tan x·sin x
tan x
– tan x
cscx
sin x
secx
sin x
cot x
tan x
tan x·csc x·cos x
1 1
1-cos(90º-x) 1+sin x
secx
tan x
1+secx
1-secx
1+ cosx
sin x
+
sin x
1+ cosx
(cscx-1)(cscx +1)
sec2 x·
(1-sin x)sec
x
–
+
csc2 x –
(1-cos x)(1+ tan x)
cot x +
sin x +sin x·tan x
cot x -cos x
(1-cos x)sec
x
(1+ cot x)cos
x
sin x
1-cosx
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62
cot x
tan x
2 2
cscx -csc x·cos2 x
(secx -tanx)(1+sinx)
cosx(tanx +cotx)
1
cosx
cosx
1+sin x
–
– tan x
– tan x
cscx
sin x
secx
sin x
secx
sin x
cot x
tan x
cosx
secx
sin x
cscx
+
1+ tan 2 x
tan 2 x
sin x
1+cosx
sinx·cotx
2 2 2
2 2
cot 2 x
2
-cosx
cosx·tanx +sinx·cotx -cosx
sin(90º-x)·cot(90º-x)
sinx·cos(90º-x)+cosx·sin(90º-x)
cosx·tanx·tan(90º-x)·csc(90º-x)
sinx·cotx·cot(90º-x)·sec(90º-x)+2
sec(90º-x)-cotx·cos(90º-x)·tan(90º-x)-sinx
sin x·cot 2 x
cosx
1-cos2 x +sin 2 x
1-sin 2 x
cscx secx
sin x cosx
cot x
tan x
2 2
cot x·csc x
sec x·cot x
cotx·secx·sinx
tan x·csc x·cos x
2 2
2 2
1- tan
cscx
1-cscx
cot x
sinx·cot(90º-x)·sec(90º-x)
1- tan x
secx
+
+ cosx
?p ?
2sin x -cos x =1
cos2 x +sin 2 x = sin x +
63
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cos(90º-x)·cotx
cscx·cot(90º-x)
tanx·sinx +cosx
cscx-cosx
csc x -cot x·cos x
sinx +cosx·cotx
sec x -sec x·sin 2 x
sin 2 x
cosx
tan x·csc x -cos x
cscx·cot(90º-x)
1 1
1-cos(90º-x) 1+sin x
secx
sin x
– tan x
cscx
sin x
cot x
tan x
–
1
1-cosx
–
1
1+ cosx
(1+sinx)(secx- tanx)
cosx·sin? – x?
? 2 ?
cosx(tanx +cotx)
tan x·csc x·cos x
8. Halle el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas.
4sinx = cscx
2sin 2 x = -3cos x
2sin 2 x = -sin x
4tan 2 x = 3sec2 x
2 3sin x = 6
sec2 x -1= -sec x +1
2sinx = sin x
6+ 3 ·tan x = 5
2
( 3 – cot x)cscx = 0
3sin 2 x = cos 2 x
2cotx·cosx -cotx = 0
2 3sin x = 6
2cos 2 x = -cos x
tan 2 x +1= -2tan x
2sin 2 x = -sin x
4tan 2 x = 3sec2 x
1
2
(1+cosx)(1-cosx)=1-cosx
2cosx = 3cot x
2sin 2 x = sin x
sinx(tanx +1)= 0
?p
– x? = -2
64
3 -cosx = 0
3tan x + 3 = 0
2 3sin x -3 = 0
1+ 3tan x = 0
2cosx+1= 0
3 -cosx = cosx
(2cosx – 3)(secx – 2)= 0
2+ 3tan x = 3
3cscx +2 = sinx
(cscx + 2)(sin 2 x -1)= 0
cosx = 0.5
sin x = 0.5
1- 2cosx = 0
2sinx = -1
3 tan x =1
2+ 3tan x = 3
-1+ 3cot x = 0
4cos2 x -3 = 0
sinx·tanx = sinx
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4-cscx = 2
2tan x = 3 + tan x
3tan x +1= 0
4sin 2 x -3 = 0
cosx = 2 -cosx
sinx·tanx = sinx
2sinx·cosx = sinx
sinx =1-sinx
2sinx = -1
2+ 3tan x = 3
(1-2cosx)sin x = 0
3tanx+1= 0
cosx = 2 -cosx
sin 2 x + sin x = 0
(2cosx – 3)(secx – 2)= 0
2 3sin x = 6
sec2 x -1= -sec x +1
2sinx·cotx -2 2 = – 2
?
?
2tan?
? 2
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